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COORDENADAS VECTORIALES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS

Se entiende por sistema de fuerzas a un conjunto de fuerzas como se indica

La resultante general del sistema se obtiene sumando los vectores equipolentes

de cada una de las componentes del mismo; esto es:

∑=

=n

i

iFR1

rr

La expresión anterior no permite conocer un punto de aplicación del soporte o

línea de acción de tal vector, por lo que R es considerado como un vector libre.

El momento del sistema con respecto a cualquier punto del espacio se puede

valuar considerando la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo,

generalmente, el punto con respecto al cual el momento es más sencillo de calcular, es

el origen, ya que en estas condiciones el momento está dado por la expresión

( )∑=

=n

i

iiO FxrM1

rrr

en la cual el vector ri siempre será un vector de posición a cualquier punto de la

línea de acción de cada componente y Fi representa los vectores equipolentes de las

fuerza involucradas en el sistema.

El vector MO proporciona todas las características del momento; inclusive su

posición, ya que dicho vector siempre se ubica en el denominado centro de momentos

y en estas condiciones MO siempre pasará por el origen.

2

Esta pareja de vectores ( R, MO ) se conoce con el nombre de coordenadas

vectoriales del sistema de fuerzas. En este caso se puede presentar la situación en que

R y MO no sean perpendiculares, o sea, que no se cumpla R • MO = 0; igualmente es

factible que la resultante general sea nula.

Ejemplo 1

Calcular las coordenadas vectoriales del sistema activo de fuerzas que se indica

en la viga de la siguiente figura

Ejemplo 2

Obtener las coordenadas vectoriales del sistema de fuerzas que se muestra en la

siguiente figura

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SISTEMAS EQUIVALENTES

Se denominan sistemas equivalentes, aquellos en los que sus coordenadas

vectoriales son iguales, bajo el mismo marco de referencia.

Sean los sistemas I y II actuando en el cuerpo de la siguiente figura

como sus coordenadas vectoriales deben ser iguales se debe cumplir que

III OO

III

MM

RRrr

rr

==

Observe que el número de elementos de cada sistema puede ser diferente, sin

que esta situación determine la equivalencia o no equivalencia de los sistemas.

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Ejemplo 1

Demostrar que el sistema de fuerzas activo aplicado en la estructura de la figura,

es equivalente a la fuerza F = - 2000 i – 6000 j [ N ] que pasa por el punto P (22, 0, 0)

[m]

Ejemplo 2:

Considerando que los siguientes sistemas de fuerzas son equivalentes,

determinar la fuerza F6 y el punto P6, ubicado en el plano XY.

Sistema I F1 = 5 i + 9 j + 20 k [ N ] P1 (1, 2, 3) [ m ]

F2 = 5 i + 11 j + 10 k [ N ] P2 (1, 1, 1) [ m ]

F3 = 6 i - 4 j - 2 k [ N ] P3 (2, 4, 6) [ m ]

F4 = - 6 i + 4 j + 2 k [ N ] P4 (-3, 5, 0) [ m ]

F5 = 3 i - 2 j + 8 k [ N ] P5 (0, 9, 16) [ m ]

Sistema II

F6 = P6

F7 = - 3 i [ N ] P7 (5, 6, 0) [ m ]

F8 = 3 i [ N ] P8 (7, 6,1) [ m ]

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COORDENADAS VECTORIALES CORRESPONDIENTES

A SISTEMAS DE FUERZAS

Sistema de

fuerzas

Coordenadas

vectoriales Se cumple que

Concurrentes

=

=

∑

∑

=

=

n

i

iPO

n

i

i

FxrM

FR

1

1

r

rr

R • MO = 0

Colineales

=

=

∑

∑

=

=

n

i

iPO

n

i

i

FxrM

FR

1

1

r

rr

R • MO = 0

Paralelas ∑

∑

=

=

=

=

n

i

iiO

n

i

i

FxrM

FR

1

1

r

rr

a) R • MO = 0

las fuerzas del sistema están

contenidas en un plano

b) R • MO ≠ 0

las fuerzas del sistema no son coplanares.

Generales ∑

∑

=

=

=

=

n

i

iiO

n

i

i

FxrM

FR

1

1

r

rr

a) R • MO = 0

las fuerzas del sistema están

contenidas en un plano

b) R • MO ≠ 0

las fuerzas del sistema no son coplanares.

6

REDUCCION DE SISTEMAS DE FUERZAS

Es el proceso que consiste en obtener, de un sistema de fuerzas cualquiera, un

sistema equivalente que se considera irreductible (mínimo en sus componentes) que

produzca los mismos efectos externos que el sistema original.

Los sistemas irreductibles son:

a) el constituido por una sola fuerza,

Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a una sola fuerza son los

colineales, concurrentes (coplanares y espaciales), paralelos y generales en el

plano.

En este tipo de reducción se consideran dos posibilidades:

a.1) la reducción consiste en una fuerza que pasa por el origen del sistema de

referencia. Las coordenadas vectoriales del sistema por reducir son

0 0 11

==≠= ∑∑==

n

i

iiO

n

i

i FxrMFRrrr

7

a.2) la reducción consiste en una fuerza cuyo soporte no pasa por el origen

del sistema de referencia. Cuado las coordenadas vectoriales del sistema

por reducir son

0 0 11

≠=≠= ∑∑==

n

i

iiO

n

i

i FxrMFRrrr

tendremos

para estas condiciones existen dos posibilidades

a.2.1.) que el momento MO y la fuerza F sean perpendiculares

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resumiendo

Dado que los sistemas I y II deben ser equivalentes y como se

conoce R, lo único que cabria aclarar es la localización del

punto P. Sabemos que RI = RII ; analizando ahora la expresión

de momentos

( ) ( )

IIO

n

iIIii

n

iIii

R

O MxrFxrM

11

R === ∑∑==

ya que se tiene una sola fuerza en el sistema II, su momento

con respecto al origen necesariamente debe ser igual a MO,

entonces

IIP

R

O RxrM =

Se desconocen las coordenadas del punto P, pero se puede

suponer un punto cualquiera en el espacio P(X, Y, Z), como

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( ) ( ) ( ) kyRxRjzRxRizRyR

RRR

zyx

kji

Rxr

XYXZYZ

zyx

P

−+−−−

==

y dado que son vectores, es posible formar un sistema de tres

ecuaciones con tres incógnitas.

( )( )( ) R

OXY

R

OXZ

R

OYZ

Z

Y

X

MyRxR

MzRxR

MzRyR

=−

=−

=−

cuya solución proporcionará las coordenadas del punto

buscado.

Cabe mencionar que la determinación de los valores de x, y y

z definen la ecuación del eje central: “El lugar geométrico de

todos los puntos del espacio tridimensional con respecto a los

cuales el momento del sistema es de módulo mínimo”.

Como puede proporcionarse cualquier punto de la línea de

acción de la fuerza y en virtud de que las fuerzas se pueden

considerar como vectores deslizantes, en lugar de escoger un

punto cualquiera, es posible seleccionar el punto en el cual la

línea de acción de la fuerza intersecte a cualquiera de los

planos coordenados.

Por lo que deberá analizarse el vector fuerza ya que,

dependiendo de la dirección de dicho vector, intersecará o no

a los planos coordenados, por lo que es conveniente observar

las siguientes posibilidades.

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R = xi + yj +zk P1(x1,y1,0) P1(x1,0,z1) P1(0,y1,z1)

R = xi + yj P1(x1,0,z1) P1(0,y1,z1)

R = xi +zk P1(x1,y1,0) P1(0,y1,z1)

R = yj +zk P1(x1,y1,0) P1(x1,0,z1)

R = xi P1(0,y1,z1)

R = yj P1(x1,0,z1)

R = zk P1(x1,y1,0)

b) a.2.2 ) el constituido por una fuerza y un par no coplanares (motor)

Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a una fuerza y un par no

coplanares son los sistemas generales en el espacio, siempre y cuando no

sean reductibles a una fuerza, a un par de fuerzas o al equilibrio y cuando

las coordenadas vectoriales canónicas sean

0 0 11

≠=≠= ∑∑==

n

i

iiO

n

i

i FxrMFRrrr

y además se cumple que R • MO ≠ 0, es decir, estos vectores no son perpendiculares.

11

teniendo una fuerza y un momento en el origen

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c) el conformado por un par de fuerzas,

Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a un par de fuerzas son los

conformados por fuerzas paralelas y los generales tanto en el plano como

en el espacio, siempre y cuando sus coordenadas vectoriales sean

0 0 11

≠=== ∑∑==

n

i

iiO

n

i

i FxrMFRrrr

Esto implica que el único efecto externo que los sistemas mencionados

pueden ocasionar a cuerpos sobre los que se apliquen, sea una tendencia al

giro. No se conoce la magnitud de las fuerzas, ni dirección y puntos de

aplicación.

d) un sistema de fuerzas en equilibrio.

0 0 11

==== ∑∑==

n

i

iiO

n

i

i FxrMFRrrr