DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.

Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio.

Un ejemplo de ambas representaciones puede

observarse en la figura:

Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio

UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ES UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.Los números reales aij se denominan coeficientes y los x ise denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes.

En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

(a11 a12 a13a21 a22 a23

⋯a1na2n

⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

)∗(x1x2⋮xn

)=(b1b2⋮bm

)lamatriz A=(

a11 a12 a13a21 a22 a23

⋯a1na2n

⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

)se llamamatriz de coeficientes, lamatriz X=(

x1x2⋮xn

) se llamamatriz de incongnitas ,y lamatriz B=(

b1b2⋮bm

) se llamalamatriz de terminos independientes .La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:

( A|B )(a11 a12 a13a21 a22 a23

⋯a1na2n

⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

|b1b2⋮bm

)se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B)

SISTEMAS EQUIVALENTES

=

Los sistemas equivalentes, se aplican a sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones y que resultan de aplicar sobre la matriz original operaciones elementales de fila

CLSIFICACION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Sistemas homogéneos (2 tipos de soluciones)

La solución trivial , es decir, cuando las incógnitas valen cero cada una.

Infinitas soluciones , cuando algunas de las incógnitas quedan en función de otras y valen cero.

Sistemas no homogéneos (3 tipos de soluciones)

Única solución, cuando para todas las incógnitas del sistema existe con un solo valor real.

Infinitas soluciones , cuando algunas de las incógnitas están en función de otras y tienen un valor real.

No existe solución , cuando los valores de las incógnitas no existen.

En sistema No homogéneo Homogéneo

a) ∃! soluc Si Si (Trivial)

b) ∃∞soluc Si Si

1 1 -12 -1 1 1 -3 -1-1 -3 1

XYZ

2100

1 1 -1 22 -1 1 1 1 -3 -1 0-1 -3 1 0

c) ∃ soluc Si No

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

Método de Gauss

El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.

La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o en cascada de la forma:

Ax + By + Cz = D Ey + Fz = G Hz = I

Ejemplo:

x1+2x2+3 x3=62x1−3 x2+x3=143 x1+x2−x3=−2 }sistemade ecuaciones

Realizamos operaciones de fila

(1 2 32 −1 23 1 −1|

614−2)

≈f 3←f 3−3 f 1f 2←f 2−2 f 1

(1 2 30 −7 −40 −5 −10|

62

−20)¿

f 3←(−15

) f 3

(1 2 30 −7 −40 1 2 |624) ≈

f 3↔f 2(1 2 30 1 20 −7 −4|

642) ≈

f 3←f 3+7 f 1

(1 2 30 1 20 0 10|

6430)

≈

f 3←( 110

) f 3(1 2 30 1 20 0 1|

643 )

La ultima matriz esta en forma escalonada por filas, (método de gauss), lo cual significa que:

x3=3 ; x2=4 ;x1=−2.

Método de Gauss-Jordan

Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3

0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.

Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:

El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.

En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:

Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:

Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:

Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.

Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan.

Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.

Método de Cramer

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

-El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas .-El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero .

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer .

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean: Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . . . , Δ n

Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º

miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna,

en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer t iene una sola solución que viene dada por las

siguientes expresiones:

CRITERIO PARA HALLAR SOLUCIONES

Una vez aplicado Gauss o Gauss-Jordán

Tiene solución única si el número de ecuaciones validas es igual al número de incógnitas.

Tiene infinitas soluciones si el número de ecuaciones validas es menor al número de incógnitas.

No tiene solución si el número de filas no nulas de la matriz ampliada y el de la matriz de coeficientes son diferentes.

Aplicamos Gauss – Jordán

(1 1 11 1 11 1 1|

111)

≈f 3←f 3−f 1f 2←f 2−2 f 1

(1 1 10 0 00 0 0|

100)∴∃∞soluciones

Como se escriben las infinitas solucionesEjemplo:

Seael sistemade ecuaciones { x−2 y+z=o

x−3 y−2 z=02x−5 y−z=0

det (A )=|1 −2 11 −3 −22 −5 −1|=0 , ∴∃∞soluciones yaque

esunsistemahomog é neo

Resolución por Gauss- Jordan

(1 −2 11 −3 −22 −5 −1|

000)

≈f 2←f 2−f 1f 3←f 3−2 f 1

(1 −2 10 −1 −30 −1 −3|

000) ¿

f 3←f 3−f 2

(1 −2 10 −1 −30 0 0 |000)∴∃∞soluciones

Ecuaciones {x=−7 zy=−3 z

CS={( x , y , z ) ¿ x=−7 zy=−3 z}

∴CS={(−7 z ,−3 z , z ) ¿ z∈R }

Ejercicios tipo examen:Determinar para que valores de α ,β existe:a) ∃! solucb) ∃∞solucc) ∃ soluc

Seael sistemade ecuaciones { x1−2x2+0 x3=α

0 x1+0x2+β x3=20x1+0 x2+ x3=−3

(1 −2 00 0 β0 0 1|

α2

−3) ≈f 3↔f 2(1 −2 0

0 0 10 0 β|

α−32 )

¿f 3←f 3−β f 2(1 −2 0

0 0 10 0 0|

α−32+3 β)

∴{¿|A|=0→∃!soluc ¿2¿Si β≠−23,∀ α∈R→ ∃soluc ¿3¿Si β=

−23

, ∀α∈R→∃∞soluc¿

Determinar los valores de “a” para que el sistema

{(2a+2 ) x+(a−1 ) y+(a+3 ) z=−2+ (a−1 ) y−(a−1 ) z=0

2x+ y−z=−1

a) Tenga solución única. Hallarlasb) Tenga ms de una solución. Hallarlas

c) No tenga soluciones

(2a+2 a−1 a+3 ⋮−20 a−1 −(a−1) ⋮ 02 1 −1 ⋮−1 )

|A|=|2a+2 a−1 a+30 a−1 −(a−1)2 1 −1 |

|A|=2a+2|a−1 −(a−1)1 −1 | +2|a−1 a+3

a−1 −(a−1)||A|=2a+2 [−a+1+a−1 ]+2[−(a−1 ) (a−1 )−(a+3 )(a−1) ]

|A|=¿2(a−1 ) [−(a−1)−(a+3 ) ]

|A|=−4 (a−1 )(a+1)

(a−1 )(a+1)≠0

∴∃ !solucion ∀ a∈ R− {−1,1 }

Paraa=−1

(0 −2 2 ⋮−20 −2 2 ⋮ 02 1 −1 ⋮−1)F3↔F1(2 1 −1 ⋮−1

0 −2 2 ⋮ 00 −2 2 ⋮−2 ) ≈

F3=F3−F2(2 1 −1 ⋮−10 −2 2 ⋮ 00 0 0 ⋮−2 )

∴Paraa=−1∄solucion

Paraa=1

(4 0 4 ⋮−20 0 0 ⋮ 02 1 −1 ⋮−1)F2↔F3(4 0 4 ⋮−2

2 1 −1 ⋮−10 0 0 ⋮ 0 ) ≈

F1=14F1(1 0 1 ⋮−1

22 1 −1 ⋮−10 0 0 ⋮ 0

)≈¿

x+z=−12

y−3 z=0

∴Paraa=1∃∞soluciones

C.S.= ¿

C.S.=¿

Determinar los valores de “m” para que el siguiente sistema

{(2m+2 ) x+(m−1 ) y+ (m+3 ) z=2m+2+ (m−1 ) y−(m−1 ) z=0

mx+ y−z=m+1

a) Tenga solución única. Hallarlas

b) Tenga más de una solución. Hallarlas

c) No tenga soluciones

(2m+2 m−1 m+3 ⋮ 2m+20 m−1 −m+1 ⋮ 0m 1 −1 ⋮ m+1 )

|A|=|2m+2 m−1 m+30 m−1 −m+1m 1 −1 |

|A|=2m+2|m−1 −m+31 −1 |+m|m−1 m+3

m−1 −m+1||A|=2m+2 [−m+1−1+m ]+m [ (m−1 ) (1−m )−(m+3 )(m−1) ]

|A|=m (m−1 ) [−2m−2 ]

|A|=−2m (m−1 )(m+1)

−2m (m−1 )(m+1)≠0

∴∃ !solucion∀m∈R−{−1,0,1 }

Param=1

(4 0 4 ⋮ 40 0 0 ⋮ 01 1 −1 ⋮ 2)F2↔F3(4 0 4 ⋮ 4

1 1 −1 ⋮ 20 0 0 ⋮ 0 )≈¿

(1 0 1 ⋮ 10 1 −2 ⋮ 10 0 0 ⋮ 0 )

x+z=1y−2x=1

∴Param=1∃∞soluciones

C.S.= ¿

C.S.= ¿

Param=0

(2 −1 3 ⋮ 20 −1 1 ⋮ 00 1 −1 ⋮ 1) ≈

F3=F3+F2(2 −1 3 ⋮ 20 −1 1 ⋮ 00 0 0 ⋮ 1)

∴Param=0∄ solucion

Param=−1

( 0 −2 2 ⋮ 00 −2 2 ⋮ 0

−1 1 −1 ⋮ 0)F3↔F1(−1 1 −1 ⋮ 0

0 −2 2 ⋮ 00 −2 2 ⋮ 0 ) ≈

F3=F3−F2(−1 1 −1 ⋮ 00 −2 2 ⋮ 00 0 0 ⋮ 0 ) ≈

F2=−12

F2

(−1 1 −1 ⋮ 00 1 −1 ⋮ 00 0 0 ⋮ 0 ) ≈

F1=F1−F2(−1 0 0 ⋮ 00 1 −1 ⋮ 00 0 0 ⋮ 0 )

−x=0y−z=0

C.S.= ¿

C.S.= ¿