sistemas de control - unicen · 2007. 8. 29. · tema: especificación dinámica y estática - 4...

SC

Tema: Especificación dinámica y estática - 1

Asignatura Sistemas de Control - Facultad de Ingeniería-UNCPBA

Prof. Dr. Gerardo Acosta

© Copyright de G. Acosta - Prohibida la reproducción o utilización de esta obra sin autorización expresa del autor.

Sistemas de Controlapuntes capítulo II(análisis temporal y

software)

Facultad de Ingeniería -UNCPBA

Dto. de Ingeniería Electromecánica

Prof: Dr. Gerardo Acosta

SC





Automatización Industrial

Ø OBJETIVOS DEL CAPÍTULO II

üüEspecificaciones de los sistemas Especificaciones de los sistemas

de controlde control

üüAnálisis de la respuesta temporalAnálisis de la respuesta temporal

üError de estado estacionario

üÍndices de desempeño

üIntroducción al Matlab

SC





Especificaciones

Ø Dinámicas ü Forma de respuesta en el tiempo (patrón)ü Vinculadas a:

q estabilidad q velocidad de respuesta

Ø Estáticasü Precisión - error de estado estacionario

Ø Señales de prueba más comunesü impulso

ü escalón

ü rampa

t

t

t

u ttt s

T L( ) .=≥<

→

1 00 0

1

r tt t

ttu t

sT L( ) ( ) .=

≥<

→

00 0

12 o

δ ( ) .tAt

t t

t t tt

lim T L=< <

< ∧ > →

→0 0 0

0

0

0

0 01

SC





ü 1 elemento almacenador de energía

Ø Respuesta al impulso:

Ø Respuesta a u(t):

Ø Respuesta a la rampa:

Especificaciones dinámicas: Sistemas de 1er orden

11Ts +

R(s) C(s)1Ts

R(s) C(s)

-+

C sTs s s

TTs

c t e tt T

( )

( ) ( )/

=+

= −+

= − ≥−

11

1 11

1 0

y antitransformando:

C sTs

c tT

e tt T

( )

( ) ( )/

=+

= ≥−

11

10


C sTs s s

Ts

TTs

c t t T Te tt T

( )

( ) ( )/

=+

= − ++

= − + ≥−

11

1 11

0

2 2

2


SC





Especificaciones dinámicas: Sistemas de 2º orden

ü 2 elementos almacenadores de energía

frecuencia natural o propia no amortiguada:

relación o coeficiente de amortiguamiento:amortiguamiento real:frecuencia amortiguada:

C sR s s s

n

n n

( )( )

=+ +

ωξω ω

2

2 22

ω n

ξ

ω ξn

ω ω ξd n= −1

2*11 1

cos

ξωξω

ηξ

−±−=−

=

nn jpp

σ

jω

ωd

ωn

η

ξ ω n

p1

p 1*

SC





Sistemas de 2º orden

pag. 261 del Kuo

0 tpara

1

tgsen1

1)(

12

)(

21

2

22

2

≥

−+

−−=∴

++

=

−−

ξξ

ωξ

ωξωω

ξω

te

tc

ssstc

d

t

nn

n

n

L-1 para una entrada escalón unitario

SC





Ø parámetros de la respuesta:Dom f: BW, A, ...Dom t: tp , Mp , ts , ...td : tiempo de retardo (delay)tr : tiempo de crecimiento (rise)tp: tiempo de pico (peak)Mp : máx. sobrepico (overshoot)ts: tiempo de establecimiento (set)

285 ogata


SC






Ø relación parámetros-modelo:ü derivando

ü con tp

ü envolventes de 1er orden

dpt

ωπ

=

πξξ )1/(%

2

100 −−= eM p

ns

ns tt

ξωξω34

%5%2 == ó

285 ogata

SC






ØEn un lazo cerrado:

T sC sR s

ks s a

ks s a

ks as k

pa a

k

( )( )( )

( )

( )

= = +

++

=+ +

= − ± −−

1

2 4

2

1 2

2

k)(

1ass +r c-

σk1

k3

k2

ωj

k1 < k2 < k3

k1k3

k2

T j( )ω

j ω

SC





Ø Consideremos el sistema dado por la FT siguiente:

ü para los sistemas realizables, los polos y ceros serán números reales o pares de números complejos conjugados

c(t) = L-1[C(s)]= L-1[R(s)M(s)] para entrada escalón:

c(t) = L-1

c(t) = L-1

Especificaciones dinámicas: Análisis genérico

M s Ks z

i

s p

i

i m

jj

j n( )( )

( )=

+=

+

=

=

=

∏

∏1

1

M s Ks z s z s z

si

s s

m

i

i k

j njj

j q( )( )( )...( )

( ) ( )=

+ + +

+=

+ +=

=

=

∏ ∏1 2

2 2

112σ α ω

K s zj

s si

s s

j

j m

i

i k

j njj

j q

( )

( ) ( )

+=

+=

+ +

=

=

=

=

∏

∏ ∏1

122 2

1

σ α ω

As

Bs

C s D

s si

i

j j

j njj

j q

i

i k

++

++

+ +

=

=

=

=

∑∑ ( )σ α ω2 211 2

22

2222

1

1

22

1

21

1

)sin()()(

jnj

njjj

j

jnj

qj

jjjnj

tjj

ki

i

ti

CCE

C

Ctg

teEDeBtAutc

sMDyCBA

ji

αω

ωα

α

αωφ

φαωασ

−

+−=

−

−=

+−++=∴

−

=

=

−=

=

− ∑∑

y

siendo

).( de ceros y polos los de dependen , , , donde

j

SC







üEspecificaciones de los sistemas

de control

üAnálisis de la respuesta temporal

üüError de estado estacionarioError de estado estacionario



SC





Especificaciones Estáticas

Ø de exactitud

ü los polos en el origen influyen decisivamente en el error y determinan el tipo de sistema:

-tipo 0: q=0-tipo 1: q=1.....

ü una vez determinado el tipo de sistema por inspección, se determinan las constantes de error y se calcula el error en régimen permanente a partir de estas constantes de acuerdo a la forma de la señal de entrada.

mq+n ;)...1(

)...1()(

)(11

)()(

)(1)(

1)()()()(

)(1)(

)(

1

221 ≥

+++++++

=

+=

+

−=−=

+=

kssbsb

sasasasG

sGsRsE

sGsG

sRsCsRsE

sGsG

sT

qnn

mm

transferencia de LA

R(s) C(s)G(s)

E(s)

SC





Especificaciones estáticas

Ø régimen permanente:

Ø Sistemas TIPO 0:ü entrada escalón:

ü entrada rampa:

ü entrada parabólica:

Ø Sistemas TIPO 1:ü entrada escalón:

ü entrada rampa:

..........................

FinalValor del Teorema )(lim)(lim0

ssFtfst →∞→

=

kPPssRPs

ksasasbsbssRsbsbs

sGsR

sE q

q

mm

nn

q

nn

q

)2()1()()1(

)...1()...1()()...1(

)(1)(

)(11

1

+=

++++++++++

=+

=

Rs

E lims P

P P kRs

Rkee s

q q

0

0

0 011 2) 1

∴ = /+ /

=+→

( )( ) (

t

Rs

E lims P

P P kRs see s

q

12 0

12

11 2)

∴ = /+ /

→ ∞→

( )( ) (

t

Rs

E lims P

P P kR

s see sq

23 0

23 2

11 2)

∴ = /+ /

→ ∞→

( )( ) (

t

Rs

E lims P

s P P kRsee s

q

0

0

201

1 2)0∴ = /

+ /=

→

( )( ) (

Rs

E lims P

s P P kRs

Rk

cteee sq q

12 0

212

111 2)

∴ = /+ /

= =→

( )( ) (

.

SC





Coeficientes de error

ü de posición (entradas escalón)ü de velocidad (entradas rampa)ü de aceleración (entradas parabólicas)

Ø Coeficiente de error de posición:

Ø Coeficiente de error de velocidad:

Ø Coeficiente de error de aceleración:

ksalida en error de ee =

estado estacionariostado estacionario

∞=→∞=→

=→∴=

+

+=∞∞

=→

→

→

p

p

p

00

0

0

0

k2k1k0

tiposistemas para )(

)(11

)(1)(

)()(

ksGlim

sR

sGslim

sR

sGsG

slim

EC

ks

s

s

p

kCE

lim ssG s

G sRs

lim sG s

Rs

lim sG sv

s

s

s=

∞∞

= +

+

=→

→

→

& ( )( )

( )( )

( )

( )0

0

0

0 0

11

1

kCE

lims G sa s=

∞∞

=→

&&( )( )

( )0

2

∞=→=→

=→∴

v

v

v

k2.k1

0k0 tiposistemas para cte

SC








de control



üüÍndices de desempeñoÍndices de desempeño


SC





Índices de Calidad

ü En resumen:

Ø Índices de Calidad:ü posibilitar la evaluación de los SS.CC. respecto a un

criterio representado matemáticamente§ control óptimo

ü requerimientos:q selectividadq valor numérico únicoq calculable analíticamenteq función de los parámetros del sistema

ü en general:I f e t r t c t u t t dt=

∞

∫ ( ( ), ( ), ( ), ( ), )0

0003

R2/ka002

∞R1/kv01

∞∞R0/(1+kp)0

ERROR DE ACELERAC.

ERROR DE VELOCIDAD

ERROR DE POSICIÓNTIPO

SC





0 20 40 60 80 100 120 1400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

error al cuadrado

tie

mp

o

Ø Integral Square Error

ü da + importancia a los errores grandesq por el cuadrado

ü son sistemas rápidos pero de estabilidad relativa pobre

ü de mucha utilidad práctica pues tienden a disminuir el consumo de potencia

ü poca selectividad

Ø Integral Absolute Errorü de fácil aplicaciónü selectividad intermedia

ISE e t dt=∞

∫ 2

0( )

IAE e t dt=∞

∫ ( )0

Tte

dttedtteT

>→

≅ ∫∫∞

para 0 si

)()(0

2

0

2

Índices de Calidad

SC





Índices de Calidad

Ø Integral Time Absolute Error

ü grandes errores iniciales con poco peso (t bajo)

ü se penalizan errores futurosü sistemas con poco sobrepico y oscilaciones

amortiguadasü buena selectividadü para un 2º orden

ITAE t e t dt=∞

∫ ( )0

121

)( 2 ++=

sssG

ξ

ζ

J

0,7

IAE

ISE

ITAE

SC








de control




üüIntroducción al Introducción al MatlabMatlab

SC





Definiciones básicas

Ø ¿Qué es Matlab?ü un entorno de programación/simulaciónü un lenguaje de alto nivel

Ø ¿Para qué sirve?ü cálculo numéricoü visualización de datos

Ø Fundamentado en un potente cálculo matricialü explota el hecho de que escalares,

vectores y matrices son parientesØ Arreglos rectangulares ordenados en

filas y columnas:ü imágenesümoviesü relaciones lineales de un modelo

complejoq dividir para conquistar

SC





Usando Matlab

Ø Ingresemos la siguiente matriz mágicaü del cuadro Melancolía I de Albrecht Dürer (1514)

» A=[16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1];con lo que aparecerá

» A = 16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

se llama matriz mágica y veremos porqué:

» A(1,1)+A(2,1)+A(3,1)+A(4,1)» ans

= 34 16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

SC





Usando Matlab

Ø más corto:q sum(A(:,1))=34

ü : significa todas las filas de la columna 1 de Aq sum (A)

ü significa sumar todos los elementos de la AØ Transpuesta

q B=A’ q sum(B)q diag(A)q sum(diag(A))

Ø Notación:

Ø Operaciones:q C=A-Bq C=A*Bq C=A*pi

)1sen(*)1cos())1(*exp(5314159.32

2302252.62060210.16397.90001.0993

ijiiiiejieE

+++=+−

−−

SC





Programación en Matlab

Ø Scripts%Fibscript.m para

calcular %la serie de

Fibonaccif=[1 1];n=1;while f(n)+f(n+1) < 80f(n+2)=f(n)+f(n+1)n=n+1;end

Ø Funcionesfunction f=fibfun(n)if n > 2

f=fibfun(n-1)+fibfun(n-2);

elsef=1;

end

SC





Ø Control System Toolboxümodelos en TL y EE, continuos y

discretos» n=1;» d=[C*R 1];» deposito=tf(n,d);» step(deposito);

T ime (sec.)

Am

plit

ud

e

S tep Response

0 10 20 30 40 50 60

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Matlab para Control

1)()(

+=

RCsR

sQsH

qi(t)

h(t)

R

qo(t)C

SC





0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3

tiempo [seg.]

Niv

el [

m.]

Respuesta a Escaló n Unitario

Matlab para Control

Ø clearØ close allØ kp=3;Ø td=0.2;Ø n1=1;Ø d1=[10 1];Ø deposito=tf(n1,d1);Ø n2=[kp*td kp];Ø d2=[1 1000];Ø PD=tf(n2,d2);Ø G1=series(PD,deposito);Ø Glc=feedback(G1,1);Ø t=0:100;Ø y=step(Glc,t);Ø plot(t,y)Ø gridØ xlabel('tiempo [seg.]')Ø ylabel ('Nivel [m.]')Ø title('Respuesta a Escalón

Unitario')

qi(t)V

B1

LT-1

PD

hqo(t)

ref

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