sintesis de dipolos

Tema 3Introduccin a la Sntesis de Dipolos

3.1. IntroduccinEn este tema vamos a ver cmo es posible calcular los elementos circuitales de una admitancia Y(s), o de una impedancia Z(s) a partir de su expresin analtica, determinando previamente su realizabilidad. Hasta ahora, hemos venido analizando circuitos:I(s) Ls R

Ls + R

1 LRC s 2 + Ls + R = Cs RC s + 1

L= 1 H C= 1 F R= 1 V(s)

1/Cs

V (s ) s 2 + s + 1 Z (s ) = = I (s ) s +1 I (s ) s +1 Y (s ) = = 2 V (s ) s + s + 1

Z(s)=V(s) / I(s)

En este captulo: dados Z(s) Y(s), deberemos comprobar si es realizable, y despus deberemos sintetizar el circuito: disponer cada elemento y determinar su valor.Tema 3: Introduccin a la Sntesis de Dipolos T3.2

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivas3.2.1: Realizabilidad (def)Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) se dice que es REALIZABLE cuando se puede implementar empleando exclusivamente elementos R, L, y C (con valores todos ellos positivos).

3.2.2: Teorema de Brune (Otto Brune en 1931)Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) es REALIZABLE mediante elementos R, L, y C (todos positivos) si y solo si Z(s) (o Y(s)) es una FUNCIN RACIONAL REAL POSITIVA en s; es decir, si: a) Z(s) es funcin REAL y RACIONAL de s; es decir, se puede expresar como cociente de dos polinomios de coeficientes reales:

N (s ) a0 + a1 s + ... + an 1 s n 1 + an s n = Z (s ) = D(s ) b0 + b1 s + ... + bm 1 s m 1 + bm s mTema 3: Introduccin a la Sntesis de Dipolos T3.3

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivasb) Si para cualquier valor de s con parte real positiva o nula, la parte real de Z(s) tambin es positiva o nula:

Re{s} 0 Re{Z (s )} 0Es decir, cualquier punto en el semiplano cerrado derecho del plano s se corresponde con un punto en el semiplano cerrado derecho del plano Zplano s j jX R plano Z

Tema 3: Introduccin a la Sntesis de Dipolos

T3.4

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivas3.2.3: Condiciones equivalentesLa condicin b) anterior es poco prctica, pues para una Z(s) dada es muy difcil asegurar si se cumple o no la condicin. Por esta razn, enunciamos ahora condiciones equivalentes ms prcticas y fciles de comprobar: a) Idntica a a) b) Para cualquier frecuencia Re{Z ( j )} 0 , excepto en los polos (similar a condicin b)), pero ahora restringida al eje j)


T3.5

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivas3.2.3: Condiciones equivalentes (sigue)c)c.1) Todos los polos de Z(s) estn en el SEMIPLANO COMPLEJO IZQUIERDO CERRADO (SCIC) (que incluye el eje j ) c.2) Los polos de Z(s) que estn en el eje j son polos simples y con residuos reales y positivos. Como s=0 y s= caen en el eje j , la condicin c.2) tiene que cumplirse para polos en el origen o en el infinito.


T3.6

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivas3.2.3.1: Forma alternativa de comprobar la condicin b)La condicin b) deca que Re{Z ( j )} 0, (excepto en los polos). Supongamos un polinomio P(s), que queremos descomponer en sus trminos pares (con potencias de s pares) y en sus trminos impares (con potencias de s impares):

P (s ) = Par {P (s )} + Impar {P (s )} = Pp (s ) + Pi (s )Par: Pp(s) 1, s2, s4, s6 (s=j) 1, - 2, 4, - 6 reales Pp(s) PAR y REAL

Impar: Pi(s) s, s3, s5 (s=j) j, -j3, j5 imaginarias Pi(s) IMPAR e IMAGINARIOTema 3: Introduccin a la Sntesis de Dipolos T3.7

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivasDe esta forma, tenemos que:

N (s ) N p (s ) + Ni (s ) N p (s ) + Ni (s ) Dp (s ) Di (s ) Z (s ) = = = = D(s ) Dp (s ) + Di (s ) Dp (s ) + Di (s ) Dp (s ) Di (s ) =p p i i i p p i

[N (s ) D (s ) N (s ) D (s )] + [N (s ) D (s ) N (s ) D (s )]Dp (s )2 Di (s )2

Al reemplazar s por j las funciones pares quedan reales y las funciones impares quedan imaginarias, con lo que:

Z ( j ) =

R R Im Im [N p ( j ) Dp ( j ) Ni ( j ) Di ( j )] + [Ni ( j ) Dp ( j ) N p ( j ) Di ( j )]

[D ( j )] [D ( j )]2

2

R

p

i

R


T3.8

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivasDe forma que:

Re{Z ( j )} =

N p ( j ) Dp ( j ) Ni ( j ) Di ( j )

[D ( j )] [D ( j )]2 p i

2

En el denominador, siempre se cumple que:

[D ( j )]p

2

0

[Di ( j )]2 0es suficiente

por lo que el denominador siempre ser positivo De esta forma, para comprobar que Re{Z ( j )} 0 con comprobar que:

P ( 2 ) = N p ( j ) Dp ( j ) Ni ( j ) Di ( j ) 0


T3.9

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivasAs, de forma general, la condicin b) puede reformularse como:

P ( 2 ) = N p ( j ) Dp ( j ) Ni ( j ) Di ( j ) 0

(excepto en los polos)


T3.10

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivas3.2.3.2: Forma alternativa de comprobar la condicin c)Dado:

Z (s ) =

N (s ) D(s )

c)c.1) D(s) debe ser polinomio de HURWITZ (estricto o no), y por consiguiente N(s) y D(s) difieren a lo sumo en un grado c.2) Si D(s) es Hurwitz, sus ceros en el eje j deben ser simples y con residuos positivos y reales, incluyendo el polo de Z(s) en el , si lo hubiera


T3.11

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivas3.2.3.3: Polinomios de HURWITZPolinomio de Hurwitz: Polinomio que tiene todos sus ceros en el semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC) (incluye el eje j ) Polinomio de Hurwitz estricto: Polinomio que tiene todos sus ceros en el semiplano complejo izquierdo abierto (SCIA) (no incluye el eje j ) Polinomio no-Hurwitz: Polinomio que tiene algn cero fuera del semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC)

H-E H N-H


T3.12

3.2. Caracterizacin de las funciones reales positivasCondiciones necesarias (no suficientes) para polinomios de HurwitzPolinomio de Hurwitz estricto:Todos los coeficientes son positivos No hay trminos ausentes

Polinomio de Hurwitz:Todos los coeficientes son positivos


T3.13

3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCEn este caso, vamos a considerar dipolos LC, con el objeto de determinar las condiciones para que una impedancia o admitancia de un dipolo LC sea realizable. Llamaremos F(s) a la inmitancia (impedancia o admitancia) realizable como dipolo LC. 3.3.1. Condiciones de realizabilidad de dipolos LC F(s) ser realizable como dipolo LC si y solo si F(s) es F.R.R.P. IMPAR.


T3.14

3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCPor consiguiente, se debern cumplir las siguientes condiciones: 1) Igual que a) y que a) 2) Re{F ( j )} = 0 ; dado que slo hay elementos LC, la parte real (que se corresponde con la parte resistiva del circuito) debe ser cero.reactancia

F ( j ) = jX ( ) F ( j ) = jX ( ) = F ( j )

F ( s ) = F (s ) F (s ) = F ( s )Funcin impar en s

3)

3.1) Todos los polos han de estar en el eje j 3.2) Todos los polos deben ser simples, y con residuos reales y positivosTema 3: Introduccin a la Sntesis de Dipolos T3.15

3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCConsecuencias de las condiciones anteriores: Si

s 0,

0 : F(s) debe tener un polo o un cero F (s ) en el origen 0 F (s ) : F(s) debe tener un polo o un cero en el infinito

Si s ,

Se cumplir que:

grado{N (s )} = grado{D(s )} 1


T3.16

3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC3.3.2. Expresin General de F(s)Debe tener un polo o cero en el origen

F (s ) = H

s 1 = s (s j p1 ) (s + j p1 ) (s j p2 ) (s + j p2 ) ...polo en cero en 0 polo en 0 cero en

(s jz1 ) (s + jz1 ) (s jz2 ) (s + jz2 ) ...

{

}

=H

s 1 s (s + ) (s + ) ...2 2 p1 2 2 p2

2 2 (s 2 + z1 ) (s 2 + z2 ) ...

{

}


T3.17

3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCDescomposicin en fracciones simples: SNTESIS* * k1 k1 k2 k2 k F (s ) = + + + + ... + k s y / 0 s s j p1 s + j p1 s j p2 s + j p2 polo en s=

Como los residuos tienen que ser reales, k i = k i*

polo en s=0

F (s ) = = =

k1(s + j p1 ) + k1(s j p1 )2 s 2 + p1

+ ... + k s y /

y /

k0

= s

2k1s 2k s + 2 2 2 + ... + k s 2 s 2 + p1 s + p2

k0

= s

i =1

n

2k i s + ks 2 s 2 + pi

y /

k0

s

Que resultar ser por fin la expresin que usaremos para sintetizar el dipolo LCTema 3: Introduccin a la Sntesis de Dipolos T3.18

3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCVariacin de la reactancia X() con la frecuencia

F ( j ) =

2k i j + k j 2 2 i =1 pi n

y /

k0 j = j X ( )

2 2 d X ( ) n 2k i ( pi ) 2k i ( 2 ) = + k 2 2 2 d i =1 p

(i

i

)

y /

k0 = 2

= 2k i i =1 n

n

2 p 2 + 2 2

(i

2 pi

2 2

)

+ k y /

y /

k0 = 2 > 0

= 2k i i =1

(

2 p + 2 2 pi

2 2

)

+ k

k0 2

ya que k i > 0 y k i Tema 3: Introduccin a la Sntesis de Dipolos T3.19

3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCEsto significa que X() es creciente con la frecuencia (pendiente siempre positiva). Para que lo anterior se cumpla (que X() sea creciente y que todos los ceros y los polos estn en el eje j), los polos y los ceros deben estar alternados, dando lugar a:X()

polo en el origen cero en el infinito


T3.20

3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCO bien a:

X()

cero en el origen polo en el infinito


T3.21

3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCQu sucede cuando dos ceros no tienen un polo entre ellos (figura superior), o dos polos no tienen un cero entre ellos (figura inferior)?X()dX ( ) < 0 d

X()dX ( )

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