sin_2015_g_03

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Preguntas propuestasPreguntas propuestas

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GeometríaSemestral Intensivo UNIBoletín 3 Semestral Intensivo UNI 1ra. Revisión (20 septiembre, 2013 10:14 a.m.)

NIVEL BÁSICO

1. Dado un triedro O - ABC, se sabe que OA=BC, OB=AC y OC=AB. Si la m ABC=70º y m OAC=50º, calcule la m BOC.

A) 50º B) 70º C) 100ºD) 60º E) 110º

2. En un ángulo triedro, la medida de dos de sus caras es 90º y 100º. Calcule la suma del valor mínimo y máximo de la suma de medidas de la tercera cara.

A) 160º B) 180º C) 200ºD) 250º E) 210º

3. Dado su triedro birrectángulo O - ABC, tal que la cara AOB mide 45º, calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo BOC y la arista OA

.

A) 60º B) 45º C) 90ºD) arctan 2( ) E) arcsen 2/3

4. Un poliedro está limitado por n regiones trian-gulares y 3n regiones pentagonales. Calcule el número de aristas si el número de vértices es 32.

A) 40 B) 54 C) 64D) 18 E) 68

5. Sean M y N puntos medios de las aristas CD y EH, respectivamente, de un cubo ABCD-EFGH. Si P ∈ BM, Q ∈ GN y AB=a, calcule el área de la región paralelográmica APQE.

A) 3a2 B) a2 2 C) a2

D) 2a2 E) a2 3

Geometría del espacio III

NIVEL INTERMEDIO

6. En un ángulo triedro O - ABC equilátero, las medidas de las caras es 60º. Si al trazar el rayo OP

se cumple que m AOP=m BOP=m COP=q, calcule q.

A) 30º

B) arctan62

C) arctan22

D) arctan32

E) 45º

7. En un triedro O - ABC, la medida del diedro OA es 90º; OA = 126; OB=14; OC=15 y m OAB=mOAC=90º. Calcule la medida de la cara que se opone a OA

.

A) 60º B) 90º C) 45ºD) 37º E) 53º

8. Las aristas de un ángulo triedro, cuyas caras miden 60º, de vértice O, son intersecadas por un plano en A; B y C. Si AO=a; OB=b y OC=c, indique la relación para que m BAC=90º.

A) 2b2=ab+ac – bcB) 2c2=2ab+ac – bcC) c2=ac+bc – abD) 2a2=ab+ac – bcE) 2a2=bc+ab – ac

Aritmética+ –×÷∑ 4 Ω AA

β

− ∈ 2 1 33xB xZ

−

1

23a

b

≠: , 0nx x

R yy

αGeometría

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Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3

9. Dado un triedro equilátero O - ABC, cuya cara mide 60º, si 2(OC)=2(OB)= 5 BC( ), calcule la medida del ángulo diedro.

A) arcsen23

B) arccos23

C) arccos38

D) arcsen310

E) arccos47

10. Dado un triedro O - ABC, la medida del ángulo que forman OC

y la bisectriz de la cara opuesta

es igual a la mitad de la medida de dicha cara. Si las medidas de los diedros OA y OB suman 120, calcule la medida del diedro OC.

A) 45º B) 60º C) 90ºD) 135º E) 120º

11. En un tetraedro regular V - ABC, en que AB = 6, se traza la altura VH, y tomando como diáme-tro a VH se traza la semicircunferencia que in-terseca a la arista VB en el punto P. Calcule la longitud de la proyección de VP sobre VH

.

A) 2B) 4/3C) 0,5D) 1E) 2

12. En un tetraedro regular ABCD, M es punto medio de CD y G es baricentro de la región triangular ABC. Si el área de la región triangu-lar AMG es igual a 33, calcule el área de la superficie tetraédrica.

A) 86 B) 88 C) 72D) 94 E) 96

13. Según el gráfico, los poliedros mostrados son regulares. Si BH es la altura y la distancia de M a PQ es 14, calcule el volumen del cubo.

Q

M

PBB

HH

A) 12 3B) 16 7C) 24 3D) 30 7E) 40 7

14. En un tetraedro regular A - BCD, en BC y BD se ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que BQ=2(QD)=2(BP)=4. Calcule el área de la región triangular APQ.

A) 5 2B) 5 3C) 4 3D) 6 3E) 10 3

15. En un cubo ABCD - EFGH, la distancia entre las

rectas EG y DF es 63. Calcule el área de la

región triangular que tiene como vértices los

centros de las caras que concurren en un vér-

tice del cubo.

A) 2 3 B) 3 C) 62

D) 32

E) 34

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Geometría

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822

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9. Dado un triedro equilátero O - ABC, cuya cara mide 60º, si 2(OC)=2(OB)= 5 BC( ), calcule la medida del ángulo diedro.

A) arcsen23

B) arccos23

C) arccos38

D) arcsen310

E) arccos47

10. Dado un triedro O - ABC, la medida del ángulo que forman OC

y la bisectriz de la cara opuesta

es igual a la mitad de la medida de dicha cara. Si las medidas de los diedros OA y OB suman 120, calcule la medida del diedro OC.

A) 45º B) 60º C) 90ºD) 135º E) 120º

11. En un tetraedro regular V - ABC, en que AB = 6, se traza la altura VH, y tomando como diáme-tro a VH se traza la semicircunferencia que in-terseca a la arista VB en el punto P. Calcule la longitud de la proyección de VP sobre VH

.

A) 2B) 4/3C) 0,5D) 1E) 2

12. En un tetraedro regular ABCD, M es punto medio de CD y G es baricentro de la región triangular ABC. Si el área de la región triangu-lar AMG es igual a 33, calcule el área de la superficie tetraédrica.

A) 86 B) 88 C) 72D) 94 E) 96

13. Según el gráfico, los poliedros mostrados son regulares. Si BH es la altura y la distancia de M a PQ es 14, calcule el volumen del cubo.

Q

M

PBB

HH

A) 12 3B) 16 7C) 24 3D) 30 7E) 40 7

14. En un tetraedro regular A - BCD, en BC y BD se ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que BQ=2(QD)=2(BP)=4. Calcule el área de la región triangular APQ.

A) 5 2B) 5 3C) 4 3D) 6 3E) 10 3

15. En un cubo ABCD - EFGH, la distancia entre las

rectas EG y DF es 63. Calcule el área de la

región triangular que tiene como vértices los

centros de las caras que concurren en un vér-

tice del cubo.

A) 2 3 B) 3 C) 62

D) 32

E) 34

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Geometría


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Semestral Intensivo UNI Geometría

16. En el gráfico, M y N son puntos medios y PG = 2. Calcule el volumen del cubo mos-trado.

FF MM

PP

DDAN

B C

G

HE

A) 8

B) 10

C) 12

D) 11

E) 16

17. En el octaedro regular mostrado, I es el incen-tro del triángulo ABL. Si VN = 2, calcule el área de la superficie octaédrica.

G

V '

N

A

V

IILL

BB

A) 24 6 16 6+

B) 24 3 16 6+C) 12 6 18 3+D) 20 3 12 2+

E) 15 3 16 6+

NIVEL AVANZADO

18. Dado un triedro isósceles O - ABC, en la arista común OB de las caras de igual medida se ubica el punto P, y en las otras dos los puntos E y F, además P’ es la proyección ortogonal de P sobre la cara AOC y OP’ ∩ EF=Q. Si EO=FO=10 3; OP=45; m AOC=60º y PQ

es bisectriz del

ángulo OPP’, calcule la medida del ángulo diedro determinado por la región PEF y la cara AOC.

A) 37ºB) 53ºC) 127º/2D) 143º/2E) 45º

19. En un triedro trirrectángulo O - ABC, en OA y AB

se ubican los puntos M y N, respectivamente.

Si AM=MO; AN CO NB3 4 9

= = y G es baricentro

de la región triangular AOB, calcule la medida

del ángulo entre MN y CG.

A) 30ºB) 37ºC) 45ºD) 53ºE) 60

20. En un poliedro, sus caras solo determinan 12 triedros y 20 diedros, además, las caras de dicho poliedro son triangulares, cuadrangulares y pen-tagonales. Si el número de caras pentagonales es par y menor que el número de caras cuadrangu-lares, calcule el número de caras triangulares.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

6


21. Se tiene un octaedro regular M - ABCD - N, Q y P en BM y DN, respectivamente. Si QP contie-ne el centro O del octaedro; OP = 5 y BQ=3 (NP), calcule el área de la sección que deter-mine el plano que contiene a los puntos A, Q y C en el octaedro.

A) 2 5 B) 4 5 C) 8 10D) 4 10 E) 8 5

22. Dado un hexaedro regular ABCD - EFGH, en la cara EFGH se ubica el punto M, luego se tra-za internamente al cubo el tetraedro regular PFGM. Si la prolongación GP interseca la cara ABCD en Q y AB=d, calcule PQ.

A) d4

9 4 2−

B) d2

3 3−

C) d2

6 3 2−

D) d3

6 2−

E) d2

6 2−( )

23. En un octaedro regular M - ABCD - N si AB=4 y G es baricentro de la cara CMD, calcule la distancia entre MG y BD.

A) 45

5

B) 25

5

C) 2 10

D) 25

10

E) 105

24. En un tetraedro regular A - BCD se ubica un pun-to P en la altura AH de la cara ADC, 3(AP)=2(PH). Calcule la tangente de la medida del ángulo die-dro formado por las regiones BPD y BCD.

A) 2

B) 3

C) 2

2

D) 2/3

E) 32

25. Dado un hexaedro regular ABCD - EFGH, O es

centro de la cara ABCD y P ∈ AE. Calcule la

medida del ángulo entre HO PC

y si la medida del ángulo diedro determinado por las regiones PFH y FCH es 90º.

A) 75º

B) 30º

C) 53º

D) arccos69

E) 90º

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Geometría


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16. En el gráfico, M y N son puntos medios y PG = 2. Calcule el volumen del cubo mos-trado.

FF MM

PP

DDAN

B C

G

HE

A) 8

B) 10

C) 12

D) 11

E) 16

17. En el octaedro regular mostrado, I es el incen-tro del triángulo ABL. Si VN = 2, calcule el área de la superficie octaédrica.

G

V '

N

A

V

IILL

BB

A) 24 6 16 6+

B) 24 3 16 6+C) 12 6 18 3+D) 20 3 12 2+

E) 15 3 16 6+

NIVEL AVANZADO

18. Dado un triedro isósceles O - ABC, en la arista común OB de las caras de igual medida se ubica el punto P, y en las otras dos los puntos E y F, además P’ es la proyección ortogonal de P sobre la cara AOC y OP’ ∩ EF=Q. Si EO=FO=10 3; OP=45; m AOC=60º y PQ

es bisectriz del

ángulo OPP’, calcule la medida del ángulo diedro determinado por la región PEF y la cara AOC.

A) 37ºB) 53ºC) 127º/2D) 143º/2E) 45º

19. En un triedro trirrectángulo O - ABC, en OA y AB

se ubican los puntos M y N, respectivamente.

Si AM=MO; AN CO NB3 4 9

= = y G es baricentro

de la región triangular AOB, calcule la medida

del ángulo entre MN y CG.

A) 30ºB) 37ºC) 45ºD) 53ºE) 60

20. En un poliedro, sus caras solo determinan 12 triedros y 20 diedros, además, las caras de dicho poliedro son triangulares, cuadrangulares y pen-tagonales. Si el número de caras pentagonales es par y menor que el número de caras cuadrangu-lares, calcule el número de caras triangulares.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

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21. Se tiene un octaedro regular M - ABCD - N, Q y P en BM y DN, respectivamente. Si QP contie-ne el centro O del octaedro; OP = 5 y BQ=3 (NP), calcule el área de la sección que deter-mine el plano que contiene a los puntos A, Q y C en el octaedro.

A) 2 5 B) 4 5 C) 8 10D) 4 10 E) 8 5

22. Dado un hexaedro regular ABCD - EFGH, en la cara EFGH se ubica el punto M, luego se tra-za internamente al cubo el tetraedro regular PFGM. Si la prolongación GP interseca la cara ABCD en Q y AB=d, calcule PQ.

A) d4

9 4 2−

B) d2

3 3−

C) d2

6 3 2−

D) d3

6 2−

E) d2

6 2−( )

23. En un octaedro regular M - ABCD - N si AB=4 y G es baricentro de la cara CMD, calcule la distancia entre MG y BD.

A) 45

5

B) 25

5

C) 2 10

D) 25

10

E) 105

24. En un tetraedro regular A - BCD se ubica un pun-to P en la altura AH de la cara ADC, 3(AP)=2(PH). Calcule la tangente de la medida del ángulo die-dro formado por las regiones BPD y BCD.

A) 2

B) 3

C) 2

2

D) 2/3

E) 32

25. Dado un hexaedro regular ABCD - EFGH, O es

centro de la cara ABCD y P ∈ AE. Calcule la

medida del ángulo entre HO PC

y si la medida del ángulo diedro determinado por las regiones PFH y FCH es 90º.

A) 75º

B) 30º

C) 53º

D) arccos69

E) 90º

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Geometría


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Semestral Intensivo UNI Geometría 12SEMANA

Prisma y Cilindro

NIVEL BÁSICO

1. En un prisma triangular regular ABC - A’B’C’, el área de la región triangular AB’C es 4 7 y AB=BB’. Calcule el volumen de dicho sólido.

A) 15 2 B) 18 6 C) 12 3D) 21 3 E) 16 3

2. Se tiene un paralelepípedo rectangular. Si una de sus diagonales mide 12 cm y forma con el plano de la base un ángulo de 30º y con una cara lateral un ángulo de 45º, calcule el volumen del paralelepípedo.

A) 216 2 3cmB) 225 2 3cmC) 243 2 3cmD) 245 2 3cmE) 236 2 3cm

3. Las áreas de las superficies laterales de dos cilindros semejantes son 24 y 18. Si el volumen del cilindro mayor es 18, calcule el volumen del otro cilindro.

A) 5 3 B) 6 3 C) 7 3

D) 27 34

E) 25 33

4. En un cilindro oblicuo, la generatriz está in-clinada, con respecto al plano de la bases, un ángulo que mide 60º; la altura del cilindro es el doble del radio r de la sección recta. Calcule el volumen del cilindro en función de r.

A) 8 33π r B) 43

33πr C)

23

3πr

D) 83

3π r E) p r3

5. En un cilindro de revolución, M es el punto medio de una generatriz AB, B y C son diame-tralmente opuestos, y O es el centro de una de las bases. Si m OMC=90º y OM = 2 3,calcu-le el volumen de dicho cilindro.

A) 14 2π B) 16 2π C) 18 2πD) 10 2π E) 12 2π

NIVEL INTERMEDIO

6. En un prisma triangular, la medida del ángulo diedro determinado por la sección transversal y la sección recta es q. Calcule la media del ángulo que determinan una arista lateral y una base de dicho prisma.

A) 45º+q B) 45º – q C) 90º – qD) q E) 2q

7. El volumen de un prisma triangular oblicuo es V y el área de su superficie lateral es S. Calcule el inradio de la sección recta de dicho prisma.

A) 3V / S B) V / S C) 2V / SD) 4V / S E) 3V / 2S

8. Dado el prisma regular ABCDEF - A’B’C’D’E’F’, el menor recorrido para ir de B hacia E’ por la superficie lateral es a y el menor recorrido para ir de E’ hacia C por la superficie lateral es b, tal que a2 – b2=5 y EE ' .= 2 3 Calcule el volumen de dicho prisma.

A) 9 3 B) 12 C) 9

D) 8 3 E) 9 2

9. En un prisma recto ABC - DEF, ABED es un cua-drado y la m ABC=90º. Se inscribe un cilin-dro de revolución, de modo que sus bases es-tén contenidas en las bases del prisma tal que la razón de las áreas de la superficie lateral

del cilindro y de la región cuadrada es 23π

.

Si el radio de la base del cilindro es r, calcule el área de la superficie lateral del prisma en función de r.

A) 36r2 B) 38r2 C) 39r2

D) 40r2 E) 45r2

8


10. Se tiene una batea de 10 u de altura y sección trapecial isósceles de altura 2 u, base inferior 2 u y base superior 3 u. Si se vierte agua en la batea a una razón constante. Calcule la altura en la que se encuentra el agua sobre la base cuando el volumen de agua es 45u3.

A) 3 u B) 4,5 u C) 2,4 uD) 9 u E) 8 u

11. En un cilindro circular oblicuo se traza un plano secante que contiene a los centros de las bases cuya intersección es una región cua-drada de área 48 cm2, de tal manera que la proyección de uno de sus lados contenidos en una base sobre la otra base es un segmento tangente a la circunferencia que limita dicha base. Calcule el volumen del cilindro.

A) 36p cm3 B) 48p cm3 C) 54p cm3

D) 64p cm3 E) 72p cm3

12. Se tiene un paralelepípedo recto de bases ABCD y A’B’C’D’, en el que O y O’ son los puntos de intersección de las diagonales de las bases, respectivamente. Si B’C’CD es una región cuadrada de lado 12 cm, calcule el volumen del cilindro oblicuo, cuyas bases son circulares, que se encuentra inscrito en las regiones A’O’B’ y COD.

A) 20p cm3 B) 30p cm3 C) 48p cm3

D) 25p cm3 E) 50p cm3

13. En un tronco de cilindro circular recto se ins-cribe un hexaedro O1 - ABC - O2, cuyas caras son regulares. Calcule la razón entre los vo-lúmenes del tronco de cilindro y dicho hexae-dro, además, O1 y O2 son centros de las bases del cilindro.

A) 33

π B) 2 33

π C) 3π

D) 2 3π E) 8 33

π

14. Se tiene un tronco de cilindro oblicuo cuyas bases son iguales y su ángulo diedro es de 60º. Halle su volumen si sus generatrices mayor y menor miden 9 cm y 5 cm, además, su sec-ción recta es un círculo.

A) 21p B) 6p C) 9pD) 12p E) 18p

15. En la figura se muestra un tronco de cilindro de revolución. Si MN=5 cm y BD – AC=6 cm, CM=MO y ON=ND, calcule el volumen del tronco.

D

NC

A BO

M

A) 100p cm3 B) 75p cm3 C) 80p cm3

D) 25p cm3 E) 30p cm3

16. En el gráfico, la medida del ángulo diedro entre las bases del tronco de cilindro de re-volución es 37º. Calcule el volumen del tronco de prisma triangular rectangular isósceles de aristas no nulas inscrito si una de sus aristas coinciden con la generatriz MN. (Considere a la base triangular rectangular isósceles, que contenida este en la base circular).

44 N

M

A) 63 B) 64 C) 69D) 66 E) 65

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Geometría


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Prisma y Cilindro

NIVEL BÁSICO

1. En un prisma triangular regular ABC - A’B’C’, el área de la región triangular AB’C es 4 7 y AB=BB’. Calcule el volumen de dicho sólido.

A) 15 2 B) 18 6 C) 12 3D) 21 3 E) 16 3

2. Se tiene un paralelepípedo rectangular. Si una de sus diagonales mide 12 cm y forma con el plano de la base un ángulo de 30º y con una cara lateral un ángulo de 45º, calcule el volumen del paralelepípedo.

A) 216 2 3cmB) 225 2 3cmC) 243 2 3cmD) 245 2 3cmE) 236 2 3cm

3. Las áreas de las superficies laterales de dos cilindros semejantes son 24 y 18. Si el volumen del cilindro mayor es 18, calcule el volumen del otro cilindro.

A) 5 3 B) 6 3 C) 7 3

D) 27 34

E) 25 33

4. En un cilindro oblicuo, la generatriz está in-clinada, con respecto al plano de la bases, un ángulo que mide 60º; la altura del cilindro es el doble del radio r de la sección recta. Calcule el volumen del cilindro en función de r.

A) 8 33π r B) 43

33πr C)

23

3πr

D) 83

3π r E) p r3

5. En un cilindro de revolución, M es el punto medio de una generatriz AB, B y C son diame-tralmente opuestos, y O es el centro de una de las bases. Si m OMC=90º y OM = 2 3,calcu-le el volumen de dicho cilindro.

A) 14 2π B) 16 2π C) 18 2πD) 10 2π E) 12 2π

NIVEL INTERMEDIO

6. En un prisma triangular, la medida del ángulo diedro determinado por la sección transversal y la sección recta es q. Calcule la media del ángulo que determinan una arista lateral y una base de dicho prisma.

A) 45º+q B) 45º – q C) 90º – qD) q E) 2q

7. El volumen de un prisma triangular oblicuo es V y el área de su superficie lateral es S. Calcule el inradio de la sección recta de dicho prisma.

A) 3V / S B) V / S C) 2V / SD) 4V / S E) 3V / 2S

8. Dado el prisma regular ABCDEF - A’B’C’D’E’F’, el menor recorrido para ir de B hacia E’ por la superficie lateral es a y el menor recorrido para ir de E’ hacia C por la superficie lateral es b, tal que a2 – b2=5 y EE ' .= 2 3 Calcule el volumen de dicho prisma.

A) 9 3 B) 12 C) 9

D) 8 3 E) 9 2

9. En un prisma recto ABC - DEF, ABED es un cua-drado y la m ABC=90º. Se inscribe un cilin-dro de revolución, de modo que sus bases es-tén contenidas en las bases del prisma tal que la razón de las áreas de la superficie lateral

del cilindro y de la región cuadrada es 23π

.

Si el radio de la base del cilindro es r, calcule el área de la superficie lateral del prisma en función de r.

A) 36r2 B) 38r2 C) 39r2

D) 40r2 E) 45r2

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10. Se tiene una batea de 10 u de altura y sección trapecial isósceles de altura 2 u, base inferior 2 u y base superior 3 u. Si se vierte agua en la batea a una razón constante. Calcule la altura en la que se encuentra el agua sobre la base cuando el volumen de agua es 45u3.

A) 3 u B) 4,5 u C) 2,4 uD) 9 u E) 8 u

11. En un cilindro circular oblicuo se traza un plano secante que contiene a los centros de las bases cuya intersección es una región cua-drada de área 48 cm2, de tal manera que la proyección de uno de sus lados contenidos en una base sobre la otra base es un segmento tangente a la circunferencia que limita dicha base. Calcule el volumen del cilindro.

A) 36p cm3 B) 48p cm3 C) 54p cm3

D) 64p cm3 E) 72p cm3

12. Se tiene un paralelepípedo recto de bases ABCD y A’B’C’D’, en el que O y O’ son los puntos de intersección de las diagonales de las bases, respectivamente. Si B’C’CD es una región cuadrada de lado 12 cm, calcule el volumen del cilindro oblicuo, cuyas bases son circulares, que se encuentra inscrito en las regiones A’O’B’ y COD.

A) 20p cm3 B) 30p cm3 C) 48p cm3

D) 25p cm3 E) 50p cm3

13. En un tronco de cilindro circular recto se ins-cribe un hexaedro O1 - ABC - O2, cuyas caras son regulares. Calcule la razón entre los vo-lúmenes del tronco de cilindro y dicho hexae-dro, además, O1 y O2 son centros de las bases del cilindro.

A) 33

π B) 2 33

π C) 3π

D) 2 3π E) 8 33

π

14. Se tiene un tronco de cilindro oblicuo cuyas bases son iguales y su ángulo diedro es de 60º. Halle su volumen si sus generatrices mayor y menor miden 9 cm y 5 cm, además, su sec-ción recta es un círculo.

A) 21p B) 6p C) 9pD) 12p E) 18p

15. En la figura se muestra un tronco de cilindro de revolución. Si MN=5 cm y BD – AC=6 cm, CM=MO y ON=ND, calcule el volumen del tronco.

D

NC

A BO

M

A) 100p cm3 B) 75p cm3 C) 80p cm3

D) 25p cm3 E) 30p cm3

16. En el gráfico, la medida del ángulo diedro entre las bases del tronco de cilindro de re-volución es 37º. Calcule el volumen del tronco de prisma triangular rectangular isósceles de aristas no nulas inscrito si una de sus aristas coinciden con la generatriz MN. (Considere a la base triangular rectangular isósceles, que contenida este en la base circular).

44 N

M

A) 63 B) 64 C) 69D) 66 E) 65

7

Geometría


9


17. Un tetraedro regular de arista a está inscrito en un cilindro de revolución, de modo que una de sus aristas coincide con una de las generatrices. Calcule el área de la superficie lateral de dicho cilindro.

A) π 24

2

a B) 5 2

42π

a C) 3 2

22π

a

D) 3 24

2π

a E) π 2

22

a

NIVEL AVANZADO

18. Se tiene un prisma triangular oblicuo de bases ABC y A’B’C’, tal que BB’=8 cm y el plano que contiene a AA’ y GG’ es perpendicular a las ba-ses (G y G’ son baricentros de las regiones ABC y A’B’C’, respectivamente). Si la proyección de G’ sobre el plano ABC es un punto de BC y la me-dida del ángulo determinado por la arista lateral con una de las bases es 60º, calcule el área de la sección determinada por el plano en el prisma.

A) 19 3 3cm B) 48 3 3cm C) 54 3 3cmD) 198 3 3cm E) 196 3 3cm

19. En un prisma hexagonal regular ABCDEF - A’B’C’D’E’F’, si AF=AA’=2, calcule el perímetro de la sección plana determinada en el prisma por un plano secante que contenga a B, C y F’.

A) 2 5 1+( ) B) 3 5 1+( ) C) 4 5 1+( )D) 5 5 1+( ) E) 6 5 1+( )

20. Se tiene un tronco de prisma triangular de bases ABC y A’B’C’, en el que AA’, BB’ y CC’ son perpendiculares al plano ABC y m ABC=90º. En AC se ubica el punto medio D. Si BC=6 cm, CC’=1 cm, la distancia del baricentro de la región triangular A’B’C’ al plano ABC es 3 cm y el área de la región triangular A’B’D es 15 cm2, calcule el volumen del sólido ABD - A’B’D.

A) 24 cm3 B) 12 cm3 C) 16 cm3

D) 32 cm3 E) 48 cm3

21. En un prisma triangular regular ABC - DEF, to-das sus aristas son de igual longitud. Luego se traza un plano H que contiene a DF e interseca a BE en su punto medio, por E se traza el plano L perpendicular al plano H y paralelo a CA. Si el volumen del prisma es 54 3 3u , calcule el área de la sección plana determinada por el plano L en dicho sólido.

A) 4 u2 B) 4 2 2u C) 4 3 2u

D) 4 6 2u E) 8 u2

22. En un cilindro circular recto, cuyas bases tie-nen por radio 2 cm y de centros O y O1, se tra-zan dos planos que contienen al diámetro AB de centro O1, además dichos planos contie-nen a los extremos del diámetro CD de la otra base, y la medida del diedro AB es 60º. Calcu-le el volumen del sólido ACB - ADB si el área de la región triangular BCD es 8 cm2.

A) 3 32

B) 4 33

C) 9 32

D) 10 39

E) 16 33

23. Se tiene el paralelepípedo recto ABCD - A’B’C’D’. Se traza los planos que contienen a AA’ y BB’, los cuales contienen al segmento MN (M ∈ C’D’ y N ∈ CD), respectivamente. Luego se traza un plano paralelo a CD intersecando a AA’ en P, a BB’ en Q y a MN en R, tal que el área de la región determinada en el paralelepípedo es 40 cm2 y la medida del diedro que determina con la base ABCD es 37º. Si GG’=5 cm (G y G’ baricentros de las regiones triangulares ABN y PQR), calcule el volumen del sólido ABN - PQR.

A) 40 cm2

B) 50 cm2

C) 60 cm2

D) 80 cm2

E) 100 cm2

10


24. En el gráfico se muestra un tronco de cilindro circular recto. Si AP+BP=28 cm, el inradio de la región triangular ABP es 4 cm y la medida del ángulo determinado por O’P con la base circular es 45º (O’ es punto medio de CD), cal-cule el volumen del sólido APB - CPD.

A

C

D

O

O'

P

B

A) 400 cm3

B) 450 cm3

C) 500 cm3

D) 600 cm3

E) 640 cm3

25. En el gráfico, O O1 2 es el eje del tronco de ci-lindro. Si el área de la superficie lateral del cilindro de revolución mostrado es igual a 2, calcule el área de la superficie lateral del tron-co de cilindro si su sección recta es circular.

O1O1

O2O2

A) 6B) 8C) 10D) 12E) 4

8

Geometría


9


17. Un tetraedro regular de arista a está inscrito en un cilindro de revolución, de modo que una de sus aristas coincide con una de las generatrices. Calcule el área de la superficie lateral de dicho cilindro.

A) π 24

2

a B) 5 2

42π

a C) 3 2

22π

a

D) 3 24

2π

a E) π 2

22

a

NIVEL AVANZADO

18. Se tiene un prisma triangular oblicuo de bases ABC y A’B’C’, tal que BB’=8 cm y el plano que contiene a AA’ y GG’ es perpendicular a las ba-ses (G y G’ son baricentros de las regiones ABC y A’B’C’, respectivamente). Si la proyección de G’ sobre el plano ABC es un punto de BC y la me-dida del ángulo determinado por la arista lateral con una de las bases es 60º, calcule el área de la sección determinada por el plano en el prisma.

A) 19 3 3cm B) 48 3 3cm C) 54 3 3cmD) 198 3 3cm E) 196 3 3cm

19. En un prisma hexagonal regular ABCDEF - A’B’C’D’E’F’, si AF=AA’=2, calcule el perímetro de la sección plana determinada en el prisma por un plano secante que contenga a B, C y F’.

A) 2 5 1+( ) B) 3 5 1+( ) C) 4 5 1+( )D) 5 5 1+( ) E) 6 5 1+( )

20. Se tiene un tronco de prisma triangular de bases ABC y A’B’C’, en el que AA’, BB’ y CC’ son perpendiculares al plano ABC y m ABC=90º. En AC se ubica el punto medio D. Si BC=6 cm, CC’=1 cm, la distancia del baricentro de la región triangular A’B’C’ al plano ABC es 3 cm y el área de la región triangular A’B’D es 15 cm2, calcule el volumen del sólido ABD - A’B’D.

A) 24 cm3 B) 12 cm3 C) 16 cm3

D) 32 cm3 E) 48 cm3

21. En un prisma triangular regular ABC - DEF, to-das sus aristas son de igual longitud. Luego se traza un plano H que contiene a DF e interseca a BE en su punto medio, por E se traza el plano L perpendicular al plano H y paralelo a CA. Si el volumen del prisma es 54 3 3u , calcule el área de la sección plana determinada por el plano L en dicho sólido.

A) 4 u2 B) 4 2 2u C) 4 3 2u

D) 4 6 2u E) 8 u2

22. En un cilindro circular recto, cuyas bases tie-nen por radio 2 cm y de centros O y O1, se tra-zan dos planos que contienen al diámetro AB de centro O1, además dichos planos contie-nen a los extremos del diámetro CD de la otra base, y la medida del diedro AB es 60º. Calcu-le el volumen del sólido ACB - ADB si el área de la región triangular BCD es 8 cm2.

A) 3 32

B) 4 33

C) 9 32

D) 10 39

E) 16 33

23. Se tiene el paralelepípedo recto ABCD - A’B’C’D’. Se traza los planos que contienen a AA’ y BB’, los cuales contienen al segmento MN (M ∈ C’D’ y N ∈ CD), respectivamente. Luego se traza un plano paralelo a CD intersecando a AA’ en P, a BB’ en Q y a MN en R, tal que el área de la región determinada en el paralelepípedo es 40 cm2 y la medida del diedro que determina con la base ABCD es 37º. Si GG’=5 cm (G y G’ baricentros de las regiones triangulares ABN y PQR), calcule el volumen del sólido ABN - PQR.

A) 40 cm2

B) 50 cm2

C) 60 cm2

D) 80 cm2

E) 100 cm2

10


24. En el gráfico se muestra un tronco de cilindro circular recto. Si AP+BP=28 cm, el inradio de la región triangular ABP es 4 cm y la medida del ángulo determinado por O’P con la base circular es 45º (O’ es punto medio de CD), cal-cule el volumen del sólido APB - CPD.

A

C

D

O

O'

P

B

A) 400 cm3

B) 450 cm3

C) 500 cm3

D) 600 cm3

E) 640 cm3

25. En el gráfico, O O1 2 es el eje del tronco de ci-lindro. Si el área de la superficie lateral del cilindro de revolución mostrado es igual a 2, calcule el área de la superficie lateral del tron-co de cilindro si su sección recta es circular.

O1O1

O2O2

A) 6B) 8C) 10D) 12E) 4

9

Geometría


11


Pirámide y Cono

NIVEL BÁSICO

1. En un cono de revolución, el ángulo entre dos generatrices diametralmente opuestas mide 90º. Si se inscribe en el cono un cilindro equi-látero cuyo eje es perpendicular a la base del cono, calcule la razón de volúmenes para di-chos sólidos.

A) 3/5 B) 5/6 C) 7/12D) 2/9 E) 5/9

2. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo de radio R. Calcule el volumen del cono en función de R.

A) 4pR3 B) 8pR3 C) 12 3 3π R

D) 3 3

4

3π R E) π 3

24

3R

3. Según la figura, calcule el volumen del sólido que genera la región sombreada al girar una vuelta alrededor de L

si BC=4 cm, AD=8 cm

y m ADC=60º.

B

A D

360º

C

L

A) 224 3 3cm

B) 448 3 3cm

C) 224 33

3cm

D) 448 33

3cm

E) 334 3 3cm

4. En el interior de un tetraedro regular, cuya arista es a, se ubica un punto. Calcule la suma de las distancias de dicho punto a las caras del tetraedro.

A) a3

6 B) a2

6 C) a4

6

D) a 6 E) a8

6

5. Las aristas laterales de un tronco de pirámide regular triangular están inclinadas con res-pecto a la base mayor a. Las aristas básicas mayor y menor miden a y b. Calcule el volu-men del tronco de pirámide.

A) (a3+b3)tana

B) (a3 – b3)tana

C) a b3 3

3−( )tanα

D) a b3 3

12−( )tanα

E) ab( )3

3tanα

NIVEL INTERMEDIO

6. Se tiene una pirámide regular cuadrangular O - ABCD. Si las regiones AOC y ABCD son equivalentes y la distancia de C a AO es 4 2, calcule el volumen de dicha pirámide.

A) 20 53

B) 40 103

C) 40 53

D) 50 53

E) 3 105

12


7. En una pirámide A - BCD, las caras ABC, ADC y ABD determinan ángulos diedros de igual medida con la base e iguales a 60º. Calcule el área de la superficie lateral de la pirámide si el área de la base es 40.

A) 50 B) 60 C) 70D) 90 E) 80

8. En una pirámide regular V - ABCD, M y N son puntos medios de VA y VC, respectivamente, el plano que contiene a D, M y N interseca a VB en E, y determina una sección de área 120; MN ∩ ED=L y EL=5. Calcule el volumen de la pirámide.

A) 1748 B) 1673 C) 1872D) 1736 E) 1728

9. En una pirámide triangular regular de arista básica a, la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral y el plano de la base es aº. Calcule el volumen de la pirámide determina-do por un plano perpendicular a la base en el punto medio de dos aristas básicas.

A) a3

128 B) a3

64 C)

a3

32

D) a3

128tanα E) a3

3tanα

10. En una pirámide regular n - angular, la medida del ángulo diedro formado por una cara late-ral y el plano de la base es a. Calcule la razón de áreas de la superficie lateral y de la base de la pirámide.

A) sen – 1a B) cos – 1a C) tanaD) cota E) 1

11. Se tiene una pirámide regular P - ABCD, en la cual por el vértice A se traza un plano perpen-dicular a PC. Calcule el volumen del prisma truncado, cuyas bases son la sección plana determinada y su proyección sobre la base de la pirámide, si PD AC= = 4 3 u.

A) 20 u3 B) 18 u3 C) 12 u3

D) 24 u3 E) 21 u3

12. Calcule el volumen del una pirámide hexa-gonal regular, cuya arista lateral mide a y el diámetro de la circunferencia inscrita en su base es d.

A) d

ad2

22

3 3−

B) d a d2

2 2

63 −

C) d a2

3

D) d a2

3

E) d a d2 2 23 −

13. Calcule el área de la superficie lateral del cono de revolución si MN es la base media del triángulo ABC y MNQP es una región cuadrada cuya área es 36 u2.

B

NM

A C

P Q

A) 36 3 2π u B) 18 2 2π u C) 67 2 2π uD) 18 3 2π u E) 36 2 2π u

14. Si el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es una región cuadrantal del área S, calcule el área de la superficie total.

A) 32

S( ) B) 33

S( ) C) 54

S( )

D) 23

S( ) E) 75

S( )

10

Geometría


11


Pirámide y Cono

NIVEL BÁSICO

1. En un cono de revolución, el ángulo entre dos generatrices diametralmente opuestas mide 90º. Si se inscribe en el cono un cilindro equi-látero cuyo eje es perpendicular a la base del cono, calcule la razón de volúmenes para di-chos sólidos.

A) 3/5 B) 5/6 C) 7/12D) 2/9 E) 5/9

2. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo de radio R. Calcule el volumen del cono en función de R.

A) 4pR3 B) 8pR3 C) 12 3 3π R

D) 3 3

4

3π R E) π 3

24

3R

3. Según la figura, calcule el volumen del sólido que genera la región sombreada al girar una vuelta alrededor de L

si BC=4 cm, AD=8 cm

y m ADC=60º.

B

A D

360º

C

L

A) 224 3 3cm

B) 448 3 3cm

C) 224 33

3cm

D) 448 33

3cm

E) 334 3 3cm

4. En el interior de un tetraedro regular, cuya arista es a, se ubica un punto. Calcule la suma de las distancias de dicho punto a las caras del tetraedro.

A) a3

6 B) a2

6 C) a4

6

D) a 6 E) a8

6

5. Las aristas laterales de un tronco de pirámide regular triangular están inclinadas con res-pecto a la base mayor a. Las aristas básicas mayor y menor miden a y b. Calcule el volu-men del tronco de pirámide.

A) (a3+b3)tana

B) (a3 – b3)tana

C) a b3 3

3−( )tanα

D) a b3 3

12−( )tanα

E) ab( )3

3tanα

NIVEL INTERMEDIO

6. Se tiene una pirámide regular cuadrangular O - ABCD. Si las regiones AOC y ABCD son equivalentes y la distancia de C a AO es 4 2, calcule el volumen de dicha pirámide.

A) 20 53

B) 40 103

C) 40 53

D) 50 53

E) 3 105

12


7. En una pirámide A - BCD, las caras ABC, ADC y ABD determinan ángulos diedros de igual medida con la base e iguales a 60º. Calcule el área de la superficie lateral de la pirámide si el área de la base es 40.

A) 50 B) 60 C) 70D) 90 E) 80

8. En una pirámide regular V - ABCD, M y N son puntos medios de VA y VC, respectivamente, el plano que contiene a D, M y N interseca a VB en E, y determina una sección de área 120; MN ∩ ED=L y EL=5. Calcule el volumen de la pirámide.

A) 1748 B) 1673 C) 1872D) 1736 E) 1728

9. En una pirámide triangular regular de arista básica a, la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral y el plano de la base es aº. Calcule el volumen de la pirámide determina-do por un plano perpendicular a la base en el punto medio de dos aristas básicas.

A) a3

128 B) a3

64 C)

a3

32

D) a3

128tanα E) a3

3tanα

10. En una pirámide regular n - angular, la medida del ángulo diedro formado por una cara late-ral y el plano de la base es a. Calcule la razón de áreas de la superficie lateral y de la base de la pirámide.

A) sen – 1a B) cos – 1a C) tanaD) cota E) 1

11. Se tiene una pirámide regular P - ABCD, en la cual por el vértice A se traza un plano perpen-dicular a PC. Calcule el volumen del prisma truncado, cuyas bases son la sección plana determinada y su proyección sobre la base de la pirámide, si PD AC= = 4 3 u.

A) 20 u3 B) 18 u3 C) 12 u3

D) 24 u3 E) 21 u3

12. Calcule el volumen del una pirámide hexa-gonal regular, cuya arista lateral mide a y el diámetro de la circunferencia inscrita en su base es d.

A) d

ad2

22

3 3−

B) d a d2

2 2

63 −

C) d a2

3

D) d a2

3

E) d a d2 2 23 −

13. Calcule el área de la superficie lateral del cono de revolución si MN es la base media del triángulo ABC y MNQP es una región cuadrada cuya área es 36 u2.

B

NM

A C

P Q

A) 36 3 2π u B) 18 2 2π u C) 67 2 2π uD) 18 3 2π u E) 36 2 2π u

14. Si el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es una región cuadrantal del área S, calcule el área de la superficie total.

A) 32

S( ) B) 33

S( ) C) 54

S( )

D) 23

S( ) E) 75

S( )

11

Geometría


13


15. Se tiene un tronco de cono recto cuyas bases miden 1 m2 y 9 m2. Si un plano paralelo a las bases pasa por el punto medio de su genera-triz, halle la razón de los volúmenes de los só-lidos determinados.

A) 37

B) 79

C) 719

D) 917

E) 717

16. El desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono es un trapecio circular cuyo ángulo central es 60º y su área 6p u2. Halle el volumen del tronco de cono si la suma de las áreas de las bases es 5p u2.

A) 213

π B)

7 33

π C) 7p

D) 14 33π E)

73π

17. Del gráfico se muestran un tronco de cono de revolución y una pirámide regular, además R=2r. Calcule la razón de volúmenes de di-chos sólidos.

RR

rr

A) 2 39

π B)

4 39

π C)

5 39

π

D) 7 39

π E) 39

π

NIVEL AVANZADO

18. Un cono de revolución que tiene como radio de la base 4 m y cono altura 3 m es cortado por un plano paralelo a la base, tal que el área del círculo de la sección sea igual al área late-ral del cono truncado. ¿Cuál es la distancia del vértice a la sección?

A) 2 B) 3 C) 5D) 6 E) 2 3

19. Un recipiente tiene la forma de un cono circu-lar recto, el cual contiene cierto líquido cuya al-tura es la mitad de la altura del recipiente. Lue-go se interviene el recipiente. Calcule la altura que alcanza el líquido si la altura del recipiente es 4. (Posición inicial del recipiente es con su base situada sobre un plano horizontal).

A) 2 7 B) 14 C) 2 73

D) 143 E) 283

20. Del gráfico se muestra la base y el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución. Calcule mAT (A, B y T son puntos de tangencia).

A) 60º

A B

TT

B) 74ºC) 37ºD) 53ºE) 45º

21. Calcule el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular si las áreas de las bases están en la relación de 1 a 4, el área de una cara lateral es A y la distancia del centro de la base mayor a dicha cara lateral es d.

A) 3Ad B) 4Ad C) 132A d

D) 133A d

E) 139A d

14


22. En una pirámide cuadrangular regular, la arista básica mide a y las caras laterales con el plano de la base forman un ángulo diedro que mide a. Por dos aristas básicas opuestas se trazan dos planos perpendiculares entre sí. Determine la longitud del segmento determi-nado por los planos perpendiculares si esta a su vez interseca a la altura de la pirámide.

A) a(1+tana) B) a(1 – tana) C) a(1 – cota)

D) a 12

−

tanα E) a(tana – 2)

23. En una pirámide regular, la suma de las medi-das de los ángulos internos del polígono de su base es 1080º y la arista lateral mide a. Calcule el volumen de la pirámide, además, la arista lateral y el plano de la base forman un ángulo que mide a.

A) 23

2 3 2a cos α αsen

B) 2 3 2a cos α

C) 2 3a senα

D) 2 2 3 2a cos senα α

E) 2 2 23a sen α

24. Calcule la arista de un cubo, inscrito en una pirámide cuadrangular regular, de manera que cuatro de sus vértices estén en las aristas laterales y los cuatro restantes estén en la base, si la arista lateral de la pirámide mide L y su altura mide H.

A) H L H

H L H

2 2

2 22

−

+ −( )

B) H L H

H L H

2

2

2 2

2 2

−( )+ −( )

C) H LH L

+−

D) H L H2 2 2−( )

E) H L H+ −( )2 2 2

25. Se tiene una pirámide cuadrangular V - ABCD, tal que VB es la altura de dicha pirámide. Calcule el volumen de dicha pirámide si se sabe que el área de la región triangular VCD es 4 15 y que la mediana CQ de la cara VCD forma con el plano de la base un ángulo que mide 30º. (ABCD: cuadrado).

A) 16 B) 24 C) 32D) 36 E) 48

12

Geometría


14


22. En una pirámide cuadrangular regular, la arista básica mide a y las caras laterales con el plano de la base forman un ángulo diedro que mide a. Por dos aristas básicas opuestas se trazan dos planos perpendiculares entre sí. Determine la longitud del segmento determi-nado por los planos perpendiculares si esta a su vez interseca a la altura de la pirámide.

A) a(1+tana) B) a(1 – tana) C) a(1 – cota)

D) a 12

−

tanα E) a(tana – 2)

23. En una pirámide regular, la suma de las medi-das de los ángulos internos del polígono de su base es 1080º y la arista lateral mide a. Calcule el volumen de la pirámide, además, la arista lateral y el plano de la base forman un ángulo que mide a.

A) 23

2 3 2a cos α αsen

B) 2 3 2a cos α

C) 2 3a senα

D) 2 2 3 2a cos senα α

E) 2 2 23a sen α

24. Calcule la arista de un cubo, inscrito en una pirámide cuadrangular regular, de manera que cuatro de sus vértices estén en las aristas laterales y los cuatro restantes estén en la base, si la arista lateral de la pirámide mide L y su altura mide H.

A) H L H

H L H

2 2

2 22

−

+ −( )

B) H L H

H L H

2

2

2 2

2 2

−( )+ −( )

C) H LH L

+−

D) H L H2 2 2−( )

E) H L H+ −( )2 2 2

25. Se tiene una pirámide cuadrangular V - ABCD, tal que VB es la altura de dicha pirámide. Calcule el volumen de dicha pirámide si se sabe que el área de la región triangular VCD es 4 15 y que la mediana CQ de la cara VCD forma con el plano de la base un ángulo que mide 30º. (ABCD: cuadrado).

A) 16 B) 24 C) 32D) 36 E) 48

13

Geometría


15


Esfera

NIVEL BÁSICO

1. Halle el volumen de la esfera inscrita en un cono de revolución cuya generatriz mide 4 2 2+ , tal que el diámetro de su base es el doble de su altura.

A) 2p B) 325π

C) 43π

D) 323π E)

643

π

2. En una semiesfera se inscribe un hexaedro regular. Calcule la razón de volúmenes para dichos sólidos.

A) 6π

B) 67π

C) 62π

D) 6

6π E)

27π

3. En una esfera, el área del círculo máximo es S. Halle el área total de dos semiesferas que resultan al partir a la esfera.

A) 4S B) 5S C) 6SD) 8S E) 9S

4. Según el gráfico, el área de la superficie lateral del cono es 20p y el área de la superficie esfé-rica es 100p. Calcule el área de la superficie lateral del cilindro recto.

A) 24p B) 32p C) 48pD) 64p E) 50p

5. En el gráfico adjunto, el área de la región triangular ABC es 30 m2, AP=4 m, BQ=8 m y CR=6 m. Halle el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar alrededor del eje.

A

P Q R eje

B

C

A) 60p B) 120p C) 240pD) 300p E) 360p

NIVEL INTERMEDIO

6. Indique verdadero (V) o falso (F) según co-rresponda.

I. La intersección de un plano y una superficie esférica siempre es un conjunto convexo.

II. Un tetraedro siempre es inscriptible a una superficie esférica.

III. La intersección de una recta secante y la su-perficie esférica es un segmento de recta.

A) VFVB) FVVC) FVFD) FFVE) VFF

7. En un cono circular recto se ha inscrito una esfera; el área de la superficie esférica es al área de la base del cono como 4 es a 3. Calcule la medida del ángulo determinado por dos generatrices diametralmente opuestas.

A) 15º B) 38º C) 45ºD) 60º E) 75º

16


8. Halle el volumen que genera la superficie sombreada al girar sobre el eje mostrado.

(T es punto de tangencia)

RR T

360º

A) 74

2 2π R B)

74

3πR C)

72

2 3π R

D) 74

2 3π R E) 78

2 3π R

9. Del gráfico, M, N y T son puntos de tangencia y R=3r. Calcule la razón de áreas de las superficies generadas por EM NH y al girar 360º con respecto a EH

.

M

NR

E T Hr

A) 3 B) 6 C) 9D) 18 E) 27

10. Calcule el volumen generado al girar la región triangular equilátera en torno al eje L , cuyo lado mide 4 m y q=15º.

θ

L

A) 8 2 3π m B) 9 2 3π m C) 12 2 3π mD) 16 2 3π m E) 18 2 3π m

11. Halle el área de la superficie de una esfera ins-crita en un octaedro regular, que a su vez está inscrito en una superficie esférica de 45 cm2 de área.

A) 60 cm2 B) 135 cm2 C) 30 cm2

D) 15 cm2 E) 22,5 cm2

12. Se tiene una esfera de 2 m de radio. En ella se inscribe un cono de revolución, tal que su área lateral es igual a la mitad del área de la zona esférica que lo rodea. ¿Cuál es la longitud de la altura del cono?

A) 2 3 B) 2 2 C) 3D) 2 E) 6

13. Según el gráfico, calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de CD. (T es punto de tangencia).

A O D

B CT

RR

A) 5 33

2R B) 5 35

3πR C)

5 36

3πR

D) 10 33

3πR E)

36

3πR

14. Según el gráfico, G es el centroide de la región sombreada. Calcule GH.

HR

GG

A) R

π −( )1 B)

Rπ − 2

C) 3

2 2R

π −( )

D) 2

3 2R

π −( ) E) R

3 2π −( )

14

Geometría


16


8. Halle el volumen que genera la superficie sombreada al girar sobre el eje mostrado.

(T es punto de tangencia)

RR T

360º

A) 74

2 2π R B)

74

3πR C)

72

2 3π R

D) 74

2 3π R E) 78

2 3π R

9. Del gráfico, M, N y T son puntos de tangencia y R=3r. Calcule la razón de áreas de las superficies generadas por EM NH y al girar 360º con respecto a EH

.

M

NR

E T Hr

A) 3 B) 6 C) 9D) 18 E) 27

10. Calcule el volumen generado al girar la región triangular equilátera en torno al eje L , cuyo lado mide 4 m y q=15º.

θ

L

A) 8 2 3π m B) 9 2 3π m C) 12 2 3π mD) 16 2 3π m E) 18 2 3π m

11. Halle el área de la superficie de una esfera ins-crita en un octaedro regular, que a su vez está inscrito en una superficie esférica de 45 cm2 de área.

A) 60 cm2 B) 135 cm2 C) 30 cm2

D) 15 cm2 E) 22,5 cm2

12. Se tiene una esfera de 2 m de radio. En ella se inscribe un cono de revolución, tal que su área lateral es igual a la mitad del área de la zona esférica que lo rodea. ¿Cuál es la longitud de la altura del cono?

A) 2 3 B) 2 2 C) 3D) 2 E) 6

13. Según el gráfico, calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de CD. (T es punto de tangencia).

A O D

B CT

RR

A) 5 33

2R B) 5 35

3πR C)

5 36

3πR

D) 10 33

3πR E)

36

3πR

14. Según el gráfico, G es el centroide de la región sombreada. Calcule GH.

HR

GG

A) R

π −( )1 B)

Rπ − 2

C) 3

2 2R

π −( )

D) 2

3 2R

π −( ) E) R

3 2π −( )

15

Geometría


17


15. Según el gráfico, OM=MA=4 u. Calcule el vo-lumen del sólido generado al girar la región sombreada 360º alrededor de OB.

O B

M

A

A) 125p u3 B) 129p u3 C) 127p u3

D) 126p u3 E) 124p u3

16. Del gráfico, calcule el área del menor casque-te esférico si O es el circuncentro del triángulo equilátero ABC, r = 7 y la distancia de O1 ha-cia AC es 1/2.

B

OOCC

AA

O1O1rr

A) 3 2 2−( )π B) 3 2−( )π C) 2 3 2−( )πD) 3 3 2−( )π E) 6 3 2−( )π

17. Según el gráfico, PB=6 y AC=8. Calcule el área de la superficie lateral del cono inscrito en la semiesfera.

AA

B

C

P

A) p B) 2p C) 3pD) 4p E) 6p

NIVEL AVANZADO

18. Calcule el volumen de un tetraedro regular si el radio de la esfera exinscrita es igual a 6 m.

A) 9 2 3m B) 12 2 3m C) 16 2 3mD) 18 2 3m E) 36 2 3m

19. En una esfera, un huso esférico es equivalente a un casquete esférico cuya altura es la terce-ra parte del radio de la esfera. Calcule el volu-men de la respectiva cuña esférica si el radio de la esfera inscrita en dicha cuña mide 1 cm.

A) 2p cm3 B) 3p cm3 C) 4p cm3

D) 6p cm3 E) 9p cm3

20. En una esfera se trazan dos cuerdas AB y CD perpendiculares en P, tal que (AP)2+(PB)2+(PC)2+(PD)2=36, el área de la superficie esférica concéntrica a dicha esfera y tangente al plano determinado por dichas cuerdas es 64p. Calcule el área de la superfi-cie esférica correspondiente a la esfera men-cionada.

A) 125p B) 100p C) 68pD) 180p E) 128p

21. Se tiene una semiesfera inscrita a un cono de

revolución, cuyo círculo máximo está conteni-

do en la base del cono, la sección plana que es

paralela a la base del cono y tangente a la se-

miesfera se toma como base de un cono que

tiene como vértice el centro de la semiesfera,

que además es semejante al cono original.

Calcule el radio de la semiesfera si el volumen

del cono original mide 64 33

π.

A) 2 B) 3 C) 2 2D) 6 E) 2 3

18


22. Se tiene un tetraedro regular de arista a y una esfera tangente a todas las aristas del tetrae-dro. Calcule el radio de la esfera.

A) a 24

B) a 22

C) a 23

D) a 25

E) a 26

23. Si G es el centro de gravedad de un sector cir-cular cuyo centro de su círculo es O, y su radio mide 6 m y el ángulo del sector mide 60º, halle OG.

A) 3π

B) 6π

C) 9π

D) 12π

E) 15π

24. Según el gráfico, ABCD es un romboide, BC=10, CR=4 y G es el centroide de la región sombreada. Calcule GP.

A O P D

CRB

GG

A) 14037π

B) 18037π

C) 16053π

D) 24037π

E) 24053π

25. Se tiene un bloque cúbico de mármol de aris-ta a. Si dicho bloque se pule hasta obtener una máxima esfera y luego dicha esfera se pule hasta obtener un máximo bloque cúbico, calcule el volumen de material desperdiciado para obtener este último bloque cúbico.

A) a3 9 3

9−( )

B) a3 9 327−( )

C) a3 9 324−( )

D) a3 9 3

54−( )

E) a3 9 3

3−( )

16

Geometría


18


22. Se tiene un tetraedro regular de arista a y una esfera tangente a todas las aristas del tetrae-dro. Calcule el radio de la esfera.

A) a 24

B) a 22

C) a 23

D) a 25

E) a 26

23. Si G es el centro de gravedad de un sector cir-cular cuyo centro de su círculo es O, y su radio mide 6 m y el ángulo del sector mide 60º, halle OG.

A) 3π

B) 6π

C) 9π

D) 12π

E) 15π

24. Según el gráfico, ABCD es un romboide, BC=10, CR=4 y G es el centroide de la región sombreada. Calcule GP.

A O P D

CRB

GG

A) 14037π

B) 18037π

C) 16053π

D) 24037π

E) 24053π

25. Se tiene un bloque cúbico de mármol de aris-ta a. Si dicho bloque se pule hasta obtener una máxima esfera y luego dicha esfera se pule hasta obtener un máximo bloque cúbico, calcule el volumen de material desperdiciado para obtener este último bloque cúbico.

A) a3 9 3

9−( )

B) a3 9 327−( )

C) a3 9 324−( )

D) a3 9 3

54−( )

E) a3 9 3

3−( )

17

Geometría


Geometría del espacio iii

01 - D02 - B03 - A04 - B05 - C

06 - C07 - E08 - D09 - C10 - E

11 - B12 - C13 - C14 - B15 - D

16 - A17 - B18 - B19 - C20 - B

21 - D22 - E23 - D24 - A25 - D

prisma y cilindro

01 - E02 - A03 - D04 - B05 - B

06 - C07 - C08 - C09 - A10 - D

11 - E12 - C13 - E14 - A15 - C

16 - B17 - D18 - B19 - C20 - A

21 - C22 - E23 - D24 - E25 - E

pirámide y cono

01 - D02 - E03 - D04 - A05 - D

06 - B07 - E08 - E09 - D10 - B

11 - E12 - B13 - E14 - C15 - C

16 - B17 - D18 - C19 - C20 - D

21 - E22 - C23 - A24 - B25 - C

esfera

01 - D02 - D03 - C04 - D05 - E

06 - C07 - D08 - D09 - E10 - D

11 - D12 - C13 - C14 - D15 - B

16 - E17 - D18 - D19 - D20 - B

21 - E22 - A23 - D24 - E25 - A

Semestral Intensivo

sin_2015_g_03

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