SimulaciónAndrés Adolfo Navarro Newball

Simulación autónoma realista requiere modelos matemáticos exactos

MetaCombinar.

Matemáticas Física Ingeniería Análisis numérico

Para modelar el comportamiento de objetos que interactúan

Considerar interacciones internas y externas

Modelado basado en físicaModelado que incorpora

características físicas en el modelado de objetos permitiendo la simulación numérica de su comportamiento

Ronen Barzel

AplicacionesPartículas

Fuegos pirotécnicos Cascadas Fuego

Sistemas de cuerpo rígido Bolos Articulaciones humanas

Objetos deformables Piel Ropa

Proceso de modeladoCiclo de simulación:

Inicializar objetost = 0

Calcular fuerzasdifícil

Integrar para

obtener velocidadIntegrar

para obtener posiciónMover

objetos, increment

ar t

∆t, una iteraciónDiscretiza el tiempo

Introducción a la dinámicaMatemáticas del movimientoConsidere un a fuerza F aplicada

a una partícula de masa mSe produce una aceleración a tal

que

F = ma (Newton)

Cuando la aceleración es constante, la velocidad v de la partícula con velocidad inicial u después de un tiempo t es:atuv

Si s es la distancia que se mueve el objeto, entonces

También

25.0 atuts

asuv 222

Ecuaciones vectorialesSea una partícula en el punto

x = (x1, x2, x3) con velocidad v = (v1, v2, v3)

y aceleración a = (a1, a2, a3)La posición de la partícula

después de un tiempo t está dada por:

Y la velocidad por

20 5.0 atvtxxt

atvvt 0

Integración numéricaUtilizada con el fin de obtener la

nueva posiciónSi la aceleración no es constante,

se requiere integrar la velocidad

Método de EulerDado un breve intervalo de

tiempo dt, la posición de una partícula está dada por:

dtvvxx

adtvx

O

adtvdtxx

dttttdtt

tdtt

tdtt

)(5.0

5.0 2

Si dt es muy pequeño

Esta ecuación es mejor para programar

dtvxx dtttdtt

La aceleración de una partícula se obtiene de F=ma

Encuentre la fuerza que se aplica a la partícula y divídala por la masa

Si múltiples fuerzas actúan en la partícula, adiciónelas para obtener una única fuerza

ProblemasDe integración de Euler

◦Requiere valores de dt muy pequeños

◦Es inexacto◦Puede acumular energía

AlternativasExisten varias

◦Runge-Kutta◦Lagrange◦Libros de análisis numérico

Colisión de partículasUna partícula viaja hacia un

planoNecesita encontrar el tiempo

exacto y la posición de la colisiónProblema:

◦La colisión puede ocurrir en el medio de in intervalo de tiempo

Tiempo: t Tiempo: t + dt

Solución 1 El tiempo en que ocurre la

colisión dentro de algún margen (threshold)

Reducir localmente el tamaño del intervalo hasta que la partícula esta a una distancia (threshold) del plano

Siempre funciona si se aplica recursivamente

Puede ser lenta

Tiempo: t Tiempo: t + dtTiempo: t + dt/2

Solución 2Si la aceleración es constanteCalcula el tiempo exacto del

impacto Aquí, la partícula esta a un distancia del

plano que es igual a su radio

Si s es el tiempo para colisión. La colisión ocurre en t+s

Aplicamos la ecuación a la altura de la partícula

20 5.0 atvtxxt

25.0 gssvzz zttst

S el plano está a una altura 0, entonces en la colisión

25.0 gssvzr ztt

g

rzgvvs ztzt )(22

Reacción de la partículaAsumiendo superficies perfectasNo fricciónCoeficiente de elasticidad 1El ángulo de incidencia de la

partícula es el mismo que el ángulo de reflexión

Asuma que: N: normal en el punto de colisión Vi: velocidad de impacto Vr: velocidad después de impacto

ViN

Vr

Suponga que el impacto ocurre en t+s

t< t+s < t+dtPrimero, calcular el movimiento

de la partícula hasta el punto de colisión y calcular la velocidad en t+s y el punto de colisión

st

tsti

x

asvvv

)(2 NvNvv iir

El nuevo valor de la velocidad de la partícula se utiliza para encontrar su posición final después de dt

Cuidado al calcular la distancia de la partícula al plano

25.0 sgdtsdtvxx ststdtt

O reversar la componente de velocidad adecuada

Vi (Vx,-Vy,Vz)N

Vr (Vx, -Vy)

Casos especiales

Colisión de dos partículasDos o más partículas se mueven

en la misma regiónSe necesita encontrar si algún

par de esferas colisionan en dt

Solución Considerar un par de partículasCalcular la velocidad para cada partícula

Partícula 1:◦Posición x1, calcular velocidad u1

Partícula 2:◦Posición x2, calcular velocidad u2

Se calcula si las partículas colisionan en el intervalo dt

Situaciones posibles

No

Si

?

Colisión de dos partículasAsumir que las partículas no

están colisionando inicialmenteCalcular la velocidad relativa (u)

de la partícula 1, respecto a la partícula 2

1 2

u1u2

1 2

u1-u2

u

Utilizando el intervalo dt calcular la ruta de la partícula 1 relativa a la partícula 2

Encuentre la distancia mas corta de la partícula 2 a esta distancia.

Si es menos que la suma del radio de la partícula 1 mas el de la partícula 2, entonces hay una colisión.

Indica si hay colisión, no cuando

12

1

d < r1+r2?

dt

Velocidad después de colisiónConservación del momentoCoeficiente de restitución

(elasticidad) e.Si e=1 perfectamente elástica.

No hay pérdida de energíaSi e=0 colisión plástica o

inelástica. Las partículas se pegan

Impacto central

m1u

1

m2u

2Antes de impacto

m1v1 m2v2 Después de impacto

Coeficiente de restitución

)(

)(

12

12

uu

vve

Conservación del momento

22112211 vmvmumum

Impacto oblicuo

x

y

v1 v2

u1u2

a1

a2

b1

b2

larprependicuMomento

vmum

vmum

impactolineadElasticidauu

vve

impactodelineaMomentovmvmumum

larPerpendicuvu

impactodelineaVelocidadvu

Angulosbbaa

yy

yy

xx

xx

xxxx

iyiy

ixix

_

__,)(

)(

___,

,,

___,,

,,,,

2222

1111

12

12

22112211

2121