simposio 29 olimpíada iberoamericana de matemáticas
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Simposio 29 Olimpíada Iberoamericana de Matemáticas
Breve acercamiento a una metodología para abordar problemas
geométricos de tipo olímpico.
Profesor: Enech García Martínez Universidad de Ciencias Pedagógicas La Habana, Cuba e-mail: [email protected]
Resumen:
En este trabajo se realiza un recorrido por diferentes aristas de la resolución de
problemas, analizando varias técnicas y estrategias aplicables a todo tipo de
problemas, pero centrándonos, sobre todo en una parte de la metodología para
abordar problemas geométricos de corte olímpico.
Introducción
Las Olimpiadas de matemáticas, especialmente aquellas dirigidas a los
alumnos de la enseñanza media llegan a mas de 100 países en el mundo
debido al gran efecto que produce en la popularización de la matemática y
como forma de detectar a los jóvenes con talento para el estudio de esta
ciencia. Este trabajo está dirigido fundamentalmente a los profesores que
deseen entrenar estudiantes para participar en estas competiciones.
Existen métodos heurísticos, estrategias y técnicas que los que se dedican a
resolver problemas usan una y otra vez, pero no son recetas, sino
orientaciones que pueden ayudar a obtener una solución.
Hoy en día nadie duda de la importancia de la resolución de problemas en la
formación de nuestros alumnos, en particular, la función desarrolladora
encaminada a fomentar en ellos el pensamiento científico y teórico dotándolos
de métodos efectivos de actividad intelectual, por tal motivo es de suma
importancia incluir en la formación matemática de un docente la preparación y
adiestramiento que lo capacite para enfrentar el trabajo metodológico en el
tratamiento de problemas, de manera que logre desarrollar en sus alumnos
capacidades y habilidades para formular y solucionar los mismos.
En nuestros países del área algunos estudiantes exolímpicos y egresados de
nuestras universidades se han insertado al trabajo de formación de las nuevas
generaciones lo cual representa una valiosa contribución al desarrollo de
nuestros países en este campo, sin embargo, a pesar de la fuerza en el manejo
de las matemáticas carecen de la metodología para saber “cómo enseñar lo
que se quiere”. No solo es exponer un tema, explicar algunos ejemplos y
proponer problemas de corte olímpico, hay que saber cómo enseñar un modo
de actuación consecuente.
Nuestros docentes deben manejar a su antojo los elementos heurísticos que
están presentes en la resolución de problemas, entiéndase, los procedimientos
y los medios auxiliares heurísticos. Es muy útil conocer los procedimientos
heurísticos como apoyo a las actividades mentales, es decir, los principios,
reglas y estrategias que nos deben acompañar en el proceso de la resolución.
Todos estamos obligados a tener siempre en cuenta que para convertirnos en
solucionadores de problemas la única manera que se aprende a resolverlos es
¡resolviendo problemas!, es por ello que debemos aprovechar lo que de
creativo tiene toda persona al nacer, esta habilidad puede desarrollarse
cuando practicamos y hacemos un entrenamiento adecuado.
Cuando nos enfrentamos a un problema difícil, según mi colega y amigo
venezolano Dr Heber Nieto en muchas ocasiones no llegamos a divisar nada
en la primera oportunidad, se recomienda descansar por un período más bien
largo y luego recomenzar la tarea, tal vez, por un tiempo continuamos sin
encontrar una dirección adecuada, pero de repente, y sin darnos cuenta
encontramos el camino correcto.
En este proceso de resolución de problemas no nos podemos olvidar de la
metodología propuesta por George Pólya (1887-1985) publicada en su clásico
“Cómo resolverlo” cuando nos propone cuatro etapas para resolver problemas,
a cada una de ellas le asocia una serie de preguntas y sugerencias, que
cuando son aplicadas adecuadamente nos ayudan a resolver el problema.
Etapa 1-Comprensión del problema
1.1 ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?. ¿Cuál es la condición?
1.2 ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita?.¿Es insuficiente?
.¿Redundante?.¿Contradictoria?.
Etapa 2-Concepción de un plan.
2.1.¿Se ha encontrado un problema semejante?¿Ha visto el mismo problema
planteado con algo diferente?
2.2 ¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Conoce alguna herramienta
que puede ser útil?. Observe atentamente la incógnita y trate de recordar un
problema algo similar.
2.3 Si conoce un problema similar ¿podría utilizarlo?.¿Podría emplear su
resultado?¿Podría emplear su método?
2.4 ¿Podría enunciar el problema en otra forma?
2.5 Si no puede resolver el problema trate de resolver algún otro similar.
¿Podría imaginarse un problema algo similar pero más accesible?. ¿Podría
imaginarse un problema más general?.¿Puede resolver una parte del
problema? Considere una parte del problema y analice en qué forma puede
variar la incógnita .¿Puede cambiar la incógnita para acercarse un poco a la
solución?
2.6¿Ha empleado todos los datos?.¿Ha considerado todas las nociones
esenciales que tienen que ver con el problema?
Etapa 3- Ejecución del plan
3.1Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos.
3.2¿Puede ver claramente que el paso es correcto?.¿Puede demostrarlo?
Etapa 4- Visión retrospectiva
4.1¿Puede verificar el resultado?. ¿Puede verificar el razonamiento?
4.2 ¿Puede obtener el resultado en forma diferente?. ¿Puede verlo de
golpe?.¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?
Es imposible resolver un problema si no hemos comprendido el enunciado, sin
embargo, en nuestras aulas, diariamente vemos a muchos estudiantes que
comienzan a realizar operaciones y demás sin reflexionar sobre lo que se le
pide.
La segunda etapa tiene que ver con la estrategia, donde se concibe de manera
general un plan para atacar el problema, pero aun no se entra en precisiones
técnicas. Las preguntas que Pólya indica para esta etapa tratan de traducir el
problema a un lenguaje conocido, es decir, se quiere que el ataque al problema
se produzca en una zona conocida por el que está enfrentando el problema.
Estas sugerencias de Pólya son muy eficaces en la resolución de los
problemas que se plantean en nuestras clases según nuestros programas
curriculares, pero se quedan un poco por debajo de lo que exige un problema
olímpico con ideas no conocidas. Es en esta etapa donde se debe tener en
cuenta que no solo bastan los conocimientos, sino también la imaginación y por
supuesto la creatividad de cada cual.
La tercera etapa correspondería a la táctica, acá se ponen de manifiesto todos
los recursos que tengamos a manos para poder poner en práctica nuestra
estrategia, el éxito de esta etapa dependerá en gran medida si fuimos capaces
de establecer un eficaz plan, unido a los conocimientos y por supuesto al
entrenamiento que tengamos. Es en ella donde se producen los
estancamientos, es donde nos damos cuenta si resulta nuestro plan o no, en
caso de que algo no esté bien estaríamos obligados a retomar nuestro plan
para tratar de enmendarlo, modificarlo tantas veces fuesen necesarias para
conseguir nuestro objetivo.
La cuarta etapa, en la inmensa mayoría de los casos, es eliminada del proceso
de resolución del problema, sin embargo, Pólya critica mucho esta omisión, no
solo por el hecho de que comprobar lo realizado puede conducirnos a
percatarnos de errores en el trabajo, sino también que este análisis nos puede
llevar a nuevos resultados que pudieran generalizar o hacer más firme el
resultado que acabamos de alcanzar.
Desde hace mas de 50 años una gran parte de los matemáticos utilizan la
metodología de Polya pues se dan cuentan que en los métodos utilizados por
ellos están presentes, de una forma u otra sus estrategias heurísticas. Sin
embargo, se debe señalar, que cuando no se tiene experiencia, no resultan tan
cómodas aplicarlas, para muchos, estas estrategias son más descriptivas que
prescriptivas. Precisamente uno de los investigadores actuales que más se ha
ocupado de este problema ha sido Alan Schoenfeld, para este investigador es
muy importante la presencia de cuatro factores:
1-Recursos cognitivos
Se refieren a los conocimientos matemáticos generales, como conceptos,
resultados y algoritmos.
2-Heurística
Se refiere a las estrategias y técnicas que conocemos y sepamos aplicarlas.
3-Control y metacognición
Es la capacidad de utilizar lo que sabemos para cumplir un determinado
objetivo
4-Creencias
Se refiere a lo que se cree y lo que se opina sobre la resolución de problemas.
El primer factor es indiscutible pero no importa la cantidad de conocimientos
que se posea para ser un buen solucionador de problemas, es sumamente
necesario apoyarnos en algunas técnicas y estrategias que nos ayuden a
atacar el problema.
Pero cuando se tratan estos tipos de problemas que están llenos de caminos
no conocidos necesitamos mucho más que conocimientos y estrategias,
necesitamos algo que nos guíe a utilizar estos recursos, que nos indique en
determinados momentos que es lo más aconsejable, o si en un momento
determinado debemos abandonar un camino o por el contrario insistir más en
ese y no abandonarlo por muy descabellado que parezca, esto es lo que
llamamos control. Muchos alumnos y docentes que no tienen mucha
experiencia en la resolución de este tipo de problemas quieren avanzar muy
rápido en la primera dirección tomada, tienen deseos de llegar a un resultado,
pero se apresuran y luego comienzan a dar vueltas y caen varias veces en el
mismo error.
El último factor citado por este investigador también es importante, sobre todo
entre los estudiantes de la enseñanza media, este tipo de estudiante le da
mucha importancia a llegar a un resultado pero no se detiene en el
procedimiento, para ellos, todos los problemas tienen una forma
predeterminada de hacerlo, estas y otras creencias frenan el desempeño de
aquellos que realmente están interesados en resolver un problema, que sienten
placer al hacerlo.
Schoenfeld, al igual que Pólya, diseñó una serie de estrategias:
1-Análisis
1.1-Dibuje un diagrama siempre que sea posible.
1.2-Examine casos especiales
1.2.1 Seleccione algunos valores especiales para comenzar a comprender el
problema y familiarizarse con él.
1.2.2 Examine casos extremos para acotar las posibilidades.
1.2.3 Si hay un parámetro natural tratar de analizar para los primeros valores
consecutivos y observar si se llega a una invariante.
1.3 Trate de simplificar el problema.
1.3.1 Observando si hay simetría
1.3.2 Usando argumentos tales como “sin pérdida de generalidad”
2. Exploración
2.1 Considere problemas equivalentes.
2.1.1 Cambiando condiciones por otras equivalentes.
2.1.2 Relacionando de manera diferente los elementos del problema.
2.1.3 Introduciendo elementos auxiliares
2.1.4 Reformulando el problema
2.1.4.1 Cambiando la perspectiva o notación
2.1.4.2 Mediante argumento por contradicción.
2.1.4.3 Asumiendo que ya está resuelto el problema y determinando sus
propiedades.
2.2 Considere un problema ligeramente modificado.
2.2.1 Proponerse resolver una parte del problema tratando de satisfacer
parcialmente las condiciones dadas.
2.2.2 Deje al lado una de las condiciones y luego trate de insertarla
nuevamente.
2.2.3 Descomponga el dominio del problema y trabaje por caso.
2.3 Considere problemas modificados
2.3.1 Construya problemas análogos pero con menos variables.
2.3.2 Deje todas las variables fijas excepto una para ver su impacto.
2.3.3 Trate de aprovechar cualquier problema relacionado que tenga forma,
datos o conclusiones semejantes.
3. Verificación de la solución
3.1 ¿Pasa su solución estas pruebas específicas?
3.1.1 ¿Usa todos los datos pertinentes?
3.1.2 ¿Está de acuerdo con estimaciones o predicciones razonables?
3.1.3 ¿Soporta pruebas de simetría, análisis dimensional y escala?
3.2 ¿Pasa estas pruebas generales?
3.2.1 ¿Puede ser obtenida de manera diferente?
3.2.2 ¿Puede ser sustanciada por casos especiales?
3.2.3 ¿Puede ser reducida a resultados conocidos?
3.2.4 ¿Puede ser utilizada para generar un resultado conocido?.
Veamos un ejemplo:
Los lados del ABC miden AB=26 cm,
BC=17 cm y CA=19 cm. Las bisectrices de
los ángulos de vértices B y C se cortan en el
punto I. Por I se traza una paralela a BC que
corta a los lados AB y BC en los puntos M y
N respectivamente. Calcule el perímetro del
AMN.
S/ La primera de las estrategias de Schoenfeld es hacer un diagrama siempre
que sea posible, esto es recomendado para todo tipo de problema, pero si el
problema es de carácter geométrico sobran las palabras. La inmensa mayoría
de los problemas con carácter geométrico que se proponen en la enseñanza
media vienen acompañados de una figura, sin embargo, los problemas de corte
olímpico nunca la llevan, hacerla, es la primera tarea que tenemos por delante.
Es cierto que la figura ilustra pero no demuestra, pero una buena figura ayuda
sobremanera a comprender un problema, es un estímulo para nuestra
imaginación y en muchos casos nos marca pauta para elaborar un plan de
solución.
Hay varias maneras de atacar este problema, aquellos que gustan del algebra
y no le tienen miedo a las soluciones con cálculos complicados podrían hallar el
área del ABC ( tienen las longitudes de los tres lados), dividir este resultado
entre el semiperímetro obteniendo el radio de la circunferencia inscrita y por
proporcionalidad hallar las longitudes de AM, MN y AN.
Ahora bien, si observamos atentamente la figura y tratamos de encontrar
alguna relación importante, sobre todo, si hemos hecho una buena figura, nos
daremos cuenta que los triángulos BMI y CNI parecen isósceles, si esto fuera
cierto casi tendríamos resuelto el problema ya que de:
MI=MB y IN=NC se obtiene:
AM+MN+AN=AM+MI+IN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=26 + 19=45
¿podremos probar que los triángulos BMI y CNI son isósceles?
Veamos el BMI:
Sabemos que MN es paralela a BC entonces MIB=IBC, pero BI es bisectriz
de ABC por tanto MBI=IBC y con esto hemos completado la
demostración. Para el CNI se razona de manera análoga.
Análisis retrospectivo:
Si analizamos los datos del problema vemos que hay uno de ellos que no fue
utilizado: la longitud del lado BC. Esto quiere decir que para cualquier triángulo
con AB=26 cm y CA=19 cm la solución es la misma 26 + 19 = 45.
También es fácil ver que si variamos AB y CA la respuesta siempre será AB +
CA. Esto quiere decir que los valores 26 y 19 no tienen nada especial y mucho
menos BC = 17. Estos datos, más bien no dejan visualizar claramente la
solución y han hecho que nuestra atención se dirija a cosas menos
importantes. Estos elementos distractores lo que hacen es aumentar la
dificultad del problema.
Supongamos que el enunciado del problema hubiese sido:
En un ABC las bisectrices de los ángulos de vértices B y C se cortan en el
punto I. Por I se traza una paralela a BC que corta a los lados AB y BC en los
puntos M y N respectivamente. Calcule el perímetro del AMN en función de
los lados AB y AC.
Este problema enunciado de esta manera es más general, pero probablemente
menos complejo que el original, ya que toda nuestra atención se concentrará
directamente hacia los lados AB y AC. Esto es una de las recomendaciones de
Pólya “considere un problema más general”, claro, un problema general
debería ser más difícil, sin embargo, al eliminar aspectos innecesarios
podemos visualizar el camino con mayor claridad.
De manera general, no es tan fácil darse cuenta de algún elemento del
problema que nos estorba, a veces, detectarlo, es más difícil que el problema
mismo. En algunos casos podemos desconfiar de algún dato, por parecer muy
particular, pero ¡cuidado!, pues hay propiedades que dependen de elementos
muy particulares de los datos, aunque esto más bien en problemas de
aritmética.
A continuación veamos algunas técnicas en la resolución
de problemas:
Invertir el problema:
Una de las técnicas que utilizamos en los entrenamientos es la de invertir el
problema. Cada problema tiene uno contrario, cuando los ponemos frente a
frente obviamente genera en el solucionador del problema algo favorable para
crear.
Veamos un ejemplo: Se quiere diseñar un uniforme cómodo para los
estudiantes de preuniversitario. El problema inverso sería realizar un diseño
incómodo. El análisis de esta situación nos va a permitir, en gran medida,
descubrir los elementos que producen incomodidad y al eliminarlos entonces
se contribuye a la solución del problema original.
En matemática, este tipo de pensamiento está presente en las demostraciones
“por reducción al absurdo”, en las cuales partimos precisamente de lo contrario
a demostrar para tratar de arribar a una contradicción.
Pensamiento lateral:
Esta es una de las más utilizadas en las olimpíadas internacionales.
Consiste en dejar a un lado las vías que usualmente se utilizan y explorar
caminos inusuales aunque parezcan absurdos, tratar de hacer lo que nadie a
hecho.
Muchos problemas difíciles se resuelven de manera insospechada por vías que
supuestamente no tienen nada que ver con la situación original.
Imitación:
Muchos de nuestros mejores exolímpicos comenzaron imitando a sus primeros
profesores, la imitación ayuda, pues imitando muchas veces consolidamos
alguna técnica determinada y esto puede permitir ser original en la resolución
de un nuevo problema. Si queremos resolver problemas no podemos descuidar
la observación e imitación de las técnicas empleadas por estudiantes y
colegas.
Detrás de las alturas de un triángulo
El segmento trazado desde un vértice y perpendicular a la recta que contiene al
lado opuesto se le llama altura de un triángulo.
En muchos cursos de geometría generalmente hablamos de la concurrencia de
estos tres segmentos o de sus prolongaciones, pero pocas veces nos
detenemos a demostrarles a nuestros estudiantes esta afirmación.
¿Por qué podemos afirmar que las tres alturas son concurrentes?
Veamos una forma de hacerlo una vez que hayamos demostrado a nuestros
estudiantes la concurrencia de las mediatrices.
El primer obstáculo que debemos vencer sería:
¿Cómo apoyarnos en lo que sabemos sobre mediatrices para caer en la
concurrencia de las alturas?.
Es acá donde intervienen elementos de estrategias y creatividad.
Las alturas ya nos proporcionan
la perpendicular, restaría
relacionar este segmento con la
partición de otro en partes
iguales, que por supuesto no
serían los lados del ABC. Para
mantener la perpendicular
podemos construir rectas
paralelas a los lados y los
puntos por donde pasarían pudieran ser los vértices formándose la nueva
figura que a continuación se expone:
Sean Ha, Hb, y Hc los pies de las alturas desde los vértices A, B y C
respectivamente. Tracemos por cada uno de los vértices del ABC una recta
paralela al lado opuesto y llamemos D, E y F los puntos de corte de estas
rectas. Observemos que el cuadrilátero AFBC es un paralelogramo entonces
AF= BC. Análogamente AECB es un paralelogramo y por consiguiente
AE=BC. De todo lo anterior podemos concluir que A es el punto medio EF y
entonces AHa será la mediatriz de ese segmento. Por estas razones las tres
alturas del ABC se convierten en las tres mediatrices del DEF y por lo tanto
son concurrentes.
A continuación veamos varios problemas relacionados con las alturas..
Problema 1:
Demostrar que la reflexión de la altura sobre la bisectriz pasa por el
circuncentro
S/ Una de las estrategias que se sigue en
muchos problemas de geometría es
suponer que el problema está resuelto.
Debemos observar que si hay reflexión
con respecto a una recta entonces se
forman ángulos iguales a ambos lados del
eje de simetría, en nuestro caso
HaAE=EAO y como BAE=EAC por
ser AE bisectriz esto nos conlleva a
pensar que los ángulos BAHa y OAC deben ser iguales, y este sería nuestro
nuevo problema. Si logramos demostrar esta igualdad ya solucionaríamos el
problema original.
Sea Ha el pie de la altura trazada desde A, entonces AHaB=90yBAHa=
90ABHa. Sea M el punto medio del lado AC. Sabemos que AOC=2ABC
y como el AOC es isósceles, el AOM= 2
1AOC, es decir:
MAO=90ABHa. Como BAHa =MAO= 90 ABHa, los ángulos que
forman AHa y AO con la bisectriz del BAC son iguales.
Problema 2:
Demostrar que la reflexión del ortocentro sobre cada uno de los lados del
triángulo cae sobre el circuncírculo.
S/ Este es otro problema donde pudiéramos razonar de esa misma manera.
Veamos:
Si la reflexión de H con respecto a BC cae
sobre la circunferencia entonces HHa=
HaD, por lo tanto Ha sería punto medio de
HD.
Observemos que al relacionar esta
igualdad con la perpendicularidad nos
remite a pensar en el concepto de
mediatriz, por lo que CHa será mediatriz
de HD. Pero fijémonos en que si trazara la cuerda DC entonces en el HCD
coincidiría la mediatriz, la mediana y la altura y por ende la bisectriz. Todo lo
anterior sugiere demostrar que HCHa=HaCD.
Sea D el punto de corte de la prolongación de la altura AHa con el circuncírculo.
Bastaría demostrar que HHa= HaD
Tenemos que:
BAHa=90 ABHa
BCHc=90 ABHa
Por consiguiente BAHa=BCHc
Pero BAD=BCD …...(por estar inscritos en el arco BD)
Entonces BCH=BCD y los triángulos
DCHa y HCHa son iguales, por lo que concluimos que HHa=HaD
Observación:
El triángulo formado por los pies de las alturas en un triángulo se le denomina
triángulo órtico del triángulo dado.
Problema 3:
Demostrar que el ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico.
S/ El primer acercamiento para la
concepción de un plan sería en
comprender que las alturas del triángulo
tienen que ser la bisectrices de su órtico,
por lo que el trabajo con ángulos debe
ocupar un lugar central en nuestro
resolución. La existencia de ángulos rectos
y tratar de encontrar relaciones con
ángulos nos conduce a ampliar los
recursos para ello, por eso encontramos
algunas circunferencias en nuestra figura
original lo cual nos permitiría encontrar nuevas relaciones entre ángulos.
Sea el ABC y su triángulo órtico HaHbHc
Como BHcC=BHbC=90, los puntos B, Hc, Hb y C están sobre la misma
circunferencia y por tanto BHbHc = BCHc.
De la misma forma, los puntos B,Ha, Hb y A también están sobre la misma
circunferencia, entonces BHbHa=BAHa.
Pero BCHc=BAHa=90ABC
Por todo lo anterior obtenemos que BHbHc=BHbHa, es decir , la altura BHb
es la bisectriz de HcHbHa, concluyendo que las alturas del ABC son las
bisectrices del HaHbHc y el ortocentro del ABC es el incentro del HaHbHc.
Problema 4:
Demostrar que un triángulo, la perpendicular trazada desde un vértice al lado
correspondiente del triángulo órtico pasa por el circuncentro.
S/ En la resolución de este
problema se siguen ideas similares
a las del problema 1. Haber
comprendido la estrategia seguida
en ese problema y algunos
elementos de el que nos antecedió
nos conduciría en gran medida a
encontrar exitosamente la solución
de este problema.
Sea P el pie de la perpendicular
desde A al lado HbHc del triángulo
órtico. Como los puntos B,Hc,Hb y C
están sobre la misma circunferencia
entonces HcHbC + HcBC= 180
de donde HcBC=ABC=AHbHc ya que también HcHbC + AHbHc= 180
por consiguiente:
AHbHc ABC y HbAP=90 AHbP=90 ABC
Pero BAHa = 90 ABC, es decir, las rectas AHa y AP forman ángulos
iguales con AB y AC respectivamente, o lo que es lo mismo, AP es la reflexión
de AHa sobre la bisectriz del BAC.
De lo anterior podemos concluir que AP pasa por el circuncentro O del ABC.
Conclusiones:
En la resolución de problemas de corte olímpico no hay recetas infalibles.
Como se ha mostrado, existen técnicas y estrategias que complementan la
metodología para abordar los mismos y constituyen el soporte universal para el
acercamiento a su solución.
Sin embargo, en la resolución de estos problemas intervienen otros procesos
no menos importantes como la imaginación y la creatividad dependientes del
desarrollo del pensamiento lógico y del razonamiento de cada solucionista.
Las técnicas y estrategias aplicadas en los ejemplos tratados dan prueba de
ello. En los ejemplos presentados se aplicaron diversas estrategias. Una de
ellas consistió en transformar el problema en otro de carácter mucho más
general que nos permitió una vía mucho más factible. Otro muestra que no solo
las estrategias y técnicas que se tienen resuelven el problema, es necesario
una dosis de creatividad e imaginación. En otros, el plan de solución se basó
en suponer que el problema estaba resuelto y mediante un trabajo hacia atrás
lograr la demostración del mismo.
Bibliografía:
[1] Andreescu, T., Feng, Z., Mathematical Olympiads Problems and Solutions
from Around the World 1998-1999.
[2] Duran, D., La Geometría Euclideana, Astrodata, Maracaibo, 2003.
[3] Nieto, J. H Olimpiadas Matemáticas: El arte de resolver problemas.
Colección Minerva, Caracas, 2005.
[4] Poicaré, H., Ciencia y Método , Espasa-Calpe Argentina, Buenos Aires,
1946.
[5] Pólya, G., How to Solve it; A New Aspect of Mathematical Method, Princeton
University Press, Princenton, 1945.
[6] Schoenfeld, A. H, Problem Solving Strategies in college-Level Mathematics,
Physics Department, University of California (Berkeley) 1978