2.2.3 SIMÉTRICAS Y TRANSITIVAS

2.2.3 Simétricas y transitivas Simétrica: Si cuando un elemento está

relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (∀ x)(∀ y) (x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R

Antisimétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos: (∀ x)(∀ y) ((x,y) ∈ R ^ x ≠ y) ⇒ (y,x) ∉ R)

2.2.3 Simétricas y transitivas Transitiva: Si cuando un elemento está relacionado

con un segundo elemento y el segundo está relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero: (∀ x)(∀ y)(∀ z)((x,y) ∈ R ^ (y,z) ∈ R) → (x,z) ∈ R).

Como podemos ver para que una relación sea simétrica, siempre que un par está en R el par inverso debe también estar. sin embargo en la antisimétrica si un par está en la relación el par inverso n puede estar.

Nota: Vemos que la definición de antisimétrica se indica que el par inverso no puede estar cuando los elementos son distintos por razones obvias.

2.2.3 Simétricas y transitivas Ejemplos: Analizaremos en base a lo anterior. A = {a,b,c,d,e} R1 = (a,a),(b,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,d) R2 = (a,a),(a,d),(c,b),(d,a),(c,e),(e,e)) R3 = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(b,c),(b,a)) R4 = (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(b,e),(c,e),(b,d),

(d,a),(e,e) R5 = (a,c),(a,e),(e,c),(b,c) R6 = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,e),(b,c),(c,b),(e,a) R7 = (a,b),(b,d),(c,a),(d,e),(e,c),(b,c),(b,a))

2.2.3 Simétricas y transitivas Teorema Una relación R en un conjunto es

simétrica si y sólo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.

Teorema Una relación R en un conjunto es antisimétrica si y sólo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.

De las relaciones anteriores R6 es simétrica. R3, R5 son antisimétricas y R3, R6 y R6 son transitivas.

2.2.3 Simétricas y transitivas

Relación R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

Reflexiva NO NO SI NO NO SI NO

Antirreflexiva

NO NO NO NO SI NO NO

Simétrica NO NO NO NO NO SI NO

Antisimétrica NO NO SI NO SI NO NO

Transitiva NO NO SI SI SI SI NO