Sesin N 10:

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO T-03-12-2007

Escuela de Ingeniera Civil

Sesin N 10:APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES: MAXIMOS Y MINIMOS, MULTIPLICADORES DE LAGRANGESea , : abierto.Mximo Absoluto: tiene mximo absoluto en , si existe el punto , tal que cumpla:

Adems es el valor mximo absoluto.

Mnimo Absoluto: tiene mnimo absoluto en C, si existe el punto , tal que cumpla:

Adems es el valor mnimo absoluto

Mximo Relativo: tiene mximo relativo en el punto , si existe tal que:

Mnimo Relativo: tiene mnimo relativo en el punto , si existe tal que:

Observaciones:

Si es continua en el conjunto cerrado D, entonces existe al menos un punto mximo y al menos un punto mnimo de en . A lo valores mximos y mnimos de en se les llama valores extremos.

TeoremaSi , : abierto, tiene un valor extremo en y existen, entonces .Nota:

Si , : abierto, tiene un valor extremo en y existen, entonces .Definicin: Sea , los puntos , donde todas las derivadas parciales de primer orden de la funcin se anulan, se llaman puntos crticos o puntos estacionarios (puntos silla)Ejemplos Explicativos Hallar los puntos crticos de 1.-

2.- 3.-

4.-

5.-

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sea , : abierto, y tiene primeras y segundas derivadas parciales continuas en , supongamos adems que es punto crtico, y definamos

, el determinante de la matriz Hessiana. Luego:

1) Si , corresponde a un extremo relativo, y, i) es mximo relativo si

ii) es mnimo relativo si

2) Si , no tiene ni mximo relativo ni mnimo relativo en . En este caso recibe el nombre de punto silla.

3) Si , puede o no existir mximos y mnimos, no nos da informacin.

Observacin

Si , : abierto, y tiene primeras y segundas derivadas parciales continuas en , supongamos adems que es punto crtico, definimos el determinante de la matriz hessiana, como

Adems sean el determinante obtenido de de prescindir de las k ltimas filas y columnas Luego:

1) Si los nmeros son todos positivos entonces, tiene un mnimo relativo en 2) Si , tiene un mximo relativo en .

Ejemplos Explicativos

Hallar los extremos relativos de

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.- Una caja rectangular sin tapa deber tener un volumen fijo. Cmo deber hacerse la caja para emplear en su manufactura la cantidad mnima de material?7.- Se quiere construir una cisterna metlica y abierta para agua, con un tringulo rectngulo como base y lados verticales. Si el volumen de la cisterna debe ser de 2m3Qu diseo redundar en la menor rea del metal?MULTIPLICADORES DE LAGRANGEQu sucede ahora si deseamos hallar mximos y mnimos de funciones pero sujetos a restricciones laterales o a condiciones? Para solucionar este tipo de problema utilizaremos el mtodo de los Multiplicadores de Lagrange

- Sea , supongamos que deseamos optimizar la funcin , cuyas variables estn sujetas a la restriccin: , para esto formamos una nueva funcin, llamada funcin objetivo, como:

, es llamado multiplicador de Lagrange .Luego debemos calcular las derivadas parciales para hallar los puntos crticos:

La solucin de estas tres ecuaciones nos dan los puntos crticos restringidos.Para saber si este punto crtico corresponde a un mximo o a un mnimo utilizamos el criterio de la segunda derivada.

OBSERVACIONSea , supongamos que deseamos optimizar la funcin , cuyas variables estn sujetas a la restriccin: y , para esto formamos una nueva funcin, llamada funcin objetivo, como:

, son llamados multiplicadores de Lagrange .

Para este caso debemos trabajar igual al caso anterior, es decir hallar las primeras derivadas parciales e igualarlas a 0, para obtener los puntos crticos, y luego debemos analizar, por el criterios de la segunda derivada, si se trata de un mximo o un mnimo.Ejemplos Explicativos:1.- Obtener los mximos y mnimos de la funcin , sujeta ala restriccin 2x+y=212.- Hallar los valores mximos y mnimos de la funcin , sujeta ala restriccin

3.- Hallar los valores mximos y mnimos de la funcin , sujeta ala restriccin

4.-Hallar los extremos condicionados de sujetas a y

5.- Hallar los extremos condicionados de sujetas a HOJA DE PRCTICA 10I.- Hallar los extremos de las siguientes funciones:1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

II Encontrar los extremos relativos de la funcin dada, sujeta a las restricciones dadas:1.- , si

2.- , si

3.- , si

4.- , si

5.- ,

6.- , para

7.- , para

8.- , para

9.- , para

10.- , para

III.- Resolver:

1.- Un fabricante desea construir una caja con tapa e 36m2 de volumen Qu dimensiones debe escogerse si se quiere minimizar el costo, bajo las condiciones de que el fondo y la tapan cuestan el doble de los lados por cm2?2.- Hallar tres nmeros reales positivos cuya suma es 24 y su producto sea el mximo posible.3.- Un fbrica produce taladros y sierras cuyos precios por unidad son S/500. y S/70 respectivamente. El costo de producir x sierras e y taladros es . Halle los valores de x e y para que la utilidad sea mxima.4.- Una empresa produce dos tipos de productos: A y B. El costo diario total (en dlares) de producir x unidades de A e Y unidades de B est dado por: .Determine el nmero de unidades de A y B que la empresa debe producir al da con el objeto de minimizar el costo real.

5.- Un paraleppedo rectangular tiene sus tres caras en los planos coordenados y el vrtice opuesto al origen en el primer octante y en el plano . Encontrar el volumen mximo que pude tener este paraleppedo.Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz

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