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Medidas de Tendencia Central

Sesin 51Aqu solo cambiar el nombre del curso.DefinicinLas medidas de tendencia central son los valores que representan un conjunto de datos de forma tal que nos ayudan a saber dnde estn acumulados los datos pero sin indicar como se distribuyen. Se llaman as porque tienden a ubicarse en la parte central del conjunto de datos.Para cualquier conjunto de datos estudiados es importante tener informacin resumida de sus caractersticas. Esta informacin nos indica cmo se comporta la poblacin de datos que tenemos.

Medidas de tendencia central

FinesMostrar en qu lugar se ubica la persona promedio o tpica del grupo.Como mtodo para comparar o interpretar cualquier puntaje en relacin con el puntaje central o tpico.Como mtodo para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.Como un mtodo para comparar los resultados medios obtenidos por dos o ms grupos.

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Medidas de Tendencia Central Generales4

1. Media Aritmtica para Datos no AgrupadosSe definemedia aritmticade una serie de valores como el resultado producido al sumar todos ellos y dividir la suma por el nmero total de valores.Nos ayuda a comparar, por ejemplo, el salario de los empleados de una empresa cuya media sea de S/.1500 contra el de otra empresa con una media de S/. 1650 y nos dar una idea de que la segunda empresa paga mejor a sus empleados. Su formula de clculo es:

Ejemplo1: Sea el nmero de derrumbes en cinco semanas en Pozuso: 8 , 3, 7, 12 y 10. Hallar el promedio de derrumbes:

Ejemplo2: : Sea el numero de asaltos en diez meses: 73, 68, 59, 40, 81, 72, 40, 70, 59 y 72. Hallar el promedio de asaltos:

1.1 Ejemplos

El promedio de derrumbes en Pozuso es de 8.

El promedio de asaltos es de 63.

1.2 Observaciones:La media se puede hallar solo para variables cuantitativas.La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.La media es muy sensible a las puntuaciones extremas.La media no se puede calcular si hay un intervalo o clase abierto (con una amplitud indeterminada)La media es un estadstico suficiente porque usa toda la informacin de la muestra.

4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15

El numero comn de obesos es 8

4, 7, 12,12 , 16, 20, 20 , 27

El numero comn de obesos es 12 o 20

7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38Ejemplo: 2. Moda para datos no agrupados:En una serie de valores a los que se asocia una frecuencia, se definemodacomo el valor de la variable que posee una frecuencia mayor que los restantes. La moda se simboliza normalmente por Mo.Un grupo de valores puede tener varias modas. Una serie de valores con slo una moda se denomina unimodal; si tiene dos modas, es bimodal, y as sucesivamente.Ejemplos: Sean los siguientes datos el numero de alumnos obesos en colegios de tres localidades de la Sierra:

3. Mediana para datos no agrupados:La media aritmtica no siempre es representativa de una serie estadstica. Para complementarla, se utiliza un valor numrico conocido comomedianao valor central.Dado un conjunto de valores ordenados, su mediana se define como un valor numrico tal que se encuentra en el centro de la serie, con igual nmero de valores superiores a l que inferiores. Normalmente, la mediana se expresa como Me.Paso 1.- Ordenar de menor a mayor los valores xi del conjunto de datos individuales, i = 1,2,,nPaso 2.- Identificar si n es impar o par

La mediana es nica para cada grupo de valores. Cuando el nmero de valores ordenados (de mayor a menor, o de menor a mayor) de la serie es impar, la mediana corresponder al valor que ocupe la posicin (n + 1)/2 de la serie. Si el nmero de valores es par, ninguno de ellos ocupar la posicin central. Entonces, se tomar como mediana la media aritmtica entre los dos valores centrales.

3.1 Calculo de la Mediana para datos no agrupados:3.2 Ejemplo cuando n es ImparEjemplo1En 9 hospitales en el rea de pediatra se ha observado el nmero de nios con anemia, siendo los sgtes: 35, 24, 38, 40, 42, 39, 25, 41, 37 Hallar la mediana de este conjunto de datos.

Solucin:

En el 50% de los hospitales el numero de nios con anemia esmenor o igual que 38.3.3 Ejemplo cuando n es ParEjemplo2. En 10 das se ha observado el nmero de viajes de los camiones de Yanacocha que transporta combustible, siendo los sgtes: 35, 24, 38, 40, 42, 39, 25, 41, 37,28 Hallar la mediana de este conjunto de datos.

Solucin:

En el 50% de los das el numero de viajes es menor o igual que38.

3.4 Observaciones:Se puede utilizar para datos cualitativos ordinales y para datos cuantitativos

La ventaja de la mediana sobre la media es que si existe algn dato atpicos, es decir, una observacin fuera de serie con un valor demasiado pequeo o demasiado grande al resto de los datos, la mediana no se ve gravemente afectada, ya que no toma en cuenta los datos en s, sino el dato en la posicin central en el listado.

4. Comparacin entre la Media, Mediana y ModaLas distribuciones simtricas tienen el mismo valor para la media, la mediana y la moda. En una distribucin con sesgo positivo, la moda se halla en el punto ms alto de la distribucin, la mediana est hacia la derecha de la moda y la media ms a la derecha. Es decir Mo < Me < x En una distribucin con sesgo negativo, la moda es el punto ms alto, la mediana est a la izquierda de la moda y la media est a la izquierda de la mediana. Es decir, x < Me < Mo

5. Media Aritmtica para Datos AgrupadosSe Utilizar cuando los datos estn distribuidos en una tabla de frecuencias. Luego se calcula la media aritmtica aplicando la formula: Donde:ni = frecuencia absolutayi = Marca de clasen = nmero de observaciones

Ejemplo: Se esta analizando el numero de asaltos en los parques de Lima y se ha obtenido la siguiente distribucin de frecuencias:

El promedio de asaltos es de 23N de yinini*yiAsaltosLiLs5128.51085121915.514217192622.528630263329.520590334036.58292TOTAL8018145.1 Ejemplo16Cuando se trabajan con tablas de frecuencias de intervalos, la formula para calcular la moda es:Donde:LI : Lmite inferior de la clase modalcj: Amplitud del intervalo de la clase modaln : nmero total de observaciones o datos1= nj nj-1 y 2= nj nj+1nj-1: Frecuencia absoluta anterior a la clase modal.nj+1: Frecuencia absoluta posterior a la clase modal.

6. Moda para Datos AgrupadosEjemplo: De la tabla de distribucin de frecuencias anterior sobre el numero de asaltos cometidos calcular la moda:El numero de asaltos que se repite con mayor frecuencia es 22. El numero de asaltos mas comn es de 22.Ubicamos primero la mayor frecuencia nj = 28 LI = 19 ; cj= 7 ; n = 80 1= nj nj-1 = 28-14= 14 2= nj nj+1 = 28- 20 =18

N de yiniAsaltosLiLs5128.510121915.514192622.528263329.520334036.58TOTAL806.1 EjemploCuando se trabajan con tablas de frecuencias de intervalos, la formula para calcular la mediana es:Donde:LI : Lmite inferior de la clase medianacj: Amplitud del intervalo de la clase medianan : nmero total de observaciones o datosNj: Frecuencia acumulada de la clase medianaNj-1:Frecuencia acumulada anterior de la clase mediana.

7. Mediana para Datos AgrupadosEn el 50% de los parques se cometieron un numero menor o igual a 23 asaltos.Pasos:i) Ubicar n/2=80/2=40 en Niii) n/2 se encuentra en el intervalo 3, entonces: Ni : 52 Ni-1: 24LI : 19 cj: 7

Ejemplo: De la tabla de distribucin de frecuencias anterior sobre el numero de asaltos cometidos calcular la mediana:N de yiniNiAsaltosLiLs5128.51010121915.51424192622.52852263329.52072334036.5880TOTAL807.1 EjemploSon estadgrafos que dividen a una distribucin de frecuencias en cuatro porciones iguales o intervalos. Se representan por Q1 Q2 Q3.

8. Cuartiles

9. DecilesSon 9 nmeros que dividen a los datos en 10 pares iguales, cada uno con el 10% de los datos

Son 99 nmeros que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada uno con el 1% de los datos

; 10. Percentiles

Donde 11. Media PonderadaHay ocasiones en que se quiere expresar en una sola cifra los resultados de varios grupos de datos, cada uno de los cuales ha sido resumido previamente mediante un promedio, teniendo cada grupo diferente numero de observaciones. Para hallar un promedio general de estos grupos hacemos uso de la media ponderada.11.1 Ejemplo

Ejemplo: La nota final de la asignatura Estadstica es una media ponderada de las notas que han obtenido los alumnos en los cuatro elementos evaluables que determina el profesor. El responsable de la asignatura otorga un peso de 3 al examen inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al trabajo final y 4 al examen final. Las notas de un alumno han sido las siguientes:

La nota final del alumno en esta asignatura es de 6,14

12. Propiedades de la Media Aritmtica

12. Propiedades de la Media Aritmtica

Donde:

: Lmite inferior de la clase cuartil

: Amplitud del intervalo de la clase cuartil

: nmero total de observaciones o datos

: Frecuencia acumulada de la clase cuartil

:Frecuencia acumulada anterior de la clase cuartil

: k-simo cuartil

_1254261202.unknown

_1254261266.unknown

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_1378748789.unknown

_1254261218.unknown

_1254261177.unknown