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Sesión 1

•Martes 20 de enero de 2015.

§ 1.1. Un poco de teoría axiomática de conjuntos.

En matemáticas existen terminos axiomáticos que no se pueden de�nir con palabras en nuestro lenguaje usual sincaer en un círculo lógico matemático. Así pues, se entenderán por conocidos los terminos: conjunto, pertenencia (∈),propiedad de�nitoria, elemento, contiene (⊃), contenido (⊂), subconjunto, contenencia, demostración. Las negacionestambien se suponen conocidas.

Los conjuntos se denotarán sin distinción por símbolos convenientes; salvo pocas excepciones, los símbolos per-manecerán libres entre distintos enunciados y en las pruebas se entenderá que las notaciones habrán quedado here-dadas del enunciado. Asimismo, la teoría de conjuntos absorbe la lógica (o, más formalmente, la teoría de conjuntoses una teoría en lógica).

La siguiente lista de nombres de axiomas no pretende ser logicamente independiente ni exhaustiva.

«Axioma de extensión»; si A y B son conjuntos y se cumple que

(∀x ∈ A)(x ∈ B)

entonces A ⊂ B. Más, si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B.

«Axioma de especi�cación»; si X es un conjunto y P una propiedad entonces {u ∈ X|P (u) es cierta} es unconjunto.

«Axioma del vacío»; existe un conjunto sin elementos, que puede mostrarse que es único y se denotará por ∅.

«Axioma del in�nito»; existe un conjunto U tal que U 6= ∅ y y ∈ U ⇒ y ∪ {y} ∈ U.

«Axioma de emparejamiento»; si S y T son conjuntos entonces {S, T} es un conjunto.

«Axioma de unión»; para cada conjunto A existe un conjunto H tal que H es el conjunto de los elementos quepertenecen a algún elemento de A; en simbolos, H = {a|(∃b ∈ A)(a ∈ b)}. Se puede mostrar que existe unosolo y se denota por ∪A.

«Axioma de intersección»; mismo que el previo pero en vez de “a algún” se cambia por “a todos’; es importanteque A no sea vacío. Igual que antes, la notacion ∩A es inambigua.

«Axioma de potencia»; dado un conjunto J existe otro conjuntoK el cual esta formado por todos los subconjun-tos de J. Por unicidad, K = P (J) .

«Axioma de elección»; dada una familia de conjuntos (Xt)t∈H existe un conjunto L tal que los elementos de Lson exactamente aquellas familias de la forma (xt)t∈H tal que para cada t ∈ H se cumple que xt ∈ Xt.

1

‡ Seminario de análisis elemental.

«Axioma de regularidad»; ningun conjunto se contiene a sí mismo; dado un conjuntoG existe un elemento F enel tal que F ∩G = ∅.

«Axioma esquemático de reemplazo»; si para el elemento a de un conjuntoA se puede formar un conjuntoB(a)entonces el siguiente es un conjunto {B(a)|a ∈ A} y, por tanto, también {(a,B(a))|a ∈ A}.

Definicion ( 1.1.1 ) Dado un conjunto E y A un subconjunto suyo, se define {EA como el conjunto de los e ∈ Etales que e /∈ A (esto es un conjunto por el axioma de especificacion).

Para evitar decir conjunto y subconjunto en el mismo enunciado varias veces a veces se reemplazará subconjuntopor «parte».

Comentarios: las siguientes son inmediatas de esta de�ncion. Cada una de ellas puede ser derivada a partir de lasrelaciones lógicas correspondientes, es decir, son propiedades lógicas reescritas en terminos de conjuntos. Se tomanentonces A y B dos partes de X.

1. {X({XA

)= A;

2. {X(A ∪B) = {XA ∩ {XB;

3. {X(A ∩B) = {XA ∪ {XB;

4. las propiedades A ⊂ B y {XB ⊂ {XA son equivalentes; mismo para A ∩ B = ∅, A ⊂ {XB y B ⊂ {XA;tambien se cumple para A ∪B = X, A ⊃ {XB y B ⊃ {XA.

§ 1.2. Definiciones fundamentales.

En lo que sigue, todas las letras denotaran conjuntos, vacíos o no.

Definicion ( 1.2.1 ) Un «par ordenado» (a, b) es un conjunto1 tal que si (c, d) es otro par ordenado entonces(a, b) = (c, d)⇔ a = b, c = d. Al conjunto de pares ordenados (a, b) para a ∈ A y b ∈ B se le denotará por A×B.

Una «relación» R de A con B es una parte de A×B; se usará la notación R : A ∼ B. La relacion «inversa» sedefine por R−1 = {(b, a)|(a, b) ∈ R}. La «composición» de dos relaciones R de A con B y S de B con C es unarelacion de A con C tal que (a, c) pertenece a ella si existe un b ∈ B tal que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S.

Una «función» f deA aB es un conjunto de pares (a, b) tales que si (a, b), (a, c) ∈ f entonces b = c; se utilizarála notacion f : A→ B, si no hay necesidad de la letra f entonces solo se escribirá A→ B. La relación inversa, quesiempre existe pero no siempre es función, cuando es función se denomina «función inversa». Si para cada x en unconjunto A se tiene f(x) un único elemento de otro conjunto (no importa cómo se consiguió, sino que existe y esúnico), se denotará por x 7→ f(x) a la función (axioma esquemático del reemplazo) {(x, f(x))|x ∈ A}.

Una «familia de elementos» del conjunto X con conjunto de «índices» Λ es una funcion x : Λ → X. Pornotación se escribirá x = (xλ)λ∈Λ.

Comentarios:

1. La composición de funciones es función y la composición de una funcion A → B con su función inversaB → A es la función A→ A consistente en los pares (a, a) para a ∈ A. Se le denotaró por 1A, idA o IA.

1La de�nición exacta de par ordenado es (a, b) = {{a}, {a, b}} y el siguiente es un teorema (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d; bastaprobar la necesidad; si {a} = {a, b} entonces a = b y c = d trivialmente, por lo que se puede restringir al caso {a} 6= {a, b}; en este caso{c} = {a} pues {c} tiene un elemento y {a, b} tiene dos, por ende, c = a; para concluir nota que {a, b} = {c, d} y c = a por lo que d = bpues si b = a = c el segundo conjunto tendría solamente un elemento.

2

1.3. Productos, imágenes y preimágenes.

2. Todo conjunto esta en relación unívoca de manera canónica con una familia; si X es un conjunto, la familia(xt)t∈X esta de�nida por xt = t. A algunas personas les resulta más cómodo ignorar la de�nición de familiay pensar que los conjuntos tienen un patrón preasignado (esto es precisamente lo que hace la familia).

A veces para poder de�nir objetos nuevos es necesario tener la de�nicion de sus objetos precedentes. Para esto esnecesario tener a los números naturales. Se entenderá por numero natural a todo entero «positivo»2. Se denotará porN a los naturales y por N0 = N ∪ {0} a los no negativos3. A los enteros se les denotará por Z, a los racionales porQ, a los reales por R y a los complejos por C. Todos estos, salvo los complejos, se suponen dados y sus propiedadesconocidas.

Algunos resultados que tomaremos como axiomas son los siguientes (habrá muchos más).

1. Todo subconjunto de numero naturales tiene un primer elemento.

2. Todo conjunto in�nito tiene una parte biyectable con N.

Teorema ( 1.2.2 ) Supón que P es una propiedad y que H = {n ∈ N|P (n) es cierta}. Si

1. 1 ∈H , y

2. n ∈H ⇒ n+ 1 ∈H ,

entonces H = N; el «método de inducción».

Pues si H 6= N existiría un primer n+ 1 que no está en H , lo cual es absurdo pues n ∈H . �De considerable más aplicación es el siguiente.

Teorema ( 1.2.3 ) Supón que X es un conjunto, que a ∈ X y que f : X → X es una función cualquiera. Entoncesexiste una función g : N→ X tal que g(1) = a y g(n+ 1) = f(g(n)); el «teorema de recursión».

Considera C la parte de subconjuntosA deN×X tal que (1, a) ∈ A y (n+1, f(x)) ∈ A siempre que (n, x) ∈ A.Tal C no es vacío y su intersección g = ∩C es la función buscada; en efecto, de�ne H el conjunto de los naturalestales que n tales que existe un x y solo uno tal que (n, x) ∈ g; que 1 ∈H y n ∈H ⇒ n+1 ∈H son consecuenciasdirectas de la minimalidad de g. �

Comentario: una aplicación del teorema previo se denomina «de�nición recursiva». Las operaciones aritméticasclásicas, en la teoría de conjuntos, se demuestran usando recursión e inducción.

§ 1.3. Productos, imágenes y preimágenes.

La de�nición del producto de un número �nito de factores se realiza inductivamente y solamente un lógico sequejaría de la falta de prueba de las propiedades fundamentales.

Definicion ( 1.3.1 ) SeanX1, . . . , Xn partes (de un conjunto más grande). Define, recursivamente,X1×. . .×Xn =(X1 × . . . Xn−1) × Xn; se escribirá z = (x1, . . . , xn) ∈ X1 × . . . × Xn en vez de ((. . . (x1, x2) . . .), xn). A xi sele llamará la «proyección i-ésima» de z y se escribirá xi = priz. Más generalmente, si i1, . . . , ik son elementos delconjunto {1, . . . , n} entonces se escribirá pri1,...,ikz = (xi1 , . . . , xik). Si X1 = X2 = . . . = Xn = X entonces seescribirá Xn en vez de X × . . .×X (n veces).

2Positivo y negativo se entenderán en sentido «estricto».3El número 0 no es un número natural en el sentido intuitivo de la palabra.

3


Comentario: la propiedad (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn) equivale a x1 = y1, . . . , xn = yn (se prueba por inducciónenn). Además, suele denotarse al conjunto de funcionesX → Y porY X . La razón es que existe una biyección naturalde Y {1,...,n} a Y n (de�nes f 7→ (f1, . . . , fn)).

Definicion ( 1.3.2 ) Si f : A → B y E ⊂ A entonces f∣∣∣E

= f ∩ (E × B) se denomina «restricción» de f a E.

Si g es tal que g = f∣∣∣E

entonces f recibirá el nombre de «extensión» de g a A. Al conjunto de los f(a) tales que

a ∈ E se le denomina «imagen» o «imagen directa» de E por f y se le denota por f(E). Si C ⊂ B al conjunto dea definidos por la propiedad f(a) ∈ C se le llamará «preimagen» o «imagen inversa» de C por f.

Comentario: es inmediato que f(f−1(C)) = C ∩ f(A).

Ejemplo ( 1.3.3 ) SiA ⊂ X×Y y x ∈ X entonces pr2(pr−11 ({x})∩A) se llamará «sección cruzada» deA «basada»

en el punto x del «primer factor»; se le denotará por A(x); de este modo, A(x) es el conjunto de los y ∈ Y talesque (x, y) ∈ A. Si f : X×Y → J entonces a la funciónA(x)→ J dada por y 7→ f(x, y) se le denotará por f(x, ·);esta clase de funciones se llamarán «funciones parciales». ♣

Los ejemplos y de�niciones previas dadas para dos factores se extienden sin más a n factores.Se suponen conocidas las propiedades principales de composición de funciones, funciones inyectivas, suprayec-

tivas y biyectivas. Lo que no se supone conocido es el siguiente.

Teorema ( 1.3.4 ) Una función f : A → B tiene una «inversa por la derecha» si existe g : B → A tal quef ◦ g = IB ; la definición de inversa por la izquierda es análoga. Una caracterización de suprayectividad es tener lasdos inversas.

Si f tiene inversa por la derecha entonces es suprayectiva y viceversa; mismo resultado para inversa por laizquierda e inyectiva (solo hay que negar la de�nición para llegar inmediatamente a una contradicción). �

§ 1.4. Otra vez familias.

Se de�ne la unión de una familia como la unión de su rango4 y similar para intersección. Observa que estos sonconjuntos5.

Teorema ( 1.4.1 ) Sean Λ,∆,Σ tres conjuntos de indices; X,Y dos conjuntos de elementos; f : X → Y unafunción; (Aα)α∈Λ, (Bβ)β∈∆ dos familias de elementos de P (X) y (Cγ)γ∈Σ una familia de elementos de P (Y ) .Entonces

1. {X

(⋃α∈Λ

Aα

)=⋂α∈Λ

({XAα

);

2.

(⋃α∈Λ

Aα

)∩

Ñ⋃β∈∆

Bβ

é=

⋃(α,β)∈Λ×∆

Aα ∩Bβ ;

3.

(⋂α∈Λ

Aα

)∪

Ñ⋂β∈∆

Bβ

é=

⋂(α,β)∈Λ×∆

Aα ∪Bβ ;

4. f

(⋃α∈Λ

Aα

)=⋃α∈Λ

f(Aα);

4El «rango» de una función es la imagen directa de su dominio, y este último se de�ne como el primer factor donde la función está contenida.5Todo es conjunto, pero es cómodo pensar que las funciones no son conjuntos; mismo para familas.

4

1.4. Otra vez familias.

5. f−1

Ñ⋃γ∈Σ

Cγ

é=⋃γ∈Σ

f−1(Cγ);

6. f−1

Ñ⋂γ∈Σ

Cγ

é=⋂γ∈Σ

f−1(Cγ).

Una contenencia es sencilla, la otra solo hay que �jar un elemento y mover el otro. �

Definicion ( 1.4.2 ) Una «cubierta» de un conjunto es una familia de su potencia tal que su unión contiene alconjunto dado. La cubierta es, además, «partición» si cada dos índices tienen elementos asociados ajenos. Una«relación de equivalencia» en A es una relación R : A ∼ A tal que

1. para cualquier a ∈ A, (a, a) ∈ R o lo que es lo mismo, a ∼ a, «reflexividad»;

2. (a, b) ∈ R es equivalente a (b, a) ∈ R o equivalentemente, a ∼ b⇔ b ∼ a, «simetría»;

3. las dos relaciones (a, b), (b, c) ∈ R implican (a, c) ∈ R, esto es a ∼ b, b ∼ c⇒ a ∼ c, «transitividad».

Una «subfamilia» de una familia (xλ)λ∈L es una familia (yδ)δ∈H tal que existe una función inyectiva ϕ : H → Ltal que yδ = xϕ(δ).

Hay que cuidar el hecho que las relaciones son partess del producto de un conjunto consigo mismo. A veces hayque usar el axioma esquemático del reemplazo para poder dar efectivamente una relación de equivalencia (explíci-tamente, hay que evitar hablar de “relaciones de equivalencia” en “clases” que no son conjuntos).

Ejemplo ( 1.4.3 ) Toda partición (Aλ)λ∈L genera una relación x ∼ y; explícitamente, x ∼ y equivale a

existe un λ ∈ L tal que x ∈ Aλ y y ∈ Aλ.

De hecho, si ∼ es una relación en A entonces [a] = {x ∼ a} ⊂ A, la «clase de equivalencia» de a, satisface que[a]∩ [b] o es vacío o [a] = [b]; luego, L = {[a]|a ∈ A} es un conjunto de partes ajenas a pares deA tal que la familia(Aλ = λ)λ∈L es partición de A. Si R es una relación en A se escribe A/R para denotar al conjunto de clases deequivalencia de A (antes denotado por L). La función a 7→ [a] es suprayectiva y es inyectiva (si y) solo si R es laidentidad. A veces se denota a ∼ b como a = b mod R. ♣

Ejemplo ( 1.4.4 ) Dada una familia (Xλ)λ∈L de partes de un conjuntoX se define su «producto cartesiano» como∏λ∈L

Xλ es el conjunto de familias (xλ)λ∈L tal que xλ ∈ Xλ. Nota que L al ser un conjunto no tiene orden y no im-

porta como escribas la familia. Para cada parte J ⊂ L se define prJ :∏λ∈L

Xλ →∏λ∈J

Xλ por prJ(xλ)λ∈L = (xλ)λ∈J

(nota que prJ manda una familia a su reestricción a J ). Si J es no vacío entonces∏λ∈L

Xλ y

Ñ∏λ∈J

Xλ,∏

λ∈L\J

Xλ

éson biyectables6 y una biyección es z 7→ (prJz,prL\Jz). Si, para cada λ ∈ L, uλ : T → Xλ es una función entonces

existe una función, y solo una, u : T →∏λ∈L

Xλ tal que prλ ◦ u = uλ (la «propiedad universal del producto» en el

sentido algebraico); a u se le escribe u = (uλ)λ∈L y u(t) = (uλ(t))λ∈L. ♣6Es por esta razón que usualmente conjuntos de la forma

∏λ∈L\J

Pλ ×∏γ∈J

Qγ se identi�can con el conjunto «verdadero» en el producto

original (este conjunto pertenece a un producto cartesiano de familias) pr−1L\J

Ç ∏λ∈L\J

Pλ

å∩ pr−1

J

Å∏γ∈J

Qγ

ã.

5


§ 1.5. Enumerabilidad.

Un concepto importante es la noción enumerabilidad, la cual se explica abajo.

Definicion ( 1.5.1 ) Un conjunto U es «enumerable» si existe una biyección de él con N.

Teorema ( 1.5.2 ) Cada parte de N es finita o enumerable.

Si A ⊂ N es in�nito entonces de�ne x1 el menor elemento de A y recursivamente xn+1 el mínimo elementoA \ {x1, . . . , xn}. Como A es in�nito, (xn)n∈N está de�nida; de hecho, su rango coincide con A pues si a ∈ A y xmes el elemento más grande de A tal que xm < a entonces, por de�nición, a = xm+1. �

Teorema ( 1.5.3 ) Si A es enumerable y f : A→ B es suprayectiva entonces B es enumerable.

Existe una biyección n 7→ an de N a A; entonces n 7→ f(an) es una función suprayectiva de N a B; se puedesuponer que A = N. Luego, si m(b) es el mínimo de f−1({b}) entonces f(m(b)) = b y m : B → N es inyectiva. �

Teorema ( 1.5.4 ) El conjunto N×N = N2 es enumerable.

De�ne f(n,m) =(n+m)(n+m+ 1)

2+ m (la «enumeración diagonal»); entonces f es inyectiva7 (divide en

los dos casos x+ y < x′+ y′, y x+ y < x′+ y′ y y < y′; en el primero escribe x+ y = a y (a+1)(a+2)2 = a+ a(a+1)

2

por lo que f(x, y) ≤ a+ a(a+1)2 < f(x′, y′)). �

Teorema ( 1.5.5 ) La unión de una familia enumerable de conjuntos enumerables es un conjunto enumerable.

Si (Aλ)λ∈L es enumerable con cada Aλ enumerable entonces hay una biyección n 7→ λn de N a L y otrabiyección n 7→ fλ(n) de N a Aλ. Entonces, (n,m) 7→ fλn

(m) es una función suprayectiva de N×N a la unión dela familia. �

§ 1.6. Lema de Zorn.

Definicion ( 1.6.1 ) Un «orden» en un conjunto X es una relación R : X ≤ X tal que R es reflexiva, «antisimé-trica» (si x, y ∈ X satisfacen que x ≤ y y y ≤ x entonces x = y) y transitiva. Todo orden se llamará «parcial» y secambiará parcial por «total» o «lineal» si, para cualesquier dos elementos x, y ∈ X, uno de los dos pares ordenados(x, y) o (y, x) pertenece a R. Una «cadena» C ⊂ X es una parte tal que R ∩ (C × C) es un orden total en C.Para a ∈ A se dirá que s(a) = {x ∈ X|x ≤ a} es el «segmento iniciado» en a. A todos los elementos de s(a) sedenominarán «descedientes» de a. A los elementos x ∈ X tales que a ≤ x se les llamará «ascendiente» de a. Si asatisface que a ≤ x para cualquier x ∈ X entonces se dirá que a es el «primer elemento» (necesariamente es único)o es el elemento «mínimo». Si x ≤ a para x ∈ X entonces a es el «último elemento» o el «máximo». Un elementoes «minimal» si no tiene descedientes distintos de él mismo, es «maximal» si no tiene ascendientes distintos deél mismo. Una parte C ⊂ X se llamará «mayorado» o «acotado superiormente» si existe un a ∈ X tal que a notiene ascendientes enC distintos de él; a a se le llamará «mayorante» o «cota superior»; se dirá deC «minorado» o«acotado inferiormente» si existe un a ∈ X que no tiene descedientes en C distintos de sí mismo; y se dirá, en estecaso, que a es un «minorante» o «cota inferior». Se dirá que C tiene «supremo» si existe un mínimo del conjuntode mayorantes de C; a tal mínimo se le llamará «supremo». Se dirá que C tiene un «ínfimo» si existe un máximodel conjunto de minorantes de C; a tal máximo se le llamará «ínfimo».

Teorema ( 1.6.2 ) Si X es un conjunto parcialmente ordenado tal que cada cadena en X tiene una cota superior(que depende de la cadena y la cota pertenece a X) entonces X tiene un elemento maximal.

7De hecho, suprayectiva deN0 ×N0 aN0.

6

1.7. Números reales.

Considera s : X → P (X) dada por s(a) es el segmento iniciado en a. Entonces s(x) ⊂ s(y) ⇔ x ≤ y. Dehecho más, si C es una cadena en X entonces s(C) es una cadena en P (X) , y si a es una cota superior de Centonces s(a) es una cota superior de s(C).

Sea C el conjunto de cadenas en X. Si C es una cadena en X entonces existe un a en X tal que C ⊂ s(a); más,∪C es una cadena en X. También es claro que D ⊂ C implica que D es una cadena.

Sea f ∈∏A⊂XA 6=∅

A una «función de elección» (es decir, cualquier elemento del producto). Sea A = {x ∈ X|A∪{x} ∈

C}. De�ne g : C → C dada por g(A) = A si A = A y g(A) = f(A) ∪¶fÄA \A

ä©. Entonces, A es maximal si y

solo si g(A) = A.Considera ahora el conjunto T ⊂ P (C) conformado por las partes T tales que ∅ ∈ T ; A ∈ T ⇒ g(A) ∈ T ;

si C es una cadena de elementos de T entonces ∪C ∈ T (las «torres» de C). Nota que C ∈ T ; por lo que T0 = ∩Testá de�nido. De hecho, T0 ∈ T y es una torre mínima.

Supón que c ∈ T0 se puede comparar (ante inclusión) con todo otro elemento de T0 (existe al menos un tal c,cuando c = ∅) y que a ⊂ c un «parte propia» (es decir, contenida sin ser igual). Entonces g(a) ⊂ c pues de locontrario, c ⊂ g(a) es una parte propia, lo cual contradice que g(a) \ a puede tener a lo más un elemento.

Sea U el conjunto de los a ∈ T0 tales que a ⊂ c o g(c) ⊂ a. Entonces U es una torre pues ∅ ⊂ c; a ∈ U ⇒g(a) ∈ U pues

1. si a es una parte propia de c entonces g(a) ⊂ c,

2. si c ⊂ a entonces g(c) ⊂ g(a);

si H es es una cadena de elementos de U entonces ∪H ∈ U pues si ∪H 6⊂ c entonces a ∈ H ⇒ g(c) ⊂ a lo cualimplica que g(c) ⊂ ∪H.

Si c ∈ T0 se puede comparar con cualquier otro elemento de T0 entonces g(c) también. De este modo, g mandaconjuntos comparables a conjuntos comparables. Como la unión de una cadena de conjuntos comparables es unconjunto comparable, el conjunto de los conjuntos comparables es a su vez comparable; T0 queda caracterizado porser constituido por puros conjuntos comparables pues ∅ es comparable. Esto prueba que T0 es una cadena, luegosu unión A pertenece a T0. Como g(A) es comparable y T0 contiene a todos los comparables entonces sucede queg(A) ⊂ A y A = g(A). �

§ 1.7. Números reales.

Un desarrollo completo de la construcción de los número reales cae fuera de lo que se busca por lo que se omitirá.Los siguientes serán axiomas. (Las propiedades de paréntesis, aunque son obvias deben ser probadas, sin embargo,solo un lógico pondría en duda su validez para el contexto actual).

I. R es un «campo»; esto es, satisface las siguientes propiedades

1. x + (y + z) = (x + y) + z; (esto se puede generalizar a sumas de n números, luego se de�nen∑i=1

xi =Ån−1∑i=1

xi

ã+ xn y en realidad no importa como se escriban los paréntesis);

2. x+ y = y + x; (enn∑i=1

xi no importa como ordenes los elementos para sumarlos);

3. existe un 0 ∈ R tal que 0 + x = x para cualquier x ∈ R; (el «neutro aditivo» es único);

4. para cada x ∈ R existe un −x ∈ R tal que x+ (−x) = 0; (para cada x ∈ R existe un y solo un «inversoaditivo»);

7


5. x(yz) = (xy)z; (esto se puede generalizar a sumas de n números, luego se de�nen∏i=1

xi =

Ån−1∏i=1

xi

ã×xn

y en realidad no importa como se escriban los paréntesis);

6. xy = yx; (enn∏i=1

xi no importa como ordenes los elementos para multiplicarlos);

7. hay un elemento 1 ∈ R tal que 1× x = x para cualquier x ∈ R; (el «neutro multiplicativo» es único);8. para cualquier x ∈ R existe un elemento x−1 ∈ R (también denotado como 1

x ) tal que xx−1 = 1; (paracada x ∈ R no nulo existe un y solo un «inverso multiplicativo»);

9. x(y + z) = xy + xz.

II. R es «ordenado»; esto es, aparte de los precedente, R también satisface que tiene un orden total ≤ tal que

1. para cualesquier x, y ∈ R, x ≤ y o y ≤ x;

2. si x ≤ y y y ≤ x entonces x = y;

3. si x ≤ y y y ≤ z entonces x ≤ z;4. x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y + z;

5. 0 ≤ x y 0 ≤ y implican que 0 ≤ xy.

III. «Axioma de Arquímedes»; para cada para 0 < x ≤ y existe un n ∈ N tal que y ≤ nx;

IV. «Axioma de los intervalos anidados» ; dada una sucesión8 de intervalos ([an, bn]) con an ≤ an+1 y bn+1 ≤bn entonces la familia tiene intersección no vacía.

La relación x ≤ y y x 6= y se escribe x < y; la relación x 6≤ y se escribe x > y.

Teorema ( 1.7.1 ) Las siguientes propiedades valen.

1. Una y solo una de las siguientes tres vale x < y, x = y, x > y.

2. Cualquier conjunto finito A ⊂ R tiene elementos máximo y mínimo.

3. Si A ⊂ R tiene n elementos entonces existe una «función creciente» (es decir, x < y ⇒ f(x) < f(y)) y solouna f : {1, . . . , n} → A tal que f es biyección.

4. Si (x1, . . . , xn) y (y1, . . . , yn) son dos familias finitas en R tales que xi ≤ yi para cada i entoncesn∑i=1

xi ≤

n∑i=1

yi; si para algún i se cumple además que xi < yi entoncesn∑i=1

xi <n∑i=1

yi.

5. Si (x1, . . . , xn) es una familia de número no negativos entoncesn∑i=1

xi ≥ 0; más, la suma es cero si y solo si

todos los xi = 0.

La primera es consecuencia de la antisimetría del orden; las demás se demuestran por inducción. �Al conjunto de número positivos se le denotará porR∗+ y al de no negativos porR+. Para cada intervalo no vacío

[a, b] se de�ne b−a ≥ 0 como su «longitud»; para x ∈ R se de�ne |x|, su «valor absoluto», como 0 si x = 0 y como

la longitud del intervalo no vacío [x, 0] o [0, x]. Se de�nen además x+ =x+ |x|

2y x− =

x− |x|2

.

8Una «sucesión» es una familia cuyo conjunto de índices esN.

8

1.7. Números reales.

Teorema ( 1.7.2 ) Lo siguiente se verifica.

1. |x| = 0 es equivalente a x = 0;

2. |x| = x es equivalente a x ≥ 0 y |x| = −x es equivalente a x ≤ 0.

3. Si a > 0 entonces |x| < a (resp. ≤) es equivalente a −a < x < a (resp. −a ≤ x ≤ a).

4. |x+ y| ≤ |x|+ |y| y ||x| − |y|| ≤ |x− y|.

5. Si z ≥ 0 y x ≤ y entonces xz ≤ yz.

6. Las relaciones x ≤ 0 y y ≥ 0 implican que xy ≤ 0. Las relaciones x ≤ 0 y y ≤ 0 implican que xy ≥ 0.Mismoresultado con desigualdades estrictas. En particular, x2 ≥ 0 y x2 = 0 equivale a x = 0.

7. Las relaciones x > 0 y x−1 > 0 son equivalentes; las relaciones 0 < x < y, 0 < y−1 < x−1 y 0 < xn < yn

son equivalentes (n ∈ N).

Algunas consecuencias más interesantes se dan como ejemplos.

Ejemplo ( 1.7.3 ) Para a < b el intervalo abierto (a, b) (no confundirse con el par ordenado) es no vacío pues

b − a > 0 y entoncesb− a

2> 0 por lo que a <

a+ b

2< b. De esto se deduce (inductivamente) que si J1, . . . , Jn

son intervalos ajenos en R con longitudes l1, . . . , ln e I es un intervalo que contiene a todos ellos entonces la

longitud l de I satisface quen∑i=1

li ≤ l. Esto es un resultado fundamental de teoría de la medida. ♣

Ejemplo ( 1.7.4 ) El conjunto Q queda caracterizado por ser el conjunto de x ∈ R tales que x =p

qpara algún

p ∈ Z y un q ∈ N. Luego,Q es enumerable pues la función (n,m) 7→ n

mdeN×N aQ+ = Q∩R+ es suprayectiva

y Q = Q+ ∪Q−. ♣

Ejemplo ( 1.7.5 ) Cada intervalo (a, b) con a < b contiene una infinitud de racionales. Pues si x = b−a > 0 existe

un n ∈ N (axioma arquimediano) tal que1

n< x. Basta considerar el caso b > 0. Otra vez el axioma arquimediano

permite concluir la existencia de un h ∈ N minimal tal que b ≤ h

n; luego c =

h− 1

nes el racional buscado. Como

a y b fueron arbitrarios, sustituye b por c y repite al infinito (aplica inducción; explícitamente, pon H el conjuntode los n tales que existe un cn+1 < . . . c1 = c racionales y cn+1 ∈ (a, cn)). ♣

Ejemplo ( 1.7.6 ) El conjuntoR no es enumerable. De lo contrario, existiría una biyección n 7→ xn deN aR.Definep(1) = 0, p(2) como el mínimo n tal que xn > x0. Supón que p(n) ha sido definida para todo n ≤ 2m−1 y que p escreciente en 1, . . . , 2m−1. Entonces, el intervalo

(xp(2m−2), xp(2m−1)

)será abierto y, por tanto, contendrá infinitos

puntos. Se puede definir p(2m) como el menor k > p(2m − 1) tal que xk cae en ese intervalo y p(2m + 1) comoel menor k > p(2m) tal que xk cae en el intervalo abierto

(xp(2m), xp(2m−1)

). Así pues, es claro que p es creciente

y que el intervalo cerrado[xp(2m), xp(2m+1)

]está contenido en el intervalo abierto

(xp(2m−2), xp(2m−1)

). Por el

axioma intervalos anidados, existe un y ∈ R que está contenido en todos los intervalos[xp(2m), xp(2m+1)

]y y no

puede coincidir con ninguno de los extremos pues los extremos están en el complemento del siguiente intervalo.Existe un q ∈ N tal que y = xq; esto es una contradicción pues si n es el más grande de los naturales tales quep(n) ≤ q entonces q < p(n+ 1) y separando en los casos n = 2m y n = 2m− 1 se ve que xq viola a p(2m+ 1) op(2m), respectivamente. ♣

9


§ 1.8. Supremos e ínfimos.

Teorema ( 1.8.1 ) Si X ⊂ R está «mayorado»9 entonces el conjunto de «mayorantes»10 tiene mínimo, el «supre-mo» de X, que se denotará por supX; el «axioma del supremo».

Sean x ∈ X y b cota superior; el axioma arquimediano permite encontrar, para cada n ∈ N, un m ∈ N talque b ≤ a + m2−n; de hecho, se puede tomar m como el mínimo natural pn que cumpla esto. De este modo, siIn = [a + (pn − 1)2−n, a + pn2−n] entonces X ∩ In no es vacío. La observación pn2−n = (2pn)2−n−1 permiteconcluir que pn+1 = 2pn o pn+1 = 2pn−1. Luego, In conforma una sucesión de intervalos anidado. La intersecciónde los In, que se denotará por J, es no vacío. Si α < β pertenecen a J entonces 1 ≥ 2n(β − α), sin importar n (hayque probar que 2n ≥ n, lo cual es inducción). Así que J = {γ}. Tal γ es mayorante deX pues de lo contrario existiríaun x ∈ X tal que x < γ y entonces 2−n < x−γ para algún n grande. Se deriva entonces que a+pn2−n < x, lo quecontradice la de�nición de pn. Del mismo modo, cada mayorante y de X satisface que y ≥ γ pues de lo contrario sededuciría la existencia de un n tal que 2−n < γ− y lo cual, a su vez, conduciría a que a+ (pn− 1)2−n es mayorantede X, lo cual sería absurdo. �

Comentario: ya todo mundo sabe que el axioma del supremo permite demostrar la propiedad de intervalos anida-dos; son lógicamente equivalentes. De hecho, el axioma del supremo equivale al «Teorema de Bolzano», como ésteutiliza nociones de continuidad, será probado hasta más adelante.

Teorema ( 1.8.2 ) Si un conjunto no vacío está minorado entonces el conjunto de sus minorantes tiene un máximo,el «ínfimo» de X, que se denotará por ınf X.

Resulta al aplicar el teorema previo a −X. �

Comentario: el supremo de X queda caracterizado por ser el único elemento tal que

1. es mayorante de X;

2. para todo natural (resp. número positivo) existe un elemento de X que dista del supremo menos que el recí-proco del natural (resp. número positivo).

Una caracterización semejante aplica para ín�mos.

Teorema ( 1.8.3 ) Las siguientes valen.

1. Si X está «acotado»11 entonces ınf X = − sup(−X).

2. A ⊂ B y A es mayorado implican que B es mayorado y supB ≤ supA;

3. Supón que (Aλ)λ∈L es una familia de elementos en P (R) tales que cada Aλ tiene supremo. Define B comoel conjunto de los números supAλ y A como la unión de la familia de los Aλ. Para que A tenga supremo esnecesario y suficiente que B tenga supremo; en este caso, supA = supB.

4. Si f : A → R entonces f está «mayorada» (resp. «minorada») si f(A) es un conjunto mayorado (resp.minorado). En tal caso, se escribirá sup f(A) = sup

x∈Af(x) (resp. ınf f(A) = ınf

x∈Af(x). Si tal f está mayorado

entonces −f está minorada e ınf(−f)(A) = − sup f(A).

9Que es lo mismo que decir que está acotado superiormente.10También llamados «cotas superiores», los cuales son elementos mayores o iguales que todo elementos de X.11Esto es, mayorado y minorado simultaneamente.

10

1.9. Referencias y comentarios �nales.

5. Si f : A1 ×A2 → R y f está mayorada entonces

sup(x1,x2)∈A1×A2

f(x1, x2) = supx1∈A1

Çsupx2∈A2

f(x1, x2)

å6. Si f, g : A→ R están mayoradas entonces f + g está mayorada y

supx∈A

(f(x) + g(x)) ≤ supx∈A

f(x) + supx∈A

g(x);

si, además, g está minorada entonces

supx∈A

f(x) + ınfx∈A

g(x)) ≤ supx∈A

(f(x) + g(x)).

Luego, si g es constante entonces supx∈A

(f(x) + c) = supx∈A

f(x) + c.

7. Con mayor aplicabilidad, si f1 : A1 → R y f2 : A2 → R está mayoradas entonces (x1, x2) 7→ f1(x1)+f2(x2)está mayorada y

sup(x1,x2)∈A1×A2

(f1(x1) + f2(x2)) = supx1∈A1

f1(x1) + supx2∈A2

f2(x2).

§ 1.9. Referencias y comentarios finales.

Para la parte de teoría de conjuntos existen varios buenos libros. Para un nivel estrictamente elemental es reco-mendable cualquiera entre los textos de Enderton, titulado Elements of set theory, y el Halmos, con título Naïve settheory. Tratados más avanzados son el de Suppes, Teoría axiomática de conjuntos (por editorial Norma, de Colombia),y el de Hrbacek y Jech, llamado Introduction to set theory (otra buena introducción está dentro del libro de topologíade Munker -Topology-). Existen tratados fundamentales, que no he leído pero cuyos autores son en general muybuenos (aunque algo magros), como el de Kelley o Bourbaki.

Un comentario respecto al axioma de elección merece la pena pues en la «vieja escuela» se había enseñado ano admitirlo como ahora (probablemente ningún matemático moderno rechace el axioma; en CIMAT tanto HelgaFetter como Fernando Galaz suelen «sacarse de onda» cuando uno menciona que usará dicho axioma). Seguramentehan odio muchas controversias al respecto de dicho axioma, entre las que destaca, sobre todas las demás, la paradojade Banach-Tarski. Algunas cosas que se «perderían» sin axioma de elección son las bases en espacios vectoriales,caracterización de la topología de espacios métricos por sucesiones (aún en R se pierde con la de�nición general,existen parches -especí�camente, cambiar abierto por intervalo cerrado con longitud positiva-), funciones aditivas,el conjunto de vitali, ultra�ltros, el teorema de Banach-Hahn (y sus consecuencias), topologías producto (y, de hecho,todo lo que tenga que ver con familias in�nitas -aún en el caso enumerable-), y un largo etcétera.

Respecto a la parte de números reales, cualquiera de los textos de arriba trae la construcción de los número realesa partir de los axiomas que están aquí expuestos. Otros libros que suponen algunas propiedades de los reales y luegodemuestran teoremas (como se hizo aquí) son el Cálculo in�nitesimal (por editorial Reverté, de España) de Spivaky Fundamentos de análisis moderno (igualmente por Reverté de España) de Dieudonné; este texto se basó casi en sutotalidad en los primeros dos capítulos del libro de Dieudonné. Un texto más elemental pero con el mismo enfoque (yque cualquier alumno de segundo año ya puede leer sin más problemas) es el libro de Hasser, LaSalle y Sullivan cuyotítulo es Análisis matemático. Curso introductorio (por editorial Trillas, de México), el cual tiene una continuaciónpero esta está enfocada a cálculo diferencial e integral en Rp.

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Sesión 2

• Jueves 29 de enero de 2015.

§ 2.1. Espacios métricos.

Es una de las generazaciones del concepto de R, en donde se ha omitido por completo la geometría y solo seinteresa en la convergencia. Es importante destacar que en un espacio métrico la métrica de�nida de antemano esimportante; esto es contrario al caso de los espacios metrizables pues en éstos lo importante es la topología dada deantemano y no qué métrica la de�ne. En lo que sigue, para evitar casos incómodos, siempre se supondrá tácitamenteque los «conjuntos ambientes» son no vacíos (en la notación de abajo, los E, E′, etcétera).

Definicion ( 2.1.1 ) Sea E un conjunto. Una «distancia» en E es una función d : E × E → R tal que

1. d(x, y) ≥ 0, «no negatividad»;

2. d(x, y) = 0⇔ x = y, «identificabilidad»;

3. d(x, y) = d(y, x), «simetría»;

4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), «desigualdad triangular».

Comentario: la desigualdad triangular se puede generalizar a n puntos por inducción y es un despeje demostrarque

5. |d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y), que también se denominará «desigualdad triangular».

Definicion ( 2.1.2 ) Un «espacio métrico» es un par ordenado (E, d) tal que E es un conjunto y d una distanciaen él.

Se escribiriá E,E′ y E′′ para denotar a conjuntos y por d, d′ y d′′ se denotarán a sendas distancias.

§ 2.2. Ejemplos.

Ejemplo ( 2.2.1 ) La función (x, y) 7→ |x − y| es una distancia en R. La idea de la prueba fue demostrada en laprimera sesión (va la parte de las propiedades del valor absoluto). ♣

Ejemplo ( 2.2.2 ) Para x = (x1, . . . , xn) y y = (y1, . . . , yn) dos elementos de Rn, define d(x, y) =n∑i=1

|xi − yi|;

la «distancia de Manhatan». Usa el ejemplo previo. ♣

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Ejemplo ( 2.2.3 ) Para x = (x1, . . . , xn) y y = (y1, . . . , yn) dos elementos de Rn, define d(x, y) como la raíz

cuadrada positiva1 del número no negativon∑i=1

|xi − yi|2; la «distancia euclidiana». ♣

Ejemplo ( 2.2.4 ) Sea A cualquier conjunto. Define E = Ac (A,R) como el conjunto de funciones A → R queestén acotadas. Define d(f, g) = sup

t∈E|f(t) − g(t)|. La función (f, g) 7→ d(f, g) es una «métrica» (sinónimo de

distancia) en E. �e d satisface la desigualdad triangular es consecuencia del teorema (1.8.3). ♣

Ejemplo ( 2.2.5 ) Sea E cualquier conjunto. Define d(x, y) como 1 si x = y y como 0 en otro caso; la «distanciadiscreta» o «identificadora». ♣

Ejemplo ( 2.2.6 ) Sea p un número primo; para cada entero no negativo n ∈ N0 se define vp(n) como el exponentede p en la descomposición por primos de n (si p no aparece, se toma como vp(n) = 0). Así que vp(nn′) = vp(n) +

vp(n′); por lo que si r = ±s

tes un racional (aquí s ∈ N0 y t ∈ N) entonces vp(r) = vp(s)−vp(t) está bien definido

y, por tanto vp(xy) = vp(x) + vp(y) para cualquier par de números racionales x y y. Define d(x, y) = p−vp(x−y)

si x 6= y y d(x, y) = 0 si x = y. Para demostrar la desigualdad triangular es suficiente mostrar la «desigualdadultramétrica»:

d(x, y) ≤ max{d(x, z), d(z, y)}.

Por la simetría de vp y su «invariancia ante traslaciones», basta probar que

d(x− y, 0) ≤ max{d(x, 0), d(y, 0)}

para x 6= 0, y 6= 0 y x 6= y. Nota que vp(x− y) ≥ mın{vp(x), vp(y)}, lo que concluye el resultado; a d se le conocecomo la «distancia p-ádica». ♣

§ 2.3. Isometrías.

Definicion ( 2.3.1 ) Una biyección f : E → E′ se llamará una «isometría» si

d′(f(x), f(y)) = d(x, y),

para cualesquier dos elementos x, y ∈ E. Dos espacios métricos cualesquiera (E, d) y (E′, d′) se denominarán«isométricos» si existe una biyección entre ellos que sea una isometría.

Teorema ( 2.3.2 ) Supón que f : E → E′ es una isometría. Entonces, f−1 : E′ → E es una isometría.

Teorema ( 2.3.3 ) Supón que f : E → E′ es una biyección y que d es una distancia en E. Entonces, la función d′

definida vía la fórmula d′(f(x), f(y)) = d(x, y) define una distancia en E′; la «transportación» de d desde E a E′.

1Si a ≥ 0 entonces el conjunto de los x enR tales que x2 ≤ a no es vacío y está acotado superiormente (02 = 0 ≥ a, para ver el acotamiento,divide en los casos a > 1 y a < 1); a su cota superior se le llamará «raiz cuadrada positiva» de a. Nota que no tiene sentido esta de�nición paraa < 0; se denotará por

√a y a 7→

√a es una función R+ → R+. Es importante notar que todavía debería ser veri�cado que (

√a)2 = a,

lo cual se deja a cargo del lector (hay que mostrar que las opciones cuando (√a)2 es < a o > a son inviables). Otro método más directo (y de

mayor aplicabilidad) es usar continuidad y el teorema de Bolzano; de�ne IR+: R+ → R+ la función identidad y nota que I2

R+(resp. In

R+para

algún natural n) es creciente, continua y no acotada, por lo que I2R+

(R+) = R+ (resp. InR+

(R+) = R+), así que existe un valor b ∈ R+ ysolo uno tal que IR+

(b)2 = a (resp. InR+

(b) = a); se de�ne entonces a b como la raiz cuadrada positiva de a (resp. la «raíz n-ésima positiva» dea); este método no genera círculos viciosos, puede hacerse sin necesidad de haber de�nido raíces previamente.

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2.4. Bolas, esferas y diámetro.

Comentario: todo teorema que únicamente involucre la distancia entre los elementos de un conjunto E quedaráautomáticamente demostrado para todo espacio métrico que sea isométrico a (E, d).

Ejemplo ( 2.3.4 ) Considera la función f : R→ I = (−1, 1) dada por f(x) =x

1 + |x|; la cual es biyectiva pues

y =x

1 + |x|⇔ x =

y

1− |y|,

(recuerda que x ∈ R y que y ∈ (−1, 1)). Sea J = [−1, 1], el intervalo cerrado. Considera dos elementos (de algúnconjunto) que no pertenezcan a R; por ejemplo, R y {R}; denótalos por R = +∞ y {R} = −∞ (los «puntos alinfinito»); defineR = R∪{−∞,+∞}. Extiende f a una biyección deR a J mediante f(−∞) = −1 y f(+∞) = 1.Denota por g a la inversa de la extensión de f. Como J es un espacio métrico con la función (x, y) 7→ |x − y| sepuede puede definir una distancia en R por d(x, y) = |f(x)− f(y)|. Al espacio métrico (R, d) se le llamará «rectareal extendida» o «recta ampliada». Nota que cuando se considera a los elementos de R con la distancia d, ésta esdiferente a aquella obtenida mediante el valor absoluto2. Además,

d(+∞, x) =1

1 + |x|para x ≥ 0,

y

d(−∞, x) =1

1 + |x|para x ≤ 0.

Se puede definir una relación de orden en R mediante x ≤ y es equivalente a f(x) ≤ f(x); se compruebaentonces que el orden en R no cambia y que −∞ < x < ∞ para todo x ∈ R. A los números en R se les llamará«finitos». Todas las propiedades del orden (y que solo involucran al orden) pueden ser transportadas inmediatamenteaR a través de la función g. Nota que un subconjunto A ⊂ R será acotado siempre; por lo que su supremo e ínfimosiempre existirá, que puede muy bien ser −∞,+∞ o algún número finito. Para una función u : A → R se puededefinir sup

x∈Au(x) e ınf

x∈Au(x); en particular, de (1.8.3), los incisos 1.-5. siguen valiendo sin cambios. ♣

Comentario: el ejemplo previo tiene la �nalidad de dar a entender que el «número»∞ no existe en un sentidocomo los número naturales o reales.

§ 2.4. Bolas, esferas y diámetro.

El lenguaje geométrico para espacios métricos es extremadamente conveniente (aún cuando éstos carecen degeometría) pues facilita su intuición.

Definicion ( 2.4.1 ) Sean (E, d) un espacio métrico, a ∈ E y r > 0. La «bola abierta» (resp. «bola cerrada»,«esfera») de «centro» a y «radio» r es el conjunto B(E,d) (a; r) = {x ∈ E|d(x, a) < r} (resp. B′(E,d) (a; r) = {x ∈E|d(x, a) ≤ r}, S(E,d) (a; r) = {x ∈ E|d(x, a) = r}). Cuando no haya peligro de ambigüedad en la distancia, solose escribirá BE (a; r) (resp. B′E (a; r) , S′E (a; r)) y si tampoco hay peligro de confusión sobre el conjunto entoncesse escribirá B (a; r) (resp. B′ (a; r) , S (a; r)).

Se promete un ejemplo para más adelante de comportamientos considerablemente extraños de las bolas .

Teorema ( 2.4.2 ) Si f : E → E′ es una isometría entonces f(B (a; r)) = B (f(a); r) .

Ejemplo ( 2.4.3 ) En el espacio discreto, una bola abierta de radio a lo más 1 se reduce a su centro, y de radio mayorque 1 es todo el espacio. La esfera correspondiente es vacía si el radio es menor o mayor que 1 y es todo el espaciomenos el centro de la esfera si el radio es 1. ♣

2De hecho mucho más; se retomará más adelante este ejemplo.

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Ejemplo ( 2.4.4 ) En R, la bola abierto de centro +∞ y radio r < 1 es el intervaloÅ

1− rr

,+∞ò. ♣

Definicion ( 2.4.5 ) La «distancia»3 entre dos subconjuntos A y B no vacíos del espacio métrico (E, d) es

d(A,B) = ınfx∈A,y∈B

d(x, y);

y cuandoA = {x}, se reduce a un punto, se escribirá d(A,B) = d(x,B).Nota que la distancia siempre es un númerofinito.

Teorema ( 2.4.6 ) Para cualesquier A y B, dos subconjuntos no vacíos del espacio métrico (E, d), se cumple qued(A,B) = ınf

x∈Ad(x,B).

Ejemplo ( 2.4.7 ) Si A ∩ B 6= ∅ entonces d(A,B) = 0; pero el recíproco no tiene que ser cierto como lo muestra

el par A = {0} y B =

Å1

n, 1

ò. Con mayor generalidad, d(A,B) = a no implica que existen a ∈ A y b ∈ B tales

que d(a, b) = a. ♣

Teorema ( 2.4.8 ) Los siguientes valen.

1. Si x ∈ {B (a; r) entonces d(x,B (a; r)) ≥ d(a, x)− r; mismo resultado cambiando B (a; r) por B′ (a; r) .

2. Si A es un subconjunto no vacío y x, y son dos elementos cualesquiera entonces

|d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y).

Lo que es inmediato de las respectivas de�niciones. �

Definicion ( 2.4.9 ) El «diámetro» del subconjunto no vacío A del espacio métrico (E, d) es

δ(A) = supx∈A,y∈A

d(x, y);

el cual es un elemento de R+ = R+ ∪ {∞} = [0,∞]. Se dirá que A está «acotado» si su diámetro es finito.

Teorema ( 2.4.10 ) Los siguientes vales.

1. El diámetro es «monótono» ante el orden de contenencia. En particular, todo subconjunto de un conjuntoacotado es, a su vez, acotado.

2. Para cualquier bola, δ(B′ (a; r)) ≤ 2r.

3. R es acotado.

4. La unión de dos conjuntos acotados es acotado; de hecho, δ(A ∪B) = δ(A) + δ(B) + d(A,B).

5. Para que un conjunto sea acotado es necesario y suficiente que esté contenido es una bola; específicamente,si A ⊂ E y x ∈ E entonces A ⊂ B (x; d(x,A) + δ(A)) .

Solo hay que probar que la unión de dos acotados es acotados y la necesidad del último inciso. Pero si A y B sonacotados y x, y ∈ A ∪B entonces; o ambos pertenecen a A, en cuyo caso d(x, y) ≤ δ(A); o ambos pertenecen a By se obtiene la desigualdad análoga; o bien, x ∈ A y y ∈ B en cuyo caso

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y).

En cualquiera de los tres casos, δ(A∪B) ≤ δ(A)+δ(B)+d(A,B). Para ver la necesidad del último inciso , considerael caso B = {x}. �

3Un mejor término sería «alejamiento» pues esto no es una distancia como de�nido antes.

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2.5. Conjuntos abiertos.

§ 2.5. Conjuntos abiertos.

Definicion ( 2.5.1 ) En el espacio métrico (E, d), a un conjunto A ⊂ E se le llamará «abierto» si satisface lasiguiente propiedad:

para cada x ∈ A, existe un r > 0 tal que B (x; r) ⊂ A.


1. El vacío y todo el espacio son abiertos.

2. Toda bola abierta es abierto.

3. La unión de una familia (Aλ)λ∈L de conjuntos abiertos es, a su vez, un conjunto abierto.

4. La intersección de una familia finita (Ai)i=1,...,n de conjuntos abiertos es, a su vez, un conjunto abierto. Nose puede mejorar para intersección enumerable.

5. En un espacio discreto, todo subconjunto es abierto.

Se demuestra cada inciso.

1. Inmediato de de�nición.

2. Pues si x ∈ B (a; r) entonces B (x; r − d(a, x)) ⊂ B (a; r) .

3. Pues si x ∈ ∪(Aλ)λ∈L existe un µ ∈ L y una bola B (x; r) tal que B (x; r) ⊂ Aµ.

4. Pues si x ∈ ∩(Ai)i=1,...,n entonces existen bolas B (x; ri) y r = mın(r1, . . . , rn) > 0, de lo cual, B (x; r) ⊂∩(Ai)i=1,...,n. Para el ejemplo, toma E = R con la distancia euclidiana y de�ne Ai = (− 1

i , 1]; entonces∩(Ai)i∈N = [0, 1] y 0 viola la propiedad de abierto.

5. Inmediato del inciso 3.

Esto concluye el teorema. �

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Sesión 3

•Martes 03 de febrero de 2015.

§ 3.1. Vecindades.

Definicion ( 3.1.1 ) Sean (E, d) un espacio métrico y A ⊂ E un subconjunto de E. Se denomirá por «vecindadabierta» deA a cualquier conjunto abierto que contenga aA; se denomirá simplemente «vecindad» deA a cualquierconjunto que contenga una vecindad abierta de A. Cuando A = {x}, se reduce a un punto, se hablará entoncesde vecindades del punto x. Una familia (Uλ)λ∈L de vecindad de A se denominará un «sistema fundamental devecindades» (abreviado s.f.v.) si toda vecindad de A contiene algún Uλ.


1. Para cada r > 0, el conjunto Vr(A) = {x ∈ E|d(x,A) < r} es una vecindad abierta de A; en general,(Vr(A))r>0 no es un s.f.v. de A.

2. Si A = {a} entonces Vr(A) = B (a; r) ; en este caso, (Vr(A))r>0 conforma un s.f.v. de A. De hecho, r puederecorrer únicamente el conjunto { 1

n |n ∈ N}.

3. La unión de cualquier número de vecindades de A es, a su vez, una vecindad de A.

4. La intersección de un número finito (no vacío) de vecindades de A es, a su vez, una vecindad de A.

5. Una caracterización de que A sea abierto es que A sea vecindad de cada uno de sus puntos.

Solo hay que demostrar el primer y la su�ciencia del último inciso; para el primero se apela al teorema (2.4.8) ypara el ejemplo se considera A = Q y E = R; para la su�ciencia se nota que, en virtud del axioma de elección, unopuede elegir vecindades abiertas (Ux)x∈A contenidas en A, y entonces A =

⋃x∈A{x} ⊂

⋃x∈A

Ux ⊂ A. �

§ 3.2. Interior de un conjunto.

Definicion ( 3.2.1 ) Un punto x se denominará «interior» para A si A es vecindad de x. El conjunto de los puntosinteriores de A se denominará «interior» de A y se denotará por A.


1. El interior de un conjunto es el abierto máximo contenido en el conjunto.

2. La función A 7→ A es monótona.

3. Para que un conjunto sea abierto es necesario y suficiente que coincida con su interior.

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4. A ∪ B ⊂ ˚A ∪B; siendo posible la contenencia estricta.

5.˚

A ∩B = A ∩ B.

En efecto,

1. Que A sea abierto es consecuencia del hecho que x ∈ A⇒ x ∈ U ⊂ A, para un abierto U ; por lo que U ⊂ A.Que A sea el abierto más grande se obtiene al considerar un abierto B ⊂ A y notar entonces que todo puntox ∈ B es interior para A.

2. Inmediato de la de�nición.

3. Inmediato de las propiedades previas.

4. Solo hay que dar el ejemplo; toma A = Q y B = {Q, con E = R.

5. La contenencia⊂ se sigue sin más, mientras que la otra es consecuencia inmediata de que A∩ B es un abiertocontenido en A ∩B.


Definicion ( 3.2.3 ) Un punto x se llamará «exterior» para A si x es interior para E \ A. Al interior de E \ A sele denominará «exterior» de A.

Teorema ( 3.2.4 ) El exterior de A son aquellos puntos x tales que d(x,A) > 0.

§ 3.3. Conjuntos cerrados, puntos de acumulación, cerradura de un conjunto.

Definicion ( 3.3.1 ) En un espacio métrico, un «conjunto cerrado» es el complemento de un conjunto abierto1. Un«punto de acumulación» de A es un punto tal que todas sus vecindades intersectan a A en un conjunto no vacío2.La «cerradura» de un conjunto es el conjunto de sus puntos de acumulación; si A es un conjunto, A denotará a sucerradura3.

Teorema ( 3.3.2 ) Lo siguiente es cierto.

1. Una bola cerrada es un conjunto cerrado; una esfera es un conjunto cerrado.

2. La intersección de una familia cualquiera (no vacía) de conjunto cerrados es un conjunto cerrado.

3. La unión de una familia finita de conjutos cerrados es un conjunto cerrado.

4. En un espacio discreto, todo conjunto es cerrado.

5. La cerradura de un conjunto es el complemento de su exterior; en particular, la cerradura es un cerrado.

6. La función A 7→ A es monótona.

7. La cerradura de un conjunto es el cerrado mínimo que lo contiene.

8. A ∩B ⊂ A ∩B; pudiendo ser la contenencia estricta.

9. A ∪B = A ∪B.1Por alguna razón, esto suele entenderse como «un conjunto es cerrado si no es abierto».2A veces se da esta de�nición como la de «punto límite» y se reserva punto de acumulación cuando la intersección tiene al menos un punto

que no sea al que se le aplica la de�nición.3Se verá queR, visto como subconjunto deR satisface que la cerradura deR enR esR por lo que la notación es consistente.

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3.3. Conjuntos cerrados, puntos de acumulación, cerradura de un conjunto.

10. Una caracterización (y posiblemente la más útil) de quex es un punto de acumulación deA es que d(x,A) = 0.

11. A =⋂r>0

Vr(A) =⋂n∈N

V 1n

(A); cuandoA es cerrado, se ve entonces que todo cerrado es la intersección de una

familia enumerable de conjuntos abiertos; esto es, todo cerrado es «Gδ». Consecuentemente, todo abierto esla unión de una familia enumerable de cerrados; esto es, todo abierto es «Fσ».

12. Si el punto de acumulación x de A no pertenece a A entonces para toda vecindad V de x el conjunto V ∩ Aes infinito. De hecho, esto es una caracterización sobre la hipótesis de que x /∈ A.

13. Si A ⊂ R está mayorado (resp. minorado) entonces supA (resp. ınf A) es punto de acumulación de A.

Se mostrará cada inciso.

1. Directo de las de�niciones y (2.4.8).

2. Directo de (3.1.2).



5. Directo de la de�nición.

6. Pues si A ⊂ B y x es punto de acumuluación de A, con mayor razón, es punto de acumulación de B también.

7. Que sea el mínimo es directo de que el exterior es el máximo abierto.

8. Directo del inciso previo; para el ejemplo toma A = [0, 1), B = (1, 2] y E = R.

9. Para ⊂ nota que A ∪B es un cerrado que contiene a A ∪B; para la otra contenencia nota que A ⊂ A ∪B yB ⊂ A ∪B, y usa la monotonía de la cerradura.

10. Directo de la de�nición.

11. Pues si x ∈ A entonces (B (x; r))r>0 y (B(x; 1

n

))n∈N son s.f.v. de x.

12. En caso contrario, existe una vecindad V de x tal que V ∩A = {y1, . . . , ym}. Entonces, para s, de�nido comoel mínimo de la familia de números positivos (d(x, y1), . . . , d(x, ym)), es > 0 y se puede tomar 0 < r < s talque B (x; r) ⊂ V, lo cual es absurdo pues entonces B (x; r) ∩A = ∅.

13. Directo de la de�nición de ín�mo para R (ve el comentario posterior al axioma del ín�mo).

Esto concluye la demostración. �

Definicion ( 3.3.3 ) Un punto x es «punto de frontera» o «en la frontera» deA si x es de acumulación deA y {A.Al conjunto de puntos frontera de A se le denotará por ∂A y se le denominará «frontera» de A.

Teorema ( 3.3.4 ) Las propiedades siguientes valen.

1. La frontera de A coincide con la de {A. De hecho, ∂A = A ∩ {A.

2. Los puntos frontera deA quedan caracterizados por la propiedad de que todas sus vecindades tienen al menosun punto de A y un punto de {A.

3. La frontera es un conjunto cerrado, que puede ser vacío.

4. El espacio completo queda partido por el interior, exterior y frontera de cualquiera de sus subconjuntos.

5. La frontera de un intervalo [a, b] (a < b) es {a, b}.

Es corolario de la de�nición y los teoremas previos. �

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§ 3.4. Espacios ultramétricos.

Definicion ( 3.4.1 ) Un espacio métrico (E, d) se denominará «ultramétrico» (y a d una «ultramétrica») si satisfacela desigualdad ultramétrica (2.2.6).

Teorema ( 3.4.2 ) Sea (E, d) un espacio ultramétrico. Entonces para cualesquier tres elementos x, y y z en E yr′, r > 0 se satisface lo siguiente;

1. si d(x, y) 6= d(y, z) entonces d(x, z) = max(d(x, y), d(y, z));

2. la bola abierta B (x; r) es un conjunto cerrado;

3. si y pertenece a la bola abierta B (x; r) entonces y es un centro de la bola;

4. la bola cerrada B′ (x; r) es un conjunto abierto;

5. si y pertenece a la bola cerrada B′ (x; r) entonces y es un centro de la bola;

6. si z pertenece a las dos bola B (x; r) y B (y; r′) entonces una de las bolas está contenida en la otra;

7. si las dos bolas abiertas B (x; r) y B (y; r) están contenidas, sin ser la misma bola, en la bola cerrada B′ (z; r)entonces la distancia entre ellas es r.

Se verá cada inciso.

1. Supón que d(x, y) < d(y, z); se sabe que d(x, z) ≤ d(y, z); por otro lado, d(y, z) ≤ max(d(x, y), d(x, z)), dedonde surge la igualdad.

2. Supón que d(x,B (y; r)) = 0 y que x 6= y, entonces , para n ∈ N, la vecindad B(x; 1

n

)intersecta a la bola en

algún yn (axioma de elección); si yn 6= x entonces d(x, y) = max(d(y, yn), d(yn, x)) < max(r, 1n ).

3. Pues si z pertenece a la bola B (x; r) y z 6= y entonces d(z, y) = max(d(x, y), d(z, x)) < r; como x ∈ B (y; r)entonces B (x; r) ⊂ B (y; r) .

4. Supón que d(y, x) ≤ r y que z ∈ B(y; r2

). Entonces d(x, z) = max(d(x, y), d(y, z)) ≤ r.

5. Mismo que 3. cambiando < por ≤ .

6. Si r ≤ r′ entonces B (x; r) = B (z; r) ⊂ B (z; r′) = B (y; r′) .

7. Es inmediato, pues d(x, y) ≥ r por lo que si a ∈ B (x; r) y b ∈ B (y; r) entonces B (a; r) = B (x; r) yB (b; r) = B (y; r) no se intersectan, de donde, d(a, b) ≥ r; por otro lado, d(a, b) ≤ max(d(a, z), d(b, z)) ≤ r.


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