sesion 03 - recta y parabola

RECTA Y PARÁBOLA

Sesión Nro 03

Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva

INTRODUCCIÓN• Entre mayor

contaminación mayor pago o gravamen.

• La idea es dar a los fabricantes un incentivo para no contaminar mas de lo necesario.

FUNCION LINEAL


Análisis de Sistema de Funciones• Línea 1: Compañía q contamina de

manera indiscriminada puede casi siempre reducir en alguna manera su contaminación a un costo mínimo. Pero conforme la contaminación disminuye aumenta el costo por tonelada de limpieza aumenta.

• Línea 2: Es un costo de gravamen menos critico pero de manera proporcional positiva.

• Línea 3: Esquema en el que los fabricantes que contaminan poco pagan un gravamen alto por tonelada

Toneladas totalesDe contaminación

Costo por tonelada de limpieza o gravamen

1

23

B A


RECTAS EN EL PLANO• La función lineal: y = a · x• Para el problema de la contaminación industrial, algunas

personas recomiendan una solución basada en el mercado: dejar que los fabricantes contaminen, pero hacer que ellos paguen por ese privilegio.

Su gráfica es una recta que pasa por el Origen de Coordenadas (0,0).

• Al coeficiente a le llamamos pendiente• La inclinación de la recta depende del valor de la pendiente• pendiente positiva inclinación hacia la derecha.• pendiente negativa inclinación hacia la izquierda.


INTERSECCIÓN

• Para saber las coordenadas del punto de corte de dos rectas, sólo tenemos que resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas

(Ver Ejemplo)


Pendiente de una Función Lineal:• La característica de una recta es su “inclinación” .• Para medir la inclinación de una recta usamos la noción de

pendiente que es la razón de cambio en “y” con respecto a “x”.

• Sea (x1,y1) y (x2,y2), dos puntos sobre una recta, la pendiente de la recta esta dado por:


Ecuación de una Recta:• Si conocemos un punto y la pendiente de una

recta, podemos encontrar una ecuación cuya grafica sea esa recta. Suponga que la recta L pendiente “m” y pasa a través del punto (x1,y1). Si (x, y) es cualquier otro punto sobre “L”, utilizando la formula de la pendiente, tenemos que:


INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS

Sean las rectas:y = 2x e y = x - 5.

Para calcular el punto donde se cortan esas rectas, resolvemos el sistema.Sustituyendo en la segunda ecuación el valor de y de la primera tenemos:

2x = x - 5.Luego x = - 5 e y = -10


PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS

• RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

m1 = m2

• RECTAS PERPENDICULARES: Esto significa que la recta es la misma. Ocurre que a veces, nos dan la ecuación de la recta en distinta forma, pero en realidad se refieren a la misma recta:

m1* m2 = -1


DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:• DISTANCIA ENTRE

DOS PUNTOS P(X1,Y1), Q(X2,Y2) ES EL MÓDULO DEL VECTOR PQ

DIST(P,Q) =|PQ| =


PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:Las coordenadas del punto medio M de un segmento son la semisuma de las coordenadas del los extremos del segmento, A y B:A = (x1,y1); B = (x2,y2)M = (x,y),donde:x = (x1 + x2) / 2; y = (y1 + y2) / 2;

(ver ejemplo)


APLICACIÓN DE LAS FUNC. LINEALESNiveles de Producción:Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos A y B que requiere de 2 y 4 libras de material por unidad, respectivamente. Si x e y denotan un numero de unidades producidas de A y B, respectivamente entonces todos los niveles de producción están dados por las combinaciones de x e y que satisfacen la ecuación:

Por tanto, los niveles de producción de A y B están relacionados Linealmente. Al resolver para “y”, se obtiene:

FUNCIÓN CUADRÁTICA


PARÁBOLA• Una función cuadrática es la

que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

donde a, b y c son constantes y a distinto de 0.• El vértice es (-b/2a, f(-b/2a))

esto es:Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.• La intersección “y” es en c.


INTERSECCIÓN DE RECTAS CON PARÁBOLAS • Tenemos la recta: 2x – y - 12 = 0

y la parábola y2 = 12x• Para saber su intersección se

debe despejar las X e igualarlas: x = (12 + y) / 2, x = y2 / 12

x = xEntonces: (12 + y) / 2 = y2 / 12

(12 + Y)12 = 2y2,Entonces: 144 + 12y = 2y2• Simplificando dividiendo por 2.

72 + 6y = y2• Igualando a cero (0).

Y2 - 6y – 72 = 0

• Utilizando la ecuación cuadrática:

y=12 y=-6• Teniendo lo dos valores de Y

reemplazamos en cualquier ecuación:

x=12 x=3• Por lo tanto los puntos de

intersección son: (12,12) y (3,-6) como lo muestra el siguiente grafico


GRAFICO DE LA INTERSECCION DE LA PARABOLA CON LA RECTA


APLICACIÓN DE LAS FUNC. CUADRATICASIngreso Máximo:La función de demanda para un producto es:

p=1000-2q, Donde p es el precio por unidad cuando “q” unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del productor, y determinar ese ingreso:

Para maximizar el ingreso, debemos determinar la función de ingreso,r = p * q,

utilizando la relación: Ingreso total = Precio * CantidadPor medio de la ecuación de demanda, podemos expresar p en terminos de q de modo que r será estrictamente una función de q.


APLICACIÓN DE LAS FUNC. CUADRATICASIngreso Máximo:La función de demanda para un producto es:

p=1000-2q, Donde p es el precio por unidad cuando “q” unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del productor, y determinar ese ingreso:

Entonces el valor máximo, esta dado por:

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