sesión: 5 fecha: 08/02/14 modelizaciÓn: “el mÉdico, la...

ESTALMAT-Andalucía Actividades 13/14 Sesión: 5 Fecha: 08/02/14 MODELIZACIÓN: “EL MÉDICO, LA PROFESORA, Veteranos EL TÍO JUAN Y EL PRIMO DE ZUMOSOL” ________________________________________________________________________________

Antonio Gámez Mellado y Manuel Martínez Díaz - 1 -

MODELIZACIÓN:MODELIZACIÓN:

“EL MÉDICO, LA PROFESORA, EL TÍO JUAN Y

EL PRIMO DE ZUMOSOL” EL MÉDICO: Manuel Elkin Patarrollo: Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica y Técnica, 1994. Abril 2006:

“…Un problema biológico, convertido en un problema químico, que puede transformarse en físico y por lo tanto, definirse de forma matemática”…

“…Es entonces cuando nos hemos dado cuenta de que detrás de la Biología y de la Física existe un modelo matemático que nos puede dar las claves para vacunas a medida… …Por ello el hallazgo de un modelo matemático que permita a biólogos y clínicos indagar sobre cuáles son los mecanismos que cada cepa del virus utiliza para introducirse en las células del individuo supondría un gran avance a la hora de diseñar una vacuna eficaz para sus miles de variantes.”

Marzo 2011:

Manuel Elkin Patarroyo ha presentado un método universal para llegar a desarrollar vacunas. “…Esto es como tener una manera matemática de llegar a desarrollar vacunas. Cuando usted quiere construir un edificio, primero tiene que averiguar mediante cálculos matemáticos cómo es la estructura que tiene que fabricar; basado en esos principios, usted puede hacer todos los edificios que quiera y en la forma que lo desee”

http://media8.rtve.es/resources/TE_SDIA14/mp3/7/7/1301317050777.mp3 http://www.cienciapopular.com/n/Medicina_y_Salud/Vacunas_Sinteticas/Vacunas_Sinteticas.php http://www.youtube.com/watch?v=fhONjjfGAho



LA PROFESORA:

Una imagen vale más que mil palabras. La profesora de 2009, después de realizar una prueba a sus alumnos/as, observó que los resultados habían sido catastróficos.

1,5 3 2,5 6 4,5 7,25 3,75 5,5 3,5 6 4,5 5 1,5 3 0,25 2 4 5,5 4 3,25

4,75 2,75 4,25 3,5 2 Tabla 1: Calificaciones de los estudiantes.

La profesora pensó que de alguna manera debería “maquillar” dichos resultados. En otras palabras, quería ajustar esas calificaciones o buscar un factor de corrección que mejorara, no los resultados, pero si las notas. La profesora buscaba un modelo funcional.



El TÍO JUAN: El tío Juan es un cocinero que realiza paellas gigantes para grandes eventos.

El tío Juan comprobó experimentalmente que la consabida regla que dice que hay que echar dos vasos de agua por cada vaso de arroz, para que el arroz salga en su punto no funciona cuando las paellas se hacen para grandes raciones. Siguiendo esa regla intentó hacer una paella para 100 personas. El resultado fue catastrófico. La experiencia y las pruebas lo llevaron a la tabla 2 de datos que figura a continuación. En concreto se dio cuenta de lo siguiente:

Raciones (personas) Agua (litros) Arroz (gramos) Agua/Arroz 4 1,6 450 3,56 6 2,4 650 3,69

110 20 11000 1,82 160 30 16000 1,88

Tabla 2: Cantidades de agua y arroz en función del número de raciones de paella. La pregunta que se plantea “El tío Juan” es la siguiente: ¿existirá un modelo matemático que me de la cantidad de agua que debo aportar para hacer una paella para un número determinado de personas? Pensó que podrían influir otras variables: Diámetros de las paelleras, altura de la misma, cantidad de aceite, cantidad de tomate, etc.



EL PRIMO DE ZUMOSOL: Gracias a la publicidad y eslóganes como "el Primo de Zumosol", la empresa Pascual se convirtió en los años 1990 en líder del mercado lácteo español. Suponemos que hoy la publicidad sigue ejerciendo los mismos o mayores efectos, pero nos preguntamos ¿con la cantidad de marcas comerciales de zumos de naranja que hay en el mercado, cuál será la mejor? ¿Podemos crear un modelo que nos permita evaluar –comparar- los zumos de naranja del mercado? ¿Qué variables o factores tendremos que tener en cuenta para construir nuestro modelo? ¿Cómo tomaremos los datos para construir el modelo? ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra? ¿Existe un único modelo o puede haber muchos modelos válidos? Todos estos casos tienen algo en común, la necesidad de buscar un modelo matemático. ¿Tan importante es esto, que todo el mundo lo busca?



¿QUÉ ES?



ETAPAS PRINCIPALES EN EL PROCESO DE MODELIZACIÓN

Las principales etapas o fases en el proceso de Modelización son las siguientes:

I. Análisis de la situación real. II. Planteamiento de algunas hipótesis o conjeturas.

III. Experimentación y recogida de datos. IV. Propuesta de un Modelo Matemático. V. Interpretación y validación del Modelo.

VI. Planteamiento de nuevas situaciones. VII. Síntesis y conclusiones.

A continuación se van a plantear algunas situaciones que requieren de la búsqueda, el análisis y la discusión de modelos matemáticos. En una primera propuesta se pretende encontrar el modelo que susyace en una situación física, en segunda instancia se plantea la construcción de un modelo social. Partiremos de un modelo físico, del que se van a derivar nuevas cuestiones, para reformular el problema, encontrar otras situaciones reales, y plantear nuevos modelos. En la segunda propuesta, que corresponde a un modelo social, trataremos de abordar una situación más amplia en la que se pueden plantear diversos modelos matemáticos, todos útiles, pero que nos dan lugar al planteamiento de nuevas cuestiones como la justicia, la igualdad, etc.



MODELIZACIÓN: Fase I. Situación Nº 1: Vasos Rodantes.

Observa diferentes vasos. Imagina que ruedan por el suelo.

Fase I) Enuncia algunas preguntas sobre esta situación:

a) ¿Ruedan los vasos describiendo alguna figura conocida? b) ¿Cómo se puede predecir la curva que describen al rodar? c) ¿Qué pasaría si no hubiese rozamiento o no hubiese suficiente rozamiento? d) ¿Qué pasaría si los vasos resbalan pero no ruedan? e) ¿Dependerá el movimiento de la forma de los vasos? f) … g) …

Plantea al menos otras dos preguntas, e intenta responder a las preguntas anteriores.

a) b) c) d) e) f) g)



MODELIZACIÓN: Fase II. Situación Nº 1: Vasos Rodantes.


Fase II) Plantea algunas hipótesis o conjeturas sobre esta situación:

a) Cuando se usa este tipo de vaso, la figura que describe al rodar, o la situación que se da es …

b) Si se hace rodar el vaso con demasiada fuerza entonces, … c) Cuando el vaso se para, podemos observar que antes de pararse … d) Si el movimiento de rodadura se hiciese sobre un plano inclinado, entonces … e) Siempre estoy considerando que las caras del vaso son … f) … g) …

Plantea al menos otras dos hipótesis, e intenta completar las conjeturas anteriores.

a) b) c) d) e) f) g)



MODELIZACIÓN: Fase III. Situación Nº 1: Vasos Rodantes.


Fase III) Experimenta y recoge datos sobre esta situación:

a) ¿Podrías explicar y comprobar las hipótesis anteriores? b) ¿Cuáles no puedes? ¿Por qué? c) ¿Necesitas tomar datos? ¿Por qué? d) ¿Has probado a experimentar con vasos de distinto tamaño, forma, etc.? e) ¿Se comportan todos los tipos de vasos de la misma forma? f) ¿Qué variables has considerado? ¿Por qué? ¿Qué unidad de medida?? g) … h) …

Plantea al menos otras dos preguntas o reflexiones sobre la fase de experimentación, e intenta responder las preguntas anteriores.

a) b) c) d) e) f) g) h)

Anota los resultados obtenidos en esta fase de experimentación en esta tabla:



MODELIZACIÓN: Fase IV. Situación Nº 1: Vasos Rodantes.


Fase IV) Modelo Matemático para esta situación:

a) Identifica con los datos que has obtenido en la fase anterior, las variables, … b) Visualiza, representa, o haz diagramas con los datos experimentales. c) ¿Necesitas nuevos datos? ¿Por qué? d) Cambia y/o identifica las variables de modo sistemático. e) Haz cálculos con los datos obtenidos y anota los resultados. f) Plantea nuevas conjeturas y/o generalizaciones. g) Usa el razonamiento lógico deductivo para obetener nuevas relaciones. h) Simplifica y agrupa. i) j)

Plantea al menos otras dos preguntas o reflexiones sobre la fase de modelización matemática, e intenta responder/justificar las preguntas/reflexiones anteriores.

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

Anota el modelo/s matemático/s a los que has llegado para explicar la situación inicial:

k) Modelo 1:

l) Modelo 2:



MODELIZACIÓN: Fase V. Situación Nº 1: Vasos Rodantes.


Fase V) Interpretación y Validación del Modelo Matemático para esta situación:

a) ¿Podrías explicar y comprobar el modelo/modelos obtenidos anteriormente? b) Usa el modelo/s encontrado/s para pronosticar o deducir el comportamiento del

movimiento de un vaso nuevo con el que no hayas experimentado en la fase III. c) ¿Qué pasaría si los radios/diámetros de la base y de la boca del vaso fuesen

iguales? ¿Explica o contempla tu modelo esta situación? d) ¿Qué pasaría si uno de los radios fuese nulo? ¿Explica o contempla tu modelo

esta situación? e) f)

Plantea al menos otras dos explicaciones o reflexiones sobre la fase de interpretación y validación, e intenta responder/justificar las preguntas/reflexiones anteriores.

a) b) c) d) e) f)



MODELIZACIÓN: Fase VI. (1) Situación Nº 1: Vasos Rodantes.


Fase VI) Nuevas situaciones y/o nuevas cuestiones:

Otras preguntas relacionadas con la situación inicial:

a) ¿Cómo tendríamos que modificar o diseñar un nuevo vaso para que la longitud de la circunferencia que describe sea mayor?

b) ¿Cómo tendríamos que modificar o diseñar un nuevo vaso para que la longitud de la circunferencia que describe sea menor?

c) Con los datos de que dispones, ¿cuál sería el volumen de un vaso con forma de tronco de cono?

d) ¿Por qué motivos los vasos suelen tener forma de tronco de cono? Piensa en los modelos de utilidad, tales como ergonomía, usabilidad, apilamiento, etc.

e) Piensa en un vaso concreto que tenga un dibujo, etiqueta, etc. ¿Cuántas vueltas dará sobre sí mismo al desplazarse sin resbalar a lo largo de una vuelta completa sobre la circunferencia de rodadura? Pon una marca en el vaso, o una etiqueta y observa esta nueva situación.

f) ¿Dependerá la situación anterior de las dimensiones del vaso? ¿Por qué? g) Identifica esta situación del movimiento de un vaso rodante en el mundo que te

rodea, o en la realidad. ¿Dónde aparecen situaciones como la del vaso rodante?

h) i)

Plantea al menos otras dos nuevas cuestiones, e intenta responder/justificar las preguntas/reflexiones anteriores.

a) b) c) d) e) f) g) h) i)



MODELIZACIÓN: Fase VI. (2) Situación Nº 1: Vasos Rodantes.


Fase VI) Nuevas situaciones y/o nuevas cuestiones:

Otros problemas o nuevas situaciones relacionadas con la situación inicial:

a) Piensa en dos monedas iguales. Gira una de las monedas alrededor de la otra sin resbalar. Si la moneda que gira tiene la cara de un personaje, ¿cuántas vueltas completas dará la figura del personaje sobre sí mismo cuando se desliza una vuelta completa?

b) Y si la moneda que gira es la mitad que la moneda sobre la que gira, ¿cuántas vueltas completas dará una figura sobre sí misma en una vuelta?

c) Con dos monedas iguales, piensa en un punto concreto de la primera moneda. Observa el movimiento de ese punto al girar la primera moneda sobre la segunda. ¿Qué figura describe el movimiento de ese punto?

d) Con dos monedas una el doble que la otra, piensa en un punto concreto de la moneda más pequeña. Observa el movimiento de ese punto al girar la moneda pequeña sobre la segunda. ¿Qué figura describe el movimiento de ese punto?

e) Y si las monedas están en relación 1/3, ¿cuántas vueltas dará una sobre la otra? ¿Qué figura describe un punto concreto de la moneda al girar sobre la otra?

f) Observa el movimiento de un punto de la moneda que gira alrededor de la segunda. ¿Qué figura describe el movimiento de ese punto si el radio de la circunferencia sobre la que gira tiende a infinito?

Intenta responder/justificar las preguntas/reflexiones anteriores.



MODELIZACIÓN: Fase VII. (1) Situación Nº 1: Vasos Rodantes.


Fase VII) Síntesis y Conclusiones:

a) La figura que describe el movimiento de un vaso rodante es una circunferencia. b) El comportamiento del vaso en el movimiento es igual que el que tendría un

cono. El vértice del cono coincidirá con el centro de la circunferencia de rodadura.

c) El modelo matemático que determina el lado del cono o generatriz del mismo en función de los datos básicos del vaso troncocónico es el siguiente:

Denotamos R al radio de la boca del vaso, r el radio de la base o culo del vaso, y l la longitud de la pared exterior del vaso, entonces el modelo matemático que determina la longitud de la generatriz del cono L, que coincidirá con el radio de la circunferencia de giro del vaso es el siguiente:

d) Hemos considerado que la cara superior del vaso y la base del mismo son paralelas.

e) También hemos considerado que el radio de la boca del vaso es menor o igual que el radio de la base o culo del vaso.

f) Para el caso límite, en que el radio de la base del vaso sea nulo, el vaso tendrá forma cónica, que está contemplado en el modelo matemático.

g) El otro caso límite se daría cuando los radios de la base y de la boca del vaso son iguales. Esta situación se dará cuando las caras laterales del vaso sean paralelas (la forma del vaso pasa a ser cilíndrica). En esta situación, el movimiento del vaso rodante se explica en el modelo matemático, haciendo que R tienda a r, con lo que el radio de la circunferencia de giro será infinito, o lo que es lo mismo, el vaso no gira, sino que se desplaza siguiendo dos rectas paralelas.






a) La figura que describe el movimiento de un vaso rodante es una circunferencia. b) El comportamiento del vaso en el movimiento es igual que el que tendría un

cono. El vértice del cono coincidirá con el centro de la circunferencia de rodadura.

Podemos ver el modelo matemático, en sus casos límite en las siguientes figuras de Geogebra:

Figura 1: Vaso rodante con forma de cono.

Figura 2: Vaso rodante con radios de base y boca iguales. Forma cilíndrica.






Podemos ver el modelo matemático, la circunferencia de giro, el cono de giro, y algunos datos experimentales, en la siguiente figura de Geogebra:

Figura 3: Vaso rodante con forma troncocónica. Podemos ver en la siguiente figura, figura 4, las ruedas de un molino de almazara que giran de forma similar a nuestros vasos rodantes:





Figura 4: Molino de aceite con un rulo con forma troncocónica.



MODELIZACIÓN: Fase I. Situación Nº 2: Maquillando los resultados. Una profesora estaba descontenta tras los resultados obtenidos por sus alumnos después de realizar una prueba a éstos. Observó que los resultados habían sido catastróficos y que tal vez la prueba había sido un tanto difícil. La profesora pensó que de alguna manera debería “maquillar” dichos resultados. En otras palabras, quería ajustar esas calificaciones o buscar un factor de corrección que mejorara, no los resultados, pero sí las notas. Las notas del alumnado eran las siguientes:

1,5 3 2,5 6 4,5 7,25 3,75 5,5 3,5 6 4,5 5 1,5 3 0,25 2 4 5,5 4 3,25

4,75 2,75 4,25 3,5 2 Tabla 3: Calificaciones del alumnado.

Fase I) Enuncia algunas preguntas sobre esta situación:

a) ¿Qué queremos conseguir? ¿Cuál es el objetivo? b) ¿Qué transformaciones recomendarías a la profesora de forma que corrija esas

notas, mejorándolas de la manera más razonable que pueda? c) d)

Responde a las preguntas anteriores y plantea al menos otras dos preguntas nuevas.

a) b) c) d)



MODELIZACIÓN: Fase II. Situación Nº 2: Maquillando los resultados.

Con las transformaciones que has pensado anteriormente, responde a las preguntas:

Fase II) Plantea algunas hipótesis o conjeturas sobre esta situación:

a) ¿Cómo crees que afectarán a la media aritmética de las notas? b) ¿A quiénes crees que le mejorarán más las notas? c) ¿A quiénes perjudicará?

Responde a las preguntas anteriores y plantea otras preguntas nuevas.

a) b) c)



MODELIZACIÓN: Fase III. Situación Nº 2: Maquillando los resultados.

Con las transformaciones que has pensado anteriormente:

Fase III) Experimenta y recoge datos sobre esta situación:

Abre el fichero de geogebra “notas.gbb”, en el que tienes una hoja de cálculo en la que en las columnas A,B y C tienes respectivamente la frecuencia de cada nota, la nota y su producto para, en la casilla B21 calcular la media aritmética de las notas. Igualmente tienes preparadas otras columnas para que programes la transformaciones que consideres oportunas a las notas y que calcules la media correspondiente. ¿Cómo afectan los cambios a la media aritmética de las notas?.

Anota los datos más relevantes que obtengas sobre esta situación.



MODELIZACIÓN: Fase IV. Situación Nº 2: Maquillando los resultados.

Fase IV) Modelo Matemático para esta situación:

a) En la columna D tienes los puntos con sus coordenadas para representarlos gráficamente. ¿Puedes representar gráficamente en unos ejes cartesianos el modelo funcional que no transforma las notas, es decir, el que las deja igual que estaban?

b) Intenta expresar gráficamente lo que estamos buscando. ¿Cómo se vería gráficamente la transformación que estamos buscando? ¿Cuántas transformaciones podrían ser válidas?

c) Se haga la transformación que se haga, todas deben cumplir unas condiciones. Estas condiciones serán los axiomas del modelo matemático que asumamos. ¿Cuáles son? Probablemente necesites crear una serie de definiciones o de notación. Intenta crear una notación general.

d) Seguro que conoces familias de funciones que cumplen más o menos los axiomas que deben de verificarse. Si no los cumplen todos, ¿podrías modificar ciertos parámetros de las funciones para conseguir que los cumplan? Crea distintos modelos funcionales basados en estas familias de funciones.

e) Si has creado los modelos para el sistema de evaluación español, ¿podrías adaptarlos para un sistema de evaluación más global o general? ¿Cómo?



MODELIZACIÓN: Fase V. Situación Nº 2: Maquillando los resultados.

Usando GeoGebra y una hoja de cálculo:

Fase V) Interpretación y Validación del Modelo Matemático para esta situación:

a) Representa con GeoGebra los distintos modelos funcionales. b) Encuentra y realiza un procedimiento en GeoGebra que te permita visualizar el

porcentaje de incremento que supone la transformación a cada nota. c) Analiza a nivel gráfico y algebraico a qué grupo de alumnado beneficia más un

modelo que otro. d) Encuentra en cada modelo qué nota original corresponderá con el aprobado

raspado, esto es, con el 5.0 e) Busca modelos radicales y analiza las diferencias entre éstos, cuando cambia el

índice de la raíz. f) Para todos los modelos que estás estudiando, completa la hoja de cálculo y

observa las medias aritméticas obtenidas. g) Si queremos aprobar a un porcentaje concreto de alumnos, ¿cómo deberíamos

proceder para saber a qué nota corresponderá el aprobado? Practícalo con las calificaciones originales que se han dado en la tabla 3.

h) Si queremos que a la máxima nota obtenida le corresponda una nota de 10, ¿cómo cambiarán todos los modelos?



MODELIZACIÓN: Fase VI. Situación Nº 2: Maquillando los resultados.

Fase VI) Planteamiento de nuevas situaciones o nuevas preguntas:

Otros problemas o nuevas situaciones relacionadas con la situación inicial:

a) Piensa en otros conjuntos de datos. Si en lugar de calificaciones de un examen fuesen los ingresos de un conjunto de personas, ¿cómo se podría disminuir la desigualdad de dichos ingresos?

b) Piensa en otros conjuntos de datos. Si en lugar de calificaciones de un examen fuesen los ingresos de un conjunto de personas, ¿cómo se podría aumentar la desigualdad de dichos ingresos?

c) Habrá alguna medida que nos informe del grado de desigualdad de las rentas o salarios de un conjunto de personas.

d) De todos los modelos matemáticos que has planteado para la situación inicial, ¿cuál es más justo?

e) ¿Podrías diseñar un modelo que maquillase las notas en sentido contrario al planteado en la situación modelada? Esto es, si casi todos los alumnos han obtenido una calificación muy alta, cómo podríamos maquillar ahora dichas notas.



MODELIZACIÓN: Fase VII. Síntesis y Conclusiones. Situación Nº 2: Maquillando los resultados.


A diferencia de la situación anterior, la de los vasos rodantes, aquí encontramos muchos modelos que podrían servir. Es importante exponer claramente el objetivo que pretendemos o que pretende la profesora, que no es otro que la media aritmética de las notas mejore y que el número de aprobados sea mayor. Inicialmente y guiados por nuestra experiencia podríamos pensar en que una solución

sería aproximar la nota al entero superior: si la nota no fuera

entera, y dejarla igual en el caso de que fuera entera. A poco que observemos veremos que con ello, aunque se aumente un poco la nota media, sólo se conseguiría aprobar más a los que se encontraran en el intervalo (4,5), que al fin y al cabo son pocos. Otra opción posible, que se podría haber planteado, es sumarles a todos una cierta cantidad: f(x)=x+C.

Otra, sería incrementarles un porcentaje de la nota: .

En el caso de sumar a todos una cantidad, la media aumentaría justo en esa cantidad. En el caso de aumentar un porcentaje, es decir de multiplicar la nota original por una cantidad mayor que la unidad, la media también se transformaría de la misma manera. Todas estas posibilidades y otras parecidas se vendrán por tierra cuando planteémos la condiciones que debería cumplir el modelo que adoptemos. Comenzamos por crear una notación: x: Nota original , f(x): Nota transformada, a: Mínima nota obtenida por un alumno b: Máxima nota obtenida por un alumno, N: Máxima nota posible (en nuestro sistema, 10) Axiomas:

1. El alumno/a que tiene un cero, aunque se le aplique la transformación que se le aplique debería seguir teniendo un cero. Igualmente la máxima nota (10) tiene que transformarse en un 10. No se puede obtener más: f(0)=0; f(N)=N.

2. Queremos que cualquier alumno/a aumente la nota, dado que en los extremos se mantiene: .

3. El modelo debe de mantener la desigualdad de notas, es decir si un alumno/a tiene menor nota que otro/a, al aplicar la transformación debe seguir manteniéndose dicha relación, esto es la función debe ser creciente:



Fig.5

Fig.6

MODELIZACIÓN: Fase VII. Síntesis y Conclusiones. (2) Situación Nº 2: Maquillando los resultados. Teniendo en cuenta estos axiomas, y sobre todo el primero, los modelos inicialmente pensados no lo cumplirían en el momento que apareciese un alumno con un 10. Pensemos que estamos buscando un modelo que me sirviera para cualquier situación, no sólo para estas calificaciones en concreto. En el momento en que representemos la función que deja las notas sin transformarlas- f(x)=x -(Fig.5) nos daremos cuenta lo que significa gráficamente el axioma 2. Este axioma nos indica, junto con el 1º que tenemos que transformar la recta como si fuera una goma que estuviera clavada de los puntos (0,0) y (10,10) y la deformáramos por encima de la recta. Respetando estos axiomas podemos encontrar infinitos modelos que satisfagan nuestras peticiones. Una primera idea puede ser crear una parábola que pasando por el (0,0) tenga su vértice en el (10,10), ésta respondería a la siguiente función:

(Fig.6)



Fig.7

MODELIZACIÓN: Fase VII. Síntesis y Conclusiones. (3) Situación Nº 2: Maquillando los resultados. Otros modelos podrían surgir de la familia de las funciones logarítmicas:

(Fig.7), donde a

es la base. Se puede estudiar la nula influencia que va a tener la base. Si hemos probado con la parábola podríamos preguntarnos con otras

potencias: o más

general con toda una familia de funciones

(n>=0) y

analizar qué ocurre cuando n tiende a infinito (Fig.8).

Otro modelo especialmente interesante puede provenirnos de intentar estirar la raíz y obligarle a que cumpla los axiomas. (Fig.9) Llegamos así a la función que en un intento de generalización nos conduce rápidamente a dos familias de funciones interesantes:

Fig.8

Fig.9



MODELIZACIÓN: Fase VII. Síntesis y Conclusiones. (4) Situación Nº 2: Maquillando los resultados.

(Fig.10) Igualmente podemos plantearnos lo que ocurrirá con las funciones cuando n tienda a infinito. Si consideramos un modelo general, donde la mínima nota fuera un 0 y la máxima N Se recogen en la siguiente tabla algunos de los modelos propuestos anteriormente, y que son útiles para realizar ese maquillado de notas, tanto en el sistema educativo andaluz, como en un sistema educativo general, en el que la calificación máxima fuese N.

Modelo Sistema Educativo Andaluz Sistema General Polinómico

Logarítmico

Radical I Radical II

Tabla 4: Resumen de Modelos.

Fig.10



Fig.12

MODELIZACIÓN: Fase VII. Síntesis y Conclusiones. (5) Situación Nº 2: Maquillando los resultados. Si queremos visualizar (Fig.11) en GeoGebra el porcentaje de incremento de cada nota podemos crear un punto móvil (C), su perpendicular al eje y encontrar el segmento (EG) que supone la diferencia entre la nota original y la nota transformada. El conciente entre de esa diferencia con la nota original (CD) supondrá el porcentaje de incremento. Esto se puede realizar con todos los modelos y observar, por ejemplo, como en este caso se aumenta porcentualmente mucho más al alumnado que menos nota tiene, esto se puede inferir, si calculamos los límites:

Podemos pasar ahora a comparar distintos modelos (Fig.12). Mostramos aquí el procedimiento con dos de ellos y se deja al lector la posibilidad de ir comparando con los que desee.

Resulta interesante buscar diferencias entre

ambos, por ejemplo, en el modelo cuadrático el máximo aumento proporcional se produce, como en el radical en notas más pequeñas, pero a diferencia del modelo radical no pasa del aumento del 100%, como también lo

muestra su límite .

También nos incita esta situación a ver a qué alumnado le conviene un modelo u otro. En este sentido tendríamos que buscar el punto de intersección de ambas gráficas y nos dará los intervalos para los que el modelo radical

será mejor o el parabólico. A nivel algebraico esto vendrá dado por la

resolución de la ecuación:

, que arrojará la nota aproximada de 3,82 y que supondrá que para

el alumnado que tiene una nota [0,3.82] le interesará el modelo radical y para el que se encuentra en el intervalo (3.82,10] le interesará el modelo cuadrático.

Fig.11



Fig.13

MODELIZACIÓN: Fase VII. Síntesis y Conclusiones. Situación Nº 2: Maquillando los resultados. Ciertamente una de las cuestiones, a nivel de curiosidad, que más nos podrá llamar la atención es la siguiente: ¿con qué nota se consigue el aprobado “por los pelos”, es decir el 5? Véase la figura 13. En los ejemplos de los modelos radicales:

o Incluso, dentro de un modelo, por ejemplo las radicales de tipo I, se podría elegir un índice (n) para que la calificación 5 se consiguiera con un cierto valor, por ejemplo con un 3.

o



MODELIZACIÓN: Fase VII. Síntesis y Conclusiones. Situación Nº 2: Maquillando los resultados. Por último, si no olvidamos el objetivo de la profesora (recordemos que quería aumentar el número de aprobados), nos puede interesar fijar el porcentaje total de alumnado que queremos aprobar, digamos un p% y elegir, dado que a todos se les está subiendo la nota, el modelo que menos aumente las notas, aprobando al porcentaje fijado. Por ejemplo, si queremos aprobar a un 50%, utilizando la hoja de cálculo, miraríamos qué calificación original soporta el 50% acumulado, (en nuestro caso el 3,75). Esta nota debería coincidir con el 5. De los 4 modelos que aquí se presentan, véase la tabla 5, en el que menos aumenta la media aritmética y las notas globalmente es el cuarto modelo.

Frec. Notas Orig.

% Acumul

1 0,25 4% 0,73 1,58 0,49 0,85

2 1,5 12% 3,86 3,87 2,78 2,82

2 2 20% 4,88 4,47 3,60 3,42

1 2,5 24% 5,78 5,00 4,38 3,97

1 2,75 28% 6,19 5,24 4,74 4,23

2 3 36% 6,57 5,48 5,10 4,48

1 3,25 40% 6,92 5,70 5,44 4,73

2 3,5 48% 7,25 5,92 5,78 4,97

1 3,75 52% 7,56 6,12 6,09 5,20

2 4 60% 7,84 6,32 6,40 5,43

1 4,25 64% 8,10 6,52 6,69 5,65

2 4,5 72% 8,34 6,71 6,98 5,87

1 4,75 76% 8,55 6,89 7,24 6,09

1 5 80% 8,75 7,07 7,50 6,30

2 5,5 88% 9,09 7,42 7,98 6,71

2 6 96% 9,36 7,75 8,40 7,11

1 7,25 100% 9,79 8,51 9,24 8,07

25 Media Media Media Media Media 3,75 7,07 5,94 5,83 5,07

Tabla 5: Calificaciones originales y transformadas, incluyendo las medias.

sesión: 5 fecha: 08/02/14 modelizaciÓn: “el mÉdico, la...

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