Serie introductoria.

REDUCCION DE TRMINOS SEMEJANTES. ______________________________________ 2

Ejercicios reduccin de trminos semejantes. _______________________________________ 2

MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRICAS _______________________________ 2

Ejercicios multiplicacin de expresiones algebraicas __________________________________ 2

PRODUCTOS NOTABLES ____________________________________________________ 3

Ejercicios productos notables. ___________________________________________________ 3

DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS _____________________________________ 4

Ejercicios divisin de expresiones algebraicas. ______________________________________ 4

DIVISION SINTETICA _______________________________________________________ 5

Ejercicios divisin sinttica: _____________________________________________________ 5

LEYES DE LOS EXPONENTES _________________________________________________ 6

Ejercicios de leyes de los exponentes ______________________________________________ 6

LEYES DE LOS RADICALES ___________________________________________________ 7

Ejercicios de leyes de los radicales ________________________________________________ 7

FACTORIZACIN __________________________________________________________ 9

Ejercicios de factor comn ______________________________________________________ 9

Ejercicios de diferencia de cuadrados. ____________________________________________ 10

Ejercicios de suma y diferencia de cubos. _________________________________________ 10

Ejercicios de factorizar las siguientes expresiones. ________________________ 10

Ejercicios de Factorizacin de trinomios. __________________________________________ 11

Ejercicios de completar un trinomio cuadrado perfecto. _____________________________ 11

Ejercicio de agrupacin de trminos. _____________________________________________ 12

Ejercicios de casos combinados: Factorizacin total. _________________________________ 12

RESOLUCIN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA. __________ 13

Ejercicios de ecuaciones de primer grado. _________________________________________ 13

RESOLUCIN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCGNITAS. ___________ 14

Ejercicios de sistemas de ecuaciones _____________________________________________ 14

RESOLUCIN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. ___________________________ 15

Ejercicios de ecuaciones de segundo grado sencillas. ________________________________ 15

Ejercicios de ecuaciones de segundo grado completas _______________________________ 16

REDUCCION DE TRMINOS SEMEJANTES. Recuerde que los trminos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras con los

mismos exponentes.

Ejemplos:

Slo se pueden reducir aquellos trminos que son semejantes y se efecta sumando o

restando los coeficientes numricos y manteniendo la misma parte literal.

Ejercicios reduccin de trminos semejantes. 1. ( )

2. ( )

3. ( ) ( ) ( )

4. ( )

5.

{ [

(

) ( )

]

}

6. ( )

7. ( ) ( )

8. ( )

MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRICAS Tips.

Recuerde la regla de los signos de la multiplicacin y las leyes de los exponentes.

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica el monomio por cada

trmino del polinomio.

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, cada trmino de un polinomio se

multiplica por todos y cada uno de los trminos del otro polinomio y se reducen trminos

semejantes.

Ejercicios multiplicacin de expresiones algebraicas 9. ( )( )( )

10. ( )( )

11. (

) (

)

12. d)( )( )( )

13. ( )( )

14. f)( )

15. g)( )

16. h) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

17. i) ( ) ( ) ( ) ( )

PRODUCTOS NOTABLES Dentro de la multiplicacin algebraica existen algunos productos que pueden ser

desarrollados directamente sin necesidad de efectuar toda la operacin.

a) Cuadrado de un binomio

( ) ( )

b) Diferencia de Cuadrados

( )( )

c) Suma de Cubos ( )( )

d) Diferencia de Cubos ( )( )

e) Cubo de un binomio ( )

( )

f) Producto de binomios con trmino comn

( )( ) ( )( )

Ejercicios productos notables.

18. a) ( )( ) f)(

) (

)

19. b) (

) (

) g)( ) =

20. c) ( ) h) ( )

21. d) (

)

i) ( )

22. e)( )( ) j) ( )( ) (3a2 + 2b2)

(3a2 - 2b2)

DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Tips.

Se utilizan las reglas de la divisin de signos y algunas leyes de los exponentes.

Al dividir un polinomio entre un monomio se divide cada trmino del polinomio entre el monomio, uno a la vez.

Para dividir dos polinomios; ambos se colocan en orden decreciente (de mayor a menor exponente) con respecto a una variable; si falta algn trmino en los polinomios se sustituyen por cero

Se aplica un algoritmo similar al utilizado en la divisin de nmeros naturales.

Ejercicios divisin de expresiones algebraicas.

23.

.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

DIVISION SINTETICA Es una forma abreviada de efectuar la divisin entre dos polinomios, la condicin es que el divisor

debe de ser un binomio de la forma x - a donde a es un nmero positivo o negativo.

Para efectuar este tipo de divisiones se debe considerar lo siguiente:

Ambos polinomios (dividendo y divisor) deben estar ordenados en forma decreciente (de

mayor a menor exponente) con respecto a una variable y si falta un trmino en los

polinomios ste se sustituye por cero.

Se extraen los coeficientes numricos de cada trmino de los polinomios.

Para comenzar a dividir se baja el primer nmero, se multiplica por el divisor y se suma

con el siguiente nmero y asi sucesivamente como se ilustra en el ejemplo:

|

Solucin:

Ejercicios divisin sinttica:

Resolver por divisin sinttica

32.

33.

34.

35.

36.

Divisor

Residuo

LEYES DE LOS EXPONENTES Recuerde las leyes de los exponentes

Ley Ejemplo

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

)

Ejercicios de leyes de los exponentes

Realice las operaciones y exprese el resultado en exponentes positivos.

37.

38.

39. ( )

40. ( )

41. ( )

42. (

)

43. (

)

44. ( )

45.

46. ( )

47.

48.

49.

50. (

)

51. ( )

52. (

) (

)

53. ( )

54. ( )( )

( )

LEYES DE LOS RADICALES

Algunas leyes de los radicales son:

(

)

Todos los radicales se pueden transformar en exponentes fraccionarios y viceversa.

NOTA- Por definicin, n no puede ser igual a cero en NINGN caso. Adems,

cuando n sea par, la operacin slo es vlida para el conjunto de los nmeros

enteros positivos y el cero.

Ejercicios de leyes de los radicales

Simplificar los siguientes radicales:

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

Reducir radicales semejantes.

65.

66.

67.

68.

69.

Multiplicacin de radicales

70.

71.

72.

73.

74.

Divisin de radicales

75.

76.

77.

78.

79.

FACTORIZACIN

Factorizacin significa descomponer una expresin algebraica en un producto

de 2 o ms factores. Esta factorizacin estar dada en factores irreducibles, es

decir cuando estos ya no sean factorizables. Una factorizacin es correcta

cuando al efectuarse el producto se obtiene la expresin original.

Tipos de factorizacin

Factor comn: Para cualquier tipo de trminos.

Diferencia de cuadrados

Diferencia de cubos

Suma de cubos

Trinomios de la forma

Trinomios de la forma

Trinomio cuadrado perfecto

Agrupacin de trminos: Para 4 o ms trminos.

Factor comn- En la parte numrica de cada trmino se toma el mximo comn

divisor como factor comn y de las letras que aparezcan en todos los trminos se

toman las de menor exponente.

Ejercicios de factor comn

Obtener el factor comn y factorizar.

80. ( ) ( )

81. ( ) ( )

82. ( )(x+1)=

83. ( ) ( )

84. ( )( ) ( )

Diferencia de cuadrados:

Si desarrollamos el siguiente producto:

Si ( )( ) entonces:

( )( )

Para dos trminos

Para tres trminos

Ejercicios de diferencia de cuadrados.

85. ( ) ( )

86. (

) (

)

87.

88.

89.

90. ( )

91. ( )

92. ( )

93. ( )

Suma y diferencias de cubos. Si desarrollamos los productos:

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

Ejercicios de suma y diferencia de cubos.

Factorizar las siguientes expresiones.

94.

95.

96.

97.

98.

Ejercicios de factorizar las siguientes expresiones.

99.

100.

101.

102.

103.

104.

105.

Ejercicios de Factorizacin de trinomios.

Factorizacin de trinomios de la forma

Factorice las expresiones siguientes:

106.

107.

108.

109.

110.

111.

Factorizacin de trinomios cuadrados perfectos.

Recuerda: ( )

( )

NOTA: Primero se debe comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto y despus

se factoriza.

Ordenar en forma decreciente con respecto a una variable.

Se obtiene la raz cuadrada del primer y tercer trmino.

El doble producto de estas races debe corresponder al segundo trmino.

Ejercicios de completar un trinomio cuadrado perfecto.

En muchas ocasiones es necesario este procedimiento. El mtodo a seguir depende

del trmino que falte.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

Ejercicio de agrupacin de trminos.

Factorizar las siguientes expresiones.

118.

119.

120.

121.

122.

Ejercicios de casos combinados: Factorizacin total.

Primero se verifica si hay factor comn y despus se observa el nmero de

trminos para saber el mtodo de factorizacin.

Factoriza completamente las siguientes expresiones algebraicas.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

RESOLUCIN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCGNITA. Para resolver una ecuacin de primer grado con una incgnita basta con despejar el

trmino independiente. Practique con las siguientes ecuaciones. Recuerde las

tcnicas repasadas anteriormente.

Ejercicios de ecuaciones de primer grado.

133.

134.

135.

136. ( )

137.

138.

RESOLUCIN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS

INCGNITAS.

Se nombra as al conjunto de dos ecuaciones formadas con dos incgnitas. Su

solucin determina el valor de cada una de las incgnitas que satisfacen

simultneamente ambas ecuaciones. Para resolver este tipo de sistemas se tienen

los siguientes mtodos:

De reduccin y eliminacin: Suma y resta; igualacin o sustitucin

Mtodo grfico

Determinantes.

Mtodo de suma o resta

Se puede elegir cualquier variable para eliminarla y esto se hace logrando que

tengan el mismo coeficiente numrico pero de signo contrario y a continuacin se

suman las 2 ecuaciones, lo que resulta es una ecuacin con una incgnita.

Mtodo de igualacin.

Se despeja de ambas ecuaciones la misma variable que se quiera eliminar y se

igualan sus expresiones, lo que resulta es una ecuacin con una incgnita.

Mtodo de sustitucin.

Se despeja cualquier variable de cualquier ecuacin y se sustituye en la otra

ecuacin, lo que resulta es una ecuacin con una incgnita.

Ejercicios de sistemas de ecuaciones

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.

139.

140.

141. 2x-5y=-16

6x-7y=-32

142. 6x-3y=-27

2x-3y=-23

143. 5x+2y=1

-3x-4y=19

144. y=2x+5

y=-4x+2

145. 2x+y=11

x+3y=18

146. 2x-3y=9

x-2y=6

147. x+y=2

2x-y=1

148. 3x-2y=-7

2x-2y=-6

RESOLUCIN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Ecuaciones de segundo grado incompletas.

De la forma

Una de sus races siempre es cero.

Para resolverla se factoriza, utilizando a como factor comn x(ax+b)=0. Se

iguala cada factor a cero y se despeja la x.

De la forma

Sus soluciones son el mismo nmero pero de signo contrario (uno positivo y

uno negativo)

Para resolverla se despeja a la x utilizando el doble signo de la raz.

Ejercicios de ecuaciones de segundo grado sencillas.

149.

150.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

Ecuaciones de segundo grado completas.

stas se pueden resolver de tres maneras:

Factorizacin

Completando el trinomio cuadrado perfecto.

Frmula general

Por factorizacin. Se factoriza la ecuacin, cada factor se iguala a cero y se despeja

la x.

Ejercicios de ecuaciones de segundo grado completas Practique con los siguientes ejercicios.

159.

160.

161.

162.

163.

164.

Por el mtodo de completar cuadrados: Se suma o resta el trmino faltante para

completar un trinomio cuadrado perfecto sin alterar la ecuacin original.

165.

166.

167.

168.

169.

170.

Por frmula general.

Donde : coeficiente del trmino cuadrtico.

: Coeficiente del trmino lineal.

: Trmino independiente.

La expresin dentro del radical se conoce como el discriminante y nos da

informacin sobre la naturaleza de las soluciones o races de la ecuacin.

Si la ecuacin de segundo grado tiene dos soluciones reales.

Si la ecuacin de segundo grado tiene una solucin real y una

imaginaria.

Si la ecuacin de segundo grado tiene dos soluciones

imaginarias.

Ejercicios.

171.

172.

173.

174.

175.

176.