UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA7

SISTEMAS COMUNICACIONES 2[footnoteRef:1] [1: 1. Cdigo base para graficar una forma onda en el software Scilab. 2. Cdigo base para obtener los coeficientes de Fourier. ] Autores: Nstor Germn BolvarSERIE TRIGONOMTRICA Y COMPLEJA DE FOURIER (MARZO 2014)

Resumen En este documento se plasmaran y analizaran los resultados obtenidos a partir de la construccin de las formas de onda cuadrada, triangular, diente de sierra y una seal pulso, mediante la utilizacin de Scilab y una hoja de clculo,

Trminos RelevantesAnlisis de seales, software Scilab y hoja de clculo, coeficientes de Fourier, armnicos de seal.

INTRODUCCIONLa realizacin, construccin y posterior anlisis de la seal cuadrada, diente de sierra y pulso permitirn hacer una comparacin de las formas de onda, coeficientes de Fourier y mtodos para graficar, utilizando la serie trigonomtrica y compleja de Fourier. Gran parte de los ejemplos y cdigo desarrollado en Scilab [1], se obtuvo e interpreto del Manual de Scilab para la Universidad Pedaggica Nacional [2], el desarrollo en hojas de clculo fue de invencin propia del equipo de trabajo.

Procedimientos, Resultados y ObservacionesProcedimientosEn primera instancia obtenemos las formas de onda triangular, cuadrada y diente de sierra, el ejemplo 8.1.5 del Manual de Scilab (1), nos proveer del cdigo necesario a implementar en Scilab, de esta manera observamos las tres formas de onda:

Fig. 1. Forma de onda cuadrada de periodo 2pi y amplitud 1.

Fig. 2. Forma de onda diente triangular de periodo 2pi y amplitud 2.

Fig. 3. Forma de onda diente de sierra de periodo 2pi y amplitud 2.Despus obtenemos los coeficientes de Fourier de cada una de las ondas, a partir del ejemplo 8.1.6 del Manual de Scilab (2):

Coeficientes onda cuadrada:A0 = 0.5;An = 0.3183098; Bn = 0.6366198

Coeficientes onda triangular:A0 = 0.5; An = - 0.4052847; Bn = 1.2732395

Coeficientes onda diente de sierra:A0 = 0.5; An = 0; Bn = - 0.3183099

Resultados A continuacin se presentaran en una tabla los resultados de los coeficientes de Fourier de cada una de las seales trabajadas anteriormente:

A0AnBn

Seal cuadrada0.50.31830980.6366198

Seal D. S.0.50- 0.3183099

Seal triangular0.5- 0.40528471.2732395

Tabla 1. Comparacin de los coeficientes de las seales trabajadas.Observaciones serie trigonomtrica de Fourier En el trabajo desarrollado en Scilab, obtener los coeficientes An presentaba inconvenientes de convergencia, por lo que se realiz la correspondiente integral a mano, por otra parte y a simple vista se observa que el coeficiente A0 es comn en las seales y analizando las grficas, este ltimo apunte concuerda perfectamente.Ecuaciones Coeficientes de la serie trigonomtrica de Fourier:

1) Procedimiento hoja de clculo

Ahora se graficara en una hoja de clculo las seales trabajadas anteriormente, estas tendrn 87 seales armnicas:

Fig. 4. Seal cuadrada suma de armnicos, 3 primeros armnicos.

Fig. 5. Seal triangular suma de armnicos.3. Hoja de clculo trabajada en este laboratorio.

Fig. 6. Seal diente de sierra suma de armnicos.

Ahora se reconstruirn las seales a partir de la transformada inversa de Fourier, las siguientes sern las grficas correspondientes a su transformada inversa:

Fig. 7. Transformada inversa de Fourier f(t), de la seal cuadrada.

Fig. 8. Transformada de Fourier F(w),de la seal cuadrada.Observaciones, desarrollo en hoja de clculoEn estos procedimientos visualizamos la seales trabajadas, mediante la tabulacin en Microsoft Excel (3), determinando 87 armnicos, nmero correspondiente a los dos ltimos dgitos de la cedula de ciudadana. Se realiz la transformada de Fourier de la seal cuadrada, dando como resultado las seales de las imgenes anteriores. Algo interesante es que al aplicar la transformada de Fourier a la seal cuadra vamos a obtener una seal de la forma senc(x).

2) Procedimiento serie compleja de Fourier

Con el propsito de evidenciar las formas en las que podemos reconstruir una seal a partir de sus armnicos, ahora se buscaran los coeficientes Cn de las ondas cuadrada, triangular, y diente de sierra, descritos a continuacin:

Coeficientes encontrados mediante la interfaz de Scilab.

Onda D. S. Cn = 0.0499716iOnda cuadrada = 0.1522772iOnda triangular = 0.0332157i

Coeficientes de la serie exponencial de Fourier

Reconstruccin de la seal diente de sierra y los 87 primeros armnicos:

Fig. 9. Primeros 87 Armnicos de la seal diente de sierra.

Fig. 10. Reconstruccin de la seal diente de sierra en Scilab, en la cual se aprecia el fenmeno de Gibbs.

Fig. 10. Reconstruccin de la seal mediante la serie compleja de Fourier; diente de sierra en el software Geogebra, con 22 armnicos, en la cual se aprecia el fenmeno de Gibbs.

Fig. 11. Reconstruccin de la seal mediante la serie compleja de Fourier; cuadrada en el software Geogebra, con 22 armnicos, en la cual se aprecia el fenmeno de Gibbs.

Fig. 12. Reconstruccin de la seal mediante la serie compleja de Fourier; triangular en el software Geogebra, con 22 armnicos.

Coeficientes de las seales obtenidos a partir de la manipulacin de la serie trigonomtrica y la exponencial de Fourier.

Diente de sierra:Coeficiente Coeficiente

Cuadrada:Coeficiente Coeficiente Coeficiente

Triangular:Coeficiente Coeficiente

Coeficiente

Para graficar las seales obtenidas mediante la serie compleja de Fourier, tenemos que obtener los coeficientes An y Bn de cada una de las seales:

Coeficiente

Coeficiente )

Tabla comparativa de los coeficientes de cada seal:

A0AnBnCn

Cuadrada0

D. S.00

Triangular0

Transformada inversa de FourierEn este apartado se pretende demostrar el procedimiento para encontrar la transformada inversa Fourier de cada una de las seales trabajadas; en primera instancia obtenemos F(w) para obtener posteriormente su transformada inversa de Fourier:

Seal cuadrada

Fig. 13. Pulso rectangular de periodo T.

Transformada de Fourier, pulso:

Fig. 14. Transformada de Fourier de un pulso rectangular.4. Teorema de Dirichlet.

Transformada inversa de Fourier, pulso:

Fig. 15. Transformada inversa de Fourier de F(w), pulso.

Seal triangular

Fig. 16. Pulso rectangular de periodo T.

Transformada inversa de Fourier, triangular:

Fig. 17. Transformada inversa de Fourier de F(w), triangular.

Transformada de Fourier, triangular:

18. Transformada de Fourier de una seal triangular.

Serie de Fourier compleja para un pulso

En el siguiente procedimiento se pretende visualizar los cambios que sufre la seal senc(t), modificando las variables de ancho de pulso (d), periodo (T) y amplitud.

19. seal senoc, con un ancho de pulso de 0.1 seg, periodo de 1seg y una amplitud de la seal pulso de 10.

Las siguientes son algunas de las modificaciones a los parmetros de ancho de pulso y periodo:

20. espectro de frecuencia de un pulso, con un ancho de pulso de 0.9 seg, periodo de 1seg y una amplitud de la seal pulso de 1.

.21. espectro de frecuencia de un pulso, con un ancho de pulso de 0.1 seg, periodo de 1seg y una amplitud de la seal pulso de 1.

5. Software utilizado para el anlisis en tiempo y en frecuencia de seales.

22. espectro de frecuencia de un pulso, con un ancho de pulso de 0.08 seg, periodo de 2 seg y una amplitud de la seal pulso de 1.

22. espectro de frecuencia de un pulso, con un ancho de pulso de 1 seg, periodo de 2 seg y una amplitud de la seal pulso de 1.

Observaciones seal de muestreo:

En las anteriores grficas fueron recreadas en una hoja de clculo y se puede analizar cosas interesantes; si el ciclo til es menor que 10 veces el periodo, la amplitud del lbulo ms grande se ve afectada tomando el valor correspondiente al ciclo til, (se puede apreciar en la grfica 21).El nmero de puntos discretos que aparecen en una mitad del lbulo mayor, corresponden a la divisin del periodo sobre el ciclo Util.

Teorema de Parseval

En el siguiente ejercicio se realizara la demostracin del teorema de Parseval, donde nos dice que la potencia promedio de una seal puede ser calculada mediante la integral,, o en el dominio de la frecuencia a partir de la suma del valor cuadrtico de los coeficientes de la serie de Fourier;

En el siguiente procedimiento se utilizara el software MATLAB (5), el cual nos ayudara a analizar una seal previamente grabada, las siguientes son las figuras del comportamiento de la seal en el dominio del tiempo y la frecuencia:

23. comportamiento de la seal en el dominio del tiempo, duracin aproximadamente de 3seg.

.24. comportamiento de la seal en el dominio de la frecuencia.

Para obtener la seal en el dominio del tiempo se procede a igualar una variable con la instruccin wavread, donde se cargaran los elementos que luego sern graficados.

Por otro lado para graficar el espectro de frecuencia se utiliz la transformada rpida de Fourier utilizada bajo el comando fft, en esta grafica podemos analizar los rangos frecuenciales con mayor potencia o predominantes.

El siguiente paso es integrar en el tiempo el valor cuadrtico de la seal, el resultado ser la energa de esta seal, los cual ser lo mismo que integrar cada valor cuadrtico del espectro de la seal.

Transformada de Fourier

Para llevar a cabo esta actividad grabamos un mensaje de corta duracin y lo cargamos en AUDACITY luego de esto el programa aplica la fast fourier transform a la seal de audio que tenemos, las siguientes son las caractersticas de la seal y su espectro de frecuencias:

25. comportamiento de la seal en el dominio del tiempo

.26. comportamiento de la seal en el dominio de la frecuencia.

El anlisis del espectro de frecuencias nos arroja datos interesantes; su valor mximo es decibelios esta en -32.3 db a una frecuencia de 400Hz, la frecuencia fundamental ser entonces aquella con mayor amplitud y la seal en que se empiezan a difundir los armnicos, el ancho de banda con la informacin relevante ser de 6.5 kHz.

Caractersticas sealFrecuencia fundamentalValor en dbs de maxAncho de banda

50 Hz y 1000Hz-32.3 db 400Hz6.5 kHz

Muestreo de una seal

En este punto se demostrara el muestreo y las propiedades de la transformada rpida de Fourier de una seal. Como base se tiene una seal a la cual se le quiere hacer un anlisis espectral, donde podemos variar el nmero de muestras y obtener una grfica con resolucin variable.

Definicin de la transformada rpida de Fourier

Para una funcin de tipo sinodal el patrn espectral corresponde a

27. funcin discreta sinodal.

28. espectro de frecuencias de la seal sinodal.

Ahora definimos un intervalo finito, aplicamos una tcnica llamada enventanado, que consiste en multiplicar el segmento de la funcin en un intervalo definido; Ventana para obtener una funcin de trminos finitos

29. seal ventana.

30. seal seno finita.

Ahora el espectro de frecuencias de la seal seno se convoluciona con la seal ventana, dando como resultado el siguiente espectro.

31. Espectro de la seal enventanda.

Ahora variamos el nmero de muestras a tomar de esta manera redefinimos la seal:

32. Espectro de frecuencias con 30 muestras.

33. Espectro de frecuencias con 8 muestras.

Observaciones

Se puede observar que entre menor nmero de muestras tengamos de la seal, menos resolucin se obtiene, as mismo se obtienen perdidas de frecuencias y posible atenuaciones, por otro lado el nmero de elementos de la seal muestreada es mucho menor que la seal original, por ende su peso disminuye.

Conclusiones1. Remitiendo el trabajo desarrollado en Scilab, puedo decir con certeza y satisfaccin, que esta es una herramienta muy eficiente y completa, antes no trabajada, que permite recrear una seal x bajo unos parmetros determinados.

2. En lo correspondiente al trabajo elaborado de las series de Fourier compleja y trigonomtrica, puedo decir con certeza la complejidad que tiene encontrar el coeficiente Cn y a partir de este, encontrar los coeficiente An y Bn, con el fin de poder reconstruir las seales; muy interesante y provechoso lo que he aprendido en lo correspondiente al trabajo con nmeros complejos.

3. Por otra parte analizando las grficas de transformadas de Fourier, en interesante concluir que tanto la T.F.I como la T.F. de un pulso rectangular dan formas de seales senoc, este anterior anlisis gracias a la consulta oportuna del teorema de Dirichlet (4), adems los coeficientes An y Bn obtenidos de la forma rectangular y compleja, reconstruyen graficas idnticas de transformada inversa de Fourier.

4. En lo correspondiente a la seal de muestreo se puede concluir que a menor ciclo til, mayor intensidad de las frecuencias presentes en los lbulos de la seal de espectro del pulso.

5. En el trabajo realizado para identificar las caractersticas de una seal, fue interesante determinar rangos de frecuencia fundamentales en la voz humana y espectro de frecuencias que se puede manejar para transmitir informacin.

Referencias[1] Ejemplos de cdigo fuente para realizacin de seales varias, Manual de Scilab Para la Universidad Pedaggica Nacional

[2] Manual de Scilab en los cursos de comunicaciones 1 y 2, Para la Universidad Pedaggica Nacional

[3] Anlisis de sistemas y seales, Martnez Hernndez Valentn.[4] Sistemas de comunicaciones electrnicas TOMAS1, cuarta edicin, editorial Pearson.

Software de trabajo

Microsoft Excel hojas de clculo

Scilab Enterprises 5.4.1

Geogebra 4.4.1.6 - Dynamic Mathematics for Everyone

MATLAB 7.11.0.584 -The Language of Technical ComputingAutor

Nstor Germn BolvarCod 2009203010Facultad TecnologaPrograma Electrnica