serie diseño nexos proyecto actualizado …e 4 tinta fresca ediciones s. a. prohibida su fotocopia....
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SERIENEXOS
Diseño curricular
actualizadoPROYECTO
INTEGRADOR
6MATEMÁTICA
CARPETA DE
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1. Números naturales y operaciones ................................... 5El Sistema Solar Lectura y escritura de números
naturales grandes 5Ordenar números en diversas escrituras Comparación y orden de números naturales grandes 6Descomponer números Valor posicional de las cifras.
Descomposición polinómica 7Ubicar números en la recta Ubicación en la recta
numérica 8El negocio para mascotas Problemas con más
de una operación. Uso de paréntesis 9La venta de libros Los sentidos de la multiplicación 10Un día en la estancia Problemas de conteo 11Formas de multiplicar Estrategias para multiplicar 12El casamiento Problemas de reparto 13Cuentas para dividir Algoritmo de la división.
Análisis del resto 14Remodelar la casa Problemas con las cuatro operaciones 15Integrar lo aprendido 16
2. Triángulos y cuadriláteros ........ 17Cuidar al rey Uso del compás. Circunferencia y círculo 17Usar el compás Construcción y copiado
de segmentos y ángulos 18Usar el transportador Construcción y copiado
de segmentos y ángulos 19Los lados de los triángulos Construcción de triángulos dados los lados 20Construir triángulos con ángulos Construcción de triángulos dados los ángulos 21Sumar los ángulos de un triángulo Suma de los ángulos interiores de un triángulo 22Calcular ángulos Suma de los ángulos interiores
de un triángulo 23Las alturas de los triángulos Alturas de triángulos. Mediatriz de un segmento 24Copiar y construir paralelogramos Construcción de paralelogramos 25
Diagonales de los paralelogramos Propiedades de las diagonales 26Diagonales de los rombos Propiedades de las diagonales 27Los trapecios Propiedades de los trapecios 28Con computadora. Datos para construir Construcción de figuras 29Integrar lo aprendido 30
3. Divisibilidad .............................31Jugar con múltiplos Escalas 31La visita al teatro Múltiplos y divisores.
Análisis del resto 32El club del barrio Divisor común mayor 33Formas de encontrarse Múltiplo común menor 34Usar diferentes escrituras Descomposiciones
multiplicativas y aditivas 35Integrar lo aprendido 36
4. Los polígonos .......................... 37Los geoplanos Polígonos cóncavos y convexos 37Armar figuras Clasificación, construcción y copiado de
polígonos 38Trazar diagonales Suma de los ángulos interiores
de un polígono 39Suma de los ángulos de un polígono Suma de los ángulos interiores de un polígono 40Con computadora. Construir polígonos Construcción de polígonos 41Integrar lo aprendido 42
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5. Números fraccionarios y sus operaciones ........................ 43La venta de café Uso social de los números fraccionarios 43Paquetes de café Los números fraccionarios
para medir y repartir 44Contar golosinas Relaciones entre partes y entre
partes y el todo 45Ubicar en la recta numérica Ubicación en la recta
numérica 46Más rectas numéricas Números fraccionarios
equivalentes 47Fracciones equivalentes Comparación de
fracciones y determinación de equivalencias 48Ordenar paquetes Orden y densidad
de los números racionales 49El viaje de Juan Suma y resta
de números fraccionarios 50Calcular con facilidad Estrategias de cálculo mental 51Muchos paquetes iguales Multiplicación
de números fraccionarios por números naturales 52Partir lo que hay Multiplicación de números fraccionarios 53Multiplicar fracciones Estrategias
de multiplicación de números fraccionarios 54Estrategias para multiplicar Estrategias de
multiplicación de números fraccionarios 55Repartir el queso División de números fraccionarios
por números naturales 56Repartir en la fiambrería División de números
fraccionarios por números naturales 57Cuentas que se piensan Estrategias de cálculo mental 58Más para pensar Estrategias de cálculo mental 59Integrar lo aprendido 60
6. Estadística y probabilidad ........61Los gráficos Análisis de gráficos 61Analizar en diferentes grupos Frecuencia relativa 62Notas y promedios La media 63Ganar los juegos Sucesos más probables 64Seguir jugando Juegos y probabilidades 65Integrar lo aprendido 66
7. Los números racionales decimales .................................... 67Comprar y pagar Uso social de los números decimales 67Escribir de manera equivalente Expresiones decimales de las fracciones decimales.
Valor posicional de las cifras 68Fracciones decimales Expresiones decimales de las
fracciones decimales. Valor posicional de las cifras 69Salir de compras Problemas con sumas y restas 70Distintas maneras de sumar Estrategias para sumar y restar 71Formas de restar Estrategias para sumar y restar 72Comprar varios productos Estrategias para
multiplicar 73Las cuentas del almacén Estrategias para multiplicar 74Cortar las cintas Estrategias para dividir 75Facilitar las cuentas Estrategias de cálculo mental 76Escribir ordenado Ubicación en la recta numérica.
Orden y densidad de los números decimales. 77Integrar lo aprendido 78
8. Ubicaciones en el plano ............ 79Los planos Ubicación en planos.
Sistemas de referencia 79Recorrer Bahía Blanca Ubicación en planos 80Leer un plano Ubicación en planos 81Integrar lo aprendido 82
Proyecto. El plano, el plano en 3D y la maqueta del aula .................. 83
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9. Las relaciones de proporcionalidad ......................... 87Comprar en la verdulería Análisis de relaciones
de proporcionalidad 87Compras en el mercado La relación de
proporcionalidad directa 88El corralón de materiales Análisis de las relaciones
de proporcionalidad directa y de las que no lo son 89Calcular más compras de materiales Análisis de las relaciones de proporcionalidad directa
y de las que no lo son 90Ropa de oferta Porcentaje 91Aumentos y descuentos Cálculo de porcentajes 92Relaciones de proporcionalidad La relación de proporcionalidad inversa 93Integrar lo aprendido 94
10. Las unidades de medida ......... 95Comparar unidades Sistemas de medición 95Medir distancias Medidas de longitud 96Usar otras unidades Medidas de longitud 97Los líquidos Medidas de capacidad 98Los pesos Medidas de peso 99Medir tiempos El sistema sexagesimal.
Medidas de tiempo 100Medir ángulos El sistema sexagesimal.
Medidas de amplitud angular 101Integrar lo aprendido 102
11. Perímetros y áreas ................103La cancha de fútbol Diferencias entre áreas y perímetros 103Marcar las canchas Cálculo de perímetros 104Calcular perímetros Cálculo de perímetros 105Medir áreas Cálculo de áreas
de cuadriláteros y triángulos 106Calcular áreas de paralelogramos y trapecios Cálculo de áreas de cuadriláteros y triángulos 107Cambiar unidades Unidades de medida de áreas 108Áreas de figuras combinadas Áreas y perímetros de figuras combinadas 109Variar los lados Variación de áreas y perímetros 110Relaciones al variar los lados Variación de áreas y perímetros 111Integrar lo aprendido 112
12. Los cuerpos geométricos ........113La maqueta de Jerusalén Clasificación de los cuerpos geométricos 113Contar aristas y vértices de cuerpos geométricos Relaciones entre caras, aristas y vértices 114Armar cuerpos geométricos Desarrollo planos de cuerpos geométricos 115Integrar lo aprendido 116
AlbaBenito CarlaDiego
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es.
�¿Por qué algunas distancias están escritas solo con números y otras combinan números y palabras? ¿En qué otros lugares vieron números escritos de esas maneras?
�¿Cuándo resulta más conveniente usar solo números? ¿Y cuándo conviene combinar números con palabras?
�¿Qué significa la coma de la distancia de Saturno al Sol? �¿De qué manera les resulta más conveniente escribir los números para
comparar las distancias de cada planeta al Sol? ¿Por qué? �Escriban todas las distancias solo con números. ¿Qué tuvieron en cuenta para
hacerlo?
entreTODOS
El Sistema Solar
En esta imagen los planetas están ubicados en orden, pero no están representados a escala.
Distancias de los planetas y de los planetas enanos al Sol (en km)
Mercurio 58 millones Urano 2.870 millones
Venus 108.000.000 Neptuno 4 mil quinientos millones
Tierra 150 millones Plutón 5.913.520.000
Marte 228.000.000 Haumea 6.482 miles de millones
Ceres 413,8 millones Makemake 6.850 miles de millones
Júpiter 780.000.000 Eris 16 mil millones
Saturno 1,43 mil millones Sedna 135 mil millones
Alba Diego
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es.
Ordenar números en diversas escrituras
1. Ordená estos hechos desde el más lejano hasta el más próximo a la actualidad.a. Formación de la cordillera del Himalaya: hace 57,8 millones de años.b. Inicio de la primera glaciación: hace 1,6 millones de años.c. Aumento de la actividad volcánica en los Andes: hace 10.000 años.d. Extinción de los dinosaurios: hace 65 millones de años.e. Comienzo de la separación del supercontinente Pangea: hace 245.000.000 de años.
2. Leé qué dicen los chicos para saber cuál es el número mayor: 1,5 mil millones o 3.470 millones.
3. Completá con los símbolos >, < o =.
a. 3,9 millones 400.000
b. 989 millones 2,3 mil millones
c. 5.000.000 0,5 millones
d. 18 mil millones 18.000.000.000
Alba Benito
�¿Qué piensan acerca de lo que dice Alba? ¿Es cierto que comparar 3.470 con 1,5 sirve para saber cuál es el número mayor?
�Cuando los números están escritos con palabras y números, ¿siempre alcanza con comparar la parte escrita con números para saber cuál es mayor?
�¿Qué opinan acerca de lo que dice Benito? ¿Es cierto que 3.470 millones no tiene mil millones?
�¿Cuál de los 2 números es el mayor? ¿Por qué?
entreTODOS
Para escribir el orden de dos números se usa el símbolo <, que se lee “es menor que”.El símbolo puede escribirse para los dos lados. Las ramas apuntan siempre al número más grande. Por ejemplo: 5 < 8 se lee “5 es menor que 8”, y 8 > 5 se lee “8 es mayor que 5” .
Para mí, es mayor el segundo, porque 3.470
es más grande que 1,5.
Para mí, es mayor el primero, porque tiene mil millones y el segundo solo tiene millones.
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Descomponer números
1. En 2010 la población de la Argentina era de 40.117.096 habitantes. Rodeá las expresiones que representan esa cantidad.
a. b.
c. d.
e.
2. Completá cada igualdad con el número que corresponde.
a. 8 × 10 4 + 6 × 10 3 + 9 × 10 2 + 5 × 10 =
b. 9 × 10 7 + 5 × 10 6 + 4 × 10 4 + 6 × 10 2 + 1 =
c. 2 × 10 9 + 7 × 10 7 + 9 × 10 5 + 2 × 10 2 + 3 × 10 =
d. 25 × 10 5 + 15 × 10 3 + 27 =
3. Completá con números de un dígito para que se cumpla la igualdad. 3 × 104 + 15 × 103 + 12 ×102 + 16 = × 104 + × 103 + × 102 + × 10 +
Para acortar las escrituras multiplicativas se usa la potencia. Por ejemplo: 10 2 = 10 × 10 = 100 y 10 4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000.
1. Diego ingresó el número 875.900 en la calculadora, pero quería escribir 855.900.a. ¿Cómo puede cambiar el número que ingresó sin borrarlo? b. ¿Y si tuviese que cambiarlo por el 743.000?
2. Si en el visor de la calculadora figura el número , ¿qué cálculo podés hacer para transformarlo en sin borrarlo? ¿Y para convertirlo en 2593303 ?
3. Para transformar el número 1.234.567 en el 3.234.567:a. ¿Cuántas veces deberías sumar el 1.000.000? b. ¿Cuántas veces deberías sumar el 100.000? c. ¿Cuántas veces deberías sumar el 1.000?
Con calculadora
40 × 1.000.000 + 117 × 100 + 9 × 10 + 6
40 millones + 100 mil + 10 mil + 7 mil + 96
4 × 10.000.000 + 1 × 100.000 + 1 × 10.000 + 7 × 1.000 + 9 × 10 + 6
40.000.000 + 100.000 + 10.000 + 7.000 + 90 + 6
401 × 100.000 + 17 × 1.000 + 96
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Ubicar números en la recta
1. Escribí el número que representa cada rayita en estas rectas numéricas.
a.
b.
c.
d.
2. Ubicá en cada recta numérica los números que se piden. Explicá cómo lo hacés.a. 500.000 y 5.000.000
b. 45.000.000 y 90.000.000
En una recta numérica se pueden ubicar todos los números. Para hacerlo hay que elegir una escala y después respetarla. Por ejemplo, si entre 100.000 y 110.000 hay 1 cm, entonces entre 150.000 y 160.000 también debe haber 1 cm.
150.000 1.050.000300.000 600.000
5.000.000 7.500.000 15.000.000
0 1.000.000
0 10.000.000
0 30.000.000
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El negocio para mascotas
1. Diego compra 4 kg de alimento para gatos, una vacuna y 3 huesos chicos. Además, paga una pipeta que debía de la semana anterior. ¿Cuánto debe pagar?
2. Margarita compra una bolsa de 15 kg de alimento para perros, un hueso chico, uno mediano y dos pipetas. Por pagar en efectivo, le hacen un descuento de $45. ¿Cuánto debe pagar?
3. Leé cómo hicieron Karina y Mateo para calcular cuánto dinero necesitan para comprar 2 huesos grandes, una bolsa de 12 kg de alimento para perros y bañar a su perro.
4. Rodeá los cálculos que permiten saber el costo de 2 huesos medianos y una pipeta.
Karina24 × 2 = 4880 × 12 = 96048 + 960 + 150 = 1.158
Mateo150 + 24 × 2 + 80 × 12 =
150 + 48 + 960 = 1.158
HuesosGrande $24Mediano $18Chico $ 9
¡Bañamos a tu perro por $150!
Alimento para gatos: $78 el kilogramo
Alimento para perros: $100 el kilogramo
AlimentosPROMOCIÓN: Comprando más de
8 kg de alimento, cada kilogramo cuesta $80.
FarmaciaPipeta $37Vacuna $75
Mundo Mascotas
�¿En qué se parecen y en qué se diferencian los procedimientos de Karina y Mateo?
�¿Resolvieron los problemas 1. y 2. de forma parecida a Karina y Mateo? �Propongan un cálculo parecido al de Mateo para los problemas 1. y 2.
entreTODOS
18 × 2 + 37 18 × (2 + 37) 2 × 18 + 37 2 × (18 + 37)
Cuando un cálculo está escrito en forma horizontal, primero hay que resolver las cuentas que están entre los signos + y –. Por ejemplo, en la cuenta 8 + 5 × 2, primero
hay que hacer 5 × 2 y, luego, sumarle 8 al resultado. Sin embargo, si la cuenta está escrita (8 + 5) × 2, hay que resolver primero 8 + 5 y multiplicar el resultado por 2.
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La venta de libros
1. Un libro de cuentos cuesta $35. ¿Cuánto costarán 4 libros de cuentos? ¿Y 8?
2. En la librería venden señaladores. Completá la tabla.
Cantidad de señaladores 2 4 5 7 10 13 20 25 75
Precio (en $) 24
3. El librero recibe cajas que siempre tienen la misma cantidad de libros. Completá la tabla.
Cantidad de cajas 2 3 5 16 55 160
Cantidad de libros 60 96 204 600
4. El librero ordenó los libros de cocina de esta manera. a. Escribí un cálculo horizontal que permita calcular la cantidad de libros de cocina si los expuso de esta manera.
b. Las novelas las acomodó de esta forma. Rodeá los cálculos que permiten averiguar la cantidad de novelas. Escribí cómo te das cuenta.
i. 10 × 15 – 6 × 9 = ii. 15 × 4 + 4 × 4 + 6 × 6 = iii. 15 × 4 + 10 × 6 =
iv. 4 × 8 + 10 × 6 + 5 × 4 = v. 10 × 15 – 30 – 4 × 2 =
Taller de problemas
�Cada mes, el librero promociona en un mural rectangular los libros que están de oferta. �En enero, el mural tenía 6 filas con 9 libros en cada una. ¿Cuántos libros de oferta
había ese mes? �En febrero agregó 4 libros más por fila. ¿Cuántos libros había de oferta ese mes? �En marzo duplicó la cantidad de filas. ¿Se habrá duplicado la cantidad de libros de
oferta? ¿Cómo te das cuenta? �En abril redujo a la mitad la cantidad de filas y la cantidad de libros por fila. La
cantidad total de libros de oferta, ¿será la mitad? ¿Cómo te das cuenta?
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Un día en la estancia
1. Manuel pasó el día en una estancia con su familia. Al mediodía fueron al restaurante donde ofrecían este menú.
a. ¿Cuántas opciones diferentes se pueden armar eligiendo una entrada, un tipo de carne, una guarnición y una bebida?
b. ¿Es cierto que si también eligen un postre hay 3 opciones más que en el ítem a.? ¿Por qué?
2. A la tarde, 5 personas quisieron cantar. Se pusieron de acuerdo para hacerlo de a 2, formando todas las parejas posibles y cantando una sola canción por pareja. ¿Cuántas canciones cantaron en total?
3. Antes de la puesta del sol, Manuel y sus 3 hermanos decidieron sacarse fotos sentados uno al lado del otro en un banco. ¿De cuántas formas podían acomodarse para sacarse la foto?
4. Al final del día, se organizó una búsqueda del tesoro. Manuel encontró un cofre cerrado con un candado del que no sabía su combinación. Los tres números del candado son números diferentes del 1 al 4. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
�¿De qué manera resolvieron los problemas? ¿Dibujaron? ¿Hicieron listas de las combinaciones posibles?
�¿Cuáles son las cuentas que permiten resolver cada problema?
Revisamos los problemas
ENTRADA: chorizo, morcilla, riñón o chinchulín.
CARNE: asado, vacío, pollo o cerdo.
GUARNICIÓN: ensalada o
papas fritas.
BEBIDA: gaseosa, agua
o soda.
POSTRE: ensalada de fruta,
helado o flan.
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Formas de multiplicar
1. Rodeá el resultado correcto sin hacer las cuentas. Explicá cómo te das cuenta.
a. 199 × 8 =
b. 235 × 21 =
c. 295 × 111 =
2. Leé qué hicieron los chicos para resolver 152 × 12.
3. Leé qué hizo Patricio para resolver 56 × 15.
¿De dónde provienen el 7, el 8, el 3 y el 5 del procedimiento de Patricio? ¿Por qué los escribe así?
�¿Dónde aparece el 12 en la cuenta de Nicolás? ¿Y en la de Franco? �La multiplicación 152 × 2 que está en la cuenta de Nicolás, ¿aparece en la de
Pamela? ¿Cómo se dan cuenta? �¿Por qué Nicolás escribe dos veces el 152? �¿Qué números descompone Franco? ¿Cómo los descompone? �¿Qué números descompone Pamela? ¿Cómo los descompone?
entreTODOS
32.745
3.935
892 1.092
4.935
35.745
1.592
5.935
38.745
Patricio
56 × 15 = 7 × 8 × 3 × 5
= (7 × 3) × (8 × 5)
= 21 × 40
= 840
Pamela
152 × 12 1.520 152 × 10 +
200 100 × 2
100 50 × 2 4 2 × 2
1.824
Nicolás
152 x 12 =
152 × 10 + 152 × 2 =
1.520 + 304 = 1.824
Franco
152 x 12 =
152 × 2 × 6 =
304 × 6 = 1.824
1. ¿Cómo podés resolver 125 × 24 en una calculadora donde no funciona la tecla 4 ?
2. ¿Cómo podés resolver 132 × 31 en una calculadora donde no funciona la tecla 1 ?
Con calculadora
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El casamiento
Mariano y Jorgelina invitaron a 117 personas a su casamiento.
1. Pusieron bancos para que los invitados se sentaran durante la ceremonia. En cada banco entraban 13 personas. ¿Cuántos bancos necesitaron, como mínimo, para que todos los invitados estuvieran sentados?
2. En la fiesta distribuyeron a los invitados en mesas para 8 personas.a. ¿Cuántas mesas había como mínimo?
b. ¿Todas las mesas quedaron completas? ¿Cómo te das cuenta?
3. Para el carnaval carioca compraron 645 objetos entre gorros, vinchas, collares, maracas, silbatos y serpentinas. ¿Habrán podido darle la misma cantidad de objetos a cada invitado. ¿Por qué?
Taller de problemas �Los novios reparten fotos suyas entre 65 amigos. Le dan la misma cantidad a cada uno y
sobran 4 fotos. �¿Cuántas fotos había en total? �¿Podés estar seguro de que esa era la cantidad de fotos? ¿Por qué?
�Al final de la fiesta ofrecieron bombones. Los 48 invitados que quedaban comieron 4 bombones cada uno y sobraron algunos.
�¿Cuántos bombones había en total? �¿Cuántos bombones sobraron? �¿Hay una única respuesta a este problema? Si considerás que sí, explicá por qué. Si
pensás que no, indicá cuáles son las respuestas posibles.
Recordá que los números que intervienen en la división reciben los siguientes nombres: dividendo, divisor, cociente y resto, y hay una relación que se establece entre ellos. Por ejemplo:
En toda división se cumple que: dividendo = divisor × cociente + resto. En el ejemplo: 179 = 8 × 22 + 3
divisor
cocienteresto
dividendo 179
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Cuentas para dividir
1. Usá que 360 : 10 = 36; 360 : 36 = 10; 3.600 : 100 = 36 y 3.600 : 36 = 100 para completar cada afirmación con >, <, o =. Escribí en la carpeta qué tenés en cuenta para hacerlo.a. El cociente de la división entre 355 y 10 es que 36.b. El cociente de la división entre 366 y 36 es que 10.c. El cociente de la división entre 3.678 y 100 es que 36.d. El cociente de la división entre 3.499 y 36 es que 100.
2. Pedro y Camila tienen 15.345 caramelos y los tienen que guardar en bolsas de 72 caramelos cada una. Leé lo que hicieron para calcular la cantidad de bolsas que se pueden armar.
1. Lorena hizo 6.951 : 28 en la calculadora y le dio 248,25. ¿Es cierto que el resto de la división es 0? ¿Por qué?
2. Usá la calculadora para completar esta tabla.
Dividendo Divisor Cociente Resto ¿Cómo lo pensaste?
2.457 54
9.900 80
Con calculadora
× 272 × 10 = 72072 × 100 = 7.20072 × 200 = 14.400
Pedro
15.345 72
-
14.400 200 bolsas
945 +
-
720 10 bolsas
225
-
144 2 bolsas
81
-
72 1 bolsas
9 sobran
213 bolsas
72 × 10 = 72072 × 100 = 7.20072 × 1.000 = 72.000
Camila
15.345 72
– 7.200 100 bolsas
8.145 +
– 7.200 100 bolsas
945
– 720 10 bolsas
225
– 72 1 bolsa
153
– 72 1 bolsa
81
– 72 1 bolsa
9
213 bolsassobran
�¿Dónde está el 200 de la cuenta de Pedro en la cuenta de Camila? �¿Qué cuentas de multiplicar usa Pedro para escribir cada número rojo? ¿y Camila?
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Remodelar la casa
1. Para pintar su casa, Catalina y Juan compraron 20 litros de pintura azul a $45 cada litro, 3 pomos de tonalizadores a $39 cada uno, 2 pinceles a $26 cada uno y 3 rodillos a $51 cada uno. Por haber superado los $1.000, les descontaron $3 en cada producto. ¿Cuánto gastaron?
2. Catalina y Juan contrataron a tres pintores que trabajaron todos los días desde un lunes hasta el miércoles de la semana siguiente. Cada uno cobra $180 el día de trabajo. Los domingos cobran el doble. Si Catalina y Juan decidieron pagar a medias, ¿cuánto dinero deberá pagar cada uno?
3. Juan compró 150 metros de cable para renovar el cableado de la casa. Usó 18 metros en cada uno de los 3 dormitorios, 11 metros en el baño y 23 metros en la cocina. También aprovechó para arreglar 2 veladores y usó 2 metros de cable en cada uno. ¿Cuántos metros le quedan para cambiar el cableado de las luces del patio?
4. La mesa que compraron costó $1.260 y cada una de las 6 sillas, $298. La cama salió $2.790 y cada una de las 2 mesas de luz, $952. El envío a domicilio costó $250. Eligieron pagar la mitad del total el día de la entrega y el resto, en 6 cuotas iguales y sin recargo. ¿Cuáles de estos cálculos permiten averiguar el valor de cada cuota? ¿Cómo te das cuenta?
a.
b.
c.
d.
�¿Qué operaciones usaste para resolver cada problema? �Escribí un solo cálculo horizontal que resuelva cada problema. �¿En algún cálculo incluiste los paréntesis? ¿Para qué los usaste?
Revisamos los problemas
(1.260 + 6 × 298 + 2.790 + 2 × 952 + 250) : 6 =
(1.260 + 6 × 298 + 2.790 + 2 × 952 + 250) : 2 : 6 =
1.260 + 6 × 298 + 2.790 + 2 × 952 + 250 : 2 : 6 =
(1.260 + 6 × 298 + 2.790 + 2 × 952 + 250) : 12 =
Integrar lo aprendido
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1. Escribí el número seis mil ochocientos cincuenta millones de tres maneras diferentes.
2. Ordená estos números de menor a mayor.a. 3,45 millones b. 987.654 c. 8 mil millonesd. 333 millones e. 12.345.678
3. Decidí si estas igualdades son verdaderas o falsas. Explicá cómo te das cuenta. Corregí las que son falsas.a. 100.000.000 + 2.700.000 + 49.000 + 300 + 8 = 102.749.308
b. 2 × 10 6 + 9 × 10 5 + 8 × 10 3 + 5 × 10 = 290.805
4. Ubicá los números 15.000.000 y 40.000.000 en esta recta numérica.
5. En un torneo de fútbol participan 8 equipos. Cada equipo juega un partido contra cada uno de los otros equipos. a. ¿Cuántos partidos se jugarán en total?
b. ¿Y si jugaran un partido de ida y uno de vuelta?
6. Un candado tiene una combinación de 6 cifras, con los números del 1 al 6.a. ¿Cuántas combinaciones posibles hay si las cifras no pueden repetirse?
b. ¿Y si se pueden repetir?
7. a. Alan tiene entre 400 y 500 estampillas. Las guarda en 25 bolsas con igual cantidad de estampillas en cada una y no le sobran. ¿Cuántas estampillas puede tener Alan?
b. Flor tiene entre 100 y 150 chupetines. Si guarda 8 en cada bolsa no sobra ninguno y si guarda 5 en cada bolsa tampoco le sobran. ¿Cuántos chupetines puede tener Flor?
8. Rodeá el o los cálculos que dan 613 como resultado.
(60 + 4) × (9 + 37)60 + 4 × 9 + 37
(60 + 4) × 9 + 37 60 + 4 × (9 + 37)
9. Usá que 123 × 10 = 1.230 para resolver estas cuentas en la carpeta. Explicá cómo lo usás.
a. 123 × 11 = b. 1.230 : 123 = c. 123 × 9 = d. 1.230 : 5 = e. 123 × 20 = f. 1.230 : 246 =
0 20.000.000
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�¿Dónde ubicarían 4 guardias que estén a 4 cm del rey? �¿Cuántos guardias que estén a 4 cm del rey deberían poner para que nadie
pueda llegar a él? Marquen en la pantalla dónde los ubicarían. �¿Qué instrumentos geométricos necesitan para marcarlos? �Pinten con rojo todos los lugares por donde se podría mover el rey sin pasar la
guardia.
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REY
2 Triángulos y cuadriláteros
Cuidar al rey
Carla juega en la computadora. Tiene que cuidar que los enemigos no lleguen al rey.
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Usar el compás
1. a. Usá el compás para copiar estos segmentos sobre la recta gris, de modo que uno quede a continuación del otro.
b. ¿Cómo hay que usar el compás para tomar las medidas?
2. Usá el transportador para trazar cada ángulo con vértice en A.a. 75° b. 135°
3. a. Seguí las instrucciones para copiar este ángulo en la carpeta.
b. ¿El ángulo que dibujaste en la carpeta es igual al ángulo D ? ¿Cómo podés estar seguro?
A
B
E F
G H
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.Dos segmentos que están sobre la misma recta se llaman alineados.
A A
1. Marcar un punto A y una semirrecta con origen en A.2. Elegir un radio y trazar una circunferencia con ese radio y centro en D. Llamar M y N a los puntos donde la circunferencia cruza los lados del ángulo.3. Trazar una circunferencia con el mismo radio anterior y centro en A. Llamar R al punto donde la circunferencia corta a la semirrecta.4. Trazar una circunferencia con centro en R y radio igual a la
distancia de M a N. Llamar S a uno de los puntos donde se cortan las dos circunferencias.5. Trazar la semirrecta de origen en A que pasa por S.
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Usar el transportador
1. Juan quiere armar un bastidor para una pintura clavando unas maderas de esta manera, donde el ángulo B C F tiene que medir 30°. Usará un transportador como el de la imagen.
a. Apoyá la cruz del transportador en C para medir la amplitud del B C F. ¿Qué número tenés que buscar en el transportador? ¿Por qué?
b. Mirá el transportador de esta imagen. ¿Qué características tienen los números que se escriben en el mismo lugar? ¿Por qué considerás que se escriben en el mismo lugar?
2. Calculá la medida de los ángulos marcados con letras sin usar el transportador.a. b.
B
F
A
CD
E
Un ángulo se llama convexo si mide menos de 180°, llano si mide 180° y cóncavo si mide entre 180° y 360°.Un ángulo convexo puede ser: agudo si mide menos de 90°, recto si mide 90° u obtuso si mide más de 90°.Dos ángulos que comparten un lado se llaman consecutivos.Dos ángulos consecutivos que forman un ángulo llano se llaman adyacentes.
A 30°
210°
45° B
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Los lados de los triángulos
1. Construí en la carpeta un triángulo con las características pedidas en cada caso. Escribí los pasos que seguís para construirlos. Anotá si se puede construir uno, muchos o no se puede construir ninguno, y explicá cómo te das cuenta.a. Sus lados miden 4 cm, 6 cm y 7 cm.b. Tiene 2 lados de 4 cm y uno de 5 cm.c. Sus lados miden 2 cm, 4 cm y 7 cm.d. Sus lados miden 2 cm, 4 cm y 6 cm.
2. Construí en la carpeta un triángulo que tenga un lado de 4 cm y otro de 7 cm. Escribí los pasos que seguís para construirlo. Anotá si se puede construir uno, muchos o no se puede construir ninguno, y explicá cómo te das cuenta.
3. En cada caso, agregá la medida del tercer lado para que el triángulo resulte ser el pedido. Si hay más de una opción, indicá cuántas hay y escribí 2 de ellas.
a. Un triángulo equilátero con 2 lados de 8 cm.
b. Un triángulo isósceles con un lado de 7 cm y otro de 10 cm.
c. Un triángulo escaleno con un lado de 5 cm y otro de 8 cm.
d. Un triángulo isósceles con dos lados de 6 cm.
Los triángulos pueden clasificarse según sus lados. Un triángulo que tiene sus tres lados iguales, se llama triángulo equilátero.Si tiene dos lados iguales se llama triángulo isósceles. Y si tiene sus tres ladosdistintos se llama triángulo escaleno.
EscalenoEquilátero Isósceles
Para que sea posible formar un triángulo, la
suma de la medida de dos de sus lados debe ser
mayor que la medida del tercer lado.
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Construir triángulos con ángulos
1. Construí en la carpeta, en cada caso, con regla no graduada y compás, un triángulo con los datos que se dan. Anotá los pasos que seguís.a. b.
2. a. Si tenés la medida de un lado y los ángulos que se apoyan sobre él, ¿siempre se puede construir el triángulo? ¿Por qué?
b. ¿Puede ser que un triángulo tenga 2 ángulos rectos? ¿Por qué?
c. ¿Puede ser que un triángulo tenga 2 ángulos obtusos? ¿Y 2 ángulos agudos? ¿Por qué?
3. Construí en la carpeta con regla, compás y transportador el triángulo ABC que se pide en cada caso. Si se puede construir más de uno, anotá cuántos y escribí qué datos agregarías para que la construcción sea única. Si no se puede construir ninguno, explicá por qué.
a. AB = 4 cm, A = 40°, B = 75°. b. AB = 3 cm, A = 80°.
c. A = 20°, B = 100°. d. A = 95°, B = 100°.
e. A = 60°, B = 40°, C = 80°. f. A = 30°, B = 75°, C = 60°.
A B
A
B
A B
A
B
�Con las medidas de 2 lados, ¿siempre se puede construir el triángulo? ¿Por qué? �Con las medidas de 3 lados, ¿siempre se puede construir el triángulo? ¿Por qué? �Con las medidas de 2 ángulos, ¿siempre se puede construir el triángulo? ¿Por qué?
Revisamos los problemas
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�¿Es cierto que la suma de los ángulos interiores del triángulo ABD es la mitad que la suma de los ángulos interiores del rectángulo AEBD? ¿Por qué?
�¿Es cierto que la suma de los ángulos A y B del triángulo ABD es 90°? ¿Por qué?
�¿Es cierto que la suma de los ángulos interiores del triángulo CBD es la mitad que la suma de los ángulos interiores del rectángulo DBFC? ¿Por qué?
�¿Es cierto que la suma de los ángulos C y B del triángulo CBD es 90°? �¿Cuánto suman los ángulos interiores del triángulo ABC? ¿Por qué?
entreTODOS
Sumar los ángulos de un triángulo
1. Leé qué dicen las chicas.
2. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un triángulo equilátero? ¿Cómo te das cuenta?
3. El triángulo ABC es isósceles, no equilátero. AC = CB y CD es perpendicular a AB .a. ¿Es cierto que los triángulos ADC y BDC son iguales? ¿Por qué?
b. ¿Es cierto que los ángulos A y B son iguales? ¿Por qué?
BE F
A CD
Las figuras AEFC, AEBD y DBFC son rectángulos.
Entonces, la suma de los ángulos interiores de
cada una es 360º.
Si quiero calcular la suma de los ángulos interiores
del triángulo ABC, primero construyo un rectángulo con un lado AC y el otro igual a la
distancia de B al lado AC .
A D B
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Calcular ángulos
1. Calculá la medida de los ángulos indicados con letras.a. b.
c. d.
e. f.
2. a. Calculá la medida de A . Escribí cómo lo hacés.
b. ¿Es cierto que A y C son iguales? ¿Por qué?
c. ¿Es cierto que B mide 43°? ¿Por qué?
ACB
80°
43°
65°
H
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AD G
20°
35°90°
MT
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110°
150°
A
B
C
AE es paralelo a GH y AG es paralelo a EH .
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25°
M N
O
40° D
70°
C B
D
130°
M
60°
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140°
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Las alturas de los triángulos
1. Dibujá las alturas de estos triángulos.a. b.
c. Escribí cómo pusiste la escuadra en cada caso.
2. a. Seguí las instrucciones para construir el triángulo en la carpeta.
b. ¿Cuántos triángulos se pueden construir con esos datos?
c. ¿Qué tienen en común todos esos triángulos?
1. Construir un segmento AB de 5 cm.2. Trazar con la escuadra 2 rectas perpendiculares a AB , una que pase por A y la otra que pase por B. Llamarlas r y s.3. Trazar 2 circunferencias con radios de 3 cm, una con centro en A y la otra en B. 4. Llamar M a uno de los puntos donde la primera circunferencia corta a r.5. Llamar N al punto donde la segunda circunferencia corta a s y está del mismo lado respecto del segmento AB que M. 6. Trazar la recta que pasa por M y N.7. Elegir un punto C sobre esa recta.8. Trazar el triángulo ABC.
La altura de un triángulo es un segmento perpendicular a un lado, que tiene un extremo en él (o en su prolongación) y el otro en el vértice opuesto. La medida de la altura es la distancia de ese lado al vértice opuesto. Cada triángulo tiene 3 alturas, una por cada lado.
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1. Construí, en la carpeta, el cuadrilátero pedido en cada caso usando regla, compás y transportador. Si se puede construir más de uno, escribí cuántos.a. Un paralelogramo con lados de 4 cm y 6 cm, y una diagonal de 8 cm.b. Un paralelogramo con lados de 4 cm y 6 cm, y un ángulo de 45°.c. Un paralelogramo con un lado de 5 cm y una altura de 3 cm.d. Un rombo de 5 cm de lado y una diagonal de 9 cm.e. Un paralelogramo con lados de 5 cm y 3 cm.
2. Marcá con rojo los ángulos de este paralelogramo que comparten el lado AB .a. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos? ¿Cómo te das cuenta?
b. ¿La suma de los ángulos que se apoyan sobre otro lado da el mismo resultado que en a.?
3. Copiá estas figuras con regla no graduada y compás en la carpeta. Escribí los pasos que seguiste.a. b.
Copiar y construir paralelogramos
Se llaman paralelogramos los cuadriláteros que tienen 2 pares de lados paralelos. Por ejemplo:El rectángulo es un paralelogramo con 4 ángulos rectos.El rombo es un paralelogramo con 4 lados iguales.El cuadrado es un paralelogramo con 4 lados iguales y 4 ángulos rectos.
La altura de un paralelogramo es la distancia entre dos lados paralelos, es decir que es la medida de un segmento perpendicular a esos dos lados paralelos que tiene extremos en ellos.
La diagonal de un cuadrilátero es un segmento que une 2 vértices y no es un lado.
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Diagonales de los paralelogramos
1. ABCD es un paralelogramo.a. Trazá la diagonal AC .b. Los triángulos
∆
ACD y ∆
ABC son iguales. Explicá por qué.
c. En el triángulo ∆
ADC , pintá con el mismo color los ángulos que son iguales a los que ya están pintados.
d. En el triángulo ∆
BCD , pintá con el mismo color los ángulos que son iguales a los que ya están pintados.
e. Observá cómo resolviste c. y d. En esta figura, pintá del mismo color los ángulos que son iguales.f. Llamá O al punto donde se cortan las diagonales. ¿Es cierto que los triángulos
∆
AOD y ∆
BOC son iguales? ¿Por qué?
g. ¿Es cierto que AO = OC ? ¿Por qué?
h. ¿Es cierto que AC = BD ? ¿Por qué?
i. ¿Es cierto que las diagonales de los paralelogramos se cortan en el punto medio? ¿Por qué?
A B
D C
A B
D C
A B
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a. Pintá en el rombo de la derecha los ángulos que son iguales. b. ¿Es cierto que los triángulos BOC y AOB son iguales? ¿Por qué?
c. ¿Es cierto que una diagonal divide al ángulo B en dos partes iguales? ¿Por qué?
d. ¿Cuánto mide el ángulo A O B? ¿Cómo te das cuenta?
Diagonales de los rombos
1. ABCD es un rombo. Leé qué escribió Alba.
Si trazo la diagonal AC del rombo, quedan dos triángulos cuyos lados tienen la misma medida. Entonces son iguales y, por lo tanto, tienen ángulos que miden igual. Voy a llamar con la misma letra a los ángulos que miden igual. Si trazo la diagonal BD , pasa lo mismo.
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�¿Es cierto que las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en el punto medio? ¿Por qué?
�¿Es cierto que las diagonales de los rectángulos, los rombos y los cuadrados se cortan en el punto medio? ¿Por qué?
�¿Es cierto que las diagonales de cualquier rectángulo son perpendiculares? ¿Cómo te das cuenta?
�¿Es cierto que las diagonales de cualquier rombo son perpendiculares? ¿Cómo te das cuenta?
�¿Es cierto que las diagonales de un cuadrado son iguales, se cortan en el punto medio y son perpendiculares? Explicalo sin medir.
Revisamos los problemas
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Los trapecios
1. Construí, en la carpeta, los trapecios pedidos en cada caso usando regla, compás y transportador. Escribí cuántos trapecios se pueden construir con los datos dados.
a. Un trapecio isósceles con un lado de 5 cm, una altura de 2 cm, y lados iguales de 3 cm.
c. Un trapecio con lados paralelos de 6 cm y 4 cm, y un ángulo de 35°.
b. Un trapecio rectángulo de 2 cm de altura y un lado de 3 cm.
d. Un trapecio rectángulo de 4 cm de altura.
2. El trapecio ABCD es isósceles y DM y NC son alturas.a. ¿Cómo son los triángulos
∆
AMD y ∆
BNC ? ¿Por qué?
b. ¿Es cierto que los ángulos M A D y N B C son iguales? ¿Por qué?
c. ¿Pasará lo mismo en cualquier trapecio? ¿Por qué?
Se llaman trapecios los cuadriláteros que tienen un solo par de lados paralelos. Por ejemplo:El trapecio rectángulo, que tiene 2 ángulos rectos.El trapecio isósceles, que tiene 2 lados iguales que no son paralelos.
La altura de un trapecio es la distancia entre sus lados paralelos. B
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Datos para construir Usá el programa GeoGebra para resolver estas actividades.
1. a. Construí un rectángulo. Anotá los pasos que seguís y los comandos que usás.
b. Mové los vértices de la figura que construiste. ¿Sigue siendo un rectángulo? Si no es así, volvé a construirla para que siga siendo un rectángulo.
2. a. Construí un cuadrado. Anotá los pasos que seguís y los comandos que usás.
b. Mové los vértices de la figura que construiste. ¿Sigue siendo un cuadrado? Si no es así, volvé a construirla para que siga siendo un cuadrado.
3. a. Construí un paralelogramo que tenga un lado que mida 6 cm y otro lado que mida 4 cm. Anotá los pasos que seguís y los comandos que usás.
b. Mové los vértices de la figura que construiste. ¿Sigue siendo un paralelogramo de lados de 6 cm y 4 cm? Si no es así, volvé a construirla para que siga siendo un paralelogramo que cumpla las condiciones pedidas.c. ¿Cuántos paralelogramos distintos podés construir con esos datos? ¿Por qué?
d. ¿Qué datos agregarías para que la construcción sea única?
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7. Para cada cuadrilátero, marcá una cruz en los casilleros correspondientes a las propiedades que cumple.
CuadriláteroLas diagonales se cortan en el punto
medio.
Las diagonales son iguales.
Las diagonales son perpendiculares.
Los ángulos que están apoyados sobre el mismo
lado suman 180°.
Rectángulo
Rombo
Paralelogramo
Cuadrado
1. Copiá esta figura en la carpeta usando regla no graduada, compás y transportador. Anotá las instrucciones que le darías a un compañero para trazar la misma figura sin verla.
2. a. Construí en la carpeta un triángulo que tenga lados que midan 6 cm y 4 cm. Anotá los pasos que seguís para construirlo.b. ¿Qué datos agregarías para que la construcción sea única?
3. Marcá si estas afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Explicá en la carpeta por qué. V Fa. Un triángulo isósceles puede tener 2 ángulos de 100°.b. Los triángulos equiláteros tienen todos los ángulos agudos.c. Se pueden construir muchos triángulos que tengan un lado de 5 cm y dos ángulos de 30°.
4. a. Construí en la carpeta un triángulo que tenga ángulos que midan 45° y 75°. Anotá los pasos que seguís para construirlo. b. El ángulo que falta, ¿puede ser de cualquier medida? ¿Por qué?
5. Copiá en la carpeta estas figuras con regla no graduada y compás. a.
b.
6. a. Construí en la carpeta un rectángulo con diagonales de 4 cm. Anotá los pasos que seguís.b. ¿Cuántos rectángulos distintos podés construir? ¿Cómo te das cuenta?
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�Rodeen los números que dirán los chicos jugando con múltiplos de 7.
�¿Cuál es el número más cercano a los que no rodearon que podrían decir? �Otros chicos sacaron el 5 y comenzaron diciendo 5, 10, 15... ¿Dirán algunos
de los números que mencionaron los chicos que jugaron con múltiplos de 7? ¿Cómo se dan cuenta?
entreTODOS
3 Divisibilidad
Jugar con múltiplos
Los chicos juegan a decir múltiplos del número que sacan de la bolsa.
¡Salió el 7!¡21!¡28!
91 105 245 285
Alba Carla Benito Diego
Un múltiplo es 14.
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�¿Cómo sabe Alba que al dividir 1.364 por 11 el resto es 0? �¿Cómo encontrarían un múltiplo de 8 que sea mayor que 2.000? �¿Cómo encontrarían un múltiplo de 7 que tenga 3 cifras y sea menor que 700?
entreTODOS
La visita al teatro
1. Los 147 chicos de sexto irán al teatro con sus 8 maestras. En la escuela contratarán micros con capacidad para 25 personas. a. ¿Cuántos micros necesitan como mínimo?
b. ¿Todos los micros irán llenos? ¿Cuántos alumnos más podrían viajar?
2. Federico dice que en el turno tarde, entre chicos y maestras, hay más de 100 personas y menos de 200. Para ir al teatro contrataron micros que transportan 30 personas cada uno y todos fueron llenos. ¿Cuántas personas del turno tarde fueron al teatro? Escribí todas las posibilidades en la carpeta.
3. En el teatro tienen que ubicar 1.520 sillas en filas de 12 sillas cada una. Respondé en la carpeta: ¿cuántas filas pueden armar? ¿Todas las filas quedarán completas? ¿Hay que agregar sillas para completar una fila? ¿Cuántas?
4. Leé qué dicen los chicos.
Un número es múltiplo de otro si, al hacer la división, el resto es cero. Por ejemplo, 123 es múltiplo de 3 porque:
Entonces 123 = 3 × 41.Para que un número sea múltiplo de otro, se tiene que poder escribir como multiplicación del otro por un número natural.
Un número es divisible por otro si el primero es múltiplo del segundo. También se dice que el segundo es divisor del primero. En el ejemplo anterior, 123 es divisible por 3, y 3 es divisor de 123.
123 3 – 120 40
3 +
1
– 3 41
0
Alba
Eso es muy útil, porque además se puede saber que 1.364 dividido 11 da 124 de cociente y el resto es 0.
Entonces también sabemos que 11 y 124 son divisores
de 1.364.
Diego
Encontrar múltiplos de un número es fácil. Lo multiplico por cualquier número natural y listo. Por ejemplo, 11 × 124 = 1.364,
entonces 1.364 es múltiplo de 11.
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El club del barrio
1. En el club quieren armar talleres para los 48 chicos de 15 años que concurren habitualmente. En todos los talleres tiene que haber la misma cantidad de chicos.a. ¿Qué cantidad de chicos puede haber en cada taller? Escribí todas las posibilidades.
b. ¿Cuántos talleres pueden armar en cada caso?
2. En el club hay 56 chicos de 9 años y también quieren armar talleres para ellos. En todos los talleres tiene que haber la misma cantidad de chicos.a. ¿Qué cantidad de chicos puede haber en cada taller? Escribí todas las posibilidades.
b. ¿Cuántos talleres pueden armar en cada caso?
3. Los organizadores quieren armar la menor cantidad de talleres y que tengan la misma cantidad de chicos, pero que no se mezclen los de 15 años con los de 9. ¿Cuántos chicos pueden ir a cada taller? ¿Cuántos talleres armarán en ese caso?
4. Los chicos del club juntan figuritas. Tienen una caja con 90 figuritas de fútbol y otra con 60 figuritas de rugby. Benito quiere ordenarlas en sobres, sin mezclar las de fútbol con las de rugby, y que cada sobre tenga la misma cantidad.a. ¿Cuántas figuritas puede poner en cada sobre? Escribí todas las posibilidades.
b. ¿De qué manera usa la menor cantidad de sobres?
Se llama divisor común mayor (DCM) de dos números al mayor de los divisores comunes a ambos números. Por ejemplo, el divisor común mayor entre 24 y 36 es 12.
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Formas de encontrarse
1. Para una competencia, los chicos de sexto viajarán a Luján y los de séptimo a San Antonio de Areco. Llegan a las 8 de la mañana a la estación y, en ese momento, salen 2 trenes, uno para cada lugar. ¿Cada cuántos minutos volverán a salir juntos los dos trenes?
2. Julio y Federico reparten pizzas. Julio entrega una cada 30 minutos y Federico, una cada 45 minutos. Ambos entregan la primera pizza a las 12 del mediodía. ¿Cada cuántos minutos entregarán una pizza en el mismo momento?
3. Respondé en la carpeta.a. Carla ordena estampillas en un álbum. En cada página pone 12 estampillas y no le sobra ninguna. Si tiene entre 100 y 150
estampillas, ¿cuántas estampillas puede tener? Escribí todas las opciones.b. Si Diego tiene entre 500 y 550 figuritas y sabe que al pegar 15 en cada página no le sobra ninguna y al pegar 20 en cada página tampoco le sobra ninguna, ¿cuál es la cantidad de figuritas que puede tener?
4. Julia va al supermercado cada 4 días, Marta cada 6 y Victoria cada 10. Si se encuentran hoy, ¿dentro de cuántos días se encontrarán de nuevo?
5. Milena tiene 120 figuritas de princesas y 162 de autos. Las quiere guardar en sobres sin mezclarlas y que cada sobre tenga la misma cantidad de figuritas. ¿Cuántas figuritas tiene que incluir en cada sobre si quiere usar la menor cantidad posible de sobres?
�¿Cuáles son los divisores comunes entre 48 y 60? �¿Cuál es el divisor común mayor entre ellos? �Escribí qué harías para calcular el divisor común mayor entre dos números.
�Escribí tres números que sean múltiplos de 12 y de 16. �¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre ellos? �Escribí qué harías para calcular el mínimo común múltiplo entre dos números.
Revisamos los problemas
A LUJÁN cada 25 minutos
A SAN ANTONIO DE ARECOcada 35 minutos
Se llama múltiplo común menor (mcm) de dos números al menor de los múltiplos comunes a ambos números. Por ejemplo, el múltiplo común menor entre 12 y 16 es 48.
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Benito
Usar diferentes escrituras
1. Benito sabe que 105 = 15 × 7. Leé qué dice.
a. ¿Cómo sabe Benito que 105 es múltiplo de 15 sin hacer la división?
b. ¿Podrías encontrar todos los divisores de 105 usando el razonamiento de Benito?
2. a. Usá que 180 = 15 × 12 para escribir todos los divisores de 180.
b. ¿De qué otras maneras podés escribir el 180 como multiplicación?
c. ¿De qué manera se puede escribir el 180 como multiplicación de números primos?
3. Usá que 480 = 24 × 20 para escribir todos los divisores de 480. Explicá cómo usaste la multiplicación dada sin dividir.
4. Marcá si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F), sin hacer la división y descomponiendo el número en sumas adecuadas. Explicá la descomposición que realizaste. V Fa. 450 es múltiplo de 15.
b. 342 es múltiplo de 12.
c. 8 es divisor de 1.108.
d. 7 es divisor de 7.749.
Ya sé que 105 es múltiplo de 15, de 7, de 21 y de 5. Con la cuenta se ve fácil y no tengo que dividir.
Un número es primo si tiene exactamente dos divisores: el mismo número y 1. Por ejemplo, 7 es primo porque solo es divisible por 7 y por 1. El 1 no es primo, porque tiene un solo divisor, que es 1.
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1.a. Juana ordena 245 libros en una biblioteca. En todos los estantes pone la misma cantidad de libros. ¿Cuántos libros entran por estante sin que sobre ninguno? Escribí todas las posibilidades.
b. ¿Cuántos estantes usa en cada caso?
2. Pancho tiene una bolsa con caramelos para repartir entre sus amigos. Tiene entre 100 y 120 caramelos y sabe que si le da 11 a cada chico, no sobra nada, y si le da 10 caramelos a cada chico, tampoco sobra nada. ¿Cuántos caramelos hay en la bolsa? Escribí todas las posibilidades. ¿Entre cuántos chicos los repartirá en cada caso?
3. Alan tiene que ordenar 770 sillas en filas con la misma cantidad. a. ¿Es posible armar filas de 15 sillas? Si no es posible, escribí cuántas sillas faltan para completar la última fila.
b. ¿Es posible hacer filas de 10 sillas? Si no es posible, escribí cuántas sillas faltan para completar la última fila.
4. Alba tiene una caja con 84 pulseritas y otra con 126 anillos. Quiere armar bolsitas para regalarles a sus amigas, sin mezclar pulseritas y anillos y que cada bolsita tenga la misma cantidad. a. ¿Cuántas pulseritas o anillos puede poner en cada bolsita? Escribí todas las posibilidades.
b. ¿De qué manera usa Alba la menor cantidad de bolsitas?
5. Ana tiene 60 anillos y 45 collares, y arma bolsitas para regalar en su cumpleaños. Todas las bolsitas deben tener la misma cantidad de anillos y la misma cantidad de collares. a. ¿Puede llenar 12 bolsitas usando todos los collares y todos los anillos?
b. ¿Cuál es la mayor cantidad de bolsitas que puede armar?
6. Usá que 15 es divisor de 1.125 y calculá en cada caso, sin hacer la división, los restos de las divisiones entre estos números. Explicá en la carpeta cómo usás el dato dado.a. 1.130 y 15. b. 1.235 y 15. c. 1.120 y 15.
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Políg
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s. �¿Quién armó la figura con más lados? �¿Cuántos lados tiene la figura anaranjada del geoplano de Carla? ¿Tiene todos
los lados rectos? �Marquen los ángulos interiores de la figura del geoplano de Diego.
�¿Pueden determinar si los ángulos miden más o menos de 180°? �Si pueden agregar gomitas, ¿en qué figuras pueden poner un lado entre
2 clavos y que no quede completamente dentro de la figura?
entreTODOS
4 Los polígonos
Los geoplanos
Carla
Diego Alba
Benito
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Armar figuras
1. Completá estas figuras para que sean hexágonos con alguno de sus ángulos interiores mayor de 180º.
a. b.
2. a. Seguí las instrucciones para construir la figura en la carpeta.
b. ¿Cuántos lados tiene el polígono ABDEFG? ¿Es regular?
c. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este polígono?
d. Trazá una circunferencia con centro en C que pase por A. ¿Es cierto que también pasa por los otros vértices del polígono ABDEFG? ¿Cómo podés asegurarlo?
3. a. Construí en la carpeta un pentágono que tenga lados de 5 cm. Escribí en la carpeta los pasos que seguís.b. Compará tu construcción con las de tus compañeros. ¿Dibujaron el mismo pentágono? ¿Cómo te das cuenta?
1. Construir un triángulo equilátero ∆
ABC de lados de 3 cm.2. Construir el triángulo equilátero
∆
BCD usando la figura anterior y de modo que D no coincida con A.3. Construir el triángulo equilátero
∆
CDE usando la figura anterior y de modo que E no coincida con B.4. Construir el triángulo equilátero
∆
CEF usando la figura anterior y de modo que F no coincida con D.5. Construir el triángulo equilátero
∆
CFG usando la figura anterior y de modo que G no coincida con E.6. Construir el triángulo equilátero
∆
CGH usando la figura anterior y de modo que H no coincida con F.
Las figuras cerradas delimitadas por segmentos se llaman polígonos.Algunos polígonos son:Triángulo: tiene 3 lados.Cuadrilátero: tiene 4 lados.Pentágono: tiene 5 lados.Hexágono: tiene 6 lados.Heptágono: tiene 7 lados.Octógono: tiene 8 lados.Un polígono que tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales se llama polígono regular.
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Trazar diagonales
1. Cubrí estos polígonos con triángulos que no se superpongan. Anotá en cada caso cuántos triángulos necesitás.a. b.
2. a. Trazá en este polígono las diagonales que tienen extremo en B.
b. ¿Cuántas diagonales trazaste?
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�¿A qué triángulo corresponde el ángulo D del pentágono? �¿El ángulo C del pentágono pertenece a un solo triángulo? ¿Cómo te das
cuenta? �¿Por qué Benito dice que al sumar los ángulos interiores de los 3 triángulos el
resultado es la suma de los ángulos interiores del pentágono? �¿Cómo se pueden calcular los ángulos interiores de un hexágono? ¿Y de un
heptágono?
entreTODOS
Suma de los ángulos de un polígono
1. ¿Es correcto lo que dicen los chicos? ¿Cómo podés asegurarlo?
2. ABCDE es un pentágono. Benito trazó todas las diagonales que tienen extremo en E. Leé lo que dice.
E
D
C
A
B
Si un polígono tiene n lados, desde un
vértice puedo dibujar n – 3 diagonales.
Carla Diego
Benito
El pentágono queda dividido en 3 triángulos. La suma de los ángulos interiores de cada triángulo es 180°.
Entonces, la suma de los ángulos interiores del pentágono es 180° × 3 = 540°.
Entonces, el polígono queda cubierto por n – 2 triángulos.
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Construir polígonos
Usá el programa GeoGebra para resolver estas actividades.
1. a. Construí la figura propuesta en el problema 2. a. de la página 38. b. Mové los vértices del primer triángulo y verificá que el polígono siga siendo un hexágono. Si no es así, volvé a construirlo para que se verifique.
2. a. Seguí las instrucciones para construir la figura.
b. ¿Qué polígono construiste? 3. a. Seguí las instrucciones para construir la figura.
b. ¿Cuánto mide el ángulo con vértice en F? ¿Cómo te das cuenta? c. Mové uno de los vértices del polígono. ¿Se modifican los ángulos? ¿Por qué?
1. Marcar un punto O y una circunferencia con centro en O y 3 cm de radio. Cambiar el color de la circunferencia a rojo.2. Elegir un punto A en la circunferencia.3. Trazar una circunferencia con centro en A y 3 cm de radio. Llamar B y F a los puntos de intersección de las circunferencias.4. Trazar una circunferencia con centro en B y 3 cm de radio. Llamar C al punto de intersección de esta circunferencia y la roja, que no es A. 5. Trazar una circunferencia con centro en C y 3 cm de radio. Llamar D al punto de intersección de esta circunferencia y la roja, que no es B. 6. Trazar una circunferencia con centro en D y 3 cm de radio. Llamar E al punto de intersección de esta circunferencia y la roja, que no es C. 7. Trazar el polígono ABCDEF.
1. Trazar una semirrecta ⟼ AB .
2. Usar la herramienta Ángulo dada su amplitud para trazar un ángulo de 100° con vértice en A y que tenga un lado en la semirrecta
⟼ AB .3. Trazar la semirrecta que pasa por A y B’. Elegir un punto C en esa semirrecta.4. Trazar un ángulo de 150° con vértice en C y que un lado sea
⟼ CA .5. Trazar la semirrecta que pasa por C y A’. Elegir un punto D en esa semirrecta.6. Trazar un ángulo de 95° con vértice en D y que un lado sea
⟼ DC .7. Trazar la semirrecta que pasa por D y C’ y elegir un punto E en esa semirrecta.8. Trazar un ángulo de 135° con vértice en E y que un lado sea
⟼ ED .9. Trazar la semirrecta que pasa por E y D’ y llamar F a la intersección de
⟼ AB y ⟼ ED .
10. Trazar el polígono ACDEF.
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1. ¿Cuántos lados tiene un polígono si la suma de sus ángulos interiores es 1.440°? ¿Cómo te das cuenta?
2. ¿Cuántos lados tiene un polígono si de cada vértice se pueden trazar 5 diagonales?
3. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular? ¿Cómo te das cuenta?
4. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un octógono regular? ¿Cómo te das cuenta?
5. Sin medir, calculá la medida del ángulo D de esta figura.
6. En esta figura, ABCD es un paralelogramo, BCE y GHI son triángulos isósceles, ABGF es un rectángulo y GBEI es un cuadrado. Calculá, sin medir, la medida de cada ángulo de la figura.
7. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? ¿Cómo te das cuenta?
8. Completá la tabla.
Polígono Suma de los ángulos interiores
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
9. Calculá la medida del ángulo E de este polígono.
125˚
130˚
100˚95˚
150˚C
D
B
E
F
A
A
F G
E
H
CD
B
I
64˚
C
D
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B
A
105˚
135˚
120˚
85˚
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�¿Qué cantidad de cada variedad lleva la señora? �El café Brasil se vende solo en paquetes de 1 — 4 kg. ¿Puede la señora llevar la
cantidad pedida? ¿Cuántos paquetes le darán? �El café Colombia se vende en paquetes de 1 — 8 kg y de 1 — 2 kg. ¿Cómo pueden
combinar los paquetes para entregarle a la señora la cantidad pedida? �¿Cuánto café de cada tipo compra el señor? �¿Qué paquetes puede llevar? ¿Hay una sola opción?
entreTODOS
Números fraccionarios y sus operaciones5
La venta de café
Necesito 2 1 — 4 kg de café, pero quiero que la mitad sea Brasil
y la otra mitad Colombia.
Necesito 1 1 — 2 kg de café. Voy a llevarlo en 3 variedades:
la mitad Santos y, de lo que queda, la mitad Moka
y la otra mitad Barista.
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Paquetes de café
1. Federico tiene que comprar 1 3 — 4 kg de café. Indicá con cuántos paquetes del mismo tamaño puede completar esa cantidad. Si no es posible, indicá por qué y cuál es la cantidad mínima de paquetes que debe comprar.
Tipo de paqueteCantidad de paquetes que hay que comprar
¿Se puede comprar justo o sobra? Si sobra, ¿cuál es la cantidad mínima de paquetes
que tiene que comprar?
1 — 4 kg
1 — 2 kg
1 — 3 kg
1 — 8 kg
2. Para preparar una taza de café hay que moler 1 — 12 kg de granos y agregarle 1 — 6 litro de agua. ¿Para cuántas tazas alcanza 1 1 — 2 kg de granos?¿Cuánta agua se necesita?
3. En la cafetería compran una bolsa de 10 kg de café Moka y la dividen en bolsas más chicas para vender. Completá la tabla.
Cantidad de café que ponen en una bolsa (kg) 1 1 — 2 1 — 4 1 — 8 1 — 3 1 — 6
Cantidad de bolsas necesarias
4. El dueño de un bar pide 4 3 — 4 kg de café Barista. Si los paquetes disponibles son de 1 — 4 kg, ¿cuántos paquetes deben enviarle?
PESO NETO
1 __ 4 kg
�¿Cuántas bolsas de 1 — 2 kg hay que comprar si se necesitan 2 kg de polenta?
�¿Y si las bolsas fueran de 1 — 4 kg?
�Si se necesita 1 1 — 2 kg de arroz, ¿cuántas cajas de 1 — 2 kg hay que comprar?
�¿Y si las cajas fueran de 1 — 3 kg?
�¿Cómo podés comprar 2 1 — 4 kg de harina en paquetes de 1 — 3 kg? ¿Podés comprar justo?
Si no es posible, escribí cuánto comprás de más.
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.
�Comparen los dibujos que hicieron en el problema 5. �¿Todos completaron de la misma manera? �¿Cuántas formas de completar hay?
entreTODOS
Contar golosinas
1. A la salida de la escuela, 3 chicos compran una bolsa de 160 chupetines. Diego se lleva la mitad, Alba se lleva la mitad de lo que queda y Carla lo que sobra.
a. ¿Cuántos chupetines se lleva cada uno?
b. ¿Qué parte de la bolsa recibe cada uno?
2. Una caja tiene 24 chicles, de los cuales 2 — 3 son de frutilla. ¿Cuántos chicles no son de frutilla?
3. Ana le da a Blanca 1 — 4 de la bolsa de caramelos. Se queda con 18 caramelos. ¿Cuántos
caramelos había en la bolsa?
4. Fernanda come 1 — 4 de un chocolate y le queda esto. Dibujá la parte que falta.
5. a. Esta imagen representa 1 — 4 de una barra de chocolate. Dibujá en la carpeta el chocolate entero y explicá cómo lo hiciste.
b. Esta figura representa 2 — 3 de otra figura. Terminá de dibujar la figura completa. Explicá cómo lo hiciste.
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Ubicar en la recta numérica
1. En esta recta numérica están marcados el 0 y el 1. Ubicá los números 1 — 2 , 2 y 3 — 2 .
2. Ubicá los números 1 y 1 — 4 en esta recta numérica.
3. Ubicá los números 1 — 3 , 5 — 6 y 3 — 2 en esta recta numérica.
4. Escribí qué números están representados con cada letra en esta recta numérica. Explicá cómo lo pensaste.
5. Explicá por qué en esta recta numérica no se respeta la escala.
0 1
0 1 — 2
0 1 — 2
1J 2 HE FG I
1 2 3 3 — 2
En una recta numérica se pueden ubicar todos los números. Para hacerlo hay que elegir una escala y respetarla. Por ejemplo, si la distancia entre 3 — 2 y 2 es 2 cm, entonces la distancia entre 1 y 3 — 2 también debe ser 2 cm.
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Más rectas numéricas
1. a. Ubicá los números 2 — 3 , 3 — 12 , 5 — 6 y 15 — 12 en esta recta numérica.
b. Ubicá los números 6 — 24 y 30 —— 24 en la recta anterior.
2. a. ¿Es cierto que la letra P representa el 2 en esta recta numérica? ¿Cómo te das cuenta?
b. ¿Qué números representan las letras L, K y Q? ¿Cómo te das cuenta?
c. Ana dice que T representa al número 17 — 2 y Juan dice que representa al número 34 —— 4 . ¿Quién
tiene razón? ¿Cómo te das cuenta?
d. Escribí de 2 maneras el número que representa la letra P. Explicá cómo te das cuenta.
3. a. ¿A cuántos paquetes de 1 — 4 kg de yerba equivalen 5 — 2 kg?
b. Completá para que se verifique la igualdad.
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5 — 2 = ——— 4
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Fracciones equivalentes
1. Uní con flechas los números fraccionarios equivalentes.
2. Completá las igualdades. Si no es posible, explicá por qué.
a. 3 — 5 = 9 ——— b. 5 — 9 = ——— 3 c. 9 — 15 = ——— 30
d. 4 — 10 = ——— 5 e. 5 — 7 = 1 ——— f. 12 — 15 = ——— 5
g. 3 — 10 = 6 ——— h. 9 — 15 = ——— 5 i. 5 —— 20 = 1
———
j. 4 — 7 = 2 ——— k. 16 — 6 = ——— 3 l. 5 — 4 = ——— 16
3. Escribí, en cada caso, 3 números fraccionarios equivalentes al dado.
a. 2 — 5 b. 7 — 6 c. 4 — 6
d. 9 — 3 e. 12 — 10 f. 5 — 4
4. a. Explicá cómo encontrás fracciones equivalentes.
b. Explicá cómo sabés si 2 fracciones son equivalentes.
Dos fracciones son equivalentes si hacen referencia al mismo reparto. Por ejemplo, si se reparten 4 chocolates entre tres personas y cada chocolate se divide en 3 cada uno recibe 4 — 3 . Si los mismos chocolates se dividen en 6 partes, cada uno recibe 8 — 6 . 4 — 3 y 8 — 6 son fracciones equivalentes y representan el mismo número, es decir:
4 — 3 = 8 — 6
7 — 14
3 — 12
10 — 6
3 — 5
8 — 16
5 — 10
9 — 15
1 — 2
2 — 8
25 — 15 1 — 4
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�¿Cómo encontrarían un número fraccionario que se ubique entre 2 — 9 y 3 — 9 ? �¿Siempre se puede encontrar un número fraccionario entre 2 números dados? �Escriban 3 números fraccionarios que se ubiquen entre 2 — 3 y 5 — 3 .
entreTODOS
Ordenar paquetes
1. Juan armó varios paquetes de arroz integral y anotó en etiquetas el peso de cada uno. Completá en la tabla el peso de cada paquete, según corresponda. Explicá cómo lo pensás.
Entre 0 y 1 kg Entre 1 kg y 2 kg Entre 2 kg y 3 kg
2. Completá las desigualdades. Si hay más de una manera explicá por qué.
a. 4 — 5 < ——— 5 < 7 — 5 b. 3 — 5 < ——— 10 < 9 — 10 c. 1 — 3 < ——— 6 < 8 — 9
d. 3 — 4 < ——— 8 < 5 — 4 e. 1 — 3 < ——— 6 < 3 — 2 f. 1 — 5 < ——— 15 < 1 — 3
3. a. Ordená los pesos de menor a mayor.
2 — 5 kg 2 — 7 kg 3 — 2 kg 6 — 5 kg 9 — 10 kg 6 — 7 kg 9 — 8 kg 8 — 9 kg
b. ¿Dónde intercalarías 3 — 8 kg?
4. Luciano tiene un paquete de azúcar de 1 — 2 kg y otro de 1 — 4 kg. ¿Cuál puede ser el peso de un
paquete que se ubique entre esos 2?
3 — 5 kg 5 — 3 kg 4 — 9 kg 11 — 4 kg 14 — 8 kg 19 — 9 kg 4 — 6 kg 8 — 14 kg 5 — 7 kg 7 — 5 kg
El símbolo < permite escribir que un número es menor que otro.Por ejemplo, si se escribe: 2 < 3, significa que 2 es menor que 3. También podría escribirse: 3 > 2, significa que 3 es mayor que 2.Estas escrituras se llaman desigualdades.
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¡No! Eso sirve si los denominadores
son iguales.Para sumar números
fraccionarios, lo único que hay que hacer es
sumar los numeradores.
Pero si los denominadores son diferentes, hay
que buscar fracciones equivalentes, así todas
tendrán el mismo denominador y se puede sumar como dice Diego.
Diego Carla Benito
�¿En qué casos es cierto lo que dice Diego? �Busquen un ejemplo en el que sumando los numeradores y con
denominadores diferentes la cuenta dé mal. Expliquen cómo lo pensaron. �Si tienen que sumar 1 — 3 y 1 — 6 , ¿buscarían fracciones equivalentes de las dos?
¿Cómo lo resolverían? �Para sumar 5 — 12 y 4 — 15 , ¿cómo buscarían las fracciones equivalentes? ¿Cómo lo
resolverían?
entreTODOS
El viaje de Juan
1. Juan y su familia recorren un camino en 4 etapas. El primer día recorren 1 — 6 del camino. El segundo, 1 — 4 , y el tercero, 3 — 8 . ¿Qué parte del camino tienen que recorrer el cuarto día?
2. La mamá de Juan compra 1 — 2 kg de galletitas dulces, 1 3 — 4 kg de pan y 5 — 8 kg de queso para el viaje, y guarda todo en una bolsa. ¿Cuánto pesa la bolsa?
3. Para recorrer el primer tramo, irán en micro. En la estación hay 2 micros iguales que van al mismo destino. Se vendieron 5 — 8 de los pasajes del primero y la mitad de los pasajes del segundo. ¿Pueden juntar a todos los pasajeros en un solo micro? ¿Cómo te das cuenta?
4. El papá quiere llevar 3 kg de fruta para el viaje. Compra 1 — 4 kg de kiwis, 1 1 — 5 kg de naranjas, 1 — 6 kg de cerezas y 3 — 4 kg de bananas. ¿Cuántos kilogramos de manzanas tiene que comprar para completar los 3 kg?
5. Leé qué dicen los chicos.
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�¿Cómo pueden escribir un entero con denominador 4? �¿Cómo pueden escribir un entero con denominador 8? �¿Tiene razón Alba? ¿Por qué?
entreTODOS
Calcular con facilidad
1. Leé qué dicen los chicos.
2. a. Completá la tabla con lo que le falta o le sobra a cada fracción para llegar a 1.
Número fraccionario
3 — 5 8 — 7 7 — 4 6 —— 11 15 —— 2 7 —— 16 18 —— 5 2 — 9 9 — 5
Falta
Sobra
b. Explicá en la carpeta cómo sabés si el número fraccionario es mayor o menor que 1.
3. Completá los números fraccionarios para que las afirmaciones sean verdaderas. Explicá en la carpeta cómo lo pensaste.
a. 7 ——— < 1 b. ——— 5 < 2 c. ——— 9 > 1 d. ——— 13 > 2
4. Resolvé estas cuentas mentalmente. Escribí el resultado sin usar números mixtos.
a. 3 — 4
+ 1 = b. 9 — 5
– 1 =
c. 7 — 6 + 1 = d. 16 — 5 – 2 =
5. Completá las afirmaciones para que sean verdaderas. Explicá cómo lo hacés.
a. 1 — 2 + es menor que 1.
b. 2 — 3 + es menor que 1.
Es fácil escribir cualquier cantidad entera con el denominador que querés.
Claro, 2 enteros
con denominador 4 es 8 — 4 .
Benito Alba
Un número fraccionario
está escrito de manera
equivalente como
número mixto si se
escribe como suma de
un número entero y una
fracción menor que 1. Por
ejemplo, 7 — 5 = 1 + 2 — 5 . En ese
caso, suele escribirse 1 2 — 5 .
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Muchos paquetes iguales
1. Sandra compra en el supermercado 8 paquetes de polenta que pesan 1 — 2 kg cada uno. ¿Compró más o menos de 5 kg? ¿Cómo te das cuenta?
2. Juana compra 5 paquetes de arroz de 3 — 4 kg, 3 paquetes de fideos de 1 — 2 kg y 1 1 — 4 kg de manzanas. ¿Cuántos kilogramos de mercadería compró en total?
3. Leé qué dice Carla y usalo para completar la tabla.
Peso del paquete (kg) 1 1 — 4 4 — 5 2 — 7 1 — 8
Cantidad de paquetes que se necesitan para armar 4 kg
4. Leé qué hace Olivia para resolver 5 × 7 — 3 . Luego, resolvé las multiplicaciones.
a. 3 × 2 — 5 = b. 3 — 8 × 5 = c. 7 × 4 — 6 =
d. 10 × 4 — 3 = e. 2 × 7 — 9 = f. 3 — 5 × 4 =
g. 7 — 4 × 8 = h. 5 × 7 — 10 = i. 6 × 5 — 3 =
Para armar 4 kg necesito 4 paquetes de
1 kg u 8 paquetes de 1 — 2 kg, etcétera.
Olivia
5 ∏ 7 — 3 = 7 — 3 + 7 — 3 + 7 — 3 + 7 — 3 + 7 — 3 = 35 —— 3
Entonces, solo hay que multiplicar
el numerador por el número natural.
Carla
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Partir lo que hay
1. En una plaza rectangular marcan 3 — 4 de un lado y 2 — 5 del otro para armar un sector de juegos.a. Marcá en la figura el sector destinado a los juegos.
b. ¿Qué parte de la plaza se usará para juegos?
c. Escribí una cuenta para calcular la parte de la plaza que se usa para los juegos.
d. ¿Cuál es el resultado de 3 — 4 × 2 — 5 ?
2. Julián comió 1 — 2 tarta y Franco comió 3 — 4 de lo que sobró. ¿Qué parte de la tarta comió Franco?
3. Sandra dibuja varios segmentos. Luego dibuja otros reduciendo las longitudes de los primeros, de manera que cada centímetro equivale a 3 — 4 cm. a. Completá la tabla con las nuevas medidas.
Medida del segmento original (cm) 1 4 1 — 2 1 — 4
Medida del segmento reducido (cm) 3 — 4
b. ¿Qué cuenta permite calcular la nueva medida de cada segmento?
4. Para preparar jugo se mezcla 1 litro de agua con 1 — 8 litro de jugo concentrado.a. Completá la tabla para que cada mezcla tenga el mismo sabor que la original.
Cantidad de agua (litros) 1 1 — 2 2 1 1 — 2
Cantidad de jugo concentrado (litros) 1 — 8
b. Escribí la cuenta que permite calcular la cantidad de jugo si se conoce la cantidad de agua que se usa.
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Multiplicar fracciones
1. a. Pintá, dentro de este rectángulo, uno nuevo que tenga la mitad de un lado y 2 — 3 del otro. b. ¿Cómo podés usar lo que hiciste para escribir qué parte del rectángulo queda pintado?
c. ¿Cuál es el resultado de 1 — 2 × 2 — 3 ?
2. a. Para cada rectángulo grande, escribí la parte de cada lado que se usa en el rectángulo sombreado y la parte del rectángulo grande que queda sombreada.
i. ii. iii.
b. En cada caso, escribí una multiplicación que permita calcular qué parte del rectángulo grande representa el rectángulo sombreado.
i. ii. iii.
3. a. Leé qué dicen Carla y Diego.
b. ¿Se cumple lo que dicen los chicos en las figuras del problema 2. a.?
Multiplicar es fácil, porque siempre el resultado tiene como
denominador la multiplicación de los denominadores, ya que
son todas las partes en que se dividió el rectángulo grande.
¡Claro! El numerador también es la multiplicación de los numeradores, porque son
los cuadraditos que quedan dentro del rectángulo
sombreado.
DiegoCarla
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Cuando hago 5 — 3 × 1 — 4 , me da 5 —— 12 , que es menor que 5 — 3 . ¿Cómo puede ser si estoy
multiplicando?
Es que multiplicás por un número menor que 1, entonces no llegás a
tener una vez entera del número que tenías, y por eso te queda menos.
Si multiplicás por un número
mayor que 1, por ejemplo 2 3 — 4 ,
se puede multiplicar primero
por 2, y después sumarle la
multiplicación por 3 — 4 . Entonces
da un número más grande.
Diego BenitoAlba
�¿Qué piensan de lo que dice Diego? �Observen el rectángulo de la actividad 1. a. de la página 54. ¿Cómo se ve que
al multiplicar por un número menor que 1 el resultado se achica? �Usen lo que dice Benito para resolver 2 — 7 × 2 3 — 4 . �Escriban en qué multiplicaciones el resultado es menor que los números que
se multiplican y en cuáles el resultado es mayor que ellos.
entreTODOS
Estrategias para multiplicar
1. a. Resolvé estas cuentas.
i. 3 — 5 × 2 — 7 = ii. 2 — 9 × 4 — 3 = iii. 4 — 7 × 1 — 3 =
b. Rodeá con rojo las cuentas que dieron un resultado mayor que el primer número de cada cuenta y, con verde, las que dieron un resultado menor.
2. Leé qué dicen los chicos.
Taller de problemas
�Julián come 1 — 4 de una pizza y Susana come 1 — 3 de lo que sobró. �¿Qué parte de la pizza come Susana? �¿Cómo se puede calcular con una multiplicación lo que come Susana?
�Aníbal pinta con pintura verde 1 — 3 de una torre; con pintura azul, 1 — 2 de lo que queda sin pintar, y con pintura roja, 1 — 4 de lo que resta pintar.
�¿Qué parte de la torre pinta de cada color? �¿Qué parte de la torre queda sin pintar? �Si la parte sin pintar mide 15 metros de altura, ¿cuánto mide la torre?
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Repartir el queso
1. Juana compra una horma de queso parmesano que pesa 3 — 4 kg y la corta en 3 partes iguales. ¿Cuánto pesa cada parte?
2. Cintia tiene 5 — 8 kg de queso rallado y lo envasará en 5 frascos iguales. ¿Cuánto queso rallado debe poner en cada frasco para que todos tengan la misma cantidad?
3. Diego compró un pote de 9 — 10 kg de queso crema y lo repartió equitativamente en 4 frascos. Leé lo que hizo para calcular cuánto puso en cada frasco.
a. ¿Cómo calcula Diego la cuarta parte de 1 — 10 ? ¿Cómo te das cuenta?
b. ¿Qué cuenta resuelve el problema de Diego?
Diego
Lo que tendría que hacer es 9 — 10 : 4.
9 — 10 es 9 de 1 — 10 . Para dibujar 1 — 10 divido a un entero en 10 partes iguales y marco una sola parte.
Si divido cada décimo en 4 partes iguales, queda:
El entero queda dividido en 40 partes iguales y, por lo tanto, 1 — 10 = 4 — 40 . Entonces, para
repartir 1 — 10 kg en 4 partes, pongo 1 — 40 kg en cada frasco. Pero esto lo tengo que hacer 9 veces.
En total, en cada frasco pongo 9 de 1 — 40 kg, es decir, 9 — 40 kg. Cada frasco pesa 9 — 40 kg.
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Repartir en la fiambrería
1. En la fiambrería tienen una horma de queso que pesa 4 — 3 kg. Juana quiere dividirla en dos partes iguales para venderla.a. Escribí una cuenta que permita calcular el peso de cada parte.
b. ¿Es cierto que alcanza con dividir el numerador por 2 para resolver la cuenta? ¿Por qué?
c. Si la horma pesara 5 — 3 kg, ¿cómo podrías resolver la cuenta usando una división de números naturales como hiciste en b.?
2. Leé qué dicen los chicos.
3. Resolvé estas cuentas.
a. 3 — 7 : 4 = b. 9 — 8 : 3 = c. 12 — 5 : 5 = d. 4 — 3 : 5 = e. 4 — 3 : 6 = f. 7 — 2 : 4 = g. 5 — 2 : 6 = h. 15 — 4 : 8 =
Si el numerador no es múltiplo del número natural, busco una fracción equivalente a la primera que
tenga un numerador que sí sea múltiplo. Por ejemplo, para resolver 3 — 5 : 4, escribo 3 — 5 como 12 —— 20 ,
que es equivalente, y resuelvo como dijo Alba.
Yo solo multiplico
el denominador de la fracción por el divisor. Por ejemplo, 8 — 3 : 5 = 8 —— 15 .
Si tengo que dividir un número
fraccionario por uno natural y el numerador es múltiplo del natural,
entonces solo divido el numerador por el
natural. Por ejemplo,
10 —— 13 : 5 = 2 —— 13 .
Alba CarlaBenito
�¿Cómo pueden analizar si el resultado de Alba es correcto? �¿Cómo pueden estar seguros de que 3 — 5 = 12
—— 20 ? �Resuelvan 3 — 5 : 4 como dice Benito. �¿Es cierto lo que dice Carla? ¿Se puede hacer en los cálculos que resuelven
Alba y Benito? ¿Cómo pueden estar seguros?
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Cuentas que se piensan
1. Rodeá con rojo las cuentas que dan más de 1. Explicá cómo lo pensás sin resolver la cuenta.
a. 1 — 2 + 3 — 5 b. 10 — 3 – 5 — 6 c. 9 — 10 + 1 — 5 d. 4 — 5 + 1 — 4 e. 10
— 7 – 3 — 5
2. Completá estas igualdades sin hacer las cuentas. Explicá cómo lo pensás.
a. 1 — 4 + = 2 b. 2 — 3 + = 2 c. 5 — 4 + = 2
d. 8 — 7 + = 3 e. 13 — 7 – = 1 f. 19 — 3 – = 3
3. a. Completá las tablas con el doble o la mitad de cada número, según corresponda.
Número 4 — 3 7 —— 10 8 — 3 15 —— 8 16 —— 3 3 — 4
Doble
Número 3 — 2 4 — 7 15 —— 4 16 —— 5 9 — 7 8 —— 15
Mitad
b. Escribí de qué manera se calcula más rápidamente el doble o la mitad de un número fraccionario, considerando que su numerador o su denominador sean o no pares.
4. Leé qué dice Benito.
a. Marcá las cuentas que te parecen fáciles de resolver mentalmente y explicá por qué.
5 × 1 — 5 9 × 3 — 5 3 × 4 — 3 7 × 2 — 5 6 × 5 — 6 9 × 1 — 9 12 × 7 — 15 7 × 5 — 7
Como 4 de 1 — 4 es 1, hay muchas cuentas que son fáciles de resolver mentalmente.
Benito
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Más para pensar
1. Resolvé estas cuentas y explicá por qué son fáciles.
a. 3 × 1 — 5 = b. 1 — 6 × 6 = c. 1 — 8 × 9 =
d. 1 — 7 × 14 = e. 5 : 1 — 3 = f. 4 : 1 — 7 =
g. 1 — 3 : 3 = h. 1 — 5 : 1 — 5 = i. 9 × 1 — 9 =
j. 3 : 1 — 7 = k. 5 × 2 — 5 = l. 7 — 2 × 2 =
2. Usá que 10 — 3 × 7 — 9 = 70 — 27 para escribir el resultado de cada cuenta. Explicá cómo usás este
resultado.
a. 70 — 27 : 7 — 9 =
b. 20 —— 3 × 7 — 9 =
c. 10 — 3 × 7 — 3 =
d. 70 — 27 : 10 — 3 =
e. 70 — 27 : 20
—— 3 =
f. 20 —— 3 × 7 — 18 =
3. Escribí las divisiones que podés resolver si sabés que 9 — 4 × 5 — 7 = 45 —— 28 .
4. Rodeá con rojo las cuentas que dan un resultado menor que el primer número y, con verde, las que dan un resultado mayor.
a. 3 — 5 × 1 — 2 b. 4 — 9 × 8 c. 15 — 2 × 2 — 5 d. 7 — 5 × 15
— 3
e. 3 × 2 — 5 f. 9 × 12 — 7 g. 1 — 4 × 15
— 9 h. 7 × 2 — 5
Integrar lo aprendido
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1. ¿Cuántos vasos de 1 — 4 litro se pueden llenar con una botella de 1 1 — 2 litros de jugo?
2. Juana prepara la comida para una fiesta. Necesita 2 paquetes de 3 — 4 kg de harina y 2 de 1 — 2 kg. En el almacén solo hay paquetes de 1 — 8 kg. ¿Cuántos paquetes tiene que comprar?
3. De una docena de rosas, 1 — 3 de las flores son blancas. ¿Cuántas son de otro color?
4. Laura se quedó con 2 — 5 de una cinta. Dibujá en la carpeta la cinta completa.
5. Ubicá los números 1, 3 — 2 y 7 — 4 en esta recta numérica.
6. Escribí una fracción que esté entre 1 — 8 y 1 — 4 .
7. Ordená en la carpeta estos números de menor a mayor.
1 — 2 1 — 3 3 — 4 4 — 5 8 — 7 5 — 3 3 — 7 8. Lucas envasará 2 1 — 2 litros de jugo en botellas de 1 — 2 litro. ¿Cuántas botellas llenará?
9. Pedro quiere repartir 15 — 8 kg de yerba en paquetes de 1 — 8 kg. ¿Cuántos paquetes armará? ¿Todos quedarán completos?
10. Franco quiere repartir 3 — 2 kg de café en paquetes de 1 — 4 kg. ¿Cómo hace el reparto? Escribí cómo lo pensás.
11. Juana compra 4 paquetes de 5 — 8 kg de lentejas, 3 paquetes de 1 — 2 kg de zanahorias y 1 kg de papas. Si el chango soporta 4 kg de mercadería, ¿puede llevar todo en el chango?
12. En una fiesta, cada invitado come 3 — 4 kg de asado. Completá la tabla.
Cantidad de invitados
1 2 4 6 7 10
Cantidad de asado (kg)
13. Para el cumpleaños de Martina compraron una torta de 3 1 — 2 kg. Todos los invitados comieron lo mismo y la torta se acabó. ¿Cuánto comió cada invitado?
Cantidad de invitados
5 10 15 20 25
Cantidad de torta (kg)
14. Usá que 3 — 7 : 1 — 5 = 15 — 7 para resolver estas cuentas. Escribí en la carpeta como lo usaste.
a. 15 — 7 × 1 — 5 = b. 9 — 7 : 1 — 5 =
c. 3 — 7 : 2 — 5 = d. 15 — 7 × 2 — 5 =
1 — 4 1 — 8
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Estadística y probabilidad6Los gráficos
�¿Por qué el público duda sobre lo que dice la persona que expone? �¿Cuál es la cantidad de empleados en enero, abril y julio? �¿Es cierto que la cantidad de empleados se duplicó? ¿Por qué? �¿Los gráficos muestran lo que dice la expositora? ¿Por qué?
entreTODOS
17.000
14.000
11.000
8.000
5.000Enero
Enero
Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio
Julio
CANTIDAD DE EMPLEADOSTONELADAS EXPORTADAS
3.000 4.250 5.500 6.750 8.000
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11.000
8.000
5.000Enero
Enero
Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio
Julio
CANTIDAD DE EMPLEADOSTONELADAS EXPORTADAS
3.000 4.250 5.500 6.750 8.000
Hemos logrado duplicar la cantidad de empleados desde enero a julio. Esto muestra un avance importante en nuestra empresa.
Además, las exportaciones superan el doble. ¡La empresa está progresando!
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Analizar en diferentes grupos
1. Las tablas muestran las notas de los sextos del turno mañana y del turno tarde en la prueba de matemática. Para aprobar los alumnos deben sacar 6 o más.
Turno mañana
Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Frecuencia 1 9 10 8 10 7 7 3 2 3
Turno tarde
Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Frecuencia 2 2 4 7 6 8 8 2 1 2
a. ¿Cuántos chicos aprueban en cada curso?
b. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los que aprueban en cada curso?
c. ¿Tiene razón Benito? Explicá cómo lo pensaste.
2. En la escuela se hizo una encuesta sobre quiénes tienen mascotas. Observá los resultados en la tabla y respondé: ¿en qué grupo es mayor la parte de chicos que tienen mascota?
GRUPO 1 GRUPO 2
Tienen mascota No tienen mascota Tienen mascota No tienen mascota
25 75 25 50
3. a. Completá la tabla para que la parte de los alumnos que prefieren los caramelos de frutilla sea mayor en el grupo 1 que en el grupo 2.
GRUPO 1 GRUPO 2
Gusto de caramelo Menta Frutilla Naranja Menta Frutilla Naranja
Alumnos 12 14 24 20 12
b. Si hay más de una opción, explicá cómo se pueden calcular.
La frecuencia relativa de un dato es la fracción que representa la frecuencia de ese dato de la población total. Por ejemplo en 6° A la frecuencia relativa de la nota 3 es 10 ___ 60 = 1 — 6 .
Benito
Los chicos del turno mañana tienen mejores
alumnos porque hay más que aprueban.
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Notas y promedios
1. Julieta tiene estas notas en el bimestre de Lengua: 8; 5; 7; 6 y 9. ¿Cuál es el promedio de sus notas?
2. Los siguientes son datos obtenidos en una encuesta. Calculá el promedio en cada caso.a. Número de libros leídos en el mes: 9; 11; 7; 12; 7; 3; 5; 14; 12; 5; 4; 7; 3.
b. Cantidad de mascotas en la casa: 0; 3; 4; 2; 1; 1; 3; 2; 0; 0; 1; 2; 3; 2; 1; 4; 5.
c. Cantidad de computadoras en la casa: 1; 3; 2; 3; 1; 4; 3; 1; 2; 3; 3; 4; 4; 2; 3; 4.
3. Calculá la media de los datos de estas tablas de frecuencias.
a.
b.
c.
Cantidad de goles por partido 0 1 2 3 4 5 6
Cantidad de partidos 3 5 3 4 2 6 1
Cantidad de horas por día para hacer tarea 1 2 3 4 5
Cantidad de chicos 7 6 8 5 2
Cantidad de veces que comen fruta por día 0 1 2 3 4 5
Cantidad de personas 10 15 12 20 25 10
Se llama media o promedio de una serie de datos cuantitativos a la suma de los datos, con todas las repeticiones que haya de cada dato, dividido el número total de datos. Por ejemplo, si los datos son 5, 7 y 9, la media es:
5 + 7 + 9 _______ 3 = 7
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Ganar los juegos
1. Los chicos juegan con tres monedas, una de 50 centavos, una de 25 centavos y otra de $1. Tiran las tres monedas a la vez. Gana el que saca dos o más caras.
a. ¿Cuáles son todos los resultados diferentes que se pueden obtener?
b. ¿Con cuántos resultados se gana? ¿Hay más opciones de ganar o de perder?
2. a. Si se juega con dos dados de diferentes colores , completá la tabla con los números que deben salir en cada dado para que la suma dé los siguientes valores.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 - 3
3 - 1
2 - 2
2 - 2
b. ¿Cuál es el mejor valor para elegir y tener más posibilidades de ganar?
3. Si se tiran 3 dados de colores diferentes y se suman los números que salen, ¿cuál es la mejor suma para elegir y tener más chances de ganar?
Carla
Una moneda tiene dos lados, uno se llama cara y el otro
se llama ceca.
Cara Ceca
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Seguir jugando
1. a. Un mazo de cartas españolas tiene 4 palos: oro, basto, copa y espada. Cada palo tiene 12 cartas. ¿Cuántas opciones de tres cartas se pueden sacar?
b. ¿Cuántas opciones de tres cartas con el mismo palo se pueden sacar?
c. ¿Cuántas opciones de tres cartas con el mismo número se puede sacar?
d. ¿Cuál de las dos opciones anteriores es más conveniente para ganar?
2. a. Alba y Diego juegan con un mazo de 40 cartas españolas y una moneda. ¿Cuántas opciones tienen de sacar cara y basto?
b. ¿Cuántas opciones tienen de sacar ceca y 10?
c. ¿Cuál de las dos opciones anteriores es mejor para tener más posibilidad de ganar?
3. a. Diego y Carla juegan con dos monedas diferentes y dos dados de distinto color. ¿Cuántas opciones tienen de sacar dos caras y que la suma de los dados sea 6?
b. ¿Cuántas opciones tienen de sacar una cara, una ceca y de que los dos dados tengan el mismo número?
c. ¿Cuál de las dos opciones anteriores es mejor para tener más posibilidad de ganar?
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1. Observá las notas de Lengua de cada curso.Curso A
Notas 2 4 6 8
Alumnos 10 12 15 8
Curso B
Notas 2 4 6 8
Alumnos 12 15 15 10
a. ¿Cuál es la frecuencia relativa de cada nota en ambos cursos?
b. ¿En qué curso es mayor la frecuencia relativa de los que sacan 6 o más?
c. ¿Cuál es el promedio de las notas de cada curso?
2. Si se sacan dos cartas de un mazo de cartas españolas, indicá con cuál de las siguientes opciones hay más chances de ganar. Explicá cómo lo decidís.a. Que las dos cartas sean el mismo número.b. Que las dos cartas sean del mismo palo.c. Que las dos cartas sean de alguna figura.
3. Javier se sacó 4, 5 y 6 en Matemática. ¿Es posible que con una nota más tenga 7 de promedio? ¿Cuál es esa nota? Explicá cómo lo pensaste.
4. Cecilia tiene 3 notas en Historia y un promedio de 6. Sergio tiene 3 notas, pero cada nota es un punto más que las de Cecilia. ¿Cuál es el promedio de Sergio?
5. Completá la tabla y explicá cómo elegiste cada valor, para que:a. La media sea 7.b. El dato que más se repita sea 7.
Datos 5 7 9
Frecuencia 12 15
6. Si Malena se sacó 4, 6, y 8 en Geografía, ¿qué nota debe sacar en la próxima prueba para que le quede de promedio 7?
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es. �¿Por qué Diego le propone a Carla cambiar el dinero por monedas de
10 centavos? �¿Cuánto le tiene que dar Carla a cada chico en ese caso?
�Si Carla tiene 8 monedas de 10 centavos, ¿cuánto dinero tiene? ¿Cómo puede repartir ese dinero entre los 5 chicos? ¿Hay una sola posibilidad? ¿Cuánto le correspondería a cada uno?
�¿Cómo puede calcular Alba lo que le falta para pagar en cada caso? ¿Qué monedas necesita?
�¿Hay una sola forma de armar lo que necesita? ¿Cómo se dan cuenta?
entreTODOS
Los números racionales decimales7
Comprar y pagar
¿Cuánto te falta? ¿Cuánto te falta?
Carla
Alba AlbaBenito Benito
CarlaDiego Diego
¡Cambiá los pesos por monedas de
10 centavos!¡Cambiá tus monedas
por otras de menor valor!
Tengo que pagar $5 y tengo $3 con 45 centavos.
Tengo 8 monedas de 10 centavos y quiero repartirlas entre 5 chicos. A todos les quiero
dar la misma cantidad de dinero. ¿Cómo hago?
Quiero repartir $2,50 entre 5 chicos y darle lo mismo a
cada uno. ¿Cómo hago?
Necesito $6 y tengo $3 con 5 centavos.
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as.
�¿Qué pensó Benito al escribir 25 —— 100 = 20
—— 100 + 5 —— 100 ?
�¿Por qué reemplazó 20 —— 100 por 2 — 10 ?
�¿Qué pensó al escribir 0,2 y 0,05?
entreTODOS
Escribir de manera equivalente
1. Completá estas igualdades. Si no es posible, explicá por qué.
a. 2 — 5 = ——— 10 b. 4 — 3 = ——— 10 c. 3 — 4 = ——— 100
d. 11 — 8 = ——— 1.000 e. 6 — 75 = ——— 100 f. 41
— 5 = ——— 100
2. a. Observá qué hace Benito para encontrar la expresión decimal de 25 —— 100 .
b. Escribí estos números fraccionarios como lo hace Benito.
i. 48 —— 100 = ii. 185
—— 100 =
3. Escribí números fraccionarios equivalentes a estos números.
a. 3,50 = b. 1,32 =
Benito
25 —— 100 = 20 —— 100 + 5 —— 100 = 2 —— 10 + 5 —— 100 = 0,2 + 0,05 = 0,25
Las fracciones decimales se pueden escribir de manera equivalente usando números con coma de esta manera:
385 —— 100 = 300 —— 100 + 50 —— 100 + 8 —— 100 = 3 + 5 — 10 + 8 —— 100 = 3 + 0,5 + 0,08 = 3,58
enteros
coma decimal
décimos
centésimos
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Taller de problemas
�¿Cuáles de estos números pueden escribirse de manera equivalente como fracciones decimales? Expliquen cómo se dan cuenta.
�Lean qué dicen los chicos.
�¿Que números fraccionarios no pudieron escribir como fracciones decimales equivalentes? ¿Se podían seguir simplificando? ¿Qué denominadores tenían?
Fracciones decimales
1. Completá las igualdades.
a. 5,28 = + ——— 10 + ——— 100 b. 5,28 = 4 + ——— 10 + ——— 100
c. 7,32 = 5 + ——— 10 + 12 —— 100 d. 7,32 = 7 + 1 — 10 + ——— 100
2. ¿Cuántos centésimos equivalen a un décimo?
3. ¿Cuántos décimos equivalen a un entero?
4. ¿Cuántos centésimos equivalen a un entero?
Alba
A mí me parece que 15 —— 12 no se puede escribir como fracción decimal, porque
no encuentro ningún número que, multiplicado por 12, dé por resultado
10, 100, 1.000, o cualquier otro número que tenga un 1 seguido de ceros.
7 — 4 2 — 7 7 — 8 10 — 15 15
— 12 9 — 5
Pero ese número puede simplificarse y la fracción
equivalente sí se puede escribir como fracción decimal.
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Salir de compras
1. Este es un estante del kiosco del barrio.
a. Pedro compró 2 artículos de ese estante y pagó $53. ¿Qué pudo haber comprado?
b. María compró 2 alfajores y 3 caramelos. ¿Cuánto gastó?
c. Álvaro compró 3 chupetines. ¿Pagó más o menos de $3? ¿Cómo sabés sin hacer la cuenta?
2. Alfredo gastó $425,75 en la verdulería y $526,65 en el almacén. ¿Le alcanzan $1.000 para pagar? ¿Le falta o le sobra dinero? ¿Cuánto?
3. Federico compró una campera a $1.830,25 y una remera a $573,50. ¿Cuánto gastó?
4. Juan compró un pantalón a $985,40 y pagó con $1.000. Escribí 2 maneras de darle el vuelto.
5. Ana compró una bandeja de 600 g de frutillas y otra de 1,5 kg, y las puso en una bolsa. ¿La bolsa pesa más o menos de 2 kg? ¿Cómo te das cuenta?
6. Juan compró un rollo de alambre que pesa 2,5 kg, un rollo de cable que pesa 3,75 kg y unos enchufes que pesan 300 g. ¿La compra pesa más o menos de 7 kg?
35 centavos 95 centavos $87,50 $27,75 $25,25
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r.
�Los números fraccionarios de la cuenta de Agustina, ¿están en la cuenta de Jimena? ¿Dónde?
�¿Para qué escribe Jimena el 0,11 como 0,1 + 0,01? �¿Cómo resuelve Leandro la suma? ¿Le da el mismo resultado que a los demás
chicos? ¿Cómo se dan cuenta? �Expliquen qué hace Iván. ¿Para qué hace las cuentas del costado? �¿Qué representa el 1 rojo de la cuenta de Iván? ¿Aparece en la cuenta de
Jimena? �¿El 1 verde de la cuenta de Iván representa lo mismo que el rojo? ¿Por qué?
entreTODOS
Distintas maneras de sumar
1. Leé qué hacen los chicos para resolver 43,18 + 27,73.
2. Resolvé estas cuentas de 2 maneras en la carpeta.
a. 5,78 + 2,91 = b. 65,08 + 32,31 = c. 42,36 + 57,62 =
Jimena
43,18 + 27,73
43 + 0,1 + 0,08 27 + 0,7 + 0,03
70 0,8 0,11 = 0,1 + 0,01
0,9
70,91
Agustina
43,18 = 43 + 18 —— 100 + 27,73 = 27 + 73
—— 100
70 + 91 —— 100 = 70,91Iván
1 1 43,18
+ 27,73
70,918 + 3 = 113 + 7 = 10
Leandro
43,18 + 27,73 = 4.318 —— 100 + 2.773
—— 100 = 7.091 —— 100
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�¿Por qué Fernanda escribe 43,18 como 30 + 10 + 2 + 1 + 0,18 y no lo escribe como 43 + 0,1 + 0,08?
�¿Qué cuenta hace Fernanda para escribir el 0,3 azul? ¿Y para escribir el 0,15 naranja?
�¿Por qué Fernanda termina resolviendo una suma? �¿Qué representa el 1 naranja que escribió Andrea? ¿Por qué lo escribió
arriba del 1? �¿De dónde sale el 2 verde que escribió Andrea? ¿Y el 1 violeta? �Expliquen los pasos que siguió Andrea.
entreTODOS
Formas de restar
1. Leé qué hacen las chicas para resolver 43,18 – 27,73.
Agustina
43,18 = 42 + ——— 100
–27,73 = +
——— 100
+ ——— 100 =
Fernanda
43,18 – 27,73
30 + 10 + 2 + 1 + 0,18 27 + 0,7 + 0,03
3 0,3 0,15
3 + 10 + 2 + 0,3 + 0,15 = 15 + 0,3 + 0,15 = 15,45
Andrea 3 12 1
43,18–
27,73
15,45
Leandro
43,18 – 27,73 = ——— 100 – ——— 100 = ——— 100
2. En el problema 1. de la página 71 se muestran 4 estrategias. Completá las cuentas de Agustina y Leandro de manera similar a las que utilizó cada uno para resolver el problema.
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Comprar varios productos
1. Fernando analiza los precios de las naranjas en distintas verdulerías del país. a. Completá la tabla.
Verdulería A
Verdulería B
Verdulería C
Verdulería D
Verdulería E
Cantidad de kilogramos de naranjas 5 4 10 100 1.000
Precio por kilogramo 3,5 5,85 4,75
Precio por el total 10 2.531
b. ¿Qué cuenta hacés para completar la columna de la verdulería A?
c. ¿Es fácil multiplicar por 10, 100 y 1.000? ¿Por qué?
d. ¿En qué verdulería es más barato el kilogramo de naranjas?
2. Micaela compra en el almacén 3 paquetes de yerba y 6 de azúcar. Rodeá las cuentas que permiten calcular cuánto gastó.
85,75 + 85,75 + 85,75 + 6 × 25,9 9 × (85,75 + 25,9) 85,75 × 3 + 25,9 × 6
(85,75 + 25,9) × 6 × 3 (85,75 + 25,9) × 3 + 25,9 × 3
OFERTA$58,35 el paquete.¡Lleve 4 por $230!
$85,75 el paquete$25,90
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245,8 × 10
2.458 × 6,75 × 100
× 675
1.474.800 2.458 × 6 = 14.748
172.060 2.458 × 7 = 17.206
12.290 2.458 × 5 = 12.290
1.659,15 :1.000 1.659.150
�¿Cómo hace Micaela para escribir los números fraccionarios? �¿Dónde aparece el 85,75 en la cuenta de Florencia? ¿Por qué Florencia suma
255 y 2,25? �¿En qué se parecen los razonamientos de Florencia y Facundo? �¿Por qué Facundo resuelve la cuenta con centavos?
entreTODOS
� ¿Para qué Ana multiplica por 10 el primer número? �¿Por qué no multiplicó por 10 el segundo? �¿Podría haber multiplicado por 100 los dos números? ¿Por qué? �¿Por qué divide el resultado por 1.000? �¿Cuánto debe pagar Ana por la compra?
entreTODOS
Las cuentas del almacén
1. Leé qué hicieron los chicos para calcular el costo de los 3 paquetes de yerba del problema 2. de la página 73.
2. ¿Cuánto ahorra Micaela si compra la oferta de 4 paquetes de lentejas del problema 2. de la página 73?
3. El kilogramo de carne picada cuesta $245,80. Ana quiere comprar 6,75 kg. Leé cómo calcula lo que debe pagar.
Micaela
85,75 × 3 =
8.575 —— 100 × 3 = 25.725 —— 100 = 257,25
Florencia85 × 3 = 255
0,75 × 3 = 0,75 + 0,75 + 0,75 = 1,50 + 0,75 = 2 + 0,25 = 2,25
255 + 2,25 = 257,25FacundoUn paquete de yerba cuesta $85,75 = 8.575 centavos.8.575 × 3 = 25.725Paga 25.725 centavos = 257,25
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Marcos 14,95 6,5 650 × 2 = 1.300
1495 650– 1300 2 enteros
195 enteros
195 enteros = 1.950 décimos
2 enteros y 3 décimos = 2,3
×100
×100
1.950 650
– 1.300 2
650 1
– 650 3 décimos
0
�¿Para qué Marcos multiplica los dos números por 100? ¿Cambia el resultado? ¿Por qué?
�¿Qué hace con el resto de los enteros? �¿Por qué no divide el resultado como se hacía en la multiplicación? �¿Es cierto que si en la división se multiplica el divisor y el dividendo por el
mismo número, el resultado no cambia? ¿Por qué?
entreTODOS
Cortar las cintas
1. Paula tiene 44,1 m de cinta y quiere cortarla en 6 tiras iguales. Leé cómo calculan ella y Juan cuánto medirá cada tira.
a. ¿Qué piensa Juan para escribir 441 —— 60 ?
b. ¿Qué cuentas hace para escribir 147 —— 20 ? ¿Y para escribir 735
—— 100 ?
c. ¿Cómo decide Paula la medida de cada tira?
2. Carla tiene 54,25 m de cinta y quiere cortarla en tiras de 2,5 m. Leé cómo calcula cuántas tiras enteras puede cortar.
a. ¿Qué cuenta tiene que resolver Carla?
b. ¿Cuántas cifras enteras tiene el resultado de la cuenta de Carla?
c. ¿Por qué considerás que Carla multiplica por 10 y por 100?
3. Leé cómo resuelve Marcos 14,95 : 6,5.
Juan
44,1 : 6 = 441 —— 10 : 6 = 441 —— 60 = 147 —— 20 = 735 —— 100
Cada tira mide 7,35 m.
Paula
42 : 6 = 7 m210 cm : 6 = 35 cmCada tira mide 7 m y 35 cm = 7,35 m.
Carla
Como 2,5 × 10 = 25 y 2,5 × 100 = 250, seguro que puedo cortar más de 10 tiras
y menos de 100.
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Facilitar las cuentas
1. a. Resolvé estas cuentas.
i. 3,25 + 0,99 = ii. 4,08 + 0,99 = iii. 14,65 + 0,99 =
b. Leé qué dice Alba y respondé: ¿por qué prefiere sumar 1? ¿Por qué resta 0,01 si está resolviendo una suma?
2. a. Resolvé estas cuentas.
i. 3,25 – 0,99 = ii. 4,08 – 0,99 = iii. 14,65 – 0,99 =
b. Leé qué dice Diego y respondé: ¿qué debe hacer después de restar 1 para resolver las cuentas?
3. Escribí cuánto le falta a cada número para llegar a 2 enteros. Explicá cómo lo pensás.
a. 0,78 = b. 0,456 = c. 1,02 =
1. Franco escribe 15,87 en el visor de su calculadora. ¿Qué cuenta puede hacer para que aparezca un 0 en el lugar del 8 sin borrar el número?
2. Andrés ingresa en la calculadora el número 654,25, pero quería escribir 6,5425. ¿Qué cuenta puede hacer para que aparezca el número que quería sin borrar el anterior?
Con calculadora
Para resolver las cuentas anteriores, yo prefiero sumar 1 y después
restar 0,01. Alba
Yo prefiero primero restar 1; así es más fácil.
Diego
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Escribir ordenado
1. En esta recta numérica están ubicados los números 0, 1 y 2. Ubicá los números 0,5; 1,5 y 2,5.
2. a. Escribí en cada marca de esta recta numérica los números que corresponden.
b. Marcá un número que esté a la derecha del 1.
c. Marcá un punto que esté entre 1 y el número que marcaste.
d. ¿Podrías seguir marcando puntos? ¿Por qué?
3. a. Marcá los números 0,15 y 0,18 en esta recta numérica.
b. ¿Qué número es más grande: 0,15 o 0,18? ¿Cómo podés decidirlo mirando la recta?
4. Completá los números para que, en cada caso, sean mayores al primero.
a. 2,58 y 2, 8 b. 3,08 y 3, c. 5,29 y ,98
5. a. Escribí un número que esté entre 0,2 y 0,3.
b. Escribí un número que esté entre 0,2 y el que encontraste en a.
c. Escribí un número que esté entre 0,2 y el que encontraste en b.
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0 1
0,1 0,2
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1. Rodeá la mayor cantidad de dinero en cada caso.
a. $5,26 503 centavos
b. $4,06 409 centavos
2. a. Escribí 2 maneras de pagar $3,52 usando solo monedas de $1, de 10 centavos y de 1 centavo.
b. ¿Cuál es la menor cantidad de monedas que hacen falta? ¿Cómo te das cuenta?
3. Florencia compra en el vivero 5 plantines que cuestan $8,64 cada uno, 600 g de tierra fértil que cuesta $7,25 el kg y 2 rosales a $62,85 cada uno. ¿Cuánto paga?
4. Andrés tiene una cinta de 42,05 cm de largo y quiere armar tiritas de 7,25 cm. ¿Cuántas tiritas puede armar? ¿Sobra cinta? ¿Cuánto?
5. Resolvé estas cuentas.
a. 16,12 3,1 b. 8,06 6,2
6. Leé qué dicen Diego y Carla.
a. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
b. ¿Es cierto que 6,80 es mayor que 6,8? ¿Por qué?
7. Decidí si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Explicá por qué.
a. Dados dos números naturales, es mayor el que más cifras tiene.
b. Dados dos números decimales, es mayor el que más cifras tiene.
c. Dados 2 números decimales, es mayor el que tiene más enteros.
Carla
A mí me parece que 8,25 es menor que 8,4, porque si lo
pienso con dinero, $8,4 es $8 con 40 centavos y 8,25 es $8 con 25 centavos.
8,25 es mayor que 8,4 porque 25
es mayor que 4.
Diego
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DiegoAlba Benito
�Marquen la ubicación del asiento de cada chico. �En el caso de Juan, ¿hay una sola opción? ¿Por qué? �Si Alba se para junto a la biblioteca, ¿cómo llega a su banco? �Para indicar la ubicación de un banco, ¿es lo mismo pararse al lado del
pizarrón que junto a la biblioteca? ¿Por qué? �Para ir desde la puerta hasta su asiento, Laura camina a la derecha 2 bancos
y, luego, camina por el pasillo 3 filas. ¿Dónde se sienta?
entreTODOS
Carla
8 Ubicaciones en el plano
Los planos
Yo me siento en la anteúltima fila, cerca de la ventana.
Si me paro junto al pizarrón mirando hacia los alumnos,
Juan se sienta en la tercera fila, a mi derecha.
Si me paro junto al pizarrón, mi banco está en la segunda
fila, mirando hacia la izquierda. Y estoy
muy cerca de la ventana.
Yo estoy en la última
fila.
¡A mí me gusta tanto leer! ¡Pero soy la que está más
lejos de la biblioteca!
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Recorrer Bahía Blanca
Este plano muestra una parte de la ciudad de Bahía Blanca, en la provincia de Buenos Aires.
1. Escribí el nombre de 3 calles que estén en el sector 5 D.
2. ¿Qué sectores ocupa el parque Campaña al Desierto?
3. Marcá con rojo la avenida Alem. ¿Por qué sectores pasa? ¿Qué forma tiene?
PARQUE INDEPENDENCIA
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PARQUE CAMPAÑA
DEL DESIERTO
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Leer un plano
Seguimos recorriendo el plano de la ciudad de Bahía Blanca de la página 80.
1. Marcá las calles Zelarrayán y Estomba. ¿Son paralelas? ¿Por qué?
2. Marcá la calle Brown y la avenida Falucho. ¿Son paralelas? ¿Por qué?
3. Marcá la intersección de las calles Alsina y Corrientes. ¿Son perpendiculares? ¿Por qué?
4. a. Marcá la intersección de las calles Brandsen y Brown.
b. Marcá la intersección de la calle Sarmiento y la avenida Alem.
c. ¿Qué diferencias notás en las intersecciones que marcaste en a. y en b.?
5. Ana está en Brandsen y San Martín, y quiere llegar al Parque Independencia. Escribí un camino posible.
6. Escribí el nombre de una calle que atraviese varios de los sectores de H.
7. Escribí el nombre de una calle que atraviese todos los sectores de 6.
8. ¿Para qué se divide el plano en sectores?
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1. Este es el portero eléctrico de un edificio.
a. Ana vive en el 4º D. Marcá con rojo el botón que le corresponde en el portero eléctrico.b. Julio va a la casa de su amigo. Sabe que es en el 6º piso, pero no recuerda cuál es el departamento. ¿Qué botones puede tocar para averiguarlo? Marcalos con azul.c. ¿Cómo están ubicados los botones de todos los departamentos de un mismo piso?
d. ¿Qué característica tienen los departamentos cuyos botones están en la misma columna?
e. Pablo vive en el piso de arriba de Ana. ¿En qué departamento puede vivir?
2. En un juego hay que pintar los casilleros.
a. Escribí las ubicaciones de los casilleros que están pintados del mismo color.
Naranja:
Violeta:
Amarillo:
Rosa:
Verde:
Celeste:
b. Pintá con azul los casilleros: A 1, C 6, F 8, H 6 y H 8.c. Pintá con negro un rectángulo de 6 cuadraditos de largo y 1 cuadradito de alto.d. Escribí las ubicaciones de los casilleros que pintaste. ¿Qué tienen en común?
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Proyecto
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El plano, el plano en 3D y la maqueta del aula
Un proyecto es la realización de un conjunto de actividades y acciones para lograr un objetivo. Se realiza durante varias clases y se deben planificar los pasos a seguir y los tiempos para realizarlos.
Paso 1. Objetivo del proyectoEn este proyecto les proponemos realizar un plano, una maqueta y la representación del aula mediante un programa de computación gratuito llamado Sweet Home. Los planos se usan para proyectar espacios en una construcción, y también sirven para marcar la ubicación de muebles. Con la maqueta se pueden visualizar los lugares en tres dimensiones y cambiar de lugar muebles, puertas o ventanas para aprovechar mejor los espacios.
Paso 2. Tomar medidas � Entre todos marquen con una cruz qué deben medir para poder hacer el plano.
El aula.
Las ventanas.
Las sillas.
Los pupitres o mesas de los alumnos.
El escritorio del docente.
Los adornos.
� ¿Qué otros elementos deberían medir?
� Definan qué medidas deben tomar en cada uno de los muebles. Las medidas pueden tomarse con una cinta métrica o un metro de carpintero. En el caso de los muebles con curvas, pueden usar el metro de modista.
Cinta métrica. Metro de modista. Metro de carpintero.
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Paso 3. Buscar en Internet � En grupos, investiguen:
� ¿Para qué sirve un plano? ¿Qué representa? � ¿Qué condiciones deben cumplirse para que sea un plano y no un esquema?
� Compartan entre todos lo que investigaron. � Busquen el programa gratuito Sweet Home 3D e instálenlo en las computadoras. Lo
pueden encontrar en: http://www.sweethome3d.com/es/Este programa permite dibujar planos de habitaciones y hasta de casas enteras. También se pueden agregar muebles en el interior y ubicar distintos elementos. El plano que se dibuja se puede ver en tres dimensiones, con la posibilidad de moverlo para observarlo desde diferentes ángulos. Pueden bajar y consultar esta guía para usar el programa:https://contenedor-digital.buenosaires.gob.ar/descargar/99c049-tutorial-sweet-home-3d.pdfTambién hay videos tutoriales para usarlo, por ejemplo: https://www.youtube.com/watch?v=pr-aTNpFW1Y
Paso 4. Organizar la tarea Distribuyan las tareas entre los grupos. Definan quiénes se ocuparán de hacer la maqueta y quiénes estarán a cargo de hacer el plano en el programa Sweet Home 3D.En general, todos tenemos más facilidad para unas tareas que para otras. Por eso, asignar las tareas según los intereses y aptitudes de cada uno permite que todos hagan su aporte personal.
Paso 5. Buscar los materiales para hacer la maqueta Para armar la maqueta del aula necesitan:
� Cajas � Cartón � Cartulinas � Pegamento � Témperas para pintar la maqueta
� Papeles de colores para plegar los muebles o forrar los elementos de la maqueta
� Cinta adhesiva o de enmascarar � Pinceles � Tijeras
Definan la escala que utilizarán para realizar la maqueta. Por ejemplo, determinen si cada metro real en la maqueta medirá 10 cm u otra medida.
� En esta página encontrarán información que los puede orientar para hacer la maqueta:http://comohacermaquetas.blogspot.com/2014/01/maqueta-de-salon-de-clases.html
� Para representar los muebles, pueden mirar estos tutoriales para aprender a hacer mesas y sillas de papel. Tengan en cuenta que tienen que respetar la escala que hayan elegido: https://www.youtube.com/watch?v=oQJh8WwL4Rc https://www.youtube.com/watch?v=H7ioC-HjzUsTambién pueden hacer los muebles usando palitos y cartón.
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Paso 6. Usar el programa Sweet Home 3 D para hacer el plano del aulaAl abrir el programa verán un rectángulo derecho superior para hacer el plano y otro rectángulo debajo, en el que aparecerá la maqueta en 3D de lo que se realice en el plano.
Por ejemplo, para representar un aula, que es una habitación, deben usar la pestaña Plano y allí Crear Habitaciones . Así pueden armar una habitación rectangular. La escala de este programa es 1 cuadrado = 1 m.
Para crear la habitación primero marquen el piso, haciendo toda la vuelta desde un vértice y volviendo a este. Para terminar aprieten ESC y el piso quedará listo.Luego, en la pestaña Plano usando la herramienta Agregar paredes ubiquen las paredes alrededor del contorno. Debajo verán la habitación vacía en 3D.
En cada paso agreguen puertas, ventanas y muebles. Para cada uno de estos agregados se usa el menú de la izquierda donde aparecen estos elementos.
Acá se dibuja el plano
Acá aparece la maqueta en 3D
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Este es un ejemplo del comienzo del armado de un aula en la computadora.
Paso 7. Revisar la tarea � Escriban los pasos que siguieron para determinar las medidas que usaron. � ¿Qué elementos usaron para medir? � ¿En qué casos midieron las alturas? ¿Por qué?
Paso 8. Algunos temas para reflexionara. ¿Qué relación hay entre el perímetro del aula original y el del plano? ¿Tiene algo que ver con la escala que usaron?b. ¿Qué relación hay entre el área del aula original y la del plano? ¿Tiene algo que ver con la escala que usaron?c. ¿Cómo usarían lo que aprendieron para reacomodar los muebles de su casa o de su habitación?
Paso 9. Evaluacióna. Marquen qué les pareció más complicado de realizar y expliquen por qué.
Decidir qué medidas tomar y con qué instrumentos.
Encontrar la diferencia entre plano y esquema.
Determinar qué escala usar en la maqueta y el plano en papel.
Usar el programa.
Otras.
b. Conversen: ¿qué aspectos positivos pueden destacar del trabajo compartido?
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�¿Por qué Carla le dice a Benito que compre él todos los kiwis y después los reparta entre sus amigos?
�¿Es correcto lo que dice Alba? ¿Cómo pueden saberlo? �¿Cuánto deberá pagar Diego? �Si cada uno de los 4 chicos quiere comprar 1 kg de naranjas, ¿cuánto pueden
ahorrar si los compran todos juntos?
entreTODOS
Las relaciones de proporcionalidad9
Comprar en la verdulería
Benito Alba DiegoCarla
Mis amigos Juan, Pedro y Fede y yo nos pusimos de
acuerdo para comprar 1 — 2 kg de kiwis cada uno.
Mejor comprá los 2 kg vos y después
lo reparten.
Quiero comprar zapallo, pero
no está de oferta.
Yo quiero comprar 3 kg de naranjas.
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1. Completá las tablas.
a.
b.
c.
2. Completá la tabla. Explicá en la carpeta las decisiones que tomás para hacerlo.
3. Para comprar 3 kg de arroz, ¿conviene más llevar paquetes de 1 — 2 kg o de 1 kg? Explicá cómo lo pensás.
4. Ana compra polenta todos los días. El lunes hizo una compra y el martes compró el doble de paquetes que el lunes. ¿Es cierto que el martes pagó el doble que el lunes? ¿Cómo te das cuenta?
5. Bruno compró 4 paquetes de harina el lunes, 2 el martes y 6 el miércoles. ¿Es cierto que el miércoles pagó lo mismo que la suma de lo que pagó el lunes y el martes? ¿Cómo te das cuenta?
Cantidad de paquetes de harina leudante 1 2 4 6 12 15
Precio a pagar ($)
Cantidad de paquetes de polenta 1 2 4 6 12 15
Precio a pagar ($)
Cantidad de paquetes de arroz de 1 kg 1 2 4 6 12 15
Precio a pagar ($)
Cantidad de paquetes de arroz de 1 — 2 kg 1 2 4 6 12 15
Precio a pagar ($)
Paquete de 1 — 2 kg: $25Paquete de 1 kg: $45
1 paquete: $48 2 paquetes: $90
1 paquete: $10
Compras en el mercado
En el mercado se venden estos productos.
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El corralón de materiales
1. Julieta compra bolsas de cemento. El precio de cada bolsa es $450. a. Completá la tabla.
Cantidad de bolsas de cemento 1 2 4 5 10 15
Precio a pagar ($)
b. ¿Es cierto que si compra el doble de bolsas de cemento, paga el doble? Escribí algunos ejemplos de la tabla.
c. ¿Es cierto que se puede calcular el precio de 5 bolsas sumando el precio de 4 bolsas y el de 1 bolsa? ¿Cómo te das cuenta?
d. ¿La relación entre la cantidad de bolsas de cemento y su precio es de proporcionalidad directa? ¿Cómo te das cuenta?
e. Escribí una cuenta que sirva para calcular cuánto hay que pagar si se conoce la cantidad de bolsas que se compran.
2. Cada ladrillo cuesta $20 y la entrega en el lugar de la construcción cuesta $150.a. Damián compra 100 ladrillos y pide que se los entreguen. ¿Cuánto paga?
b. Susana compra 200 ladrillos y pide que se los entreguen. ¿Cuánto paga?
Una relación entre dos variables es de proporcionalidad directa: • Si al doble de una de ellas le corresponde el doble de la otra, al triple de una le corresponde el triple de la otra, etcétera. • Si a la mitad de una le corresponde la mitad de la otra, a la tercera parte de una le corresponde la tercera parte de la otra, etcétera. • Si la suma o la resta de dos cantidades de una variable se relaciona con la suma o la resta de las dos cantidades correspodientes en la otra variable.
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Calcular más compras de materiales
1. a. ¿La relación entre la cantidad de ladrillos y el precio final con la entrega incluida del problema 2 de la página 89 es directamente proporcional? ¿Cómo te das cuenta?
b. Escribí una cuenta que sirva para calcular cuánto hay que pagar si se conoce la cantidad de ladrillos que se compran y que la entrega es en la obra.
2. La piedra partida se vende en bolsas grandes. Cada bolsa cuesta $2.300 y se cobra $300 por el traslado, sin importar el número de bolsas que se compren.a. Completá la tabla.
Cantidad de bolsas 1 2 4 6 10
Precio a pagar con traslado ($)
b. ¿Es cierto que si se compra el doble de bolsas se paga el doble? ¿Por qué?
c. Escribí una cuenta que sirva para calcular el precio si se sabe cuántas bolsas se compran.
3. En el corralón hay una oferta para comprar bolsas de cal de 30 kg. a. Completá la tabla.
Cantidad de bolsas de cal (kg) 1 2 3 4 5 10
Precio a pagar ($)
b. ¿La relación entre el precio a pagar y la cantidad de bolsas que se compran es directamente proporcional? ¿Cómo te das cuenta?
c. Federico necesita 100 kg de cal. ¿Cuántas bolsas debe comprar? ¿Cuánto deberá pagar?
CAL
1 bolsa: $260 2 bolsas: $500
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�¿Por qué Diego calcula el 20% multiplicando por 20 —— 100 ?
�¿Por qué Carla divide el 170 por 100? �¿Por qué Alba calcula el 1% y después multiplica por 20?
entreTODOS
Ropa en oferta
1. Alba, su mamá y su papá comprarán ropa y pagarán con la tarjeta del banco HHCC.
a. Alba compra un pantalón que cuesta $950. ¿Cuánto le descuentan?
b. ¿Cuánto paga?
c. Completá la tabla.
Precio del artículo ($) 250 340 500 600 750 1.000
Descuento ($)
Precio a pagar ($)
d. ¿La relación entre el precio del artículo y el descuento es directamente proporcional?
¿Cómo te das cuenta?
e. Escribí una forma de calcular el descuento que se le aplica a un artículo si se conoce su
precio.
2. Leé cómo calculan los chicos el 20% de $170.
Tarjeta de crédito
HHCC25% de descuento
Entonces eso significa 10 —— 100 .
Alba
El símbolo % es la cantidad que corresponde cada 100.
Por ejemplo, 10% significa 10 de cada 100.
Benito
Carla
Yo hago:
$170 : 100 = 1,70
1,70 × 20 = 34
Alba
Como el 1% de 170 es 1
—— 100 × 170 = 1,70, entonces 20 × 1,70 = 34.
DiegoPara calcular el 20% de una cantidad, divido la cantidad en 100 partes y tomo 20 de ellas. O sea que es lo mismo que calcular 20 —— 100 de esa cantidad. Por lo tanto, hago 20 —— 100 × 170 = 34.
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Aumentos y descuentos
1. a. En una librería tienen que aplicar un aumento del 5% a los precios de toda la mercadería. Completá la tabla.
Precio original ($) 25 36 50 75 100 150
Aumento ($)
Precio nuevo ($)
b. ¿La relación entre el precio original y el aumento es directamente proporcional? c. ¿Y la relación entre el precio original y el precio nuevo? ¿Cómo te das cuenta?
d. Escribí una cuenta para calcular el aumento si se conoce el precio original.
e. Si una carpeta aumentó $25, ¿cuál era su precio original?
2. a. En un negocio ofrecen el 25% de descuento por pago al contado. Ángel compra una camisa al contado y paga $150. ¿Cuál era el precio original?
b. Pedro compra un saco y obtiene un descuento de $150. ¿Cuál era el precio original?
3. Diego compró una campera. No prestó atención al porcentaje de descuento que realizaban en el negocio, pero recuerda que la campera costaba $850 y él la pagó $680.
a. ¿Cuánto dinero le descontaron?
b. ¿Qué porcentaje del precio original le descontaron?
c. Explicá cómo calculás el porcentaje de descuento.
4. En un negocio realizan un 10% de descuento en la ropa de liquidación y, luego, un aumento de 10% por los impuestos. Sol compra una pollera de liquidación que tenía un precio original de $300.
a. ¿Es cierto que Sol paga $300? ¿Cómo te das cuenta?
b. ¿Le hacen un aumento o un descuento? ¿De qué porcentaje?
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Relaciones proporcionales
1. a. Flor dibuja rectángulos de 24 cm 2 de área. Completá la tabla.
Largo del rectángulo (cm) 1 2 4 6 12 48
Ancho del rectángulo (cm)
b. ¿Es cierto que si se duplica el largo, se duplica el ancho?
c. ¿La relación entre el largo y el ancho es proporcional? Explicá cómo lo pensás.
2. Carla dibuja rectángulos de 24 cm de perímetro. Completá la tabla.
Largo del rectángulo (cm) 1 2 4 6Ancho del rectángulo
(cm)
a. ¿Es cierto que si se duplica el largo, se duplica el ancho?
b. ¿Es cierto que si se duplica el largo, se divide a la mitad el
ancho?
c. ¿La relación entre el largo y el ancho del rectángulo es directamente proporcional, inversamente proporcional o no es de proporcionalidad? Explicá cómo lo pensás.
3. En una estación de servicio tienen un bidón con 500 litros de aceite para autos. Lo van a fraccionar en varias botellas iguales.a. Completá la tabla con la cantidad de botellas que llenan según la capacidad que tengan.
Capacidad de las botellas (en litros) 1 — 2 2 4 5 10 20
Cantidad de botellas
b. ¿La relación entre la capacidad de las botellas y la cantidad de botellas necesarias es de proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o no es de proporcionalidad? Explicá cómo lo pensás.
Calcular el área de una figura en centímetros cuadrados es determinar cuántos cuadraditos de 1 cm de lado entran en esa figura.
Una relación entre dos variables es inversamente proporcional si al doble de una variable le corresponde la mitad de la otra; al triple le corresponde la tercera parte; al cuádruple, la cuarta parte; etcétera.
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1. En un negocio se realiza un descuento del 10% por liquidación y un aumento del 10% por pago con tarjeta de crédito. Completá la tabla.
Precio original ($) 50 100 150 200 300 400
Precio por liquidación ($)
Precio por pago con tarjeta ($)
2. Respondé en la carpeta.a. En un negocio hay una promoción de 20% de descuento por liquidación. Además, el banco HHCC hace un descuento del 30% por la compra de ropa en cualquier local. ¿Cuánto se paga por una campera que cuesta originalmente $750?b. ¿Cuál es el porcentaje de descuento que recibe si se paga con tarjeta de crédito?
3. Completá estas oraciones.a. 15% de 450 es . b. 40 es el % de 400.
4. a. A los empleados de una empresa les aumentan el sueldo $1.500. Completá la tabla .
Sueldo ($) 2.400 3.600 4.800 7.200 9.600
Sueldo con aumento ($)
b. Respondé en la carpeta: ¿es proporcional la relación entre el sueldo y el sueldo con aumento? Explicá cómo lo pensaste.c. Escribí en la carpeta qué porcentaje de aumento reciben los empleados que ganaban $2.400 y $4.800.
5. a. Leé qué dicen los chicos y respondé: ¿por qué Carla divide por 10?
b. ¿Es cierto lo que dice Diego? ¿Cómo te das cuenta?
6. Sin resolver las cuentas, rodeá cuáles te permiten calcular el porcentaje pedido. Explicá en la carpeta cómo lo pensás.a. El 25% de 230.i. 230 × 1 — 4 ii. 25 × 230 iii. 230 × 100 : 25 iv. 25
—— 100 × 230
b. El 75% de 120.i. 230 × 3 — 4 ii. 120 × 75 : 100 iii. 1 — 75 × 120 iv. 120 – 25
—— 100 × 120
Carla Diego
Para calcular el 10% divido por 10.
¡Entonces para calcular el 20% divido por 20!
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Las unidades de medida10Comparar unidades
Yo vivo en La Rioja, Argentina. La temperatura en verano puede llegar a los
43 grados Celsius.
Yo vivo en Nueva York, Estados Unidos. La
temperatura en verano puede llegar a los 87
grados Fahrenheit.
Yo vivo en Jujuy. En el mercado compro la leche en cajas de
1 litro.
Yo vivo en Estados Unidos. En el mercado compro la leche en botellas de
1 galón.
Yo vivo en la provincia de Tucumán
y voy a viajar a Salta, que queda a 226,30 km.
Yo vivo en Liverpool y voy a viajar a Londres,
que queda a 178,30 millas de mi casa.
Yo soy joyero y vivo en la Argentina. Peso el
oro en una balanza. Este anillo pesa
2,5 gramos.
Yo también soy joyero, pero vivo en Inglaterra. Peso el oro
en una balanza. Este anillo pesa 1 onza de Troy.
En los países anglosajones usan unidades de medida distintas de las nuestras.1 milla = 1,6093 km1 galón = 3,7854 l1 onza de Troy = 31,103 gLos grados Fahrenheit se calculan multiplicando los grados Celsius por 1,8 y sumando 32.
�¿Quién viaja más? ¿Cómo se dan cuenta? �¿Quién padece las temperaturas más altas? ¿Cómo se dan cuenta? �¿Quién compra más leche? ¿Cómo se dan cuenta? �¿Quién tiene el anillo más pesado? ¿Cómo se dan cuenta?
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Medir distancias
1. Completá las equivalencias en cada oración.
a. La distancia entre La Quiaca y Ushuaia es de 3.646,90 m = 3.646,90 : km.
b. Una hormiga mide 0,5 cm = 0,5 × mm.
2. Copiá en cada casillero de la tabla la cuenta que permite calcular la medida equivalente a 8 m en la unidad correspondiente.
Kilómetros Hectómetros Decámetros Metros Decímetros Centímetros Milímetros
8
8 × 10 8 × 100 8 × 1.000 8 : 10
8 : 100 8 : 1.000 8 ×10.000 8 : 10.000
3. a. Completá la tabla.
Medida en metros 258 1.574 16,25
Cuenta que hacés
Medida en centímetros 1,268 8
b. ¿Es cierto que la relación entre los metros y los kilómetros es de proporcionalidad directa? Explicá cómo te das cuenta.
c. ¿Es cierto que la relación entre los metros y los centímetros es de proporcionalidad directa? Explicá cómo te das cuenta.
Medir es comparar con la unidad que se toma como básica. Para medir longitudes, el Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI) propone como unidad el metro (m). La medida correspondiente a 1 m pertenece a un prototipo hecho en platino y titanio, guardado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en París, Francia. A partir del metro se propusieron otras unidades:
1 kilómetro (km) = 1.000 m 1 hectómetro (hm) = 100 m 1 decámetro (dam) = 10 m
1 decímetro = 1 — 10 m 1 centímetro (cm) = 1 —— 100 m 1 milímetro (mm) = 1 ——— 1.000 m
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Usar otras unidades
1. a. Completá la tabla.
Medida en milímetros 45,25 124 12,25
Cuenta que hacés
Medida en hectómetros 26,78 98
b. ¿Es cierto que la relación entre los milímetros y los hectómetros es de proporcionalidad directa? Explicá cómo te das cuenta.
2. ¿Es cierto que la relación entre los kilómetros y los centímetros es de proporcionalidad directa? Explicá cómo te das cuenta.
3. a. ¿Qué cuenta hay que hacer para escribir en decímetros una medida que está en decámetros? ¿Cómo te das cuenta?
b. ¿Qué cuenta hay que hacer para escribir en decámetros una medida que está en decímetros? ¿Cómo te das cuenta?
4. Escribí una constante de proporcionalidad de cada relación.a. La relación entre los metros y los centímetros.
b. La relación entre los metros y los kilómetros.
c. La relación entre los milímetros y los centímetros.
d. La relación entre los decímetros y los decámetros.
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Los líquidos
1. a. Juan va al almacén a comprar crema de leche y encuentra estos envases. Si Juan necesita 1 l de crema de leche, ¿qué envases le conviene comprar?
b. ¿Es cierto que 1 cm 3 = 1 ml? ¿Cómo te das cuenta?
2. Rodeá la unidad que te parece más adecuada en cada caso.
a. La capacidad de un barril de aceite para auto es 2 l ml hl .
b. La cantidad de agua que hay en una pileta de natación olímpica es 1.250 l ml hl .
c. La dosis de un jarabe es 2,5 l ml hl .
3. Franco necesita 7 litros de agua para llenar un bidón. Tiene 20 botellas de 1 — 2 l, 30 botellas de 250 ml y 60 botellas de 125 cm 3 llenas de agua.a. ¿Puede usar solo botellas de 125 cm 3 ? ¿Cómo te das cuenta?
b. Si quiere usar por lo menos un envase de cada capacidad, ¿cómo puede llenar el bidón? ¿Hay una sola forma de hacerlo?
c. ¿Cómo puede llegar a los 7 litros si quiere usar por lo menos 3 envases de 250 ml?
350 cm3350 cm3
350 cm3
200 ml
$10,50 $15,75
Para medir capacidades, suele usarse el litro (l). Un litro es la cantidad de líquido que entra en un cubo de 10 cm de lado. Por eso se dice que 1 l = 1.000 cm 3 .A partir del litro se propusieron otras unidades.
1 kilolitro (kl) = 1.000 l 1 hectolitro (hl) = 100 l 1 decalitro (dal) = 10 l
1 decilitro (dl) = 1 — 10 l 1 centilitro (cl) = 1 —— 100 l 1 mililitro (ml) = 1 ——— 1.000 l
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Los pesos
1. Escribí junto a cada objeto la unidad de medida que usarías para indicar su peso.
2. Una balanza de dos platillos está equilibrada si el peso total que se pone en cada platillo es el mismo. Escribí, en cada caso, el peso que falta.a. b.
3. Florencia compró en el mercado 3 kg y medio de manzanas, 4 kilogramos y cuarto de naranjas y medio kilogramo de frutillas. ¿Compró más o menos de 10 kg? ¿Cómo te das cuenta?
4. Juan levantó 10 cubos de 120,65 g cada uno. ¿Levantó más de un 1 kg? ¿Cómo te das cuenta?
5. Alma compró 6 potes de 250 g de dulce de leche. Para hacer panqueques necesita 1 kilogramo y medio. ¿Le alcanza el dulce de leche que compró? ¿Cómo te das cuenta?
6. Iván necesita 425 g de harina y 250 g de azúcar para hacer una pastafrola. ¿Cuántos kilogramos de harina y de azúcar necesita para hacer 8 pastafrolas iguales?
a. Una bolsa de papas b. Una galletita c. Una silla d. Una hormiga
Para medir pesos, el Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI) propone como unidad el kilogramo (kg). La medida correspondiente a 1 kg es el peso de un prototipo hecho en platino y titanio guardado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en París, Francia. A partir del kilogramo se propusieron otras unidades:
1 hectogramo (hg) = 1 — 10 kg 1 decagramo (dag) = 1 —— 100 kg 1 gramo (g) = 1 ——— 1.000 kg
1 decigramo (dg) = 1 ——— 10.000 kg 1 centigramo (cg) = 1 ———— 100.000 kg 1 miligramo (mg) = 1 ————— 1.000.000 kg
1.250 g2.500 mg305 cg 25 dg
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Medir tiempos
1. ¿Cuántas horas hay en una semana?
2. Completá las oraciones.
a. Una hora equivale a minutos. b. Un minuto equivale a segundos.
3. Un partido de fútbol consta de dos tiempos de 45 minutos y un descanso de 15 minutos. Si el partido se para varias veces, el árbitro agrega algunos minutos. El equipo preferido de Franco comenzó a jugar a las 15:30 y finalizó a las 17:20. ¿Cuántos minutos adicionales dio el árbitro?
4. Leé qué dicen Carla y Benito. ¿Quién tiene razón? ¿Cómo te das cuenta?
5. a. Escribí una cuenta que te permita calcular cuántos minutos representan 3,8 horas.
b. Escribí una cuenta que te permita calcular cuántos segundos son 3,8 horas.
c. Escribí una cuenta que te permita calcular cuántos segundos son 3,8 minutos.
6. En cada caso, decidí si la relación entre las variables propuestas es de proporcionalidad directa o no. Explicá por qué. Si la respuesta es afirmativa, indicá la constante de proporcionalidad.
a. La relación entre las horas y los minutos.
b. La relación entre las horas y los segundos.
c. La relación entre los segundos y los minutos.
Carla Benito
¡No! Para mí
son 2,5 horas.2 horas y media
son 2,3 horas.
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Medir ángulos
1. Anotá, en cada caso, cuánto mide el ángulo central del sector circular pintado de lila.a. b.
2. Calculá la medida de los ángulos marcados con letras.a. b.
c. d.
O
65,75°
35,5°
O
90,15°
125,8°
A 47,5°
B50° 45´
Para medir ángulos se divide una circunferencia en 360 partes iguales de la siguiente manera.
La medida de cada ángulo se llama grado sexagesimal.Cuando se divide cada grado sexagesimal en 60 partes iguales, cada parte se llama minuto: 1° = 60’ .
Una parte del círculo formada por los puntos de un ángulo se llama sector circular. El ángulo del centro se llama ángulo central.
1°
Oángulocentral
C
92,5°
134,8°
D
35,6°
15,7°
sectorcircular
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1. a. ¿Cuántas tazas se pueden llenar con el agua de cada botella?
b. ¿Cuántas botellas de agua como la más chica hacen falta para llenar 5 botellas como la grande? ¿Cuántos centímetros cúbicos de agua son?
2. Franco recorrió 2,87 km. Si avanza un metro cada dos pasos aproximadamente, ¿cuántos pasos dio?
3. Un tambor contiene 8 kg de cereal. Juan sacó 489 g. ¿Cuántos gramos de cereal quedaron en el tambor?
4. Fernando llegó al entrenamiento de tenis a las 8 y media de la noche. Jugó 2 partidos de 25 minutos cada uno, entre los cuales hubo un descanso de 15 minutos. ¿A qué hora se fue del entrenamiento?
5. Completá estas expresiones para que sean equivalentes.a. 1 — 2 hora = minutos
b. 3 — 4 hora = minutos
c. 1 — 2 minuto = segundos
d. 3 — 4 hora = segundos
e. 1 — 4 hora = minutos
6. Copiá junto a cada unidad de medida la cuenta que permite completar la medida equivalente a 46 centigramos.
Kilogramos
Hectogramos
Decagramos
Gramos
Decigramos
46 Centigramos
Miligramos
7. Juan vacía el contenido de 5 botellas de 1.250 cm 3 , 5 botellas de 250 cl y 10 botellitas de 125 ml de agua en un balde. ¿Cuántos litros de agua hay en el balde?
8. Lucía tarda 35 minutos en llegar a la escuela y el horario de entrada es a las 7:30.a. ¿A qué hora debe salir de su casa para llegar a horario?
b. Si el horario de salida es 12:45, ¿a qué hora llegará a su casa?
500 cm3
2 l250 ml
46 × 1046 × 10046 × 1.00046 : 1.00046 : 10046 : 1.000.00046 : 10.00046 : 100.00046 × 10.00046 × 100.00046 : 1046 × 1.000.000
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�Si con un litro de cal se pueden pintar 10 m, ¿qué medidas deben tomar para saber cuántos litros de cal se necesitan para pintar el borde blanco de la cancha?
�Para cambiar el césped del interior de la cancha comprarán panes cuadrados de pasto de 50 cm de lado. ¿Qué medidas deben tomar para saber cuántos panes necesitan?
�¿Qué diferencia hay entre lo que hicieron para calcular la cantidad de panes de pasto y lo que hicieron para calcular la pintura?
entreTODOS
Perímetros y áreas11La cancha de fútbol
Los nuevos dirigentes quieren remodelar el club.
¡Van a renovar esta cancha!
Cambiarán el pasto.
Además, van a pintar de nuevo el borde
blanco de la cancha.
Diego Alba
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Marcar las canchas
1. El campo de juego de las canchas de fútbol miden 64 m de ancho y 100 m de largo. Los bordes se marcan con líneas blancas pintadas con cal. Con 1 litro de cal se marcan 10 m de borde. ¿Cuántos litros de cal se necesitan comprar para marcar todo el borde del campo? ¿Sobra cal? ¿Cuánta?
2. Las canchas de vóley son rectangulares. Tienen 9 m de ancho y 18 m de largo, y el sector de cada equipo es un cuadrado de 9 m de lado. En el medio de los dos sectores va la red. Además, a 3 m de la red, cada sector tiene una línea que separa la zona de ataque de la zona de defensa. Este es un esquema de la cancha.
a. El piso se marca con una cinta plástica blanca. ¿Cuántos metros de cinta hacen falta para marcar toda la cancha?
b. Escribí una cuenta que permita calcular la cantidad de cinta necesaria para bordear el cuadrado de un equipo.
c. Escribí una cuenta que permita calcular la cantidad de cinta necesaria para bordear la cancha.
d. ¿La cantidad de cinta que necesitan para marcar el borde de la cancha es el perímetro de la figura? ¿Por qué?
9 metros
3 metros 3 metros
9 m
etro
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zona
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zona
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zona
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zona
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9 metros
El perímetro de una figura es la suma de las medidas de sus lados.
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ros.
�Si conocen la medida de los lados de un paralelogramo, ¿qué cuenta deben hacer para calcular su perímetro?
�Si conocen la medida del perímetro de un rombo, ¿qué cuenta harían para calcular la medida de sus lados?
�Si conocen la medida del perímetro de un hexágono regular, ¿cómo calcularían la medida de sus lados?
entreTODOS
Calcular perímetros
1. Calculá el perímetro de cada figura. Recordá que las medidas que tenés que sumar tienen que estar expresadas en la misma unidad.
D
E C
A B3 cm
I
H
G4 cm
40,4
mm
2 cm
0,05 m
F
2. Un rectángulo tiene dos lados que miden 5 cm y un perímetro de 14 cm. Calculá en la carpeta cuánto miden los otros lados.
3. Un triángulo isósceles tiene dos lados de 8,5 cm y el perímetro es 2 dm. Calculá en la carpeta cuánto mide el otro lado.
T
S
R
23,3 mm
0,29
dm
2,91 cm
4 cmY X
NM
O
c.
b.a.
ABCDE es un polígono regular.
d. MNO es un triángulo equilátero. MNXY es un cuadrado.
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los.
�¿Cómo construye Benito el rectángulo? �¿Podrá hacer esa construcción con otro triángulo? ¿Cómo la haría? �¿Por qué Alba dice que los rectángulos ADCE y DBFC quedan divididos en
2 partes iguales? �Si conocen la medida de un lado de un triángulo y la altura correspondiente
a ese lado, ambas dadas en centímetros, ¿cómo calcularían la cantidad de cuadrados de 1 cm de lado que cubren el triángulo?
entreTODOS
Medir áreas
1. Calculá cuántos cuadraditos de 1 cm de lado entran en estos rectángulos.
a. b.
2. Leé cómo calculan los chicos la cantidad de cuadraditos de 1 cm de lado que entran en el triángulo.
CE F
DA BA B
C
DA B
C
Entonces en el triángulo entra la mitad de cuadraditos que en el rectángulo.
El triángulo tiene un lado de 5 cm y la altura correspondiente a ese lado es CD, que mide 2 cm. Entonces construyo el rectángulo
ABFE, en el que entran 5 × 2 = 10 cuadraditos.
CD divide el rectángulo ABFE en 2 rectángulos que tienen 2 partes iguales.
Una dentro del triángulo ∆ ABC y la otra afuera.
AlbaBenito
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los. �Marquen los ángulos iguales que nombra Diego.
�¿Qué relación hay entre los lados del paralelogramo y los del trapecio? �¿Cómo calculan el área del paralelogramo? �¿Qué cuentas tienen que hacer para calcular el área del trapecio?
entreTODOS
Calcular áreas de paralelogramos y trapecios
1. Usá esta descomposición para analizar cuántos cuadraditos de 1 cm de lado cubren el paralelogramo. Explicá cómo usás las figuras para analizarlo.
2. Leé qué dicen los chicos.
�Revisá los problemas de esta página y de la página 106 y escribí cómo calcularías el área de un rectángulo, de un triángulo, de un paralelogramo y de un trapecio.
Revisamos los problemas
Medir la superficie de una figura es compararla con otra figura tomada como unidad.Generalmente, se usa como unidad de medida un cuadrado de 1 cm de lado o uno de 1 m de lado.
Para calcular el área de un trapecio, yo construyo otro trapecio igual pero lo pego dado vuelta.
¡Entonces calculo el área de ese paralelogramo y lo divido por 2!
La nueva figura tiene un par de lados paralelos y los ángulos opuestos son iguales; entonces, el otro par de lados también tiene
que ser paralelo. Por lo tanto, ¡es un paralelogramo!
DiegoCarla
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�Expliquen el razonamiento de Carla. �¿A cuántos centímetros cuadrados equivale 1 m 2 ? �¿Cuántos cuadraditos de 1 mm de lado cubren un cuadrado de 1 m de lado?
¿Qué cuentas hacen para responder? �¿A cuántos milímetros cuadrados equivale 1 m 2 ?
entreTODOS
La superficie que ocupa un cuadrado de 1 cm de lado se llama centímetro cuadrado ( cm 2 ). De la misma manera, un metro cuadrado es la superficie que ocupa un cuadrado de 1 m de lado, y un kilómetro cuadrado es la superficie que ocupa un cuadrado de 1 km de lado, etcétera.Se llama hectárea (ha) a la superficie que ocupa un cuadrado de 1 hm de lado. Es decir que 1 ha = 1 hm 2 .
Cambiar unidades
1. a. Carla tiene un cuadrado de 1 dm de lado y quiere cubrirlo con cuadraditos de 1 cm de lado. Dibujalo en la carpeta.b. Leé qué dice Carla.
2. En el club deciden construir un salón de usos múltiples. El salón será un rectángulo de 30 m de largo y 15 m de ancho. Cubrirán el piso con madera. Cada pieza de madera es un rectángulo de 30 cm de largo y 5 cm de ancho. ¿Cuántas piezas de madera necesitan para cubrir el piso del salón?
3. Pedro pinta una pared cuadrada de 16 m 2 de área. ¿Cuánto mide cada lado de la pared?
4. Lucas anima fiestas infantiles. Para un juego armará un trapecio isósceles de madera siguiendo este esquema. ¿Cuántos metros cuadrados de madera tiene que comprar?
5. a. Completá la tabla.Medida en
metros cuadrados ( m 2 )
253 1.574 16,25
Cuenta que hacés
Medida en kilómetros
cuadrados ( k m 2 ) 1,263 3
b. ¿Es cierto que la relación entre los metros cuadrados y los kilómetros cuadrados es de proporcionalidad directa? ¿Cómo te das cuenta?
150 cm
1 m
10 d
m
Como 1 dm = 10 cm, entonces
1 dm 2 = 100 cm 2 .
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Áreas de figuras combinadas
1. Usá esta descomposición para analizar cuántos cuadraditos de 1 cm de lado cubren el rombo. Explicá cómo usás el rectángulo celeste para decidir.
2. Juan tiene un campo cuya forma combina un trapecio rectángulo con un rombo. Lo va a bordear con tres filas de alambre.
a. Cada rollo trae 150 m de alambre. ¿Cuántos rollos tiene que comprar?
b. Juan colocará en todo el campo panes de pasto cuadrados de 50 cm de lado. ¿Cuántos panes tiene que comprar?
3. Calculá en la carpeta el área y el perímetro de cada figura.
a. ∆
ABC es un triángulo equilátero, BCED es un
paralelogramo y EGFD es un rombo.
9 km
6.000 m
5 km
40 h
m
b. ABCD y FGHI son cuadrados, ∆
CEF es un triángulo isósceles y BG mide el doble que AB .
4,5 cm
3 cm
5,2
cm
3 cm
A B D
G
CF
E2,12 cm
1,5
cm
1,5
cm
A
B
G
J
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F
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C
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Variar los lados
1. a. Dibujá en la carpeta un rectángulo de 12 cm de perímetro. ¿Cuánto mide su área?
b. Revisá lo que hicieron tus compañeros. ¿Todos dibujaron el mismo rectángulo? ¿Todos calcularon la misma área?
2. Fernando dibuja un rectángulo azul con lados que miden 5 cm y 3 cm. Luego dibuja un rectángulo verde cuya base mide el doble de la del azul y cuya altura es igual.a. ¿Es cierto que el rectángulo verde tiene el doble de perímetro que el azul? ¿Cómo podés asegurarlo sin hacer las cuentas?
b. ¿Es cierto que el rectángulo verde tiene el doble de área que el azul? ¿Cómo podés asegurarlo sin hacer las cuentas?
3. Jazmín dibuja un rectángulo rosa con lados de 7 cm y 9 cm. Luego dibuja un rectángulo naranja cuya base y altura midan el triple de las del rosa.a. ¿Es cierto que el rectángulo naranja tiene el triple de perímetro que el rosa? ¿Cómo podés asegurarlo sin hacer las cuentas?
b. ¿Es cierto que el rectángulo naranja tiene el triple de área que el rosa? ¿Cómo podés asegurarlo sin hacer las cuentas?
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Relaciones al variar los lados
1. Alba arma cuadrados de distintas medidas.a. Completá la tabla con las medidas de los cuadrados de Alba.
Lado del cuadrado (cm) 2 4 6 7,8 20 180 400
Perímetro del cuadrado (cm)
b. ¿La relación entre la medida del lado de un cuadrado y su perímetro es directamente proporcional? ¿Cómo te das cuenta? Si la respuesta es afirmativa, indicá cuál es la constante de proporcionalidad.
2. Diego dibuja cuadrados de distintas medidas.a. Completá la tabla con las medidas de los cuadrados de Diego.
Lado del cuadrado (cm) 2 4 6 7,8 20 180 400
Área del cuadrado ( cm 2 )
b. ¿Es cierto que el área del cuadrado de 6 cm de lado se puede calcular sumando el área del cuadrado de 2 cm de lado y la del de 4 cm de lado? Explicalo con un dibujo.
c. ¿La relación entre la medida del lado de un cuadrado y su área es directamente proporcional? ¿Cómo te das cuenta? Si la respuesta es afirmativa, indicá cuál es la constante de proporcionalidad.
Integrar lo aprendido
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1. Aníbal tiene un campo con forma rectangular, de 25 km de largo por 10 hm de ancho.a. Para sembrar soja, destinó un sector rectangular que ocupa 1 — 5 del largo y 1 — 2 del ancho del campo. ¿Cuántas hectáreas sembrará con soja?
b. Para sembrar trigo usará otro sector que ocupa 2 — 5 del largo y 1 — 2 del ancho del campo. En cada metro cuadrado se pueden sembrar 10 plantas. ¿Cuántas plantas sembrará?
c. Luego, comprará alambre para cercar cada sector. ¿Cuántos metros de alambre necesita?
2. Andrea dibuja rectángulos de diferentes medidas. Completá la tabla.
Medida del largo del rectángulo (cm) 5 15 9 15,38
Medida del ancho del rectángulo (cm) 7 28 10 12,25
Perímetro del rectángulo (cm) 120
Área del rectángulo ( cm 2 ) 81
3. Franco dibuja rectángulos de 5 cm de altura. a. Completá la tabla.
Medida del largo del rectángulo (cm) 8 15,3 54,25
Medida del perímetro (cm) 20 26,6
b. ¿Es cierto que la relación entre el perímetro y el largo de los rectángulos de Franco es directamente proporcional? ¿Cómo podés asegurarlo?
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�¿Qué cuerpos geométricos aparecen en la maqueta? �Describan las formas que tienen las torres. �¿Para qué se usaron los cilindros en la construcción?
entreTODOS
12 Los cuerpos geométricos
La maqueta de Jerusalén
Estas fotos pertenecen a una maqueta de la ciudad de Jerusalén.
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Contar aristas y vértices de cuerpos geométricos
1. a. ¿Cuántas aristas tiene un prisma de base cuadrada?
b. ¿Todas las aristas son iguales? ¿Cómo te das cuenta?
c. ¿Cuántos vértices tiene?
2. a. ¿Cuántas aristas tiene una pirámide de base hexagonal?
b. ¿Todas las aristas son iguales? ¿Cómo te das cuenta?
c. ¿Cuántos vértices tiene?
3. ¿Cuántas aristas tiene un cilindro? ¿Cómo te das cuenta?
4. ¿Cuáles son los poliedros que tienen la menor cantidad de caras?
5. ¿Cuáles son los cuerpos geométricos que no tienen vértices?
6. ¿Algún cuerpo geométrico no tiene aristas?
Taller de problemas
�¿Es cierto que la cantidad de vértices de un prisma es siempre un número par? ¿Por qué? �¿Pasará lo mismo con las pirámides? ¿Por qué? �¿Es cierto que la cantidad de aristas de una pirámide es siempre un número par? �Si conocen el número de lados de la base de un prisma, ¿cómo calculan la cantidad de
aristas? ¿Y la cantidad de vértices? �Si conocen el número de lados de la base de una pirámide, ¿cómo calculan la cantidad
de aristas? ¿Y la cantidad de vértices?
Los cuerpos geométricos que tienen todas las caras planas se llaman poliedros.Los poliedros pueden ser:• Prismas: tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, y el resto de las caras son rectangulares.• Pirámides: tienen una cara llamada base, las otras caras son triangulares y se unen en una punta.Los cuerpos geométricos que pueden rodar se llaman cuerpos redondos.
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Armar cuerpos geométricos
1. Para armar un cono de cartulina, Florencia siguió estos pasos.
a. ¿Qué tiene que tener en cuenta Florencia para que el cono le quede bien armado y cerrado?
2. a. Rodeá las figuras que son el desarrollo plano de un cilindro.
i. ii. iii. iv.
b. ¿Qué características analizás para determinar si la figura es o no el desarrollo plano de un cilindro?
3. Completá estos desarrollos planos para construir un prisma de base pentagonal. a. b.
Se llama desarrollo plano de un cuerpo geométrico a la figura plana que, al doblarla por sus marcas, sirve para armar el cuerpo.
Integrar lo aprendido
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1. Ana tiene 5 palitos y 3 bolitas de plastilina, y quiere construir el esqueleto de un prisma de base triangular. ¿Cuántos palitos y cuántas bolitas más necesita?
2. Pedro tiene 12 palitos y 8 bolitas de plastilina y quiere usar todos. a. ¿Puede construir un prisma? ¿Con qué base?
b. ¿Puede construir una pirámide? ¿Con qué base?
3. ¿Es cierto que para armar el desarrollo plano de un cilindro hay que dibujar un rectángulo? ¿Por qué?
4. Completá esta figura para que sea el desarrollo plano de una pirámide de base triangular.
5. Completá la tabla.
Cuerpo geométrico
Cantidad de caras
Cantidad de aristas
Cantidad de vértices
Prisma de base
octogonal
Pirámide de base
octogonal
Pirámide de base
triangular
Prisma de base
triangular
Cono
Cilindro
6. Completá este desarrollo plano para construir una pirámide de base heptagonal.