SEÑALES Y SISTEMAS CON MATLAB

Sebastián Araujo

31 de enero de 2010

Resumen

Este documento contiene una serie de ejercicios aplicativos a la materia de señales y sistemas resueltosutilizando Matlab.

1

Índice1. Gráfico de una señal periódica 3

2. Cálculo de la energía total y de la potencia media de una señal 32.1. Potencia de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Gráfico de una función definida por pedazos 4

4. Transformaciones de la variable independiente 5

5. Señales elementales 55.1. Escalón unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2. Pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.3. Función signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.4. La función rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.5. La función de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.6. Impulso unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.6.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.6.2. Aproximación de un Dirac con sinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6. Convolución 116.1. Convolución de dos pulsos rectangulares que nos da como resultado un pulso triangular . . . 116.2. Otro ejemplo de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7. Respuesta al impulso de un sistema descrito por una ODE de primer orden 137.1. La derivada de un delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8. Respuesta al impulso de un sistema descrito por ODE’s de segundo orden 16

9. Análisis de Fourier 179.1. Espectro de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.2. Espectro de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.3. Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.4. Espectro de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.5. Espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.6. Cálculo y graficación de espectros en señales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

10.Análisis de sistemas continuos mediante la Transformada de Laplace 21

11.Filtro de Butterworth 22

2

1. Gráfico de una señal periódicaGraficar una señal periódica definida por:

f(t) = t

0 < t < π

f(t) = f(t+ π)

Usamos el código:

%gráfica una función periódicat=0:0.1:pi;ft=t;for n=-3:3tt=t+n*pi;hold onplot(tt,ft)hold offend

lo que nos produce:

2. Cálculo de la energía total y de la potencia media de una señalDefinimos la energía total como:

E = limL→∞

ˆ L

−L|f(t)|2dt

y la potencia media como:

3

P = limL→∞

12L

ˆ L

−L|f(t)|2dt

Para calcular la primera integral de forma simbólica podemos usar:

syms tE=int(abs(f(t))^2,t,-inf,inf)

Para la potencia podemos primero integrar:

syms Lintegral=int(abs(f(t))^2,-L,L)

y luego calcular el límite con:

P=limit(integral/(2*L),L,inf)

Para evaluar la integral como un número decimal:

format longeval(E)eval(P)

2.1. Potencia de señales periódicasEn este caso P está se calcula por:

P =1T

ˆ T

0

|f(t)|2dt

El cálculo es por la misma vía utilizando como variables syms t y T.

3. Gráfico de una función definida por pedazosGraficar la función:

x(t) =

−t+ 1 −1 6 t < 0t 0 ≤ t < 22 2 ≤ t ≤ 30 t > 3

%gráfica de una función definida a pedazost1=-1:0.01:0;xt1=-t1+1;plot(t1,xt1)t2=0:0.01:2;xt2=t2;hold onplot(t2,xt2)t3=2:0.01:3;xt3=2;plot(t3,xt3)

4

t4=3:0.01:7;xt4=0;plot(t4,xt4)hold offaxis([-2 7 -1 4])xlabel(’t’)ylabel(’x(t)’)title(’Señal a trozos’)

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)

Señal a trozos

4. Transformaciones de la variable independienteCalcular y graficar basado en el ejemplo anterior la señal:

x(−3t− 2)

5. Señales elementales

5.1. Escalón unidadheaviside

%ejemplo de paso unitario en 5t=-10:.1:10;paso5=heaviside(t-5);plot(t,paso5)axis([-10 10 -2 2])xlabel(’t’)ylabel(’u(t)’)title(’Paso unitario en 5’)

5

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

u(t)

Paso unitario en 5

Calcular y graficar:

x(t) = u(t+ 2)− 2u(t+ 1) + 2u(t)− u(t− 2)− 2u(t− 3) + 2u(t− 4)

5.2. Pulso rectangularrectpulsUn pulso rectangular centrado en 2 de ancho 4 y de amplitud 5:

%pulso rectangulart=-10:0.01:10;pulsorec=5*rectpuls(t-2,4);plot(t,pulsorec)title(’Pulso rectangular’)xlabel(’t’)axis([-10 10 0 6])

6

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6Pulso rectangular

t

5.3. Función signoGraficar sign(t-5)

%función signo en 5t=-10:.1:10;signo5=sign(t-5);plot(t,signo5)axis([-10 10 -2 2])xlabel(’t’)ylabel(’sign(t)’)title(’Signo en 5’)

7

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

sign

(t)

Signo en 5

5.4. La función ramparamp

5.5. La función de muestreoGraficar la función seno cardinal.

%gráfico del sinct=-10:.1:10;sapi=sinc(t);plot(t,sapi)axis([-10 10 -2 2])xlabel(’t’)ylabel(’sinc(t)’)title(’Sinc de t’)

8

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

sinc

(t)

Sinc de t

5.6. Impulso unidadUsamos diract=-10:0.1:10;plot(t,dirac(t-2))xlabel(’t’)ylabel(’dirac(t-2)’)title(’Un delta de Dirac en t=2’)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Un delta de Dirac en t=2

t

dira

c(t−

2)

9

5.6.1. Desplazamiento

Propiedades del delta de Dirac en variable simbólica

syms xx1=x^2+1dirac(x-3)%desplazamientoint(dirac(x-3)*x1,-inf,inf)%derivacióndiff(heaviside(x-3))%desplazamiento con la derivada del Diracdiracprim=diff(dirac(x-3))int(x1*diracprim,-inf,inf)

5.6.2. Aproximación de un Dirac con sinc

Escalamos y aumentamos la amplitud del seno cardinal:

t=-10:0.1:10;diracsinc=100*sinc(100*t);plot(t,diracsinc)title(’Dirac aproximado con un seno cardinal’)xlabel(’t’)ylabel(’100*sinc(100*t)’)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−20

0

20

40

60

80

100Dirac aproximado con un seno cardinal

t

100*

sinc

(100

*t)

10

6. Convolución

6.1. Convolución de dos pulsos rectangulares que nos da como resultado unpulso triangular

y(t) = rect(t) ∗ rect(t)

y(t) =ˆ ∞−∞

rect(τ)rect(t− τ)dτ

t=-10:0.1:10;y=conv(rectpuls(t),rectpuls(t));plot(y)

Graficar la nueva señal redefiniendo correctamente el nuevo vector t. Verificar length(y) y length(t).t=-10:0.1/2:10;plot(t,y)

6.2. Otro ejemplo de convolución

x1(t) = 3e−t 0 ≤ t <∞

x2(t) =t

20 ≤ t < 2

Graficar las funciones, calcular la convolución, graficar el resultado:

y(t) = x1(t) ∗ x2(t)

Podemos expresar nuestras funciones usando pasos unitarios:

%convolución y gráficos de dos funcionest=-10:0.01:10;x1=3*exp(-t).*heaviside(t);subplot(3,1,1)plot(t,x1) x2=(t/2).*heaviside(-(t-2)).*heaviside(t);subplot(3,1,2) plot(t,x2)y=conv(x1,x2)t=-10:0.01/2:10;subplot(3,1,3)plot(t,y)

11

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1

−0.5

0

0.5

1

Matlab tiene conflicto al usar heviside y dirac (symbolic toolbox) dentro de la operación convolución. Elresultado por lo tanto no es válido. La solución consiste en usar funciones del signal processing toolbox, eneste caso sirve rectpuls.

%convolución y gráficos de dos funciones usando rectpulst=-10:0.01:10;x1=3*exp(-t).*rectpuls(t-5,10);subplot(3,1,1)plot(t,x1)ylabel(’x1(t)’)x2=(t/2).*rectpuls(t-1,2);subplot(3,1,2)plot(t,x2)ylabel(’x2(t)’)y=conv(x1,x2);t=-10:0.01/2:10;subplot(3,1,3)plot(t,y)title(’Convolucion de las dos funciones’)xlabel(’t’)

12

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

x1(t

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

x2(t

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

50

100

150

200Convolucion de las dos funciones

t

7. Respuesta al impulso de un sistema descrito por una ODE deprimer orden

Para encontrar la salida de un sistema y(t) llamada respuesta impulsional h(t) cuando la entrada x(t) esigual a un impulso unitario δ(t) y la condición inicial cumple y(0) = 0 que es la condición para un sistemaLTI, debemos resolver la ecuación diferencial.

Encontrar la respuesta impulsional de un sistema LTI descrito por la EDO de primer orden:

2y′(t) + 4y(t) = 3x(t)

debemos resolver:

2h′(t) + 4h(t) = 3δ(t)

%respuesta al impulso de un sistema%descrito por una ODE de 1º orden%Se utiliza un sinc para aproximar el delta de diracfunction dht=resimp(t,h)dht=(3*(100*sinc(100*t))-4*h)/2 ;

Resolvemos la ecuación diferencial guardada en el archivo resimp.m utilizando:>‌> [t,h]=ode45(’resimp’, [-10 10], [0])>‌> plot(t,h)

13

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6respuesta al impulso con ode45

h(t)

t

En este caso la respuesta analítica la podemos encontrar resolviendo la ecuación diferencial por el métododel factor integrante:

d[e2th(t)]dt

= e2t32δ(t)

e2th(t) =32

ˆ ∞−∞

e2tδ(t)dt

h(t) =32e2(0)e−2t

h(t) =32e−2t

Coomparación con la respuesta analítica:

>‌> figure(2)>‌> ht=1.5*exp(-2*t).*heaviside(t);>‌> plot(t,ht)

14

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5respuesta analitica

h(t)

t

7.1. La derivada de un delta de DiracMuchas señales de entrada en un sistema pueden contener derivadas, por lo tanto al tratar de calcular

la respuesta impulsional se hace necesario derivar el Dirac. Numéricamente utilizamos la aproximación delDirac con el sinc. Al usar el operador diff para la derivación la longitud del vector derivado se disminuye en1. Por lo tanto debemos corregir su dimensión.

%derivada de un delta de Dirac%aproximamos la distribución usando sinct=-10:.1:10;delta=100*sinc(100*t);derdelta=diff(delta);%corregimos la dimensión de la derivadaderivdd=[derdelta 0];plot(t,derivdd);title(’Derivada de un delta de Dirac’)xlabel(’t’)

15

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−150

−100

−50

0

50

100

150Derivada de un delta de Dirac

t

8. Respuesta al impulso de un sistema descrito por ODE’s de se-gundo orden

Debemos encontrar la respuesta al impulso del sistema descrito por la ecuación diferencial ordinaria desegundo orden:

y′′(t)− 4y′(t) + y(t) = 4x′(t) + 2x(t)

tenemos entonces que resolver la ecuación diferencial:

h′′(t)− 4h′(t) + h(t) = 4δ′(t) + 2δ(t)

para tranformamos la ODE de 2º orden en un sistema de dos ODE’s de 1º orden mediante el cambio devariable:

u =dh

dt

que reemplazada en la ecuación original nos permite escribir:

du

dt= 4h′ − h+ 4δ′(t) + 2δ(t)

Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales partimos de las siguientes matrices:

U =(

uu′

)

H =(

hh′

)y escribimos el sistema de dos ecuaciones diferenciales como:

%repuesta al impulo de un sistema descrito por una%ode de 2ºorden function

16

function U=sisode2(t,H)%el delta de dirac y su derivadadelta=100*sinc(100*t);derdelta=diff(delta);derivdd=[derdelta 0];%el sistema de odesU=zeros(2,1);U(1)=H(2);U(2)=4*H(2)-H(1)+4*derivdd+2*delta;

Finalmente resolvemos el sistema usando:

>‌> [t,H]=ode45(’sisode2’, [0 10], [0 0]);

Como la respuesta al impulso h(t) es la primera columna del matriz H la extraemos y graficamos:

>‌> h=H(:,1);>‌> plot(t,h)>‌> title(’Respuesta al impulso’)>‌> xlabel(’t’)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

15 Respuesta al impulso

t

9. Análisis de FourierSe define la Transformada de Fourier de una señal como:

F {x(t)} =ˆ ∞−∞

x(t)e−iωtdt

Como notación se utilizará:

F {x(t)} = X(iω) = X(ω)

17

9.1. Espectro de amplitudSe define como un gráfico entre el módulo de la transformada de Fourier de la señal | X(ω) |y la frecuencia.A a su vez la operación módulo de una variable compleja es:

| X(ω) |=√

(Re(X(ω))2 + (Im(X(ω))2

donde Re(X(ω) e Im(X(ω) son la parte real y la parte imaginaria respectivamente.

9.2. Espectro de faseSe define como el gráfico del argumento arg(X(ω)) versus la frecuencia. El argumento de una variable

compleja se calcula como:

arg(X(ω)) = tg−1 Im(X(ω)Re(X(ω)

9.3. Teorema de ParsevalSiendo la Transformada inversa de Fourier:

F−1 {X(ω)} =12π

ˆ ∞−∞

X(ω)eiωtdω

F−1 {X(ω)} = x(t)

y recordando que la energía de una señal se calcula como:

E = limL→∞

ˆ L

−L|x(t)|2dt

vamos a reescribir esta energía en función de la TF:

E =ˆ ∞−∞

x(t).x(t)dt

reemplazando la señal en función de su TF inversa:

E =ˆ ∞−∞

x(t)12π

ˆ ∞−∞

X(ω)eiωtdωdt

si intercambiamos el orden de integración:

E =12π

ˆ ∞−∞

X(ω)ˆ ∞−∞

x(t)eiωtdtdω

La integral´∞−∞ x(t)eiωtdt podemos verla como una TF donde hemos cambiado el signo de la parte

imaginaria, es decir obtenemos la compleja conjugada de la la transformada de Fourier, entonces;

E =12π

ˆ ∞−∞

X(ω)X∗(ω)dω

finalmente podemos demostrar que el módulo de la variable compleja se expresa como:

| X(ω) |2= X(ω)X∗(ω)

lo que finalmente nos lleva a expresar la energía de la señal en función de su transformada de Fourier:

E =12π

ˆ ∞−∞| X(ω) |2 dω

18

9.4. Espectro de energíaEl integrando de la última expresión | X(ω) |2 se conoce como densidad espectral de energía y su gráfico

versus la frecuencia como el espectro de energía.

9.5. Espectro de potenciaEn señales con energía infinita, el espectro de energía no tiene ninguna utilidad. Para estas señales, que

en cambio presentan potencia media finita podemos por un cálculo semejante al anterior definir una densidadespectral de potencia:

dsp = limτ→∞

| Xτ (ω) |2

El gráfico de la dsp versus la frecuencia es el espectro de potencia para señales acotadas en un intervalo[−τ, τ ].

9.6. Cálculo y graficación de espectros en señales discretasComo ejemplo vamos a calcular y graficar el espectro de amplitud, el espectro de fase y el espectro de

energía de la señal:

x(t) = 3te−2tu(t)

Necesitamos usar los comandos fft para calcular la TF, abs para su módulo y angle para el argumento.La señal la obtenemos usando una vez más un rectupuls conveniente en lugar del paso unitario:

%espectro de una señal t=0:.1:10;%la señalx=3*t.*exp(-2*t).*rectpuls(t-5,10);subplot(4,1,1)plot(t,x)title(’Señal’)%el espectro de amplitudespecampli=abs(fft(x));subplot(4,1,2)plot(especampli)title(’Espectro de amplitud’)%el espectro de faseespecfase=angle(fft(x));subplot(4,1,3)plot(especfase)title(’Espectro de fase’)%el espectro de energíadse=(especampli).^2;subplot(4,1,4)plot(dse)title(’Espectro de energía’)

19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1Senal

0 20 40 60 80 100 1200

5

10Espectro de amplitud

0 20 40 60 80 100 120−5

0

5Espectro de fase

0 20 40 60 80 100 1200

50

100Espectro de energia

Como todos los espectros se dibujan en función de la frecuencia, necesitamos ahora crear un eje de fre-cuencias en hertzios para visualizarlos de forma correcta. La frecuencia en hertzios es función del paso conque hemos muestreado, o en nuestro caso creado, la señal. Para el ejemplo el paso tomado es 0.1. Podemosentonces usar:

pas=0.1;dim=length(x)*pas;ejf=[0:1/dim:(length(x)-1)/dim]

y graficar los tres espectros en función de este eje:

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1Senal

t(s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10Espectro de amplitud

f(Hz)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

0

5Espectro de fase

f(Hz)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100Espectro de energia

f(Hz)

10. Análisis de sistemas continuos mediante la Transformada deLaplace

Suponemos que tenemos un sistema descrito por la siguiente ecuación diferencial:

y′′(t) + 5y′(t) + 6y(t) = x(t)

Se pide hallar la señal de salida y(t) su la señal de entrada es:

x(t) = e−tu(t)

Utilizar las condiciones iniciales para la señal de salida:

y′(0) = 1y(0) = 2

Si aplicamos transformada de Laplace a la ecuación diferencial del sistema usando su propiedad de lin-ealidad obtenemos:

L{y′′(t)}+ 5L{y′(t)}+ 6L{y(t)} = L{e−tu(t)

}Las TL del lado izquierdo las obtenemos usando la regla de la TL de una derivada y haciendo uso de las

condiciones iniciales:

21

L{y′′(t)} = s2Y (s)− sy′(0)− y(0)L{y′(t)} = sY (s)− y(0)L{y(t)} = Y (s)

Para la TL del lado derecho podemos probar el comando laplace que funciona en variable simbólica:

>‌> syms t>‌> x=exp(-t)*heaviside(t);>‌> laplace(x)ans = 1/(1+s)

Así llegamos a la ecuación algebraica:[s2Y (s)− 2s− 1

]+ 5 [sY (s)− 2] + 6Y (s) =

11 + s

de donde:

Y (s) =2s2 + 13s+ 12

s3 + 6s2 + 11s+ 6Podemos preguntarnos ahora por la señal de salida aplicando la TL inversa:

y(t) = L−1

{2s2 + 13s+ 12

s3 + 6s2 + 11s+ 6

}Para este cálculo usamos el comando ilaplace una vez más en variable simbólica:

>‌> syms s>‌> Ly=(2*s^2+13*s+12)/(s^3+6*s^2+11*s+6)

Ly = (2*s^2+13*s+12)/(s^3+6*s^2+11*s+6)

>‌> y=ilaplace(Ly)

y = 6*exp(-2*t)+1/2*exp(-t)-9/2*exp(-3*t)

Por lo tanto la señal de salida de nuestro sistema es:

y(t) = (12e−t + 6e−2t − 9

2e−3t)u(t)

donde hemos multiplicado la respuesta por un paso unitario para asegurarnos que se trata de una señalcausal.

Finalmente es importante observar un gráfico entre la señal de salida y la señal de entrada.Hay que advertir también que no podemos tratar señales discretas con la transformada de Laplace. Para

ello necesitaríamos la tranformada en Z cuyo estudio no forma parte de este apartado.

11. Filtro de Butterworth%filtro de Butterworth pasabanda de 4Hz a 6Hzpas=0.01;t=0:pas:10;

22

senal=sin(10*pi*t)+cos(15*t+t.^2);%grafico de la senalejet=[0:pas:(length(senal)-1)*pas];subplot(4,1,1);plot(ejet,senal);axis([ min(ejet) max(ejet) min(senal) max(senal)]);xlabel(’t (s)’);title(’Grafico de la senal’)%espectro subplot(4,1,2);dim=length(senal)*pas;ejefrec=[0:1/dim:(length(senal)-1)/dim];spectr=abs(fft(senal));%espectro normalizado spectr=spectr/max(spectr);plot(ejefrec,spectr);axis([0 10 0 max(spectr)]);xlabel(’frecuencia (Hz)’);title(’Espectro de amplitud de la senal’)%frecuencia de muestreo sfrec=1/pas;%filtro de Butterworth de orden n n=6; Wn=[4 6]/(sfrec/2);%coeficientes del filtro[b,a]=butter(n,Wn);%convolucion del filtro con la senalysig=filter(b,a,senal);

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Referencias[1] Mari J.-L, Glangeaud, F., Coppens, F., 1997, Traitament du signal pour géologues et géophysiciens,

Éditions Technip.

[2] Soliman S.S., D.S. Mandyam, 1999, Señales y sistemas continuos y discretos, Prentice Hall.

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