señales_sistemas_2

7/31/2019 seales_sistemas_2

1/55

1

1.1 Filtros Pasivos

En esta primera parte vamos a presentar los conceptos bsicos desntesis para redes de uno y dos puertos.

Notas de Clase

www.ee.ucl.ac.ukDr. Yang YangDr. Anbal Fernndez

Esta gua de clase es slo para propsitosacadmicos y no reemplaza la bibliografa incluida

en el programa del curso.

2

Anlisis

3

Sntesis

4

Ejemplo 1


2/55

5

Ejemplo 1

6

Elementos para Sntesis

7

Circuitos Pasivos

8

Circuitos Activos


3/55

9

Filtros Digitales

10

Sntesis de Circuitos Pasivos

11

Funciones Realizables

12

Condiciones para Realizabilidad


4/55

13

Ejemplo 2

L114

Sntesis Cauer

La sntesis con Z(s) inicia con elemento

serie, la sntesis con Y(s) inicia conelemento en paralelo.

15

Ejemplo 3

16

Ejemplo 3

1234

343

1234

391312)(

23

2

23

23

+++

++=

+++

+++=

sss

ss

sss

ssssY

ss

ss

ss

ssssZ

34

12

34

1234)(

22

23

+

++=

+

+++=

122

12

34)(

2

++=

+

+=

s

ss

s

sssY

ss

ssZ

12

12)( +=

+=

ssY =)(


5/55

17

Ejemplo 4

18

Ejemplo 4

19

Ejemplo 4

20

Circuitos con Resistencia


6/55

21

Circuitos con Resistencia

42

12

2

7)(

+=

ssY

84

12

2

1)(

+=

s

ssY

Al dividir directamente,

Restando la admitancia de 1/2,

ss

ssZ

3

2

3

1

12

84)( +=

+=Se invierte y divide,

2

3)(

ssY =

Finalmente,

L2

Residuo Negativo

22

Diseo de Filtros

23

Pasa Bajos

24

Escalamiento de Impedancia


7/55

25

Escalamiento de Frecuencia

26

Caractersticas del Filtro

27

Filtro Butterworth

28

Filtro Chebychev


8/55

29

Filtro Elptico

30

Filtro Bessel

31

Comparacin de Respuestas

32

Filtros Tpicos LC

L3


9/55

33

Sntesis de Redes de dos Puertos LCCT(s) conocida

34

Sntesis con Carga Normalizada R = 1

35

Ejemplo 5

36

Ejemplo 5


10/55

37

Polinomios Butterworth

38

Filtro Butterworth

39

Ejemplo 6

40

Filtro Chebyshev


11/55

41

Filtros Chebyshev

42

Ejemplo 7

43

Transformaciones de Frecuencia

44

Pasa Bajo a Pasa Alto

En todas las transformaciones seusa el filtro pasa bajos normalizado.


12/55

45

Pasa Bajo a Pasa Banda

46

Pasa Bajo a Pasa Banda

47

Ejemplo 8

48

Pasa Bajo a Rechazo de Banda


13/55

49

Pasa Bajo a Rechazo de Banda

L4 50

1.2 Filtros Activos

En esta segunda parte vamos a presentar los conceptos bsicosdel diseo de filtros activos utilizando tres elementos: resistencias,condensadores y amplificadores operacionales.

Notas de Clase

www.ee.ucl.ac.uk

Dr. Yang Yang

Dr. Anbal Fernndez

51

Filtros Activos vs. Filtros Pasivos

52

Amplificador Operacional Ideal


14/55

53

Bloques Bsicos

54

Bloques Bsicos

55

Bloques Bsicos

56

Convertidores e Inversores de

Impedancia


15/55

57

Convertidor de Impedancia Negativa

58

Convertidor de Impedancia Negativa

59

Inversor de Impedancia Positiva(Gyrator Ecuacin General)

60

Realizacin del Gyrator


16/55

61


62


63

Ejemplo 1

L564

Circuitos Activos de dos Puertos:

Diseo de Filtros


17/55

65

Ejemplo 2

66

Secciones de Primer Orden

67

Secciones de Primer Orden

68

Secciones de Segundo Orden


18/55


19/55

73

Ejemplo 4

Es posible que la ganancia K

requiera un ajuste despus de losescalamientos.

74

Otros Circuitos Activos

75

Otros Circuitos Activos

L676

1.3 Filtros Digitales

En esta tercera parte vamos a presentar los conceptos bsicos deldiseo de filtros digitales.

Notas de Clase

www.ee.ucl.ac.uk

Dr. Yang Yang

Dr. Anbal Fernndez


20/55

77

Introduccin

78

Ejemplo 1

79

Ejemplo 1

80

Filtros No Recursivos y Recursivos


21/55

81

Filtros Recursivos y No Recursivos

82

Desde Continuo a Discreto

83


84



22/55

85

Ejemplo 2

86

Funcin de Transferencia

L7

87

Realizacin de Filtros Digitales

88

Transformaciones

No lineal

Derivar en Laplace es multiplicar por s , derivar en Z es multiplicarpor (1 z -1)/t, si la aproximacin es diferencia hacia atrs.

Aproximacin

lineal


23/55

89

Transformaciones

90

Ejemplo 3

91

Ejemplo 3

92

Localizacin de Polos


24/55

93

Localizacin de Polos

L894

2. Modelos de Sistemas Fsicos

En este captulo se discuten los modelos con ecuaciones diferencialesy ecuaciones de diferencias para s istemas elctricos, sistemas

mecnicos translacionales y sistemas mecnicos rotacionales.

95

Ecuaciones Diferenciales

Ecuacin diferencial E/S de orden N,

Requiere N condiciones iniciales:

Primer orden:

96

Circuito RC paralelo

Sistemas de Primer Orden

LCK:

Ecuacin diferencial E/S:

Carro en superficie plana Ecuacin diferencial E/S:

dt

tdytv

)()( =


25/55

97


% Creacin de los modelos LTIs=tf('s');sys1=(1)/(s+1);sys2=(1)/(s+2);sys3=(1)/(s+3);

sys4=(1)/(s+4);sys5=(1)/(s+5);% Comparacin de los sistemasbode(sys1,'g',sys2,'r',sys3,'y',sys4,'b',sys5,'b--');

0

1

)(

)(

assU

sY

+=

98


99

Masa-Resorte-Amortiguador

Sistemas de Segundo Orden

Ecuacin diferencial E/S:

Pndulo

Ejercicio:

- Obtener la ED

- Dibujar (t) para M = 1kg , L = 2m,

x(t) un escaln unitario.

ED E/S:

100


% Creacin de los modelos LTIs=tf('s');w=1;

q1=1;q2=100;q3=0.1;sys1=(1)/((s^2)+((w/q1)*s)+(w^2));

sys2=(1)/((s^2)+((w/q2)*s)+(w^2));sys3=(1)/((s^2)+((w/q3)*s)+(w^2));% Comparacin de los sistemas

bode(sys1,'g',sys2,'b',sys3,'r');

2

00

22

002 2

11

)(

)(

++

=

++

=ss

sQ

ssX

sY


26/55

101


102

En muchas aplicaciones la ecuacin d iferencial Entrada/Salida deun sistema se puede obtener usando las leyes de la fsica. Algunosejemplos son el circuito RC, el carro en superficie plana y el

pndulo.

Modelos de Sistemas Elctricos

103

Ejemplo 1: Circuito Elctrico

Para el circuito mostrado hallar la ecuac in diferencialentrada/salida

LVK:

Por definicin, la salida es: 104

Ejemplo 1: Circuito Elctrico

Las corrientes no aparecen en la ecuacin diferencial deentrada/salida, por lo tanto es necesario realizar algebra paraeliminarlas. El primer paso es derivar las ecuaciones obtenidascon la LVK para eliminar las integrales.

Combinando estas dos ecuaciones con la de salida se obtiene:


27/55

105

El movimiento en sistemas mecnicos se puede separar encomponentes translacional y rotacional. Se considera primerotranslacional.

Hay tres tipos de fuerza que se oponen al movimiento. La fuerzainercial, la fuerza de amortiguamiento debida a la friccin viscosa,

y la fuerza elstica.

Modelos de Sistemas Mecnicos - Translacin

Fuerza inercial:

Fuerza amortiguamiento:

Fuerza elstica:

106

Ejemplo 2: Sistema Mecnico Translacional

Considere el sistema de suspensin de un automvil. La masauno es la masa efectiva de la rueda y la masa dos es un cuarto lamasa del vehculo. Hallar la ecuacin diferencial entrada/salida.

107


108


Aplicando el principio de DAlembert, suma de fuerzas debe ser iguala cero para cada masa (incluida la fuerza inercial). Se obtiene:

Combinando estas dos ecuaciones para eliminar q(t) se produceuna ecuacin diferencial de orden cuatro.

L9


28/55

109

De manera anloga con los tres tipos de fuerza que se resisten almovimiento translacional, hay tres tipos de fuerzas que resisten elmovimiento rotacional.

Modelos de Sistemas Mecnicos - Rotacin

Torque inercial:

Torque de amortiguamiento:

Torque elstico:

Para sistemas rotacionales, el principio de DAlembert estableceque en cualquier instante de tiempo la suma de todos los torquesexternos aplicados a un cuerpo alrededor de su eje y todos los

torques que resisten el movimiento alrededor de ese eje debe sercero.110

Ejemplo 3: Sistema Mecnico Rotacional

Hallar la funcin de transferencia G(s) = Y(s)/Tm(s),

)()(

)()()()( 22

srsY

ssBssMrJsT

m

mmmmm

=

++=

111

Ejemplo 3: Sistema Mecnico Rotacional

))(()(2

mmmmBsMrsJsssT ++=

])[()(

)(2

mmmBsMrJs

r

sT

sY

++=

112

Ecuacin de Diferencias

Ecuacin de diferencias recursiva de orden N

Ecuacin de diferencias no recursiva,


29/55

113

Ejemplo 4: Ecuacin de Diferencias

Hallar y[n] para n = 0, 1, 2 , 3

Solucin:

114

Aproximacin de la Primera Derivada

T

nyny

dt

tdy

nTt

)()1()( +=

=

115

Aproximacin de la Segunda Derivada

Discretizando la segunda derivada,

Discretizando las primeras derivadas y agrupando,

116

Ejemplo 5: Nivel de Inventario

Considere un fabricante que produce un cierto producto. Sea y[n] el

nmero de productos al final del da n, sea p[n] el nmero deproductos fabricados en el da n, y sea d[n] el nmero de productos

entregados en el da n. Entonces el nmero de productos al final delda n obedece la ecuacin,

Definimos la entrada,

Despejando la salida,


30/55

117

Considere el siguiente sistema rotacional, se definen los siguientesparmetros y variables,

Para este ejercicio: [x(t)] = [(t)], [y(t)]= [(t)].

Ejemplo 6

118

1. Ecuacin Diferencial

Sabemos que hay tres tipos de fuerzas que resisten el movimiento rotacional,

Torque inercial:

Torque de amortiguamiento:

Torque elstico:

El principio de D Alembert establece que en cualquier instante de tiempo la

suma de todos los torques externos aplicados a un cuerpo alrededor de su eje y

todos los torques que resisten el movimiento alrededor de ese eje debe ser cero.

Segn la figura, el torque inercial es igual a la resta entre el torque aplicado y el

torque de amortiguamiento,

119

2. Ecuacin diferencial de entrada-salida

Para obtener la ecuacin diferencial de entrada-salida, despejamos la entrada

(t) y la dejamos en trminos de la salida (t),

3. Funcin de Transferencia en el dominio S

Teniendo la ecuacin diferencial del sistema rotacional:

La expresamos en el dominio s:

La funcin de transferencia estara dada por:

120

4. Funcin de Transferencia en el dominio Z

Para expresar la funcin de transferencia H(s) en el dominio Z, se utilizar el

mtodo de la transformacin bilineal:

Entonces tenemos que:

Por facilidad hacemos:


31/55

121

Ya teniendo que la ecuacin esta de la forma:

Entonces:

Por tanto los coeficientes de la transformada z estn dados por,

La transformada z es:

122

5. Ecuacin de diferencias

Teniendo la ecuacin de transferencia en el dominio Z:

Despejamos la salida (t):

Ahora hallamos la transformada z inversa:

Entonces nuestra ecuacin de diferencias es:

123

6.A. Salidas (t), s (t)=1, para t0

Con constantes arbitrarias J=1, B=2

Se realiza la simulacin en Matlab

num= 1;

den = [1 2 0];

t = 0:.02:5;

y = step(num,den,t);

plot(t,y)

timespec (num,den)

124

6.B. Salidas (n), s (n)=1, para t0

>> num= [1 2 0];

den = [5/2,4/5,0];

t = 0:.01:5;

y = step(num,den,t);

plot(t,y)

timespec(num,den)

L10


32/55

125

3. Ecuaciones de Estado

Los modelos considerados en el captulo anterior son representacionesmatemticas del comportamiento entrada/salida del sistema.

En este captulo se define un nuevo tipo de modelo, el cual seespecifica en trminos de una coleccin de variables que describen elcomportamiento interno del sistema. El modelo que se define entrminos de las variables de estado se denomina representacin envariables de estado.

126

Modelo de Estado

Considere un sistema causal en tiempo continuo con entrada v(t) ysalida y(t). En este captulo v(t) es la entrada en lugar de x(t) pueseste smbolo se utilizar para indicar el estado del sistema.

El estado del sistema en el tiempo t es un vector columna dado por,

Los componentes son las variables de

estado del sistema.

=

)(

.

.

)(

)(

)(

2

1

tx

tx

tx

tx

N

127

El sistema con estado x(t) se puede modelar por las ecuaciones deestado dadas por,

Ecuaciones de Estado

Donde,

)(.)(.)(

)(.)(.)(

tvdtxcty

tvbtxAtx

+=

+=&

[ ] dcccc

b

b

b

b

aaa

aaa

aaa

AN

NNNNN

N

N

..

.

.

.......

.....

..

..

21

2

1

21

22221

11211

=

=

=

128

Considere la ecuacin diferencial,

Ejemplo 1

Definimos las variables de estado,

Probar que la representacin en variables de estado es,

)()()()( 001 tvbtyatyaty += &&&

)()()()( 21 txtytxty == &

[ ]

=

+

=

)(

)(.01)(

)(.0

)(

)(.

10

)(

)(

2

1

02

1

102

1

tx

txty

tvbtx

tx

aatx

tx

&

&

Dibujar diagrama de bloques

Verificar en clase


33/55

129

Corresponde a la ecuacin diferencial,

Ejemplo 2

Hallar las variables de estado en trminos de y(t), dy(t)/dt y v(t).

Demostrar que la representacin de estado,

[ ]

=

+

=

2

1

10

2

1

102

1

.)(

)(.1

0.

10

x

xbbty

tvx

x

aax

x

&

&

)()()()()(0101

tvbtvbtyatyaty +=++ &&&&

Dibujar diagrama de bloques

130

se puede realizar por una interconexin de N integradores y unacombinacin de sumadores (+/-), y ganancias.

Los pasos del proceso de realizacin son: (i) por cada variable deestado, construir un integrador y definir su salida como xi(t). Si hay Nvariables de estado hay N integradores; (ii) Colocar un nodo de suma(+/-) frente a cada integrador, alimentar los nodos de suma con lasvariables de estado multiplicadas por ganancias, segn la

representacin de estado ; (iii) Alimentar unnodo de suma con las variables de estado y la entrada multiplicadas porganancias para realizar y(t) siguiendo .

Realizacin con Integradores

Cualquier sistema LIT dado por la representacin de estado,

)(.)(.)(

)(.)(.)(

tvdtxcty

tvbtxAtx

+=

+=&

131

Ejemplo 3

Considere la representacin de estado,

[ ]

=

+

=

2

1

21

2

1

2

1

2221

1211

2

1

.)(

)(..

x

xccty

tvb

b

x

x

aa

aa

x

x

&

&

132

Ejemplo 3

La ecuacin de salida,


34/55

133

Ejemplo 4

Hallar la representacin de estado desde la realizacin,

Escribir las ecuaciones de estado y mostrar que las matrices son,

[ ] 2112

1

01

31==

=

= dcbA

L11Verificar en clase

134

Solucin de la Ecuacin de Estado en Tiempo

Considere la representacin de estado,

La solucin de la ecuacin entrada estado es,

Donde,

Finalmente la salida es,

Matriz de Transicinde Estado

)(.)(.)(

)(.)(.)(

tvdtxcty

tvbtxAtx

+=

+=&

135

Solucin de la Ecuacin de Estado con Laplace

Transformando la representacin de estado al dominio de Laplace,

Despejando X(s),

Al comparar con la solucin en tiempo se observa que,

Reemplazando X(s) en la ecuacin de salida,

Matriz de Transicinde Estado

Polinomio caracterstico

I: Matriz Identidad

136

Solucin de la Ecuacin de Estado con Laplace

Cuando las condiciones iniciales son cero,

H(s) est dada por,

Nota:

la relacin siguiente se denomina matriz de transferencia,

Las matrices semultiplican en orden


35/55

137

Estabilidad

La estabilidad de un sistema es la habilidad para operar bajo unavariedad de condiciones sin auto destruirse. Para sistemas lineales unsistema es estable si cumple alguna de estas dos condiciones: (i) el

sistema regresa al punto de equilibrio despus de un desplazamientoarbitrario desde el equilibrio; (ii) el sistema produce una salida acotada

para cualquier entrada acotada.

La habilidad del sistema para regresar a l equilibrio tiene que vercon la respuesta natural [v(t) = 0],

Las races si del polinomio caracterstico det (sI A) determinan

el tipo de estabilidad como sigue. 138

Estabilidad

Un sistema se dice asintticamente estable, si para cualquier es tado

inicial x(0), x(t) 0, cuando t .

Condicin Implicacin

139

Controlabilidad y Observabilidad

Todo sistema ,

1. Controlable, observable

2. No controlable, observable

3. Controlable, no observable

4. No controlable, no observable

Se puede dividir, con la transformacinde Kalman, en cuatro subsistemas

desacoplados:

Note que los cuatro subsistemasestn desacoplados entre s.

)(.)(.)(

)(.)(.)(

tvdtxcty

tvbtxAtx

+=

+=&

Este ejemplo es para 4 v ariablesde estado.

140

Pruebas de Controlabilidad y Observabilidad

Definicin de controlabilidad:un sistema se dice controlable si y s lo sies posible, por medio de la entrada, transferir el sistema desdecualquier estado inicial x(0) a cualquier otro estado x(t) en un tiempofinito.

Un sistema LIT en representacin de estado es controlable si y slo siel rango de la matriz de controlabilidad Mc es N, el orden del sistema.

Definicin de observabilidad:un sistema no forzado se dice observab lesi y slo si es posible determinar cualquier estado inicial x(0), usandosolamente un registro finito, y(t) de la salida.

Un sistema LIT en representacin de estado es observable si y slo si

el rango de la matriz de observabilidad Mo es N, el orden del sistema.

T: Transpuesto

= BAABBM N

c

1...

= TNTTTT

oCACACM

1)(...


36/55

141

Ejemplo 5

Considere el sistema LIT,

La representacin de estado correspondiente,

Determinar si el sistema es controlable y observable. Es estable?

uxxxxx

uxxxx

uxxx

uxxxxx

=

+=

=

++++=

43214

3213

212

43211

5222

2422

232

232

&

&

&

&

[ ]2467

1

2

2

1

5222

0422

0032

1232

=

=

= CBA

Dado

142

Ejemplo 5

El rango de la matriz de controlabilidad es 2 (determinante cero) por lotanto el sistema no es controlable.

El rango de la matriz de observabilidad es 2 (determinante cero) por lotanto el sistema no es observable.

Cuando hay cancelacin de polos y ceros se pierde controlabilidad yobservabilidad del modo (valor propio) eliminado.

=

=

27931

541862

281042

1111

...1BAABBM

N

c

=

=

9532

181064

271596

2816107

)(...1 TNTTTT

o CACACM

143

Ejemplo 5

El polinomio caracterstico es,

)32105)(5(23 ++++ ssss

Con races (valores propios),

4.4

5

68.23.0

4

3

2,1

=

=

=

s

s

js

L12 144

Sistemas en Tiempo Discreto

Un sistema LIT en tiempo discreto con p entradas y r salidas sepuede modelar por las ecuaciones de estado,

Donde,

][][][

][][]1[

nDvnCxny

nBvnAxnx

+=

+=+

=

=

=

][:

][

][

][

][

][:

][

][

][

][

][:

][

][

][

][3

2

1

3

2

1

3

2

1

ny

ny

ny

ny

ny

nv

nv

nv

nv

nv

nx

nx

nx

nx

nx

rpN


37/55

145

Construccin de los Modelos de Estado

Considere un sistema LIT en tiempo discreto que obedece laecuacin de diferencias,

Se definen las variables de estado,

El modelo resultante es,

Verificar

=

=+++1

0

][][][N

i

inbvinyaNny

1...,2,1,0];[][1

=+=+ Niinynxi

[ ]0...001

0

:

0

0

...

1...000

::..:::

0...100

0...010

1210

=

=

=

C

b

B

aaaa

A

N

146

Construccin de los Modelos de Estado

Si se modifica el lado derecho de la ecuacin de diferencias parahacerla mas general,

El nuevo modelo es, Verificar

[ ]1210 ...

1

0

:

0

0

=

= NbbbbCB

=

=

+=+++1

0

1

0

][][][N

i

N

i

ii invbinyaNny

=

1210 ...

1...000

::..:::

0...100

0...010

Naaaa

A

147

Realizacin con Retrasos Unitarios

Un sistema en tiempo discreto que sigue la representacin deestado discreta se puede realizar con N elementos de retraso,nodos de suma (+/-), y ganancias. El procedimiento es anlogo alcaso continuo.

Ejemplo 6

Dibujar la realizacin del sistema,

n: muestra

N: orden

148

Ejemplo 6

Las ecuaciones en forma matricial son,

La realizacin es,: retraso

+

=

+

=

+

+

+

][

][

][

010

000

][

][

][

101

010

][

][

][

][

][

100

010

101

][

][

][

010

001

010

]1[

]1[

]1[

3

2

1

3

2

1

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

nv

nv

nv

nx

nx

nx

ny

ny

nv

nv

nv

nx

nx

nx

nx

nx

nx


38/55

149

Solucin de la Ecuacin de Estado en Tiempo

Dada la representacin de estado,

Se obtiene x[n] de manera recursiva,

Reemplazando en la salida,

150

Solucin de la Ecuacin de Estado con Transformada Z

Transformando la representacin de estado al dominio z,

Despejando,

Al comparar con la solucin en tiempo se observa,

Reemplazando X(z) en la ecuacin de salida,

Matriz de Transicin de Estado

151

Solucin de la Ecuacin de Estado con Transformada Z

Cuando las condiciones iniciales son cero,

H(z) est dada por,

la relacin siguiente se denomina matriz de transferencia,

Matriz de Transferencia

152

Discretizacin

Dada la representacin general de estado de un sistema entiempo continuo,

Nitxtxtxftx Nii ,...,2,1))(),...,(),(()( 21 ==&

NinxnxnxftnxnxNiii

,...,2,1])[],...,[],[(.][]1[21

=+=+

Se puede hallar su versin discreta aproximado la derivada,

Donde t o T es el perodo de muestreo.


39/55

153

Conclusin

El modelo de un sistema fsico se puede representar detres formas:

1. Ecuacin (diferencial o diferencias) Entrada Salida

2. Funcin de Transferencia (s, z)

3. Variables de Estado

- Este es el tro en Seales & Sistemas para tiempocontinuo y tiempo discreto -

L13 154

4. Funcin de Transferencia y

Diagrama de Bloques

En este captulo se aplica la transformada de Laplace para estudiarsistemas LIT. El desarrollo inicia con sistemas definidos por la ecuacin

diferencial entrada/salida. Una descripcin en el dominio s del s istemase obtiene al tomar la transformada de Laplace del sistema. Esteprocedimiento permite resolver la ecuacin diferencial de maneraalgebraica y realizar un anlisis mediante diagramas de bloques.

155

Caso de Primer Orden

Considere la ecuacin diferencial entrada/salida para un s istema LIT,

y(t) es la salida, x(t) es la entrada, a y b son constantes. Tomandotransformada de Laplace y despejando la sa lida Y(s),

156

Caso de Primer Orden

La funcin H(s) se denomina funcin de transferencia del sistema puesdefine la transferencia desde la entrada a la salida en el dominio s.

La funcin de transferencia se define como,

Por lo tanto,

Para condicin inicial cero, se tiene:


40/55

157

Ejemplo 1

La ecuacin diferencial entrada/salida del circuito es,

Para el circuito RC mostrado, hallar y(t) usando la transformada de

Laplace para x(t) = u(t) , la condicin inicial cero.

Transformando,

158

Ejemplo 1

La transformada inversa,

Aplicando la condicin inicial y la entrada,

Esta es la respuesta al escaln para un circuito RC cuando no hayenerga inicial.

159

Caso de Segundo Orden


y(t) es la salida, x(t) es la entrada, y a0 , a1 , b0 , b1 son constantes.Tomando transformada de Laplace y despejando la sa lida Y(s),

160

Caso de Segundo Orden

La funcin H(s) se denomina funcin de transferencia del sistema pues

define la transferencia desde la entrada a la salida en el dominio s.

La funcin de transferencia se define como,

Si la condicin inicial es cero, se tiene:


41/55

161

Ejemplo 2

Hallar y(t) si x(t) = u(t) , no hay energa almacenada. La funcin detransferencia es,

Considere el sistema dado por la ecuacin diferencial entrada/salida,

Aplicando la entrada y resolviendo para Y(s),

162

Ejemplo 2

Repetir el ejemplo para x(t) = u(t), y(0 -) = 1, dy(0-)/dt = 2.

Aplicando transformada inversa,

Solucin,

Verificar

163

Caso de Orden N


M N, y(t) es la salida, x(t) es la entrada, los ai y bi son constantes. Se

asume que x(i) (0-) = 0 para i = 0, 1, 2, , M-1. Tomando transformadade Laplace,

164

Caso de Orden N

En condiciones iniciales cero,

La funcin de transferencia H(s) es una funcin racional de orden Ndada por,


42/55

165

Ejemplo 3

La funcin de transferencia H(s) se puede calcular directamente enalgunos casos como se ilustra a continuacin. Dado el circuito,

Se dibuja nuevamente pero en el dominio s ,

166

Ejemplo 3

La impedancia equivalente de C1 en paralelo con la combinacin serie L 2y C2 es,

167

Ejemplo 3

Por divisin de tensin el voltaje en C1,

Finalmente, como Y(s) = C1sV1(s),

L14 168

Funcin de Transferencia Desde Diagrama de Bloques

Un sistema LIT se especifica algunas veces por un diagrama de

bloques, cada bloque es una funcin de transferencia. Los bloques sepueden pensar como subsistemas. La funcin de transferencia de un

sistema dado por el diagrama de b loques se obtiene combinando losbloques.

Conexin Paralelo


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169

Funcin de Transferencia de Diagramas de Bloques

Conexin Serie

170

Funcin de Transferencia de Diagramas de Bloques

Conexin Realimentacin

171

Reduccin de Diagramas de Bloques

Los puntos de conexin y los nodos de suma/resta se pueden movercomo se muestra a continuacin,

Equivalente172

Reduccin de Diagramas de Bloques


44/55

173

Ejemplo 4

Hallar analticamente la funcin de transferencia para la realizacin envariables de estado mostrada,

En el dominio s,

174

Ejemplo 4

Escribiendo las relaciones del diagrama de bloques,

En el dominio s,

175

Ejemplo 4

Reemplazando Q2(s) en la ltima ecuacin,

Despejando la funcin de transferencia,

176

Ejemplo 5

Utilizar reduccin de bloques para hallar la funcin de transferencia delsistema mostrado,

Paso 1: mover nodo para formar retroalimentacin,


45/55

177

Ejemplo 5

Paso 2:reemplazar retroalimentacin,

Paso 3: mover nodo hacia sumador de salida,

178

Ejemplo 5

Paso 4:reemplazar retroalimentacin,

Paso 3: funcin de transferencia,

L15

179

5. Realimentacin & Control

Una de las mayores aplicaciones del marco conceptual alrededor de la

funcin de transferencia es en control.

Un problema tpico en control consiste en forzar la salida de un sistema

para que sea igual a la seal de referencia deseada. Este tipo deproblemas aparecen en una multitud de aplicaciones como control

industrial y automatizacin donde un objetivo puede ser e l controlar laposicin o velocidad de un objeto fsico.

180

Lazo Abierto

En muchas aplicaciones, el objetivo es forzar la salida y(t) del sistema

para que siga una seal r(t), llamada seal de referencia. Para ello hayque disear una entrada x(t) de tal forma que la salida y(t) siga la

referencia r(t). La seal x(t) se denomina entrada de control.

Algunas veces la referencia r(t) es una constante r0

, la cual se

denomina set point. El objetivo es encontrar la entrada x(t) para quey(t) = r0 para todo t.

Considere un sistema en tiempo continuo causal LIT con entrada x(t) y

salida y(t). El sistema est dado por la funcin de transferencia Gp(s),donde el subndice p denota planta,


46/55

181

Ejemplo 1: Control en Lazo Abierto

donde x(t) es la entrada, y(t) la posicin del carro. En trminos develocidad v(t) la ecuacin se reduce a,

Considere un carro desplazndose en una superficie plana y que

obedece la ecuacin diferencial de en trada/salida,

La funcin de transferencia para el modelo de velocidad es,

182

Ejemplo 1: Control en Lazo Abierto

Tomando transformada inversa de Laplace,

Suponga que v(0) = 0, hallar la entrada de control x(t) para que v(t) = v0para todo t >0. Reemplazando la salida deseada y despejando laentrada,

Note que x(t) es funcin slo de la referencia, por ello se denominacontrol de lazo abierto. Este control no se puede realizar en la prcticapues contiene un impulso. Un x(t) no impulsivo se puede obtener alrelajar la exigencia sobre la salida, v(t) v0 , t .

183

Lazo Abierto Perturbacin

Considere el diagrama de bloques,

En lazo abierto, r(t) se aplica al controlador o compensador Gc(s) yluego la salida de este se aplica a la planta. La seal d(t) es una

perturbacin (ruido). La salida de la planta est dada por,

Esta estructura se denomina lazo abierto, pues la seal de control x(t)

no depende de la sa lida de la planta. Un problema mayor con el lazoabierto es que la salida de la planta y(t) es perturbada por e l ruido d(t),la seal x(t) no puede compensar este efecto.

184

Lazo Cerrado

Para reducir el efecto de las perturbaciones, es necesario que laseal de control x(t) dependa directamente de la salida de la plantay(t). Esto requiere que y(t) sea medible usando algn tipo de sensor,para comparar la salida con la referencia r(t). El error est dado por,

El error se puede retroalimentar para calcular la seal x(t). En generalla seal de error e(t) se aplica al controlador Gc(s) para producir laseal x(t). Esta estructura se denomina sistema de lazo cerrado.


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185

Control Proporcional Integral Derivativo

)(. tekp t

idek

0

).(. dt

tdekd

)(.

186

Ejemplo PID

187

Control de Temperatura Lazo Cerrado

L16 188

Lugar de las Races


48/55

189

Lugar de las Races

Nuevamente considere el sistema de control retroalimentado confuncin de transferencia T(s),

La funcin de transferencia del lazo cerrado mostrado est dadapor,

Realimentacin Unitaria,H(s) = 1

190

Lugar de las Races

El producto Gp(s)Gc(s) se puede escribir como,

donde se asume que la funcin de transferencia Gp(s) tiene Npolos y el controlador Gc(s) tiene q polos. El total de ceros es lasuma de los ceros de la planta y del controlador. No haycancelaciones polo cero.

Reemplazando Gp(s).Gc(s) en la frmula de lazo cerrado, vemosque los polos del lazo cerrado son las N + q races de la ecuacin,

191

Lugar de las Races

Como la caracterstica del error en lazo cerrado e(t) = r(t) y(t)depende de la localizacin de los polos; en el diseo de sistemasretroalimentados es importante conocer la localizacin de los polos al

variar K sobre un rango de valores.

Esto lleva al lugar de las races; en el plano complejo se dibuja lalocalizacin de los N + q polos al variar K desde 0 a . En laconstruccin del lugar de las races, la constante K se denomina

ganancia del lugar de las races.

192

Lugar de las Races

Como hay N + q polos de lazo cerrado, el lugar de las races tiene N +q ramas, donde cada rama corresponde al mov imiento en el planocomplejo de un polo de lazo cerrado cuando K cambia desde 0 hasta

.

Al incrementar K las ramas del lugar de las races parten (K = 0) desdelos polos de Gp(s)Gc(s), una rama por polo. En el lmite K , r de lasramas se mueven hacia r de los ceros de Gp(s)Gc(s), las otras ramastienden a infinito.


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193

Lugar de las Races

Un punto p en el plano complejo pertenece al lugar de las races si

satisface la ecuacin,

De manera equivalente,

Despejando magnitud y ngulo,

194

Lugar de las Races - LR

El lugar de las races ilustra el desplazamiento de los polos de la funcinde transferencia de lazo cerrado (polinomio caracterstico) cuando laganancia toma valores desde cero hasta infinito.

Para obtener el lugar de las races del lazo cerrado se usa la funcin detransferencia del lazo abierto G(s).H(s); G(s) incluye Gp(s).Gc(s).

0)().(1 =+ sHsGPolinomio caracterstico:

)()(1

)(

)(

)()(

sHsG

sG

sR

sYsT

+==

195

Ejemplo - LR

Considere la funcin de transferencia de lazo abierto,

Dibujar una aproximacin manual al lugar de las races cuando la gananciaK tiende a infinito desde cero.

Para dibujar manualmente el lugar de las races, los Ingenieros de Controlhan formulado una serie de reglas derivadas de la ecuacin,

0)().(1 =+ sHsG

A continuacin se ilustran algunas reglas.196

Ejemplo - LR

1. El lugar de las races es simtrico con respecto al eje real, sedibujan los polos y ceros de lazo abierto.


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197

Ejemplo - LR

2. Las ramas del lugar de las races inician en los polos de lazo abierto(K= 0) y terminan en los ceros de lazo abierto o infinito sino hay (K ).En este ejemplo, no hay ceros, entonces todas las ramas terminan eninfinito.

3. Los segmentos del eje real con un nmero impar de (polos + ceros)reales a la derecha son parte del lugar de las races.

198

Ejemplo - LR

4. El nmero de ramas del lugar de las races es igual al nmero depolos de lazo abierto, en este caso son 4.

5. Las ramas que tienden hacia infinito lo hacen siguiendo las asntotasque forman ngulo con el eje real,

El punto de interseccin de las asntotas con el eje real obedece,

199

Ejemplo - LR

200

Ejemplo - LR

6. Los puntos de ruptura (los polos salen o entran al eje rea l) estndados por las races de la ecuacin,

Para nuestro caso,

En el punto -2.3 del eje real hay ruptura pues las dos ramas en el ejereal s = 0 y s = -3 se encuentran.


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201

Ejemplo - LR

202

Trabajo Fuera de Clase

Estudiar las siguientes reglas:

1. Regla para calcular el ngulo de salida de los polos complejosconjugados cuando buscan las asntotas.

2. Regla para calcular el punto de cruce con el eje imaginario y laganancia correspondiente.

L17

203

6. Linealizacin

En los ejemplos utilizados para docencia en ingeniera, normalmentelos elementos se asumen lineales. En la prctica, muchos elementosson no lineales y se pueden considerar lineales solamente en un rangolimitado de condiciones de operacin.

Cuando el analista encuentra un modelo matemtico que contiene nolinealidades tiene tres opciones: (i) resolver la ecuacin diferencialdirectamente; (ii) hallar una aproximacin lineal, linealizacin, que sepueda analizar; (iii) obtener soluciones numricas (simulaciones) paracasos especficos. En este captulo se presenta el enfoque de

linealizacin.

204

Linealizacin de Elementos

El objeto de la linealizacin es hallar un modelo lineal cuya respuesta

sea aproximada a la del modelo no lineal. En general, las respuestasde los modelos lineal y no lineal son distintas pero para un conjunto de

condiciones iniciales y entradas la aproximacin puede sersatisfactoria. Vamos a estudiar la linealizacin de la ley de un elementoque es funcin no lineal de una variable. Por ejemplo, para un resorteno lineal: x es la longitud, f(x) es la fuerza, x0 es la longitud en reposo.


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205


Se puede realizar la linealizacin de la ley del elemento con respecto aun punto de operacin indicado porx yf . Por el momento vamos asuponer que los valores en el punto de operacin son conocidos. Esposible escribir x(t) como la suma de un valor constante en el punto deoperacin, y una porcin variable as,

El trmino constante se denomina valor nominal de x, y la componentevariable se denomina variable incremental. Similarmente, la funcin sepuede escribir como la suma de dos trminos,

206


207

Expansin en Serie

La funcin f(x) se puede expresar en trminos de su expansin en serie

de Taylor alrededor del punto de operacin (x, f ). Esta expansin es,

Podemos calcular los primeros dos trminos de esta expansin dadoque f y su primera derivada tengan algn valor finito para x = x.Buscamos una aproximacin lineal a la curva, as que ignoramostrminos de orden superior. Por lo tanto escribimos,

208

Ejemplo 1

Hallar la expansin en serie de Taylor de primer orden para la funcin

f(x) = exp (x).

Solucin:x

exf =)(

La expansin en Taylor de primer orden es,

xkxf

xxdx

xdfxfxf

x

)(

)()(

)()(

=

+=

Reemplazando,

xexf

xxexf

x

x

x

)(

)()(

=

=Explicar


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209

Ejemplo 2

Un resorte translacional no lineal obedece la re lacin fuerza desplazamiento f(x) = x x , donde x es la enlongacin del resortedesde el reposo. Hallar la ley linealizada del elemento para x = [-1, 0,1, 2].

Solucin:Escribimos f(x) como

Finalmente, la aproximacin lineal para el resorte es,

La pendiente de la tangente en el punto de operacin es,

210

Ejemplo 2

El coeficiente k se puede pensar como la constante efectiva del resortecuyo valor numrico depende de la enlongacin nominal x.Reemplazando los cuatro valores dados se obtiene la tabla,

Note que el valor de la constante del resorte k depende fuertemente de

la localizacin del punto de operacin.

L18

211

Linealizacin del Modelo

Ahora vamos a incorporar una o ms leyes de elementos linealizadas

en el modelo del sistema. Iniciando con el modelo no lineal tenemoscuatro pasos:

1. Hallar el punto de operacin (equilibrio) del modelo, resolviendo lasecuaciones algebraicas correspondientes.

2. Reemplace todos los trminos no lineales por los primeros dostrminos de la expansin en serie de Taylor, esto es, la constante y

el trmino lineal.

3. Escriba todos los trminos lineales (incluso la entrada) en el modelo

como la suma de las variables nominal (punto de operacin) eincremental, note que la derivada de las constantes es cero.

4. Usando las ecuaciones algebraicas que definen el punto deoperacin, cancele los trminos constantes en las ecuacionesdiferenciales, dejando slo trminos lineales en variablesincrementales.

212

Linealizacin del Modelo

Para todas las situaciones consideramos que el punto de operacin delsistema es un punto de equilibrio donde cada variable es constante eigual a su valor nominal y todas sus derivadas son cero. Las entradastoman valores nominales, los cuales son tpicamente sus valorespromedio.

Por ejemplo, si la entrada es u(t) = A + B sen t, entonces el valornominal se toma comou = A.

En estas circunstancias, las ecuaciones diferenciales se reducen aecuaciones algebraicas que podemos resolver para hallar el punto de

operacin.

La solucin del modelo linealizado requiere condiciones iniciales para

las variables incrementales. Si estas no se incluyen en el enunciadodel problema, se pueden obtener del modelo no lineal.


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217

Ejemplo 4

ngulo pequeo

ngulo grande

L19

señales_sistemas_2

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