TRATAMIENTO DE

SEÑALES Resumen de asignatura

Dania Largo Jaimes danialargo@unisangi.edu.co

Nota Este documento es una guía temática del contenido de la asignatura Tratamiento de

Señales, no debe ser tomado como única fuente de estudio ya que su contenido es limitado, no contiene ejemplos. Se invita a los estudiantes a revisar la bibliografía de

referencia y profundizar acerca los temas.

Contenido 1. Representación de señales ................................................................................................................................. 3

1.1. Señales en tiempo continuo y señales en tiempo discreto ................................................................... 3

1.2. Señales periódicas y aperiódicas ............................................................................................................. 3

1.3. Señales de energía finita y de potencia media finita ............................................................................ 3

1.4. Transformaciones de la variable independiente ................................................................................... 3

1.4.1. Desplazamiento ..................................................................................................................................... 3

1.4.2. Reflexión................................................................................................................................................. 4

1.4.3. Escalado temporal ................................................................................................................................. 4

1.5. Señales elementales ................................................................................................................................... 4

1.5.1. Función escalón unitario ...................................................................................................................... 5

1.5.2. Función rampa ...................................................................................................................................... 6

1.5.3. Función impulso unitario .................................................................................................................... 6

2. Sistemas en tiempo continuo ............................................................................................................................. 7

2.1. Clasificación de los sistemas de tiempo continuo ................................................................................. 7

2.1.1. Sistemas lineales y no lineales ............................................................................................................. 7

2.1.2. Sistemas variantes e invariantes con el tiempo ................................................................................. 7

2.1.3. Sistemas con memoria y sin memoria ................................................................................................ 8

2.1.4. Sistemas causales .................................................................................................................................. 8

2.1.5. Sistemas invertibles y sistema inverso ............................................................................................... 8

2.1.6. Sistemas estables ................................................................................................................................... 8

2.2. Sistemas lineales e invariantes con el tiempo ........................................................................................ 8

2.2.1. La integral de convolución .................................................................................................................. 8

2.2.2. Interpretación gráfica de la convolución ........................................................................................... 9

2.3. Propiedades de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo .................................................... 11

2.3.1. Propiedad de memoria de los sistemas LTI .................................................................................... 11

2.3.2. Sistemas LTI causales ......................................................................................................................... 11

2.3.3. Sistemas LTI invertibles ..................................................................................................................... 11

2.3.4. Sistemas LTI estables .......................................................................................................................... 11

2.4. Sistemas descritos por ecuaciones diferenciales ................................................................................. 11

2.4.1. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes ...................................................... 11

2.4.2. Respuesta al impulso de sistemas descritos mediante EDCC ...................................................... 13

2.4.3. Propiedades ZXXXXXXX ................................................................................................................... 13

2.4.4. Componentes básicos de los sistemas .............................................................................................. 13

3. Transformada de Laplace ................................................................................................................................ 13

3.1. Transformada bilateral de Laplace ....................................................................................................... 13

3.2. Transformada unilateral de Laplace ..................................................................................................... 14

3.3. Propiedades de la transformada unilateral de Laplace ..................................................................... 15

3.4. Transformada inversa de Laplace ......................................................................................................... 15

3.4.1. Expansión en fracciones parciales .................................................................................................... 16

3.5. Solución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace.................................. 17

3.2. Estabilidad en el dominio s .................................................................................................................... 17

Señales

1. Representación de señales Las señales son magnitudes físicas o variables detectables mediante las que se pueden transmitir mensajes

o información, una señal es representada matemáticamente como una función de una o más variables

independientes . Existe una gran variedad de señales que son de importancia práctica en la descripción de

fenómenos físicos. Algunos ejemplos son la voz humana, las imágenes de televisión, la temperatura

atmosférica o las señales electricas que constituyen el tipo de señales que se pueden medir con más facilidad.

1.1. Señales en tiempo continuo y señales en tiempo discreto Según la naturaleza de la variable independiente una señal puede ser clasificada como señal en tiempo

continuo si está definida para valores continuos de la variable independiente o como señal discreta si la

variable independiente toma sólo valores discretos � = ���, siendo �� un número real positivo fijo y � un

número entero (� = 0,±1,±2,… , etc).

Figura 1. a. Ejemplo de señal en tiempo continuo. b. Ejemplo de señal en tiempo discreto.

1.2. Señales periódicas y aperiódicas Una señal en tiempo continuo es periódica siempre que satisfaga la condición

�(�) = �(� + ��),� = 1,2,3, …

siendo � > 0 una constante denominada período fundamental.

Si una señal �(�) no es periódica se denomina señal aperiódica.

1.3. Señales de energía finita y de potencia media finita

1.4. Transformaciones de la variable independiente

1.4.1. Desplazamiento La señal �(� − ��) es una versión de la señal �(�) desplazada en el tiempo. El desplazamiento temporal es

��. Si �� > 0, la señal está retrasada �� segundos. Físicamente �� no puede tomar valores negativos, pero

desde el punto de vista analítico, �(� − ��) para �� < 0 representa una réplica adelantada de la señal �(�).

�[�]

� 0

�(�)

� 0

Figura 2. Operación de desplazamiento.

1.4.2. Reflexión La señal �(−�) se obtiene a partir de la señal �(�) mediante reflexión sobre � = 0.

Figura 3. Operación de reflexión.

1.4.3. Escalado temporal La señal �(

�

��) donde �y� son enteros positivos, puede describirse como �(�) contraída en un factor � y

expandida en un factor �.

Figura 4. Operación de escalado temporal.

1.5. Señales elementales Existen varias señales elementales importantes que sirven como base para representar otras señales, dentro

de ellas es muy importante mencionar las siguientes:

�(�)

� 0 −�� ��

�(� − ��)

� 0 �� − �� �� + �� ��

� �

�(�)

� 0 −��

�

��

�(−�)

� 0 ��

�

−��

�(�)

� 0 −�� ��

�

�(2�)

� 0 −��

2

��2

�

�(� 2⁄ )

� 0 −2�� 2��

�

1.5.1. Función escalón unitario

Figura 5. Función escalón unitario.

El escalón unitario en tiempo continuo se define como

�(�) = �1,� > 00,� < 0

La función escalón unitario es continua para todo � excepto � = 0, en donde hay una discontinuidad.

A partir de la función escalón unitario se puede expresar la señal pulso rectangular como la diferencia entre

dos funciones escalón desplazadas apropiadamente.

�rect ��

2�� = �[�(� + �) − �(� − �)]

Figura 6. Pulso rectangular.

La función signo (denotada sgn), se define como

sgn� = �1,� > 00,� = 0−1,� < 0

En términos de la función escalón unitario la función signo se puede expresar como

sgn� = −1 + 2�(�)

�(�)

� 0

1

�rect ��

2��

� 0 −� �

�

1.5.2. Función rampa

Figura 7. Rampa

La función rampa se define como

�(�) = ��,� ≥ 00,� < 0

Esta función se obtiene integrando la función escalón unitario

� �(�)���

��

= �(�)

1.5.3. Función impulso unitario

Figura 8. Impulso unitario.

La señal impulso unidad �(�) se denomina frecuentemente delta de Dirac o simplemente delta.

Matemáticamente, la función delta de Dirac se define así

� �(�)�(�)����

��

= �(0),�� < 0 < ��

La función �(�) se representa gráficamente con una flecha en el origen. Posee las siguientes propiedades:

1. �(0) → ∞

2. �(�) = 0, � ≠ 0

3. ∫ �(�)���

��= 1

4. �(�) es una función par, es decir �(�) = �(−�)

Propiedades que se obtienen al operar con el impulso unitario

Propiedad de desplazamiento

� �(�)�(� − ��)����

��

= �(��)

�(�)

� 0

1

�(�)

� 0

� �(� − ��)�(�)����

��

= �(−��)

Propiedad de muestreo

�(�)�(� − ��) = �(��)�(� − ��)

Propiedad de escalado

�(�� + �) =1

|�|� �� +

�

��

2. Sistemas en tiempo continuo

Un sistema es una planta o proceso que produce una respuesta llamada salida (output) como respuesta a

una excitación denominada entrada (input). Si las señales de entrada y salida de un sistema son escalares

se trata de un sistema SISO (single-input single-output). Si las señales de entrada y salida de un sistema son

vectores, el sistema es llamado MIMO (multple-input multiple-output). También existen sistemas SIMO y

MISO que se definen de manera similar.

2.1. Clasificación de los sistemas de tiempo continuo

2.1.1. Sistemas lineales y no lineales Se dice que un sistema es lineal si cumple con el principio de superposición, es decir que cumple con las

siguientes propiedades

1. Aditividad: la respuesta de un sistema excitado por la suma algebraica de entradas independientes

es la suma algebraica de las respuestas individuales del sistema a cada entrada.

2. Homogeneidad: la salida de un sistema a entradas simples e independientes es proporcional a la

entrada.

Matemáticamente, el principio de superposición se puede enunciar como sigue: sea ��(�) la respuesta de

un sistema a la entrada ��(�), e ��(�) la respuesta correspondiente a la entrada ��(�). El sistema es lineal si:

1. La respuesta a ��(�) + ��(�) es ��(�) + ��(�) y

2. La respuesta a ���(�) es ���(�), siendo � una constante arbitraria.

Estas dos propiedades se pueden combinar en una sola:

���(�) + ���(�) = ���(�) + ���(�)

2.1.2. Sistemas variantes e invariantes con el tiempo Se dice que un sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento temporal de la señal de entrada

causa un desplazamiento temporal idéntico en la señal de salida. Concretamente, si �(�) es la salida

correspondiente a la entrada �(�), un sistema invariante con el tiempo producirá como salida �(� − ��) ante

una entrada �(� − ��).

Sistema en tiempo

continuo Entrada Salida

El procedimiento para comprobar si un sistema es invariante con el tiempo se resume en los siguientes

pasos:

1. Sea ��(�) la salida correspondiente a ��(�).

2. Se considera una segunda entrada, ��(�), obtenida desplazando ��(�).

��(�) = ��(� − ��).

3. Se encuentra la salida ��(�) correspondiente a la entrada ��(�).

4. Se desplaza ��(�), es decir se obtiene ��(� − ��)y se compara con ��(�).

5. Si ��(�) = ��(� − ��), el sistema es invariante con el tiempo. Caso contrario es variante.

2.1.3. Sistemas con memoria y sin memoria En la mayoría de los sistemas, las entradas y las salidas son funciones de la variable independiente. Se dice

que un sistema es sin memoria o instantáneo, si el valor actual de la salida depende solamente del valor

actual de la entrada.

2.1.4. Sistemas causales Un sistema es causal, no anticipativo, si la salida en cualquier instante �� depende sólo de los valores de la

entrada para � < ��.

2.1.5. Sistemas invertibles y sistema inverso Se dice que un sistema es invertible si observando la salida se puede determinar la entrada. Es decir, se

puede construir un sistema inverso que cuando se coloca en cascada con el sistema original produce una

salida igual a la entrada del sistema original.

Figura 9. Concepto de sistema inverso.

2.1.6. Sistemas estables Aunque se pueden definir varios tipos de estabilidad, a continuación se considera sólo un tipo denominado

estabilidad BIBO (Bounded-input Bounded-output, entrada acotada salida acotada). La estabilidad BIBO se

refiere al comportamiento de la respuesta cuando se aplica una entrada acotada, si la entrada a un sistema

estable es limitada (es decir, si su magnitud no crece en forma ilimitada), entonces la salida también debe

ser limitada y por tanto, no divergir.

2.2. Sistemas lineales e invariantes con el tiempo Muchos de los fenómenos físicos se pueden modelar mediante sistemas lineales e invariantes con el tiempo

y además el análisis matemático del comportamiento de esos sistemas se puede realizar por procedimientos

directos.

2.2.1. La integral de convolución La convolución entre dos funciones es un concepto físico importante en muchas ramas de la ciencia. Sin

embargo, como sucede con muchas relaciones matemáticas importantes, no es sencillo comprender sus

alcances e implicaciones. Para el caso de sistemas lineales e invariantes en el tiempo, la integral de

convolución permite determinar la respuesta del sistema ante cualquier entrada, a partir del conocimiento

de la respuesta del sistema ante una única entrada particular, el impulso. Si la respuesta del sistema ante

un impulso (la “respuesta impulsiva” del sistema) se nota como ℎ(�) , la salida de un sistema lineal e

invariante en el tiempo (LIT) excitado con una entrada cualquiera �(�) está dada por la expresión

Sistema Sistema

inverso �(�)

�(�) �(�) = �(�)

�(�) = � �(�)ℎ(� − �)���

��

= � �(� − �)ℎ(�)���

��

Y se dice que la función �(�) es la convolución de las funciones �(�) y ℎ(�), que se nota �(�) = �(�) ∗ ℎ(�).

2.2.1.1. Propiedades de la convolución La operación de convolución en tiempo continuo satisface estas importantes propiedades:

1. Propiedad conmutativa

�(�) ∗ ℎ(�) = ℎ(�) ∗ �(�)

2. Propiedad asociativa

�(�) ∗ ℎ�(�) ∗ ℎ�(�) = [�(�) ∗ ℎ�(�)] ∗ ℎ�(�)

= �(�) ∗ [ℎ�(�) ∗ ℎ�(�)]

3. Propiedad distributiva

�(�) ∗ [ℎ�(�) + ℎ�(�)] = �(�) ∗ ℎ�(�) + �(�) ∗ ℎ�(�)

Figura 10. Representación de las propiedades de la convolución.

2.2.2. Interpretación gráfica de la convolución El procedimiento descrito a continuación es una técnica de análisis gráfico conveniente para evaluar o

interpretar integrales de convolución. Una vez se hace el cambio de variable de � por � Los pasos a seguir

son:

1. Reflexión. Se refleja ℎ(�) respecto del eje de ordenadas para obtener ℎ(−�).

2. Desplazamiento. Se desplaza ℎ(−�) en una cantidad � donde se desea evaluar la convolución para

obtener ℎ(� − �).

3. Multiplicación. Se multiplica la función desplazada ℎ(� − �) por �(�).

4. Integración. El área bajo el producto ℎ(� − �) y �(�) es el valor de la convolución en el tiempo �.

ℎ1(�) ℎ2(�) �(�) �(�)

ℎ(�) �(�) �(�) �(�) ℎ(�) �(�) ≡

≡

ℎ1(�) ∗ ℎ2(�) ℎ(�) �(�)

ℎ1(�)

�(�) �(�)

ℎ�(�)

+

+ ℎ�(�) + ℎ�(�) ℎ(�) �(�)

≡

Figura 11. Representación gráfica de la convolución.

2.3. Propiedades de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo La respuesta al impulso de un sistema LTI representa una descripción completa de las características del

sistema. En términos de la respuesta al impulso los sistemas se pueden caracterizar de acuerdo a sus

propiedades.

2.3.1. Propiedad de memoria de los sistemas LTI Los sistemas sin memoria son aquellos en los que la salida en cualquier instante depende sólo del valor de

entrada en ese mismo instante. Además los sistemas invariantes con el tiempo y sin memoria obedecen a

una relación entrada/salida de la forma

�(�) = ��(�)

Para alguna constante �. Haciendo �(�) = �(�), resulta fácil observar que la respuesta al impulso de estos

sistemas es de la forma

ℎ(�) = ��(�)

2.3.2. Sistemas LTI causales La salida de un sistema causal depende solamente de los valores presentes y pasados de la entrada.

Concretamente, para que un sistema en tiempo continuo sea causal, �(�) no debe depender de �(�) para

� > �. Esto se cumple si

ℎ(�) = 0 para � < 0

2.3.3. Sistemas LTI invertibles Un sistema es invertible sólo si se puede diseñar un sistema inverso que al conectarse en cascada con el

original produzca una salida igual a la entrada inicial.

En términos de convolución debe cumplirse que

�(�) = ℎ�(�) ∗ ℎ(�) ∗ �(�) = �(�)

Por tanto ℎ�(�) debe satisfacer

ℎ�(�) ∗ ℎ(�) = ℎ(�) ∗ ℎ�(�) = �(�)

2.3.4. Sistemas LTI estables Un sistema en tiempo continuo es estable si y sólo si cualquier entrada acotada produce una salida acotada.

La condición suficiente para que un sistema LTI sea estable en términos de la respuesta al impulso es que

esta sea absolutamente integrable.

� |ℎ(�)|�

��

�� < ∞

2.4. Sistemas descritos por ecuaciones diferenciales La respuesta de muchos sistemas físicos se puede describir mediante ecuaciones diferenciales. Los sistemas

descritos mediante ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se pueden realizar (o simular)

mediante sumadores, multiplicadores e integradores.

2.4.1. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Para el interés de la materia solo se abarcan sistemas que se pueden describir mediante ecuaciones

diferenciales lineales con coeficientes constantes, es decir

���(�)

���+ ���

���(�)

���

���

���

= ������(�)

���

�

���

Donde los coeficientes ��, � = 1,2, … , � − 1 y ��, � = 1,2, … ,� son constantes reales y � > �.

El entero � es el orden o dimensión del sistema.

Reduciendo el estudio a sistemas que se pueden describir mediante

������(�)

���

�

���

= �(�)

Cuando se quiere determinar la salida �(�) el procedimiento es el siguiente:

1. Se determina la solución homogénea �ℎ(�).

Es decir la siguiente ecuación

������(�)

���

�

���

= 0

Se asume una solución del tipo �(�) = ���

Se buscan las � raíces ��

���� + ���

��� + ⋯+ �� = 0 (� − ��)(� − ��)… (� − ��) = 0

La solución homogénea será la superposición de soluciones asignadas a cada raíz dependiendo

de su tipo. Así:

Tipo de raíz Forma de ���(�)

Real y simple ���(�) = �����

Real de multiplicidad � ���(�) = (�� + ��� + ⋯+ ������)����

Par de raíces complejas (� ± ��) ���(�) = ����� cos �� + ���

�� sin ��

Par de raíces complejas (� ± ��) de

multiplicidad �

���(�) = ��� + ��� + ⋯+ ���������� cos ��

+ ��� + ��� +⋯+ ���������� sin ��

A partir de las condiciones iniciales y con la respuesta homogénea completa se determinan las

constantes de cada solución.

2. Se determina la solución particular ��(�). Para hallar la solución particular se usa el método de los coeficientes indeterminados. Es decir para

una entrada �(�) la salida del sistema será del mismo tipo multiplicada por una constante.

Identificar la forma de la respuesta particular a partir de la señal de excitación.

Entrada �(�) Forma de ��(�)

�(�) = �� ��(�) = � + �� + ⋯+ ���

�(�) = ���� ��(�) = ����

�(�) = ����� sin�� o �(�) = �� �

��cos �� ��(�) = ���� cos �� + ���� sin ��

�(�) = ������� sin �� o �(�) = ���

� ���cos �� ��(�) = ��� + ��� + ⋯+ ���

������� cos ��

+ ��� + ��� +⋯+���������� sin ��

Se evalúan la respuesta particular y la entrada en la ecuación diferencial y se hallan los

coeficientes.

Si la excitación produce salidas del mismo tipo que la homogénea se aplican las reglas de las raíces

múltiples.

3. Se expresa la solución total como la suma de las respuestas homogénea y particular. �(�) = ��(�) + ��(�)

2.4.2. Respuesta al impulso de sistemas descritos mediante EDCC La respuesta al impulso se consigue resolviendo la ecuación diferencial para una excitación �(�) = �(�).

Como esta señal es nula excepto en t=0, el problema se limita a resolver la ecuación homogénea ya que si

se asumiera por ejemplo una solución particular igual a �(�), al incluirla en la ecuación original, del lado

izquierdo aparecen �´(�), �´´(�),… y esto no se ajusta a la ecuación si a la izquierda no aparecen derivadas

de �(�).

2.4.3. Propiedades ZXXXXXXX

2.4.4. Componentes básicos de los sistemas Los sistemas lineales, invariantes con el tiempo, continuos y descritos por EDCC, se pueden simular

utilizando sumadores, restadores, multiplicadores escalares e integradores.

El integrador: la ecuación diferencial de entrada/salida para el integrador es

��(�)

��= �(�)

Sumadores, restadores y multiplicadores escalares.

3. Transformada de Laplace

3.1. Transformada bilateral de Laplace La transformada bilateral de Laplace de una señal real �(�) se define

��(�) = � �(�)�������

��

�0 �(�) �(�) 1

� �(�) �(�)

Donde la variable � es compleja, � = � + ��.

En general, la transformada de Laplace bilateral convergerá para algunos valores de ��{�} pero no para

todos. Los valores de � para los que converge se denominan región de convergencia (ROC). Hay que tener

en cuenta que la región de convergencia depende de la señal �(�). En el caso de transformadas de Laplace

racionales, la región de convergencia no debe contener polos.

Una forma de mostrar la región de convergencia es en el plano complejo de la variable �. La región

sombreada representa los puntos que forman la región de convergencia.

3.2. Transformada unilateral de Laplace La transformada unilateral se define así

��(�) = � �(�)�������

��

La transformada unilateral tiene su aplicación cuando se trabaja con sistemas causales, es decir en los que

�(�) = � para � < �.

Señal Transformada ROC

1. �(�) � Para todo �

2. �(�) ���� Para todo �

3. �(�) �

� ��{�} > �

4. �(�) − �(� − �) � − ����

� ��{�} > �

5. ���(�) �!

����,� = �, �, … ��{�} > �

6. �����(�) �

� + � ��{�} > −�

7. �������(�) �!

(� + �)��� ��{�} > −�

8. ������ �(�) �

�� + ��� ��{�} > �

9. ������ �(�) ��

�� + ��� ��{�} > �

10. ���� ������ �(�) � + �

(� + �)� + ��� ��{�} > −�

11. �����������(�) ��

(� + �)� + ��� ��{�} > −�

12. ������ �(�) �� + ��

�

�� + ����

��{�} > �

13. ������ �(�) ����

(�� + ���)�

��{�} > �

3.3. Propiedades de la transformada unilateral de Laplace Empleando las propiedades de la transformada unilateral de Laplace se pueden resolver algunos

problemas por simple inspección.

Propiedad Señal Transformada

1. Linealidad ���(�) + ���(�) ���(�) + ���(�)

2. Desplazamiento �(� − ��)�(� − ��) ������(�)

3. Desplazamiento en

frecuencia �����(�) �(� − ��)

4. Escalado temporal �(��),� > � �

���

�

��

5. Diferenciación ��(�)

�� ��(�) − �(��)

���(�)

��� ���(�) − ��(��) −��(��)

���(�)

��� ���(�) −���������(��)

�

���

6. Integración � �(�)���

��

�

��(�)

7. Multiplicación por � ��(�) −��(�)

��

8. Modulación �(�) ��� ��� �

�[�(� − ���) + �(� + ���)]

�(�) ������ �

��[�(� − ���) − �(� + ���)]

9. Convolución �(�) ∗ �(�) �(�)�(�)

10. Valor inicial �(�� ) ����→�

��(�)

11. Valor final ����→�

�(�) ����→�

��(�)

3.4. Transformada inversa de Laplace En muchos casos de interés, la transformada de Laplace se puede expresar como el cociente entre dos

polinomios de �.

�(�) =�(�)

�(�)

�(�) = ���� + �����

��� +⋯+ ��� + ��

�(�) = ���� + �����

��� +⋯+ ��� + ��

Un método sencillo para encontrar la transformada inversa de este tipo de funciones es expandiéndola en

fracciones parciales. Una vez se logra obtener esta nueva expresión que es la suma de funciones mucho

más simples, se hace uso de las tablas de transformadas y propiedades de la transformada de Laplace para

obtener la expresión en el tiempo.

La función �(�) es una función racional de �. Para poder aplicar el método que se propone es necesario que

la función racional sea propia en �, es decir � < �. En caso de la función racional sea impropia se dividen

los dos polinomios para obtenerla.

3.4.1. Expansión en fracciones parciales Partiendo de una fracción propia, se factoriza el polinomio del denominador.

�(�) =�(�)

�(�)=

�(�)

(� + ��)… (� + ��)� … (�� + �� + �)…

Al factorizar el denominador es posible encontrar raíces reales simples, raíces reales repetidas, raíces

complejas o imaginarias en cuyo caso se considera un polinomio irreductible. A continuación se presenta

la forma como se expande la fracción dependiendo del tipo de polos (raíces del denominador) de la función.

Caso 1. Raíces del denominador reales y distintas

�(�) =�(�)

�(�)=

�(�)

(� + ��)(� + ��)… (� + ��)… (� + ��)

�(�) =�(�)

�(�)=

��� + ��

+��

� + ��+ ⋯+

��� + ��

+⋯+��

� + ��

�� =�(�)(� + ��)

(� + ��)(� + ��)… (� + ��)… (� + ��)� � = −��

Caso 2. Raíces del denominador reales y repetidas

�(�) =�(�)

�(�)=

�(�)

(� + ��)�(� + ��)… (� + ��)

�(�) =�(�)

�(�)=

��(� + ��)

�+

��(� + ��)

���+ ⋯+

��� + ��

+����� + ��

+ ⋯+����� + ��

��(�) =�(�)(� + ��)

�

(� + ��)�(� + ��)… (� + ��)

�� =�

(� − �)!

���(�)

������ � = −��� = �, �, … , �; �!= �

Caso 3. Raíces del denominador complejas o imaginarias

�(�) =�(�)

�(�)=

�(�)

(� + ��)(�� + �� + �)

�(�) =�(�)

�(�)=

��(� + ��)

+��� + ��

(�� + �� + �)

�(�)

(� + ��)(�� + �� + �)

=��

(� + ��)+

��� + ��(�� + �� + �)

�(�)

(� + ��)(�� + �� + �)=��(�

� + �� + �) + (��� + ��)(� + ��)

(� + ��)(�� + �� + �)

�(�) = ��(�� + �� + �) + (��� + ��)(� + ��)

Una vez se llega a una expresión semejante a la anterior se plantea un sistema de ecuaciones y se despejan

las constantes.

3.5. Solución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace

La transformada de Laplace se puede aplicar a un gran número de problemas de análisis y diseño de

sistemas.

El procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales se puede resumir en los siguientes pasos

1. Dado un conjunto de condiciones iniciales, tomar la transformada de Laplace de ambos miembros

de la ecuación diferencial para obtener la ecuación algebraica en �(�).

2. Despejar �(�) en la ecuación algebraica.

3. Hallar la transformada inversa de Laplace para obtener �(�).

3.2. Estabilidad en el dominio s La estabilidad es una consideración importante en el diseño de sistemas, e implica que si a un sistema se le

aplica una entrada acotada, tanto las variables internas como la salida deben permanecer acotadas. A los

sistemas que satisfacen esta condición se les denomina estables en sentido BIBO (entrada acotada-salida

acotada).

La estabilidad de un sistema también puede ser analizada a partir de la función de transferencia. La función

de transferencia de un sistema LTI tiene la forma de un cociente de polinomios en �.

Un sistema LTI causal es estable si todos los polos están en el semiplano abierto izquierdo (excluyendo el

eje ��). Si el sistema tiene polos simples en el eje �� se dice que es marginalmente estable. Un sistema LTI

es inestable si tiene polos en el semiplano derecho o polos múltiples en el eje ��.

1. Polos simples en el semiplano izquierdo �� = �� + ���,��

La componente de la respuesta al impulso, ℎ�(�)

ℎ�(�) = ���� cos(��� + �)

�(�) = �(� − 2) + �(2 − �)

�(�) = [cos 3�]�(�)

�(�) = �0,� < 0�(�) + �(� − 2),� ≥ 0

�(�) = � ��

3�

��� ��1(�) ��1(�)

��� ��1(�) + ��2(�) ��

1(�) + ��

2(�)

��� ��2(�) ��

2(�)

�(�)

� 0 −1

1

1

ℎ(�)

� 0 −1

1

1