Seminario 7:

Problemas de probabilidad

1)En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a) Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

La probabilidad va de 0 a 1, por eso expresamos el porcentaje así:

P (H) = O,40 (40%) Niños

P (M) = 0,60 (60%) Niños

H= Niños M= Niñas Y= menor de 24 meses

Según el enunciado:

P (Y/H)= O,35 (35%) niños menores de 24 meses

P (Y/M)= 0,20 (20%) niñas menores de 24 meses

a) Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

Usamos el teorema de la Probabilidad Total:

P (Y)= P (H) x P (Y/H) + P(M) x P (Y/M)

Sustituimos las letras por los valores:

P (Y)= (O,40 x 0,35)+ (0,60 x 0,20)= 0,26

Cuando eliges a un bebé al azar, hay una probabilidad del 26% de que sea menor de 24 meses, pero puede ser niño o niña.

b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

P (M) x P (Y/M) P(M/Y)= = P (Y)

(0,60 x 0,20)= = 0,46 (0,26)

Hemos utilizado el Teorema de Bayes:

P(Y)= P(H) x P(Y/H) + P(M) x P(Y/M)

Por tanto, hay un 46% de probabilidad de que si elegimos al azar a un bebé menor de 24 meses, sea niña.

2) Un 15% de los pacientes atendidos en la Consulta de Enfermería del Centro de Salud de el Cachorro padecen hipertensión arterial (A) y el 25% hiperlipemia (B). El 5% son hipertensos e hiperlipémicos. a) Cuál es la P de A, de B y de la unión. b) Representa la situación en un diagrama de Venn: c) Calcula la probabilidad de que una persona al azar no padezca ni A ni B

a) Cuál es la P de A, de B y de la unión.

P (A)= 0,15 (15%) pacientes con hipertensión arterial.

P (B)= 0,25 (25%) paciente con hiperlipemia.

P (AUB)= 0,35 (35%) personas que sufren alguna enfermedad ((0,10 pacientes solo tienen HTA) + 0,20 (pacientes solo con hiperlipemia) +0,05 (pacientes con ambas enfermedades))

b) Representa la situación en un diagrama de Venn

0,65

A 0,10

B 0,20

0,05

P (A ∩ B)= 0,05 (5%) personas que tienen las dos enfermedades

c) Calcula la probabilidad de que una persona al azar no padezca ni A ni BComo dijimos anteriormente, la probabilidad va de 0 (nunca ocurre) a 1 (ocurre siempre).

Por tanto, si sumamos las personas que solo sufren la enfermedad A más las que solo sufren la enfermedad B más las que sufren ambas enfermedades, tenemos 0,35.

1- 0,35= 0,65. Por eso, como se puede ver en el diagrama de Venn, 0,65 es la probabilidad de que una persona no padezca ni hipertensión arterial ni hiperlipemia.

3) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea. a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería. b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería. c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?.

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

X= Probabilidad de que se averíen diariamente

A Línea 1B Línea 2C Línea 3

P (A)= 0,45 (45%) P (B)= 0,25 (25%)P (C)= 0,30 (30%)

Según el enunciado:

P (X/A)= 0,02 (2%) hay una probabilidad (X) del 2% de que se averíe, en un día, un autobús de la línea 1(A)

P (X/B)=0,03 (3%) hay una probabilidad (X) del 3% de que se averíe, en un día, un autobús de la línea 2(B)

P (X/C)= 0,01 (1%) hay una probabilidad (X) del 1% de que se averíe, en un día, un autobús de la línea 3(C)

Calculamos la probabilidad total mediante el Teorema de la probabilidad total.

P (X)= P (A) x P (X/A) + P (B) x P (X/B) +P (C) x P (X/C) = (0,45 x 0,02) + (0,25 x 0,03) + (0,30 x 0,01) = 0,0195

Por tanto, la probabilidad de que un autobús sufra un accidente, al día, es de 1,95 %.

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería.

Esto hay dos formas de calcularlo:

Una vez que sabemos que la probabilidad de que sufran una avería al día es de 1,95 %, pues podemos hacer 1- 0,0195= 0, 9805 (98,05 %)

La otra forma de hacerlo sería usando el Teorema de la probabilidad total.

P (X/A)= 0,98 (98%)P (X/B)=0,97 (97%)P (X/C)= 0,99 (99%)

X= probabilidad de que no se averíe diariamente

Teorema de la probabilidad total:P (X)= P (A) x P (X/A) + P (B) x P (X/B) +P (C) x P (X/C) = (0,45 x 0,98) + (0,25 x 0,97) + (0,30 x 0,99)= 0,9805.

Por tanto, la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra un accidente es del 98,05%

Si la probabilidad de que un bus de la Línea 1 (A) se averíe, en un día, es de un 2% pues entonces la probabilidad de que no se averíe debe ser 1-0,02= 0,98.

La probabilidad de que un bus de la Línea 2(B) se averíe, en un día, es de 3% por lo que la probabilidad de que no se averíe será 1-0,03= 0,97.

La probabilidad de que un bus de la Línea 3 (C) se averíe, en un día, es de 1% por lo que la probabilidad de que se averíe es de 1-0,01= 0,99

C) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?.

Para esto haremos tres Teoremas de Bayes:

Línea 1: P(A) x P(X/A) P(A/X)= = P(X)

0,45 x 0,02= = 0,46 0,0195

P (X)= P (A) x P (X/A) + P (B) x P (X/B) +P (C) x P (X/C)

Línea 2: P (B) x P (X/B)P(B/X) = = P (X)

(O,25 x 0,03)= = 0,38 0,0195

Línea 3:

P (C) x P (X/C)P(C/X) = =

P (X)

(0,3 x 0,01)

= = 0,15

0,0195

P(X)= P (A) x P (X/A) + P (B) x P (X/B) +P(C) x P (X/C)

Como se puede observar, los autobuses que tienen más probabilidad de sufrir una avería son los de la línea 1, ya que tienen una probabilidad de sufrirlo del 46% mientras que los de la línea 2 tienen un 38% y los de la línea 3 un 15%.

4) La probabilidad de que A dé en el blanco es 1/4 y la de B es 2/5. a) Si A y B disparan, ¿Cuál es la probabilidad de que pegue en el blanco?

a) Si A y B disparan, ¿Cuál es la probabilidad

de que pegue en el blanco?

P (A)=0,25 //(1/4)//(25%)

P (B)=0,4 //(2/5)//(40%)

Estos dos sucesos ocurren independientemente, por ello, para calcular la probabilidad de que ambos den en el blanco, usaremos la Probabilidad de intersección de sucesos independientes:

P (A ∩ B)= P(A) x P(B)= 0,25 x 0,4= 0,1

Por tanto, la probabilidad de que pegue en el blanco es de 10%

Laura Arriaza Granado. Facultad de Valme. 1º Enfermería. Grupo 1. Curso 2013-2014. Estadística y Tics