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Especialización docente en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria

Seminario final

Clase 5: Hacia un tratamiento constructivo del error

Introducción

Hola colegas, les damos la bienvenida a esta clase.

Como hemos sostenido a lo largo del presente postítulo, el aprendizaje no sólo deja

un gran lugar a los errores, sino que se vaciaría de sentido y de interés si todo fuera

correcto de entrada. En ese caso, ¿qué habría que aprender?

Por ello, en esta oportunidad nos centraremos en el análisis de algunos errores de

interés y su posible tratamiento en la clase de matemática. El asunto, complejo por

cierto, no siempre fue considerado como un problema de enseñanza.

Antes de avanzar, le proponemos entonces algunas preguntas referidas a esta

cuestión.

Para pensar

Durante sus estudios, ¿qué tratamiento se realizaba de los errores qué

surgían en las clases de Matemática?

En sus tareas diarias, ¿realizan el mismo tratamiento para los errores en

esta disciplina?

¿Les han llamado la atención algunos errores, ya sea por su persistencia

en un determinado grupo o por haberlos identificado en distintos grupos

que han tenido a su cargo?

Les pedimos que registren sus respuestas pues volveremos sobre las

mismas una vez finalizada la clase.

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La consideración del error y de su tratamiento ha cobrado distintas consideraciones

en las diferentes prácticas pedagógico-didácticas. A continuación nos detendremos

en describir sintéticamente dichas consideraciones.

El tratamiento del error en las perspectivas de enseñanza

tradicionales

En el marco de una pedagogía tradicional, el error era evitado y, de no ser posible,

sancionado. Tal es así que se hablaba de “faltas” de los alumnos y se consideraba

“buen alumno” al que no cometía errores y “buen docente” al que a partir de sus

explicaciones, o de las actividades que proponía, lograba que sus alumnos no

cometieran errores.

En esta perspectiva, en el pizarrón se escribía “lo que está bien” y si aparecía algún

error, era rápidamente eliminado y reemplazado por la resolución correcta: “El error

no se escribe porque si no se fija”, decían los viejos manuales de Didáctica. Es

decir, predominaba la idea de que el error debía evitarse a toda costa. La serie de

preguntas que se realizaban eran puestas a punto mediante ajustes sucesivos para

que los alumnos no dieran ningún paso en falso, comprendieran todo en seguida, y

no cometieran errores.

La homogenización anteriormente descripta encubría la ilusión de que todos los

alumnos aprendían lo mismo y al mismo tiempo. El conjunto de estrategias

utilizadas limitaba la autonomía del alumno. El trabajo que se realizaba en clase

producía una fuerte dependencia hacia el docente. Este funcionamiento sólo se

modificaba a la hora de realizar la evaluación. Como resultado, los alumnos se

quedaban solos, sin poder producir, ante el desconcierto del docente.

El tratamiento del error en nuestra perspectiva de enseñanza

El error ha cobrado una nueva consideración en el marco del enfoque didáctico

adoptado en los Diseños Curriculares vigentes en nuestro país y que desarrollamos

en el presente Postítulo. Actualmente, el error no sólo es considerado normal sino

necesario para el aprendizaje y, en tal sentido, debe estar integrado al mismo.

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En nuestra área, transcurridos muy pocos años del surgimiento de la Escuela

Francesa en Didáctica de la Matemática, Guy Brousseau, destacaba:

“El error no es sólo efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, o del

azar, como se cree en las teorías empíricas o conductistas del

aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tenía su

interés, sus logros, pero que ahora se revela falso, o simplemente

inadecuado. Los errores de este tipo no son erráticos o imprevisibles,

sino que constituyen obstáculos. Tanto en el funcionamiento del maestro

como en el alumno el error es constitutivo del sentido del conocimiento

adquirido” (Brousseau, 1980)

La noción de obstáculo epistemológico fue introducida por Gastón Bachellard en

1965 para las Ciencias Naturales explicando que “…se conoce en contra de un

conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal hechos, superando lo que en

la mente hace obstáculo”. Pero Bachellard pensó que este tipo de obstáculo no se

producía en matemática.

Guy Brousseau, se opone al pensamiento de

Bachellard, retoma y conceptualiza la idea

de obstáculo epistemológico para la

Didáctica de la Matemática, en 1975. Para

Brousseau, un obstáculo epistemológico

es un conocimiento que tiene su propio

campo de validez pero que en un campo

más amplio resulta ineficaz y puede ser

fuente de errores y dificultades. En ese

sentido son constitutivos del

conocimiento e inevitables.

Ejemplificaremos esta idea en un apartado próximo.

Brousseau distingue dentro de los

obstáculos que tienen lugar en la escuela

aquellos de origen ontogéneticos

(dependientes del desarrollo), de origen

didáctico (dependiente de decisiones sobre

la enseñanza, y por tanto evitables) y de

origen epistemológico (dependiente de la

complejidad de los conceptos). Estos

últimos son aquellos que no se pueden ni

se deben evitar, pues son constitutivos de

los conocimientos al que se apunta. Es

frecuente encontrarlos en el desarrollo

histórico de dichos conocimientos.

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Con relación a los errores, en los NAP del 2do Ciclo de Educación Primaria del

Ministerio de Educación de la Nación podemos leer que la escuela tiene que

proponer situaciones de enseñanza que, entre otras cuestiones, promuevan:

“La disposición para defender sus propios puntos de vista, considerar

ideas y opiniones de otros, debatirlas y elaborar conclusiones,

aceptando que los errores son propios de todo proceso de aprendizaje”

(NAP Matemática Primaria, segundo ciclo)

Como dijimos anteriormente, el tratamiento del error es complejo. Ello se debe a

que cada error no sólo puede ser descripto en términos de obstáculos ni en función

del sentido del conocimiento puesto en juego, sino que también podemos vincularlo

con la trayectoria de aprendizajes del alumno, la interpretación incorrecta de las

consignas, la complejidad propia del contenido, el miedo a las evaluaciones, el

cansancio, la distracción y, por supuesto, con decisiones didácticas del docente. De

esta manera, ningún error tiene una interpretación unívoca sobre el que podríamos

realizar una descripción completa. El que expone o explica un error lo hace,

conscientemente o no, a partir de puntos de vista particulares. Desde el momento

en que nos esforzamos por conocerlo, el error se convierte en un objeto mental

construido, recortado de la realidad desde nuestros puntos de vista, desde

conceptos propios para poder ser estudiado.

Sin pretensión de exhaustividad, pasaremos a analizar las causas de algunos

errores particulares.

¿Qué nos muestran los errores de los alumnos?

Las producciones de los alumnos nos permiten registrar gran variedad de errores.

Es tarea del docente determinar las causas de tales errores, elaborar y proponer

situaciones orientadas a que el alumno supere sus dificultades. Esto sólo es posible

a través de un trabajo reflexivo y sostenido, por parte del docente.

Hay alumnos que cometen errores porque no comprenden y son “obligados” a

intentar comprender y hacer, cuando se los interroga, como si “comprendieran”. Los

alumnos responden entonces “a costa” de las preguntas, más vinculados al azar que

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al conocimiento. En algunos casos, a los docentes les cuesta entender que sus

alumnos no comprenden. En estos casos se podría decir que esos errores son

“estériles”.

En cambio, hay errores fértiles y la diferencia es solo una cuestión de sentido. Son

los que el alumno encuentra intentando construir respuestas a preguntas que se

plantea, demostrar o invalidar proposiciones de las cuales duda. Errores que obligan

a conceptualizar (con la ayuda del docente, la mayoría de las veces) para poder

razonar. El error fértil es el que provoca por sí mismo, sin otra intervención del que

enseña, dudas sobre las certezas, límites en la búsqueda de las respuestas.

En algunos alumnos, los errores aparecen asociados a la falta de confianza en sus

propios conocimientos. La ausencia de saberes anteriores sólidos a los que puedan

referirse contribuye a una falta de organización y de integración de los

conocimientos nuevos: para ciertos estudiantes, nada es seguro, todo puede volver

a ser cuestionado porque están acostumbrados a equivocarse. Es necesario que los

alumnos reconozcan no sólo lo que se aprendió, también es imprescindible que

sepan cómo se aprendió y cómo hacerlo comunicable.

Para otros alumnos los errores aparecen porque simplemente no reconocen en la

situación actual de enseñanza, lo que aprendieron en otro contexto. Dicen no haber

estudiado un contenido que sí estudiaron cuando el docente, sin tener en cuenta

que la generalización de los conceptos requiere de un trabajo sostenido y a largo

plazo, lo presenta de un modo que no tiene en cuenta las situaciones específicas en

las que tuvieron oportunidad de aprenderlo.

Algunas ideas erróneas y frecuentes, tales como: “dos rectas son perpendiculares si

una es horizontal y la otra vertical, y se cortan en un dibujo, formando un ángulo de

90º” están reforzadas por las presentaciones usuales (horizontal-vertical) de rectas

perpendiculares, de rectángulos, de triángulos rectángulos,..., y eso explicaría que

las siguientes rectas no sean consideradas perpendiculares por muchos alumnos:

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Otros errores, que veremos a continuación, pueden interpretarse en términos de

nociones específicas de la didáctica de la Matemática…

Errores derivados de los efectos del contrato didáctico

En las páginas 3 y 4 del apartado “Los problemas en la clase, las situaciones”

(Clase 4 del Módulo “Perspectivas para la enseñanza de la Matemática”) se

hace referencia a la noción de contrato didáctico. Les sugerimos que vuelvan

sobre esa noción pues es muy importante para tener en cuenta en nuestra tarea

diaria.

Como se describe en dicho material, en las clases tradicionales se proponen

problemas cuyo enunciado contiene todos los datos útiles para resolverlos; no se

plantean problemas abiertos, ni problemas con datos que no se utilizan, ni

problemas con datos insuficientes, ni problemas sin solución... Esto hace que los

alumnos, muchas veces, busquen una respuesta a toda costa, utilizando todos los

datos del enunciado, sin mayores reflexiones.

El conocido problema de La edad del capitán da cuenta de las cuestiones

descriptas. Al respecto, Chevallard, Gascón y Bosch (1997) relatan:

“La edad del capitán

Alrededor de los años ochenta, un grupo de investigadores franceses en

didáctica de las matemáticas, planteó el siguiente problema a varias

clases de alumnos de 7 a 10 años.

En un barco hay 7 cabras y 5 ovejas. ¿Qué edad tiene el capitán?

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La mayoría de los alumnos daban sin titubear una respuesta del tipo:

“7 x 5 = 35. El capitán tiene 35 años”

(Prueba el experimento con algún niño de esa edad, verás que no

falla…)

¿Qué pasa? ¿Por qué la mayoría de los alumnos responden sin

inmutarse a una pregunta absurda? ¿Será que la escuela los atonta en

lugar de despabilarlos? ¿Será que se convierten en puros autómatas que

sólo sirven para contestar al profesor? ¿Será que sus profesores no le

han ayudado a desarrollar el “sentido crítico”? ¿Se trata de una muestra

del fracaso de todo el sistema de enseñanza de las matemáticas?”

Posteriormente, los mencionados autores reflexionan acerca de las preguntas que

plantearon:

“Respuesta a La Edad del Capitán

No seamos catastrofistas. Existe, entre profesores y alumnos, una serie

de acuerdos implícitos sobre la tarea que los une - el estudio de las

matemáticas - que conforman el contrato didáctico. Tradicionalmente, el

contrato didáctico escolar contiene una cláusula que asegura que,

cuando un profesor plantea un problema a sus alumnos, el problema

está bien planteado y, en principio, el alumno dispone de los elementos

necesarios para resolverlo. Por esta razón el alumno no debe “opinar” ni

“criticar” los enunciados del profesor si no quiere romper su confianza

en él como guía y director del proceso de estudio.

En el caso del problema de “La edad del capitán”, los alumnos, al asumir

el contrato didáctico escolar, suponen que, como siempre, la solución

del problema resultará de algunas operaciones aritméticas simples a

partir de los datos del enunciado. Por lo tanto, intentarán sumarlos o

multiplicarlos hasta obtener una respuesta verosímil, una edad “posible

para el capitán”. (Chevallard, Gascón y Bosch, 1997)

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Errores derivados de los obstáculos

Como dijimos anteriormente, muchos errores se generan cuando una noción

intuitiva o un conocimiento más o menos elaborado, provisorio, se intenta hacer

funcionar en un contexto o en un campo para el cual no está adaptado, es decir,

errores que provienen de obstáculos. Los conocimientos resisten de alguna manera

al cambio. Sólo evolucionan bajo la presión de los errores que provocan y, aun así,

a veces con dificultad. Algunos conceptos ya formados y eficaces en un campo

determinado de problemas se muestran inadaptados cuando se amplía ese campo,

surgiendo errores, paradojas, bloqueos.

Así por ejemplo, el tratamiento separado de la parte entera y la parte decimal de los

números decimales por parte de los alumnos, produce errores como los siguientes:

Resuelvan mentalmente:

4, 8 + 5, 6 =9, 14. Respuesta: porque 4 + 5 = 9 y 8 + 6 = 14

0, 2 x 0, 3 = 0, 6 Respuesta: porque 0 x 0 = 0 y 2 x 3 = 6

Comparen 4, 25 y 4, 250

4, 250 > 4, 25 porque 250 > 25

Ese tipo de respuestas, si se observan en un alumno en forma reiterada, pueden

dar cuenta que él considera que los números decimales son “números enteros

separados por una coma”, por lo que opera o compara de esa manera.

“Un obstáculo se manifiesta a través de errores, pero en un mismo

sujeto están unidos entre sí por una fuente común, una manera de

conocer, una concepción característica, coherente aunque no correcta,

un “conocimiento” anterior que tuvo éxito en todo un dominio de

acciones.” (Brousseau, G. 2007)

La densidad de los números decimales (entre dos números decimales existen

infinitos números decimales) produce una ruptura con lo que los alumnos saben

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acerca de los números naturales (recordemos que entre dos números naturales

consecutivos no existe ningún número natural).

La siguiente producción da cuenta de lo que acabamos de comentar:

Escribí un número comprendido entre 5,23 y 5,24: Respuesta:

¡No se puede! ¡5,24 es el que le sigue a 5,23!

La enseñanza de la densidad de los números decimales es compleja: para los

alumnos no es nada simple comprender que entre 5,23 y 5,24 hay infinitos

números. Vinculado directamente con ello, muchos errores están ligados a la

convicción de los niños de que todo número tiene un sucesor y un antecesor. La

extensión de conocimientos acerca de la noción de números consecutivos, que tiene

su validez en el campo de los números naturales pero no en el campo de los

decimales, da lugar a ideas como la descripta. Se trata de una generalización

abusiva del tratamiento que hacen con los números naturales a los decimales.

Notemos que los errores producidos en el campo de los números decimales que

hemos analizado pueden caracterizarse por provenir de “un conocimiento

perfectamente legítimo e inevitable” (Brousseau, 2007). Los conocimientos

construidos sobre los naturales funcionan como obstáculo epistemológico en el

aprendizaje de estos nuevos números. Esto significa que dichos conocimientos

funcionan como punto de apoyo al mismo tiempo que como concepciones a romper

y reestructurar. Se trata de un proceso largo, que comienza en la escuela primaria

pero debe ser retomado por la secundaria. Los obstáculos epistemológicos persisten

y se resisten a su modificación, que no es para nada inmediata.

La enseñanza debe reconocer este funcionamiento de los conocimientos

y hacerse cargo de trabajarlo con los alumnos sostenidamente

Por otra parte, muchas veces la enseñanza en lugar de enfrentarlos los

evita o los refuerza, porque no se ocupa de someterlos a análisis para

que todos los alumnos los identifiquen.

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Además, con las mejores intenciones y

a fin de avanzar sin dificultades, los

maestros insisten en las semejanzas de

los decimales con los naturales y no en

sus diferencias. Por ejemplo, para los

cálculos resaltan: “Si ubican bien la

coma o si la corren correctamente, se

hace igual que con los naturales”. Es

decir, “Para no desestabilizar a los

alumnos, evitan desestabilizar sus

conocimientos” (Charnay, 1996).

Los errores más frecuentes que observamos en los alumnos de la escuela primaria

en su trabajo con los números decimales se deben a que en muchos casos, los

interpretan como números compuestos por dos enteros.

“Esta concepción es funcional en muchas de las situaciones de la vida

cotidiana –por lo tanto, no es cuestionada en el uso corriente de los

decimales- y en muchas de las situaciones presentadas habitualmente

por la enseñanza. En efecto, el número $ 4,35 se lee precisamente como

dos enteros expresados en unidades diferentes: “4 pesos con treinta y

cinco centavos” (no 4 pesos con 35 centésimos de peso). De la misma

manera, 1,125 m se lee como un metro con ciento veinticinco

milímetros; o 0,250 kg se lee como doscientos cincuenta gramos (no

como veinticinco centésimos o doscientos cincuenta milésimos de kilo),

etc. En general, las situaciones de medidas permiten interpretar la

escritura decimal como una escritura compuesta por dos números

expresados en diferentes unidades de medida, “esquivando” así la

cuestión de interpretar la parte decimal como subdivisiones de la unidad

de medida considerada para los enteros. Comentamos esto sólo a los

efectos de advertir cómo funcionan los números decimales en la vida

cotidiana y tomar conciencia de la necesidad de proponer situaciones de

enseñanza que requieran considerarlos como un número, y analizar las

relaciones entre las diferentes posiciones en una escritura decimal”.

Los obstáculos

epistemológicos

referidos a la

construcción del

concepto de número

decimal se vinculan con

su desarrollo histórico.

Uno de los primeros

matemáticos que difundió su uso fue Simón

Stevin en el siglo XVI, mucho después de las

fracciones que eran conocidas desde la

antigüedad.

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(Moreno y Quaranta, 2007)

A la hora de planificar el trabajo con un determinado contenido es necesario

anticipar posibles errores y considerar que pueden tener diferentes causas.

Recordemos que en algunos casos provienen de las decisiones didácticas que se

adoptan, es decir, de la naturaleza de la enseñanza, de las propuestas que se

seleccionan, que se elaboran, de los modos de abordar ciertas cuestiones, etc. Otros

errores, como los que acabamos de describir para los números decimales, quizá se

deban a dificultades de los alumnos asociadas a la complejidad del conocimiento

nuevo, a las características de ese objeto matemático que propicia el

establecimiento de relaciones que de alguna manera contradicen – o podrían

contradecir- conocimientos que ya disponen los alumnos. Como dijimos, la

construcción del concepto de número decimal por parte de los alumnos deberá

batallar contra “verdades” establecidas para los números naturales, que ahora se

evidencian “inadaptadas” generando rupturas entre un campo numérico y el otro.

En algunos casos, muy probablemente se trate de errores que involucran ambos

aspectos, o más bien, decisiones didácticas que no pueden romper con los viejos

conocimientos ya instalados en los alumnos.

Interpretar producciones complejas

Dijimos que interpretar los errores es una tarea compleja. De hecho muchas veces,

creemos identificar alguno cuando en realidad se trata de procedimientos que nos

interpelan por su complejidad y sobre los cuales, no encontramos rápidamente el

sentido.

Consideremos este ejemplo:

Para pensar

Al dar el siguiente cálculo para resolver en un 2º año, una alumna

realiza el siguiente procedimiento:

160-85=

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la alumna descompone el 160 en 100+60

después hace 85-60=25

y luego 100-25.

Les proponemos que analicen el procedimiento descripto, ¿es válido?

En caso de tener dudas, les sugerimos probar con otros valores para

verificar si también resulta.

Un desafío de la práctica profesional es poder interrogarse acerca de las siguientes

cuestiones:

¿Qué hacer ante estas producciones complejas que pueden surgir

en el aula?

¿Cómo articular estas con aquellas producciones más sencillas y

conocidas?

¿Cómo gestionar una clase en la que aparecen resoluciones tan

diversas?

¿Hasta dónde “tironear” de ese procedimiento tan complejo?

Este ejemplo realza la necesidad de comprender las producciones de los chicos para

interactuar con ellas estableciendo si son erradas o no, pero muestra también que

esa comprensión no siempre es inmediata, surge de un trabajo de reconstrucción

donde se vuelve central tener en cuenta todo lo que han producido los alumnos

previamente.

También muestra que debería ser parte del trabajo docente, aceptando la

complejidad de esta tarea. No se trata de que inmediatamente tengan que entender

todas las producciones de los alumnos, sino de habilitar que aparezcan para luego

analizarlas intentando entenderlas.

En este procedimiento en particular, la alumna “desconoce” los conocimientos que

subyacen para la resta y que se refieren en general a pensar minuendo menos

sustraendo. Salir de esa estructura provoca grandes rupturas.

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Un posible punto de partida para reflexionar sobre este procedimiento es

contextualizando el cálculo, por ejemplo, si fuese dinero el problema sería: “tengo

$160 y tengo que pagar $85. ¿Cuánto dinero me queda?”. Pensar entonces en los

$160 como un billete de $100 y aparte, $60. Pagar con los 60 pero todavía restan

pagar 25 (85 - 60=25) y para esto, utilizar el billete de 100 (100-25= 75).

Hemos visto a lo largo del postítulo que uno de los intereses de trabajar con otros

procedimientos, además del algorítmico, es ampliar el abanico de relaciones

aritméticas que se ponen en juego y se pueden analizar.

Analicemos el mismo procedimiento con otros números:

453 – 265 =

450 – 250 = 200

3 – 15 = 12

200 – 12 = 188

Notemos que en realidad el 12 es -12 y lo que se hace es 200 + (-12)

= 188.

Las explicaciones que hagamos pueden ser variadas. Algunas se basarán en "lo que

me falta para...", identificándolo al mismo tiempo como un recurso posible de los

alumnos.

El tratamiento del error

Ahora bien, una vez detectados los errores cabe preguntarnos:

¿Hay que ocuparse de todos los errores identificados? ¿El estudio de

nuevas nociones ayudará a los alumnos a superar algunos de ellos? De

ser así, no siempre es necesario pensar en trabajarlos en forma

inmediata.

El procedimiento que acabamos de analizar contiene un “error” en la

representación de los cálculos. ¿Es posible trabajarlo en segundo año?

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También debemos tener en cuenta que un mismo error puede obedecer a distintas

causas y, una incorrecta interpretación de su origen, puede llevar al docente al

planteo de actividades superadoras que no sean pertinentes, por ejemplo, que

involucren procedimientos no utilizados por los alumnos, lo que constituiría un

agravante.

Se hace necesario, entonces, obtener diferentes informaciones sobre los errores en

estudio. Para realizar una verificación correcta debemos utilizar distintas

herramientas: observación de los alumnos en la resolución de tareas específicas,

una conversación con el alumno a fin de indagar acerca de los procedimientos

utilizados, entre otros.

Además, hay que centrarse en los errores que no son fortuitos ni azarosos, sino

repetidos y arraigados, es decir provocados por obstáculos. Estos errores no pueden

ser superados por medio de la resolución de una actividad circunstancial o de varias

actividades similares.

Como señala Brousseau (2007):

“….el obstáculo no desaparece con el aprendizaje de un nuevo conocimiento. Por el

contrario, opone resistencia a su adquisición, a su comprensión, frena su aplicación,

subsiste en estado latente y reaparece de forma imprevista, en especial en su

ámbito anterior, cuando las circunstancias lo permiten.

Es inútil, pues, ignorar un obstáculo. Hay que rechazarlo explícitamente, integrar su

negación en el aprendizaje de un conocimiento nuevo, particularmente bajo la

forma de contraejemplos. En ese sentido es constitutivo del saber”.

¿Cómo trabajar los errores arraigados?

¿Cómo intervenir para que los alumnos puedan avanzar en la

conceptualización de las nociones y procedimientos involucrados?

Una posibilidad es pensar en dispositivos de remediación. Y hablamos de

“remediación” no en el sentido de “remedio” sino de prácticas que impliquen

nuevas mediaciones entre el docente, el alumno y el saber.

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Es necesario tener en cuenta que un dispositivo de remediación requiere de un

encadenamiento de situaciones apropiadas para una red de errores e incluye tres

etapas que resultan indispensables:

Elección de actividades de remediación

Formación de grupos de necesidades en el seno de la clase y organización de

tareas en equipo

Gestión de las actividades en un tiempo coherente y compatible con la vida

de la clase.

Una remediación entonces:

Tiene que apoyarse en varios modos de intervención y no limitarse al

nivel individual, tiene que instaurarse entre los aprendizajes colectivos

y los “recuperatorios” individuales o de grupos pequeños.

Requiere flexibilizar la gestión de la clase: ayuda individual, trabajo en

pequeños grupos homogéneos, trabajo en grupos heterogéneos,

trabajos en grupos clase.

Debe estar integrada al aprendizaje en curso, una dialéctica de la

reinversión y del logro apoyándose en lo ya adquirido por los alumnos

y revalorizándolo.

Debe construirse en torno a situaciones suficientemente complejas

(para dar sentido a las nociones) pero no muy difíciles, para no

desmotivar a los alumnos.

Es igualmente necesario empezar lo suficientemente temprano en el

año porque necesita de la implementación de métodos de trabajo

diferente y sostenido.

Así por ejemplo, para los errores vinculados con la densidad de los números

decimales, pueden plantearse la siguiente situación:

Juego de averiguar un número decimal (Moreno y Quaranta,

2007)

Objetivos

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Explicitar las relaciones de densidad y orden de este campo

numérico

Reflexionar sobre la organización decimal del sistema de

numeración.

Consigna y desarrollo

“Este es un juego en el que para ganar, van a tener que averiguar el

número que pensé y anoté en este papelito. Para eso, van a hacer

preguntas y a través de las respuestas que yo les dé, tienen que

llegar a saber con exactitud, cuál es el número en cuestión. Para

organizar la información, voy a registrar en el pizarrón, todo lo que

vaya surgiendo. El número que pensé está entre 0 y 10”.

El maestro dibuja en el pizarrón una recta numérica como la siguiente:

Supongamos que el número elegido por el maestro es el siguiente: 4,738.

(Transcribimos un diálogo posible)

Alumno (A): “¿es el cinco?”.

Maestro( M): “no, es menor”.

A: ¿Es el cuatro?

M: No, es mayor. El maestro dibujará debajo de la anterior otra recta numérica:

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(En este punto, es importante explicitar de qué lugar de la recta el segmento de

extremos 4 y 5 es ampliación: es decir, mostrar que constituye una “lupa” colocada

sobre el segmento que va de 4 a 5 en la recta anterior)

A: ¿Es el 4,5?

M: No, es mayor

A: ¿Es el 4,7?

M: No, es mayor

A: ¿Es el 4,8?

M: No, es menor.

El maestro trazará una nueva recta:

(De la misma manera que para la ampliación anterior, se explicitará aquí que ésta

constituye una “lupa” sobre el segmento que va de 4,7 a 4,8 en la recta anterior)

Se abre una nueva ronda de preguntas.

A: ¿Es el 4,75?

M: No, es menor

A: ¿Es el 4,74?

M: No, es menor

A: ¿Es el 4,73?

M: No, es mayor. Comunica entonces que va a trazar una nueva recta:

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Finalmente, a través de las preguntas, los alumnos llegarán a que se trata del

número 4,738.

Con el juego descripto se busca que los alumnos reconozcan y aprendan a encontrar

una expresión decimal entre otras dos dadas. Los alumnos suelen pensar que entre

4,7 y 4,8 “no hay ningún número”, pero deberán enfrentarse a que 4,73; 4, 734 – e

infinitos más – están entre ambos. La noción de que hay infinitos números entre

dos números dados no importa cuán cerca se encuentren, es una noción difícil de

atrapar. Se espera que a partir del trabajo los alumnos puedan tener una primera

aproximación a esta noción cuyo estudio profundo se llevará adelante en la escuela

secundaria.

Al no explicitar de entrada la cantidad de cifras que va a tener el número en

cuestión, asumimos la imposibilidad estrictamente matemática de “adivinar” el

número. Justamente, la densidad hace que no se pueda siempre adivinar el número

sino decir en qué intervalo se encuentra… Sin embargo, pensamos que es una

situación válida aunque provisoria, para iniciar el análisis sobre estas cuestiones.

Una opción posible, es anticipar a los alumnos que el número que hay que adivinar

tiene.... cantidad de cifras.

Por otra parte, esta situación permite trabajar aspectos de la notación decimal que

sabemos generan obstáculos en el conocimiento de los alumnos. Las relaciones de

orden y densidad propias de este campo numérico pueden ser identificadas, al

establecer sus vinculaciones con la organización decimal de nuestro sistema de

numeración.

Es un buen contexto para identificar que las relaciones uno a diez heredadas de

nuestro sistema de numeración, se conservan en las posiciones a la derecha de la

coma. Si se analizan las diferentes rectas de abajo hacia arriba, los alumnos pueden

establecer que 10 milésimos equivalen a 1 centésimo, que 10 centésimos equivalen

a 1 décimo, que 10 décimos equivalen a 1. Para que los alumnos descubran la

regularidad de estas relaciones, el maestro podrá plantear qué pasaría si el número

al que hay que averiguar tuviera 4 cifras después de la coma, ¿y si tuviera 5 o 6, o

n cifras?

Las discusiones deberán orientarse a que los alumnos identifiquen las relaciones

descriptas. Los desacuerdos a raíz de las sucesivas subdivisiones de las rectas,

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serán campos propicios para identificar esas cuestiones. Nos parece central trabajar

estrategias para favorecer las producciones de los alumnos “flojos”. En este sentido,

apelar a los conocimientos que esos alumnos disponen, aunque pertenezcan a otros

contextos, suelen generar condiciones de producción. Por ejemplo, frente a alumnos

detenidos o en dificultades, se podrían anticipar intervenciones del docente

apuntando a que establezcan vinculaciones con lo que pudieran haber trabajado en

el contexto del dinero.

Se podrá modificar la situación de manera que los alumnos jueguen entre sí, de a

dos o de a parejas. Unos son los que tienen que averiguar el número a través de

preguntas y los otros, son los que piensan el número, están a cargo de responder

las preguntas y de organizar la información haciendo las rectas. Es importante que

los alumnos tengan la oportunidad de jugar desempeñando ambos roles con lo que

será necesario jugar por lo menos dos veces. Tanto producir la recta volcando la

información necesaria como interpretarla para apoyarse en ella y formular nuevas

preguntas, son buenas situaciones para poner en juego los conocimientos que nos

interesan.

Pensamos que otro aspecto a sincerar es qué se espera de los alumnos en relación

con los errores que cometan en una evaluación.

Es decir, después de la evaluación, ¿cuál es la responsabilidad del alumno? En

algunos casos una vez realizada la “prueba” y obtenido el resultado su trabajo

terminó. Incluso los alumnos que no aprobaron, en teoría, no tienen nada más que

hacer. No encuentran interés en analizar los errores, lo viven como un trabajo largo

y difícil y esperan la próxima evaluación como una nueva oportunidad. Otros

alumnos en cambio, no descansarán hasta comprender dónde se equivocaron y por

qué.

Creemos interesante preguntarnos en qué medida la gestión del docente

puede provocar la aceptación por parte de toda la clase de que el

trabajo de análisis de las producciones erradas es responsabilidad de los

alumnos. Sabemos que para lograrlo además de las concepciones

didácticas del docente que pueden estar más cerca o más lejos de

entender al alumno como productor de conocimiento (a diferencia de ser

solo un reproductor) inciden también ciertas características de los

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estudiantes como su personalidad, su trayectoria como alumno, su

vínculo con ese conocimiento, etc. Es decir, es una tarea compleja, pero

no por eso deja de ser importante de lograr. En principio requiere que el

docente no reemplace la actividad del alumno haciendo el trabajo que

cada uno de ellos debe hacer sobre sus propias soluciones, respuestas,

etc. Con la intencionalidad clara además, de promover las interacciones

entre los alumnos y los saberes a revisar.

Para finalizar esta clase les proponemos la siguiente actividad, a modo

de reflexión:

Vuelvan sobre las reflexiones que registraron en la primera actividad

que realizaron y analícenla a la luz de los desarrollos realizados.

A modo de cierre

Como hemos abordado, para ciertas nociones o procedimientos que se sitúan en

ruptura con los anteriores es necesario proponer problemas que pongan en cuestión

estos últimos, que puedan dar lugar a producciones erróneas. Tal es el caso de los

números decimales (en ruptura con los números naturales), o de las pruebas

intelectuales (en ruptura con las pruebas empíricas), entre otros.

Para abordar tales errores es necesario aceptar que en una misma clase alumnos

diferentes por sus conocimientos aporten soluciones diferentes, aún erróneas, para

un mismo problema, y que esto no es una dificultad, por el contrario, constituye

una fuente de riqueza. El debate acerca de los procedimientos y soluciones

propuestas, la confrontación entre los mismos, es fuente de aportes mutuos, de

evolución en los conocimientos, de posibilidades de enriquecerse aprendiendo de

sus pares.

Dado que los errores son elementos usuales en el recorrido de los niños en dirección

hacia un cierto conocimiento, es posible anticipar que en este proceso de

reconstrucción de los conocimientos matemáticos van a aparecer algunos errores de

forma sistemática y por lo tanto, las experiencias que se ofrezcan a los alumnos

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deberían intentar anticipar su aparición, incluir cierta forma de detección y alguna

planificación que permita la superación mediante diferentes tipos de actividades que

promuevan, principalmente, la reflexión crítica sobre esas mismas producciones

erróneas.

Pero para otras nociones, numerosas, los errores que se pueden observar no son

constitutivos del conocimiento, por lo que su abordaje es más simple. Se trata de

períodos de enseñanza un tanto tranquilos...

¡Hasta la próxima clase!

Biliografía citada y consultada

BERTÉ, A. (2000). Matemática Dinámica. A-Z Editora. Argentina.

BROUSSEAU, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones

didácticas. Libros del Zorzal. Argentina..

CENTENO PEREZ, J. (1988). Números decimales. ¿Por qué? ¿Para qué?, Editorial

Síntesis. Madrid.

CHARNAY, R. (1996). Pourquoi des mathématiques à l´école?, París, ESF

éditeur.

CHEVALLARD, Y. BOSCH, M. Y GASCÓN, J.(1997).Estudiar Matemáticas, ICE-

Horsori, Barcelona.

COLLETTE, JP. (1985). Historia de las Matemáticas. Siglo Veintiuno Editores.

Madrid.

MINISTERIO DE EDUCACION (2005) (Núcleos de aprendizaje prioritarios. 2°

ciclo EGB/Nivel primario. Disponibles en:

http://www.me.gov.ar/curriform/publica/nap/nap_egb2.pdf

MORENO, B. Y QUARANTA, M. (2007). Marco teórico del Curso de Capacitación

para Nivel Primario “Números decimales”. Dirección de Capacitación de la

Dirección General de Escuelas de la Provincia de Buenos Aires.

http://www.me.gov.ar/curriform/publica/nap/nap_egb2.pdf

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Actividades obligatorias

Actividad 1: Foro Tratamiento del error

A partir de las siguientes actividades:

a) 3,14 x 10=

b) Completen la siguiente serie: 2,6; 2,7; …, …; …; ….; ….; ...; ….;

c) Ordenen de menor a mayor: 0,4; 0,077; 0,180; 0,22 ; 0,07; 0,400

Les proponemos participar del foro Tratamiento del error para:

a) Debatir acerca de los posibles errores que podrían cometer los alumnos al

resolver las actividades y analizar los mismos a partir de las

interpretaciones descriptas en la clase.

b) En función de lo anterior, seleccionar uno de los posibles errores

identificados y proponer un dispositivo de remediación para iniciar su

tratamiento.

Lo importante es que al hacer el aporte en el espacio de debate,

cada uno de ustedes tenga en cuenta lo realizado previamente por

sus colegas, retomen alguna intervención en particular para

ampliarla, confrontarla, enriquecerla.

Actividad 1: Hacia el trabajo final

Continuamos trabajando en el documento de Google Drive compartido por

su tutora en la primera clase.

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Quinta parte del Trabajo Final

1- Seleccionen un error de interés que pueda surgir durante el desarrollo

de la secuencia que diseñaron o en la evaluación que van a implementar.

Describan un/os posibles orígenes del mismo.

2- Diseñen una situación que permita iniciar la remediación del error

seleccionado y expliciten:

a) Los criterios que tuvieron en cuenta para seleccionarla.

b) Cómo la implementarían, en función de la cantidad de alumnos

que lo cometan (una cantidad significativa o no)

c) Procedimientos (correctos e incorrectos) que puedan surgir.

d) Discusiones que promoverían.

e) Intervenciones docentes posibles.

f) Ideas básicas que deberían quedar registradas en la carpeta o el

cuaderno.

Actividades optativas

Foro de consultas generales de las clases

En el cual podrán presentar inquietudes, problemas o dudas en relación con

las propuestas de trabajo de las diferentes clases.

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Cómo citar este texto:

Instituto Nacional de Formación Docente (2016). Clase 05. Hacia un tratamiento

constructivo del error. Módulo: Seminario Final. Especialización docente de Nivel

Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires:

Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons

Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.es_AR

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