semejanza

TEMA 6 – SEMEJANZA Matemáticas

4º E.S.O y 1º Bach.6.1 – Figuras semejantes

• Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes.

• Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

• Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.


4º E.S.O y 1º Bach.6.1 – Figuras semejantes: Planos

Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos

determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales.

ML

M'L'es la razón de semejanza


4º E.S.O y 1º Bach.6.2 – Teorema de Tales

Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo semejante al grande.

Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes


4º E.S.O y 1º Bach.6.3 – Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.

El cocientea b c

ka ' b ' c '

se llama razón de semejanza.


4º E.S.O y 1º Bach.6.3 – Primer criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

A B

C

A' B'

C'

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por

tener un lado igual y los ángulos iguales.• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

A = A‘ y B = B‘ C = C'

A' B'

C'

B''

C''


4º E.S.O y 1º Bach.6.3 – Segundo criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.


tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a los del triángulo A'B'C' con la misma razón de proporcionalidad.

• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

a ' b ' c '

a b c

A' B'

C'

B''

C''


4º E.S.O y 1º Bach.6.3 – Tercer criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.


tener dos lados proporcionales con la misma razón de proporcionalidad y el ángulo comprendido igual.

• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

y A A' b' c'

b c

A' B'

C'

B''

C''

c


4º E.S.O y 1º Bach.6.4 – Teorema de Pitágoras

• En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

• Si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.

32 + 42 = 52


4º E.S.O y 1º Bach.6.4 – Teorema del cateto

Cateto c Cateto b

c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na

b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma

En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.


4º E.S.O y 1º Bach.6.4 – Teorema de la altura

Los triángulos I y II son semejantes ya que:

Se deduce que: m h b

h n c h2 = mn

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Son ambos rectángulos

B B*


4º E.S.O y 1º Bach.6.5 – Áreas de figuras semejantes

Cuadrado A Cuadrado B Cuadrado C

IA = 1pA= 4SA= 1

IB = 2pB = 8SB= 4

IC = 3pC = 12SC= 9

Comparamoslos cuadrados

Razón desemejanza

Razón deperímetros

Razón deáreas

B y A B

A

I 22 k

I 1 B

A

P 82 k

P 4

2B

A

S 44 k

S 1

C y A c

A

I 33 t

I 1 c

A

P 123 t

P 4

2c

A

S 99 t

S 1

C y B C

B

I 3s

I 2 C

B

P 12 3s

P 8 2

22C

B

S 9 3s

S 4 2

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