semana12 (1)

Ecuaciones Diferenciales

Catalina DomınguezRicardo Prato

Universidad del Norte

Departamento de matematicas y estadıstica

Semana 12

04.2014

Pagina 1 Semana 11-12 04.2014 C. Domınguez -R. Prato

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

F

x

l + s

Movimiento libre No amortiguado

d2x

dt2+ ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.Fuerza externa FProduce undesplazamiento x

ma = −k(x+ s) +mg

ma = −kx−ks+mg

md2x

dt2= −kx


Masa

F

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = βdx

dt

ma = −kx− βdx

dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

β

m

dx

dt= 0

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x = 0

2λ =β

mω2 =

k

mEcuacion caracterıstica:

m2 + 2λm+ ω2 = 0 ⇒ m1,2 = −λ±√

λ2 − ω2


Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)

En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0−0.5

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2te−λt

x(t)

Observe que la masa NO lograpasar por el punto de equilibrio


Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)

En este caso las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

C1 + C2te−λt

x(t)

Observe que la masa pasa por elpunto de equilibrio por lo menosuna vez.


Caso III: λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)

En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 cos√

λ2 − ω2t+ C2 sin√

λ2 − ω2t)

2

4

−2

−4

1 2 3 4 5 6

C1 cos√λ2 − ω2t+ C2 sin

√λ2 − ω2t

e−λt

x(t)


Masa

F

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m

dondex(t) = xc(t) + xp(t)

1 xc(t) se dice solucion transitoria(xc(t) → 0 cuando t → ∞)

2 xp(t) se dice solucion de estado estacionario

Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)

x(t) = xc(t) + xp(t)

1

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8

Solucion transitoria xc

Solucion estable xp

Solucion estable x(t) = xc(t) + xp(t)


Ejemplo

La solucion de

d2x

dt2+ ω2x = F0 sinαt

x(0) = 0 x′(0) = 0

donde α 6= ω viene dada por

x(t) =F0

ω(ω2 − α2)(−α sinωt+ ω sinαt)

Pregunta

¿ limα→ω

x(t)?


Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0

ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

Si γ → ω

limγ→ω

−γ sin(ωt) + ω sin(γt)

ω(ω2 − γ2)= lim

γ→ω

ddγ

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

ddγ

(

ω(ω2 − γ2))

= limγ→ω

− sin(ωt) + ωt cos(γt)

−2ωγ=

− sin(ωt) + ωt cos(ωt)

−2ω2


Ejemplo: Resonancia

limα→ω

x(t) =F0

2ω2sin(ωt)− F0

2ωt cos(ωt)

2

4

6

8

−2

−4

−6

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2


Resonancia

Si no ve el video consulte:

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

Ejemplo

1 Una masa de 3Kg esta fija al extremo de un resorte quese estira20 cm por una fuerza de 15N . Se pone en movimiento con la posicioninicial de x0 = 0 y la velocidad inicial de v0 = −10m/s. Encuentre laamplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante.

2 Una masa que pesa 100K esta sujeta al extremos de un resorte que seha estirado 1m mediante una fuerza de 100K. Otra fuerza F0 cos(ωt)actua sobre la masa. ¿A que frecuencia (en hertzios) ocurriran lasoscilaciones de resonancia? Haga casa omiso del amortiguamiento.

3 A mass of 1 slug, when attached to a spring, stretches it 2 feet andthen comes to rest in the equilibrium position. Starting at t = 0, anexternal force equal to f(t) = 8 sin 4t is applied to the system. Findthe equation of motion if the surrounding medium offers a dampingforce numerically equal to 8 times the instantaneous velocity.


.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dtUsando la segunda ley de Kirchhoff

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = E(t)

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = E(t)

Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0

las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por

Lm2 +Rm+1

C= 0 ⇒ m1,2 =

−R±√

R2 − 4LC

2L

Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor deldiscriminante:

Estadoamorti-guado

Discriminante

∆ := R2 − 4LC

Solucion

sobre R2 − 4LC

> 0, q(t) = e−R

2Lt(C1e

√∆t + C2e

√∆t)

crıtico R2 − 4LC

= 0 q(t) = e−R

2Lt(C1 + C2t)

sub R2 − 4LC< O q(t) = e

−R

2Lt(C1 cos

√−∆t+ C2 sin

√−∆t)


Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.

En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el

factor e−R

2Lt, y ası

q(t) → 0 cuando t → ∞

En el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t → ∞.

Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) 6= 0 , las vibracioneselectricas se dicen que estan forzadas. En el caso en que R 6= 0, lasolucion de la homogenea asociada qc(t), se denomina una soluciontransciente o remanente (transient solution).

Si E(t) es periodica o una constante, entonces la solucion particularqp(t) de se dice solucion de estado estacionario (steady-statesolution).


Ejemplo

1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 1

2

h, R = 10Ω , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.What is the charge on the capacitor after a long time?

2 Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRCen serie cuando L = 1h, R = 2Ω, C = 1/4 y E(t) = 50 cos(t)V .


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