semana11a

Ecuaciones Diferenciales

Catalina DomnguezRicardo Prato

Universidad del Norte

Departamento de matematicas y estadstica

Semana 11

04.2014

Pagina 1 Semana 11 04.2014 C. Domnguez -R. Prato

Ecuaciones Diferenciales Lineales no homogeneas

Recordar:

an(x)dny

dxn+ an1(x)

dn1y

dxn1+ + a1(x)dy

dx+ a0(x)y

=:L(y)

= f(x)

donde L define un operador lineal definido L(y) :=n

i=0

ai(x)diy

dxi


Propiedades:

La solucion y de una E.D.O lineal es de la forma y = yc + yp donde

yc solucion de la ecuacion homogenea asociada:

an(x)dny

dxn+ an1(x)

dn1y

dxn1+ + a1(x)dy

dx+ a0(x)y = 0

yp solucion particular de la EDO:

an(x)dny

dxn+ an1(x)

dn1y

dxn1+ + a1(x)dy

dx+ a0(x)y = f(x)

Prueba: Supongamos y = yc + yp es solucion entonces

L(yc + yp

)= L(yc)

0

+L(yp) f(x)

= 0 + f(x)


Ejemplo: Resolver y + y = 4x

la solcuion general de la E.D es de la forma

y(x) = yc(x) + yp(x)

tenemos que una solucion particular es yp(x) = 4x, Por que? y ademas

yc = c1 cos(x) + c2 sin(x)

y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x) + 4x


Metodo de coeficientes indeterminados

Consideremos la EDO lineal con coeficientes constantes (e.d. ai IR,i = 0, 1, 2, . . . , n, an 6= 0 )

any(n) + an1y

(n1) + + a2y + a1y + a0y = g(x)donde g(x) es una funcion:

constante

polinomial

exponencial

seno o coseno

sumas y productos finitos de las anteriores funciones

Este tipo de funciones tiene la propiedad de que las derivadas de sus sumas yproductos son nuevamente del mismo tipo !

g(x) = 21 g(x) = x3 + x2 + 1 g(x) = 15x + 3 8e2x

g(x) = lnx+x g(x) = ex + x2 g(x) = arcsin(x) +

1

cos x


Resolver 14y + 2y + 4y = x2 2x

Como la solucion general de la ecuacion es de la forma

y(x) = yc(x) + yp(x).

Determinemos yc: La ecuacion caracterstica es14r

2 + 2r + 4 = 0cuya raz es r1 = 4 con multiplicidad 2 entonces

yc(x) = c1e4x + c2xe

4x

Determinemos yp: Como g(x) = x2 2x es un funcion polinomica, suponemos

una solucion particular de una forma relacionada con g(x), esta funcion lallamaremos funcion de prueba; as se supone:

yp(x) = Ax2 +Bx+ C.

Dificultad

Resolver el sistema para A, B y C !


14y

+ 2y + 4y = x2 2xDerivando y reemplazando en la ecuacion diferencial

1

4yp+ 2y

p+ 4yp =

1

4(2A) + 2(2Ax+B) + 4(Ax2 +Bx+ C)

= 4Ax2 + (4A+ 4B)x+ (2B + 4C +A

2) = x2 2x

Igualando coeficientes tenemos que

4A = 1, 4A+ 4B = 2, 2B + 4C + A2

= 0

A = 14, B = 3

4, C =

11

32

Por lo tanto

y(x) = c1e4x+c2xe

4x+1

4x2 3

4x+

11

32


Soluciones particulares de prueba

g(x) Funcion de prueba yp

1 (cualquier constante) A5x+ 7 Ax+B3x2 2 Ax2 +Bx+ Cx3 x+ 1 Ax3 +Bx2 + Cx+Dsin 4x A cos 4x+B sin 4xcos x2 A cos

x2 +B sin

x2

e5x Ae5x

(9x 2)e5x (Ax+B)e5xx2e5x (Ax2 +Bx+ C)e5x

e3x sin 4x Ae3x cos 4x+Be3x sin 4x5x2 sin 4x (Ax2 +Bx+ C) cos 4x

+(Dx2 + Ex+ F ) sin 4xxe3x cos 4x (Ax+B)e3x cos 4x

+(Cx+D)e3x sin 4x


Resolver y + 2y 3y = 20ex cos 2x

Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada:

La ecuacion caracterstica es r2 +2r 3 = 0 cuyas races son r1 = 1, r2 =3 entonces

yc(x) = c1ex + c2e

3x

Paso II: Estimar la funcion de prueba:

Analizando la funcion g(x) = 20ex cos 2x se puede suponer que

yp(x) = ex(A cos 2x+B sin 2x)


Resolver y + 2y 3y = 20ex cos 2xPaso III: Estimar el coeficiente indeterminado A:

Derivando y reemplazando en la ecuacion diferencial

yp + 2y

p 3yp = (4B 3A)ex cos 2x+ (4A 3B)ex sin 2x+ 2(A+ 2B)ex cos 2x+ 2(2A +B)ex sin 2x 3Aex cos 2x 3Bex sin 2x

= 5ex cos 2x

ex((2B A) cos 2x(B + 2A) sin 2x)) = 5ex cos 2x{

2B A = 5,B 2A = 0 A = 1, B = 2

Paso IV: Escribir la solucion general:

y(x) = yc(x) + yp(x) = c1ex + c2e

3x + ex( cos 2x+ 2 sin 2x)

Resolver y + 3y 4y = 2ex

Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada:

La ecuacion caracterstica es r2 + 3r 4 = 0 cuyas races son r1 = 4 yr2 = 1 entonces

yc(x) = c1e4x + c2e

x

Paso II: Estimar la funcion de prueba:

Analizando la funcion g(x) = 2ex se puede suponer que

yp(x) = Aex Debemos determinar A !

Paso III: Estimar el coeficiente indeterminado A:

Derivando tenemos y = Aex y y = Aex y reemplazando en la ecuacion

Aex + 3Aex 4Aex = 2ex 0 = 2ex Absurdo!

Que fallo?

Falla del metodo!

Observe que la funcion de prueba

yp(x) = Ae2x

es solucion de la ecuacion homogenea asociada. Por que? Al derivar yreemplazar en la ecuacion

Aex + 3Aex 4Aex = 0

Para subsanar esta falla suponemos que la funcion de prueba para yp es

yp(x) = (Ax+B) ex.

Compruebe (y justifique!) que de igual forma es valida la eleccion

yp(x) = Ax ex

Resolver y + 3y 4y = 2e4x

1 Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada: La ecuacioncaracterstica es r2 + 3r 4 = 0 cuyas races son r1 = 4 y r2 = 1entonces yc(x) = c1e

4x + c2ex.

2 Paso II: Determinar la funcion de prueba para yp: Puesto queg(x) = 2e4x es solucion de la ecuacion homogenea asociada,debemos suponer

yp = Axe4x

3 Paso III: Determinar el coeficiente indeterminado A: Derivandoyp = e

4x(4Ax+A) yp = e4x(16Ax 8A) y reemplazando enla ecuacion

e4x(16Ax 8A) + 3e4x(4Ax+A) 4Axe4x = 2e4x

5Ae4x = 2e4x A = 25

4 Paso IV: Escribir la solucion general:y(x) = yc + yp = c1e

4x + c2ex +

2

5xe4x


Solucion de la falla del metodo:

Si algun termino de la funcion g(x) es solucion de la ecuacion homogeneaasociada, entonces debe suponer que ese termino de g(x) estamultiplicado por x y de esta manera determinar la funcion de prueba.

Ejemplo 1: Resolver y = 4x.1 Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada:

yc(x) = c1 + c2x.

2 Paso II: Determinar la funcion de prueba:

Si yp(x) = Ax+B 0 = 4x (absurdo) Por que no es valida yp? Si yp(x) = Ax

2 +Bx 2A = 4x (absurdo) Por que no es valida yp? Si yp(x) = Ax

3 +Bx2 6Ax+ 2B = 4x3 Paso III: Determinar los coeficientes: A = 2/3, B = 04 Paso IV: Escribir la solucion general

y(x) = c1 + c2x+2

3x3


Resolver y 4y + 4y = 6e2x

1 Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada: La ecuacioncaracterstica es r2 4r + 4 = 0 cuya raz es r = 2 con mult. 2entonces yc = c1e

2x + c2xe2x

2 Paso II: Determinar la funcion de prueba para yp Observe queg(x) = 6e2x es solucion de la EDO homogenea asociada. Si

yp = Ae2x no es valida por que?.

yp = Axe2x no es valida por que?.

yp = Ax2e2x es valida por que?.

3 Paso III: Determinar el coeficiente A Derivando y reemplazandoen la ecuacion

(Verificar)! 2Ae2x = 6e2x A = 3

4 Paso IV: Escribir la solucion general

y(x) = yc(x) + yp(x) = c1e2x + c2xe

2x + 3x2


Resolver y + 2y + 5y = 4ex(cos 2x 2 sin 2x)

1 Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada:

yc = c1ex cos 2x+ c2e

x sin 2x

2 Paso II: Determinar la funcion de prueba para ypObserve que g(x) = 4ex(cos 2x 2 sin 2x) hace parte de yc, por lotanto vamos a suponer

yp = ex(Ax cos 2x+Bx sin 2x)

3 Paso III: Determinar los coeficientes A y B Derivando yreemplazando en la ecuacion tenemos

ex(B cos 2xA sin 2x) = ex(cos 2x 2 sin 2x)entonces A = 2, B = 1.

4 Paso IV: Escribir la solucion general

y = c1ex cos 2x+ c2e

x sin 2x+ xex(2 cos 2x+ sin 2x)


semana11a

Documents