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APLICACIÓN DE LA INTEGRALDEFINIDA: CÁLCULO DE

VOLÚMENES POR EL MÉTODODE DISCOS Y ARANDELAS

ANÁLISISMATEMÁTICO II

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PROPÓSITO

Identifca y

plantea losprocedimientosdel método delos discos yarandelas para elcálculo devolúmenes.

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INTRODUCCIÓN

Al tratar de calcular el volumen de un sólidoenfrentamos el mismo problema que al tratar decalcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a unadefinición exacta.

Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidossencillos como cilindros prismas.

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A!

Cilindro "ecto# $ A!

r

!

Cilindro circular# $ πr%!

ab

c

Paralelep&pedo"ectangular

# $ abc

'l volumen de un sólido cualquiera podrádescomponerse en la suma de volúmenes de sólidoselementales como los anteriores

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VOLUMEN DE UN SÓLIDO DEREVOLUCIÓN.

(ólido de revolución es el que se obtiene al girar una región delplano alrededor de una recta del plano llamada eje derevolución.

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METODO DELDISCOEste método consiste en coger una sección transversal de la figura,

que al momento de hacerla girar alrededor de algún eje nos genere un

sólido de evolución.

a xi b

 

xi

y=!x"

!xi"

Diferencial devolumen

)xi

f * x i+

( )[ ]  i i i 

  x  x f V    ∆=∆  %

π  

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TEOREMA

(ea f  una función continua en el intervalo a, b- f * x + / en a, b-. 'l volumen del sólido obtenido algirar alrededor del e0e 1  la región limitada por lacurva y $ f * x +, las rectas x$a, x$b  el e0e 1 es2

METODO DELDISCO

2

1

2

lim [ ( )]

[ ( )]

n

i in

i

b

a

V f x x

 f x dx

→ ∞=

= π ∆

= π

∑

∫ 

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EL METODO DE LOSDISCOS'n s&ntesis2

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Ejemplo01Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor deleje x la región bajo la curva: , de 0 a .

Solución El sólido est! entre x"0 # x", graficamos sacamos un disco$disco rosado%.

 

El volumen de este disco ser! ,( ) 2

dV x dx xdxπ π  = =

1

0  2

V xdx  π  

π  = =∫ 

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Ejemplo02.Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girarla región limitada &or alrededor

del eje #.Solución 

 Tenemos que despej! en "#!minos de $% s&

'!(cmos $ scmos el disco )disco !osdo*+

 

El volumen de este disco ser! ,dd$ 

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METODO DE LS!"DELS

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METODO DE LS!"DELSEste método lo usamos cuando tenemos ' funciones a

graficar # estas nos forman un sólido hueco, al rotarlosacamos un disco que tiene forma de anillo:

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3'4"'5A

(ean f   g dos funciones continuas en a, b- tales

que f * x + g* x + para toda x en a, b-. 'l volumendel sólido generado al rotar alrededor del e0e 1 laregión limitada por f * x +, g* x + las rectas  x=a   x=b será2

2 2

1

2 2

lim ([ ( )] [ ( )] )

([ ( )] [ ( )] )

n

i i in

i

b

a

V f x g x x

 f x g x dx

→∞=

= π − ∆

= π −

∑

∫ 

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Ejemplo01Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la regiónencerrada &or las curvas # " x , # " x( en torno al eje x.

Solución ,!ime!o "enemos que i-ul! ls cu!s p! o/"ene! suspun"os de in"e!sección+ 

En es"e pun"o "enemosque mi!! cul es el !dioe"e!no $ cul el in"e!no.El !dio in"e!no es $ $el !dio e"e!no es$. A3o! 3llmos el

olumen+,

x " x(, x"0 # x"

#a con los &untos de intersección graficamos # rotamos, sacando el anillo

que nos resulta $anillo rosado%

2 2( )b

a

V R r dxπ  = −∫ 

1

2 4

0

2( )

15V x x dx

  π  π  = − =∫ 

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Ejemplo02Clcul! el olumen en-end!do l -i!!

l!ededo! del eje O4 el !ecin"o limi"do po! ls-!5(cs de $ 2 62% $ 6 7 2.Solución Puntos de intersección entre la parábola la recta2

6a parábola está porencima de la recta en elintervalo de integración.

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Ejemplo08Clcul! el olumen del sólido 9o!mdo cundo l

!e-ión comp!endid en"!e l cu! $ 1 72 62  $

l !ec" $ : 1 -i! l!ededo! de l !ec" $ : 2Solución 

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;.Solución 

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E#ERCICIOS PARARESOLVER EN

CLASE

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#$. 

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#%. L !e-ión en"!e ls cu!s-i! l!ededo! del eje $ 2 -ene!ndo un sólidode !eolución.

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#&. L !e-ión limi"d po! l !ec"po!

l p!5/ol -i! l!ededo! deleje $ =1.

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#'.

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#(. >ll el olumen del sólido de

!eolución que se 9o!m l -i!! l !e-iónco"d po! ls -!5(cs de ls ecuciones l!ededo! del eje

 4 x =

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#). 

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#*. 

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#+. >ll el olumen del sólido de !eolución quese o/"iene l -i!! l!ededo! del eje @% l !e-iónence!!d po! ls cu!s 2 : 2$ 0% $ 8 : 8 7 % ls !ec"s 2B 0 

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