semana 4 - ecuaciones de valor - pagos parciales - descuentos

8/18/2019 Semana 4 - Ecuaciones de Valor - Pagos Parciales - Descuentos

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Prof. Jorge Carreño Escobedo

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES

Curso: Matemática Financiera

- SEMANA 4 -

Ecuaciones de valor.

Deducción de pagos parciales.Operaciones de descuento.


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Repaso de Interés Compuesto

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Interés Compuesto – Ejemplo 1

Prof. Jorge Carreño Escobedo3

Calcular los montos compuestos resultantes de invertir UM 50, UM9 000 y UM360 000 a la tasa del 14% capitalizable trimestralmente al cabo de5 años.

Solución:

VA1=UM50 VA2=UM9 000 VA3=UM360 000 i = 14% pc = trimestral; fc = 4 i = 14%/4 = 3,5% ó 0,035

t = 5 años n = 5 x 4 = 20 VF1 = ? VF 2 =? VF3 =?

VF1 = 50 (1 + 0,035)20 = 50 x 1,98978886347 = UM99,4894431735 ≅UM99,49

VF2 = 9 000 (1 + 0,035)20 = 9 000 x 1,98978886347 ≅ UM17 908,10

VF3 = 360 000 (1 + 0,035)20 = 360 000 x 1,98978886347 ≅ UM716 323,99


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Se invierten S/.12 000 nuevos soles durante 3 años a la tasa del 18%capitalizable o convertible bimestralmente. Determinar el MontoCompuesto, Interés Compuesto y la Tasa efectiva anual.

Solución.

VA = S/.12 000; i = 18%; pc = Bimestral; fc = 6; i = 18%/6 = 3%; t =3años

n =3x6 = 18

Aplicando la fórmula tendremos:

VF = 12 000(1+ 0,03)18 = S/.20 429,20

Ic = 20 429,20 – 12 000 = S/.8 429,20

TEA = (1 + i)fc – 1 = (1 + 0,03)6 – 1 = 0,19405229653 o ≅19,41%


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Se invierten $ 147 500 dólares americanos durante 30 meses a la tasadel 14,4% capitalizable o convertible mensualmente. Determinar el MontoCompuesto, Interés Compuesto y la Tasa efectiva anual.

Solución:

VA = S/.147 500; i = 14,4%; pc = mensual; fc = 12; i = 14,4%/12 = 1,2% t =30 meses; n = 30/12 x 12 = 30

Aplicando la fórmula tendremos:

VF = 147 500 (1+ 0,012)30

= S/.210 963,54 Ic = 210 963,54 – 147 500 = S/.63 463,54

TEA = (1 + i)fc – 1 = (1 + 0,012)12 – 1 = 0,15389462418 o ≅15,39%


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Calcular los montos compuestos resultantes de invertir S/.66,888 a la tasa del12% capitalizable semestralmente, trimestralmente, bimestralmente,mensualmente y quincenalmente al cabo de 4 años.

Rpta. Factores: VP1-2-3-4 y 5 = S/.66 888 ; i1-2-3-4 y 5 = 12% pcx =periodo fcx =frecuencia

pc1= semestral; fc1 =2; i1 = 12%/2 = 6% ; t1 = 4 años; n1 = 4x2 = 8 ; VF1 = ?

pc2= trimestral; fc2 =4 ; i2 = 12%/4 = 3% ; t2 = 4 años; n2 = 4x4 = 16 ; VF2 = ? pc3= bimestral fc3 =6 ; i3 = 12%/6 = 2% ; t3 = 4 años; n3 = 4x6 = 24 ; VF3 = ?

pc4= mensual fc4 =12 ; i4 = 12%/12 = 1%; t4 = 4 años; n4 = 4x12 = 48 ; VF4 = ?

pc5= quincenal fc5 =24; i5 = 12%/24 = 0.5%; t 5 =4 años; n5 = 4x24 = 96; VF5 = ?

VF1 = 66 888 (1 + 0,06)8 = 66 888 x 1,59384807453 = S/.106 609,31

VF2 = 66 888 (1 + 0,03)16 = 66 888 x 1,6047064391 = S/.107 335,60

VF3 = 66 888 (1 + 0,02)24 = 66 888 x 1,60843724948 = S/.107 585,15

VF4 = 66 888 (1 + 0,01)48 = 66 888 x 1,61222607768 = S/.107 838,58

VF5 = 66 888 (1 + 0,005)96 = 66 888 x 1,61414270846 = S/.107 966,78


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ECUACIONES DE VALOR


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ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES


Un problema básico y muy frecuente en las operacionesfinancieras es que existan operaciones diferentes quedeban replantearse para expresarlas en una operación única.

Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el

punto de vista financiero, un valor distinto. No se debeolvidar que sólo se pueden sumar, restar o igualar dinerosubicados en una misma fecha.

La fecha que se escoge para la equivalencia se denominafecha focal. La fijación de la fecha focal debe corresponder

a lo pactado en los pagarés. Los cambios de fecha focalproducen variaciones en la determinación de las cantidades.

Fecha Focal (FF): Es el punto de comparación o igualdadpara un conjunto de obligaciones.


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ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTESA INTERÉS SIMPLE – Ejemplo 5


Se firma un pagaré por $10 000 a 90 días al 6% anual; 30 días después sefirma otro pagaré por $25 000 a 60 días sin interés. Dos meses despuésde la primera fecha, acordó con el acreedor pagar $20 000 en esemomento y recoger los dos pagarés firmados reemplazándolos por unosolo a 3 meses, con un rendimiento del 8% anual. Determinar el pago únicoconvenido.

Para plantear la ecuación, se dibuja primero el diagrama de tiempo -valor.

Se escoge como fecha focal a 150 días. Y se calculan los distintos valores y se plantea la ecuación de valores equivalentes entre los nuevos valores ylos antiguos.


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Solución al Ejemplo 5 …I


Solución:

Son 4 las operaciones implicadas: 2 de contratación de deuda y 2 de pago Contratación de deuda:

Primero encontramos el monto de este capital de $10 000 con el interés pactado de ladeuda

A. Datos:

VA= 10 000 VF = VA(1+ni)n = 90/360 = 3/12

i = 0.06 VF = 10 000(1+ (0.25)(0.06) )

VF = ? VF = $10 150 Valor al vencimiento

Para este valor encontrado se calcula el monto al final del nuevo plazo considerando el nuevointerés pactado

A. Datos:

VA = 10 150

n = 60/360 = 2/12 VF = 10 150 (1+ (0.1666) (0.08) )

i = 0.08 VF = $10 285.33 Valor al final del nuevo plazo


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Solución al Ejemplo 5 …II


Ahora, se calcula el monto para el segundo adeudo, de la fecha devencimiento al final del nuevo plazo pactado.

B. Datos:

VA = 25 000

n = 60/360 = 2/12 VF = 25 000 ( 1 + (0.1666)(0.08) )

i = 0.08 VF = $25 333.33 Valor al final del nuevo plazo


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Solución al Ejemplo 5 …III


Pago: Enseguida se toma el valor del pago de $20 000 que se realizará a cuenta, alos dos meses de pactada la primera deuda y se encuentra su monto al finaldel nuevo plazo pactado.

Datos:

I. VA = 20 000 VF = 20 000 ( 1 + (3) (0.08/12) )

n = 3i = 0.08/12 VF = $20 400

Ecuaciones equivalentes:A + B = I + X10 285.33 + 25 333.33 = 20 400 + X35 618.66 = 20 400 + X35 618 .66 - 20 400 = X15 218.66 = X

Por lo tanto el valor del pago al final del nuevo plazo será de $ 15 218.66


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ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES AINTERÉS SIMPLE – Ejemplo 6


En la fecha una persona debe UM 10,000.00 por unpréstamo con vencimiento en seis meses, contratadooriginalmente a un año y medio a la tasa de 12%, y debeademás, UM 25, 000.00 con vencimiento en nueve

meses, sin intereses. El desea pagar UM 20,000.00 deinmediato y liquidar el saldo mediante un pago únicodentro de un año. Suponiendo un rendimiento del 10% yconsiderando la fecha focal dentro de un año,determinar el pago único mencionado.


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Solución Ejemplo 6


En primer lugar vamos a calcular el valor al vencimientodel préstamo que vence a los seis meses (o sea elmonto).

VA = 10,000i = 0.12

n = 1.5

VF = VA (1+ in ) …………………..Fórmula

VA= VF/(1 + in) …………………..Fórmula

Continúa explicación en clase…


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ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES AINTERÉS COMPUESTO


Esta solución varía un poco de acuerdo con lalocalización de la fecha focal tratándose de interéssimple.

Pero cuando el interés es compuesto, la solución es lamisma para cualquier ubicación de la fecha focal.


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Ejemplo 7 – (a Interés Compuesto)


Se deben $10,000 a un plazo de dos años y otros$20,000 a cinco años. Con el acreedor se acuerda enefectuar un pago único al final del plazo (Fecha Focal),conviniendo en un interés del 8% anual capitalizablesemestralmente. Calcular el pago único.

Solución:

Elaboramos el diagrama de tiempo:

En el Pago X, se considera como fecha focal.


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La deuda de $10,000 se llevaría a un valor futuro al 5º año, porlo tanto encontraremos el monto. Los $20,000 únicamente sesuman puesto que en esa fecha sería el pago.

Datos:

VA = 10 000

n = 3 años x 2 semestres por año = 6 semestres

i = 0.08/ 2 = 0.04 por semestre V F = ¿

Deudas Pago único

10,000(1.04)6+ 20,000 = X

12 653.19 + 20,000 = X

32 653.19 = X

Por lo tanto el pago único sería de $32,653.19

Nota:20,000 no se calcula,sólo se coloca como

es, por coincidir conla fecha focal.


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Como mencionamos que puede tomarse cualquier otrafecha focal y que el resultado sería el mismo.

Tomemos ahora como fecha focal el 0 es decir la fechade contratación de la deuda:


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Ahora llevaremos la deuda a un valor actual o periodo 0que sería nuestra nueva FF, es decir le aplicaremos losintereses según los semestres y las igualaremos al pago a

realizar en 5 años que equivale a 10 semestres (haciaatrás):

Datos:

10,000(1.04)-4 + 20,000 (1.04)-10 = X ( 1.04)-10

8 548.04 + 13 511.28 = X (0.675564) 22 059.32/ 0.675564= X

$32 653.18 = X

Encontramos que es la misma cantidad, $32 653.18

VA1 = 10 000i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral)n = 2 x 2 = 4 semestresVF1 = ?

VA2 = 20 000i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral)n = 5 x 2 = 10 semestresVF2 = ?

Nota:El exponente es signonegativo por que lascantidades apuntande derecha aizquierda a la FF queestá al inicio.


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DEDUCCIÓN DE PAGOS PARCIALES

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DEDUCCIÓN DE PAGOS PARCIALES


El objetivo es tener los fundamentos matemáticos delos pagarés con intereses, de las ventas a plazo y de lacancelación de deudas mediante pagos parciales.

Se podrá calcular intereses efectivos en deudas conabonos parciales, intereses en las diferentesmodalidades de ventas a plazo y podrá diseñar planesde ventas a plazo.

C el capital o suma prestada

t el tiempo

I el interés o rédito


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Ejemplo 8(Pagaré en Fracciones del Plazo de la Deuda)


Analicemos lo que ocurre con un pagaré de $100 que gana interesesdel 8%, con vencimiento a un año plazo, y que obliga al deudor a pagarlos intereses por trimestres vencidos.

El diagrama de tiempo-valor nos muestra, para nuestroejemplo, la fecha de pago de los intereses y el valor deestos.


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Fijando la fecha focal en la fecha de vencimiento delpagaré, tendremos que los intereses pagados al final decada trimestre ganan intereses, a la misma tasa del

pagaré, hasta la fecha de vencimiento. Calculando losmontos en la fecha focal y designándolossucesivamente por S1,, S2, ... , Sn, se tiene:

S = C(1 + ni)


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Fórmula general del monto, en la cual C = $ 2; i = 0,08

Para n = 9 meses = ¾ año S1 = 2 [1 + (3/4 )(0,08)] =2(1 + 0,06)= $2,12

Para n = 6 meses = ½ año S2

= 2 [1 + (1/2)(0,08)] =

2(1 + 0,04)= $2,08

Para n = 3 meses = ¼ año S3 = 2 [1 + (1/4)(0,08)] =

2(1 + 0,02)= $2,04


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En la fecha del vencimiento, el deudor deberá pagar elvalor del pagaré más los intereses del último trimestreo sea $ 102; agregando a este valor los montos S1 , S2 y

S3, se tiene el monto en la fecha focal

S = 102 + 2,12 + 2,08 + 2,04

S = $ 108,24

Este monto final muestra que los interesescorresponden a un pagaré de $100 a la tasa efectiva

anual (TEA) del 8,24%, que es mayor que la tasanominal del pagaré.


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PAGOS PARCIALES


Para el tratamiento de las obligaciones que permiten pagosparciales o abonos dentro del período o plazo de la obligación, enlugar de un solo pago en la fecha de su vencimiento, haydiferentes criterios; nos referiremos a los dos más importantes yde más frecuente aplicación. En todo caso, al estudiar el interéscompuesto, se verán métodos más generales para este tipo deproblemas.

Regla comercial Esta regla indica que, para los pagarés que gananintereses, deben calcularse en la fecha de vencimiento,independientemente, los montos de la obligación y de losdiferentes abonos. La cantidad por liquidar en esa fecha es ladiferencia entre el monto de la obligación y la suma de los montosde los diferentes abonos.

Sea S el monto de la deuda en la fecha de vencimiento y S1, S2, ..., Sn los montos de los distintos abonos en la misma fecha y sea Xla cantidad por liquidar. De acuerdo con la regla comercial, laecuación de equivalencia es:

X=S—(S1 +S2 + ...+Sn)


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Ejemplo 9(Pagos Parciales)


Sobre una obligación de $10 000 a un año de plazo conintereses del 12%, el deudor hace los siguientes abonos:$ 5000 a los tres meses y $ 4000 a los 8 meses.

Calcular, aplicando la regla comercial, el saldo por pagaren la fecha de vencimiento


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Designando por S el monto de la deuda y por S1 y S2

los respectivos montos de los abonos, en la fecha devencimiento, se tiene:


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S = C(1 + ni)

C= 10 000; n = 1 año; i = 0,12S = 10 000(1 + 0,12) = 10 000(1,12)S = $11200

C = 5000; n = 9 meses = ¾ años

S1 = 5000 [1 + (3/4)(0,12)] = 5000(1 + 0,09) = 5000(1,09)S

1

=$5450

C = 4000; n = 4 meses = 1/3 año; i = 0,12

S2 = 4000 [1 + (1/3)(0,12)] = 4000(1 + 0,04) = 4000(1,04)S2 = $4160

X = S-(S1

+S2

)= 11 200-(5450 + 4160)X=$1590


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Regla de los saldos insolutos. Esta regla para lospagarés que ganan intereses indica: cada vez que sehace un abono debe calcularse el monto de la deuda

hasta la fecha del abono y restar a ese monto el valordel abono; así se obtiene el saldo insoluto en esa fecha.

Los pagos parciales deben ser mayores que losintereses de la deuda, hasta la fecha de pago.


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OPERACIONES DE DESCUENTO


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Ejemplo 10(Para El Calculo Del Descuento Bancario)


Un pagaré por $ 68 000 vence el 18 de septiembre; se descuenta el20 de junio al 10%. Calcular el valor descontado y el valor líquido delpagaré.

Sean : S = valor del pagaré; n = tiempo expresado enaños; d = tanto por ciento (tasa de descuento).

I = Cni

C = el capital o suma prestadat = el tiempo

I = el interés o rédito

D = Descuento

d = Tasa de descuento

S = Valor del pagaré

n = tiempo en años


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El tiempo que falta para el vencimiento es de 90 días, n =1/4 año; S = 68 000; d = 0,1

D = Snd = (68 000)(1/ 4)(0,1)

D = $1700

Valor líquido = S - D = 68 000 - 1700 Valor líquido = $ 66 300

El valor líquido C es el valor actual del pagaré y, por lotanto, igual al valor nominal S, menos el descuento:

Sustituyendo:

C=S - D

D = Snd ........................... (fórmula)

C = S - Snd

C= S(1 - nd) ………………………… (fórmula)


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Más sobre Ecuaciones de Valor a InterésSimple

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Ejemplo 11: Una persona debe $20,000 dentro de6 meses y $30,000 a un año. El acreedor aceptaun pago en efectivo a los 6 meses equivalente alas deudas. Determine su valor, si la tasa de interésde la operación es del 30% y se establece comofecha focal el día de hoy.

Solución

Gráfica

Fecha Focal (FF): Es el punto de comparación o igualdad para unconjunto de obligaciones.


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130.01000,30

12

6030.1

000,20

12

630.01

X

30.01

000,30

15.01

000,20

15.01

X

92.2307630.391,1715.1

X

45.538,46$ X


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Ejemplo 12: Una persona debe mil pesos

con vencimiento en un año a un interésdel 14%. Desea saldar esta obligaciónpor medio de dos pagos de igual valor aefectuar a los 3 y 9 meses

respectivamente. ¿Cuál será el valor delos pagos, si ambas partes acuerdanutilizar una tasa de interés del 16% y una

fecha focal de un año?


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14.1100012316.01

12916.01 X X

12316.0

12916.02

14.1000,1

X

X = $527.78

04.012.02

14.1000,1

X

semana 4 - ecuaciones de valor - pagos parciales - descuentos

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