semana 11 unidad vi redes diapositivas

Investigación de operaciones

Unidad VI

Redes

Introducción a redes

• Consideremos una ruta “R” que es un grafo(una red) dirigido (con dirección) que contieneuna secuencia de nodos (puntos en elespacio), que denominaremos con

y una secuencia de k-1 arcos(segmentos que unen los nodos).

knnn ,...,, 21

2k

Definiciones básicas

– Nodos: { i , j }

– Arcos: { ( i , j ) }

En este ejemplo, vemos que está el nodo “i” y el nodo “j”. Por

otra parte, tenemos que existe sólo un arco, que correspondeal arco ( i, j).

Para una ruta “R” diremos que: : es el conjunto de arcos en dirección de la ruta.

: es el conjunto de arcos que van en sentido contrario.

RR

Definiciones básicas

• Ciclo o circuito: es una ruta donde elnodo inicial y final es el mismo.

Un grafo queda definido de la siguiente forma:

ANG ,

Donde “N” es el numero de nodos y “A” el numero de arcos.

Flujos y Convergencia

• Dado un se define un set de flujo ovector de flujos como:

ANG ,

AjixX ij ,/

1. Se define divergencia del nodo “i” de lasiguiente forma:

(1) (2)

(1): suma de lo que sale del nodo “i”. Oferta del nodo “i”.(2): suma de lo que entra al nodo “i”. Demanda del nodo “i”.

NixxyiDj

ij

iOj

iji


• En el caso anterior se pueden dar 3 opciones:

>0 --> nodo fuente o generador.

<0 --> nodo de demanda o de consumo.

=0 --> nodo de transferencia.

iy

iy

iy


2. Restricciones de capacidad:

Donde:

: capacidad mínima del arco (i, j). Generalmente este valor es igual a cero.

: flujo del arco (i, j).

: capacidad máxima del arco (i, j).

Ajicxb ijijij ,

ijb

ijx

ijc

m

i

2

1

n

j

2

1

ijx

Tipos de problemas

1. Problemas de transporte

¿ ?

Este problema consiste endeterminar como distribuyo desdelas nuevas fuentes de origen a lasde destino.

Tipos de problemas

1. Problemas de transporte: costo de ir desde el origen “i” al destino “j”.ija

0,

,...,1

,...,1

.

,

1

1

,

ijji

j

m

i

ij

i

n

j

ij

ji

ijij

xnmi

njx

mix

as

Aji

xanmi

n

j

j

m

i

i

11

Consistencia:

Tipos de problemas

2. Problemas de flujo a mínimo costo

Determinar el mínimo costo al que se puede enviar un flujo“s” (conocido) por una red.

Determinar un vector de flujo, pero con el dato de que lotrasportado se conoce. En este caso, no se identifican nodosde oferta y de demanda como el de transporte.

Tipos de problemas

2. Problemas de flujo a mínimo costo

FIiyxx

as

xanmi

i

iDj

ij

iOj

ij

ijij

,...,

.

ijijij cxb

En este caso conocemos:

: costo de pasar flujo delnodo “i” al nodo “j”.

: cota mín.

: cota máx.

ijb

ijc

ija

Tipos de problemas

3. Problemas de rutas mínimas

1,0

1

),(0

1

.

ij

iDj

ij

iOj

ij

ijij

x

Fisi

Fsi

sisi

xx

as

xanmi

Algoritmos de solución

1. Problemas de transportePrimal Dual

De (*) podemos escribir una condición de holgura complementaria:

1. Si

2. Si

0

,...,1

,...,1

.

1

1

,

ij

jj

m

i

ij

ii

n

j

ij

ji

ijij

x

njx

mix

as

xanmi

signosenosirrestrict

a

as

xma

ji

ijji

i j

jjii

,

(*)

.

0 ijjiij xa

ija

0 ijij aox

0 ijij xoa


1. Problemas de transporte Ejemplo con Algoritmo Hitchcock

1) Encuentre una solución

factible.

2) Encuentre la solución

óptima.



Costo de la primera solución propuesta,mediante el método esquina noroeste, esde 1090.



¿Estamos en el óptimo?

Tenemos que:

Por lo tanto, sacamos los valores de u y v, en el análisis de las variables básicas:



Ahora debemos calcular los costos reducidos de las variables que se encuentranfuera de la base, es decir, de las variables no básicas. Si todos estos resultados me dan> o = a 0, significa que nos encontramos en el punto óptimo, ya que ninguna de lasvariables que se encuentran fuera de la base, disminuirían el costo de transporte si laingresáramos a la base.

Por lo tanto, no estamos en el óptimo, ya que existen candidatos a entrar a la base.



Los candidatos a entrar a la base, son aquellas variables que nos entregan costosreducidos menores a cero. Entrará la variable que tenga el valor más negativo.

Esto significa, que X31 entra a la base.

Para ver que variable sale de la base, debemos formar un circuito entre la que acabade entrar y las variables que ya eran básicas. Además, debemos calcular el valor de P.Con esto veremos que variable de las que estaban en la base y forman parte delcircuito se hace cero, por lo tanto, sale de la base.

66,40

nmianmi ijaij



Por lo tanto, X32 sale de labase, ya que se hace 0 alreemplazar los flujos con losvalores de .

1010,20 nmi



¿Estamos ahora en el óptimo?

Calculemos los costos reducidos de las variables no básicas


2. Problema de rutas mínimas

Ejemplo Algoritmos Djikstra:

Queremos resolver la pregunta: ¿Cuál es la menor distancia(costo o tiempo) que hay entre el nodo de origen y un nododistinto?

ij

ij

ij

t

d

a


2. Problema de rutas mínimas Consideremos la siguiente red:

El camino más corto para ir del nodo 1 al nodo “i” está dado por las etiquetas, esdecir, por los , ya que estos entregan el valor mínimo de ir del inicio hasta esenodo. Por ejemplo, para ir del nodo 1 al nodo 4, la mínima distancia es 7. ( )

i74


2. Problema de rutas mínimas ¿Cuál es la distancia mínima para ir del nodo 1 al nodo 6?i. En el algoritmo Djikstra tendremos 2 conjuntos de nodos:

1) T: conjunto de nodos marcados.

2) V: conjunto de nodos no marcados.

ii. Cada nodo tiene asociado una etiqueta, como vimos anteriormente. Donde

(j: iteraciones del algoritmo)

iii. Inicio del algoritmo.1) Conjunto “T” está constituido por el nodo de origen.

2) Todos menos el origen.

Adicionalmente decimos que: 1) distancia del origen al origen =0.

2) .

jii nmi *

1T

1 NV

01

0 ii


2. Problema de rutas mínimas ¿Cuál es la distancia mínima para ir del nodo 1 al nodo 6?

iv. Pasos del algoritmo: 1) En cada iteración un nodo ingresa a la lista “T”.

2) Sea “s” el nodo que entra en la lista “T” en la iteración “k-1”.

3) Para la iteración “k” debemos revisar las etiquetas de todos los nodos “j”.

Tenemos ahora calculados los , diremos que entra a la lista “T” si:

v. Terminamos cuando:

jdnmi sjsjj ,

Vjj p

Tpnmi jVj

p

V

NT


3. Problemas de flujo máximo El problema acá es determinar el máximo flujo que puede

circular por una red.


3. Problemas de flujo máximo Ejemplo

1) Encontrar caminos de aumento de flujo (del origen al destino).

2) Iniciar el proceso de búsqueda desde origen:i. Ver si existen arcos tal que cuando (i,j) va en dirección al camino.

ii. Ver si existen arcos tal que cuando (i,j) va en dirección contraria al camino.

ijijx

ijijx


3. Problemas de flujo máximo Ejemplo

3) El proceso de búsqueda del camino, termina cuando el nodo destino pertenece al camino. Podemos incrementar el flujo por ese camino en “ ”.

F = F+

Van a pasar 2 cosas: si ( i , j ) va en sentido del camino.

si ( i , j ) va en sentido contrario al camino.

4) Terminamos cuando no se puede unir por un camino de aumento de flujo, el origen con le destino.

ijijji

ijijji

xnmixnminmi ),(),(

,

ijij xx

ijij xx


4. Problemas mínimo costo Tengo un flujo que entra en una red y quiero moverlo, pero

al mínimo costo. Este flujo tiene cotas mínimas y máximas yse deben respetar.

• (C.I , C.U , C.S): (cota mínima, costo unitario, cota máxima).

• Existen 8 arcos en esta red, por lo tanto, hay 8 flujos que cuando tengan valores, será la solución factible inicial. (f12, f13, f14, f32, f34, f35, f25, f45)

• A parte de respetar las cotas, debe existir una conservación del flujo que circula por la red.


4. Problemas mínimo costo

Primero se debe elegir una solución inicial cualquiera, queconecte todos los nodos, sin necesariamente formar uncircuito. La cantidad de variables básicas debe ser = nodos – 1.

Luego se deben calcular los costos reducidos.

Si la variable es básica su costo reducido es = 0.

BBB cc


4. Problemas mínimo costo

Criterio de optimalidad Para toda variable, básica y no básica, excepto:

Variable no básica pegada en su cota mínima ( )

Criterio de entrada Entra a la base, la variable no básica que tiene el costo reducido más

negativo.

Criterio de salida Sale la variable que se pega a una de sus cotas.

0ijc

0ijc

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