semana 06 estatica i unac 2009 b

ESTÁTICA I (Coquito va a la Universidad)

Prof.: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931 Página 1

ESTÁTICA I

semanas 06 1. CONCEPTO. Es una rama de la Física, que tiene la finalidad de analizar las condiciones que deben reunir un conjunto de fuerzas actuantes sobre un cuerpo o sistema con la condición de mantenerlo en equilibrio. Si vemos un cuerpo en reposo u otro desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme, estamos frente a fenómenos aparentemente distintos, pero en el fondo obedecen a las mismas leyes, pues ocurre que en Física ambas situaciones corresponden a un mismo estado, llamado equilibrio mecánico. El estudio de las leyes y condiciones que deben cumplir los cuerpos para encontrarse en dicho estado lo realiza aquella rama de la Mecánica llamada Estática, ciencia que data de la época de los egipcios y babilonios y que hoy ha dado lugar a la creación de varias ramas de la Ingeniería: Civil, Mecánica, Minera,..., etc. 2. INTERACCIÓN. Es una propiedad cualitativa de la materia. Todos cuerpos interactúan, por contacto, a distancia. Interactúan las partículas elementales, interactúan los átomos ionizados, interactúan las moléculas, interactúan los planetas, interactúan las estrellas. Los componentes de la materia siempre interactúan. 3. FUERZA. La fuerza en la medida cuantitativa de la interacción. Toda vez que dos cuerpos interactúan entre sí surge entre ellos una magnitud, que además de valor tiene dirección, sentido y punto de aplicación, llamada fuerza. La acción de la fuerza sobre los cuerpos depende del punto de aplicación, del módulo y de la dirección. Es esta magnitud que hace que los cuerpos estén en equilibrio, que cambien la dirección de su movimiento, o que se deformen. En general asociamos la fuerza con los efectos de: sostener, estirar, comprimir, jalar, empujar, tensar, atraer, repeler,...etc. La unidad de fuerza es el newton(s), abreviado N. FUERZAS NOTABLES 4. FUERZA DE GRAVEDAD (W). Llamamos así a la fuerza con que la Tierra atrae a todo cuerpo que se encuentre en su cercanía. Es directamente proporcional con la masa de los cuerpos y con la gravedad local. Se le representa por un vector vertical y dirigido hacia el centro de la tierra. El peso de un cuerpo es numéricamente igual a la fuerza de gravedad. 5. FUERZA DE REACCIÓN NORMAL (N). Se le llama también fuerza de contacto, viene a ser la resultante de las infinitas fuerzas electromagnéticas que se generan entre las superficie de dos cuerpos cuando estas se acercan a distancias relativamente pequeñas, predominando las fuerzas repulsivas. La línea de acción de la normal es siempre perpendicular a las superficies de contacto. 6. TENSIÓN (T). Esta es la fuerza electromagnética resultante que se genera en el interior de una cuerda o un alambre, y que surge para oponerse a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas externas que actúan en los extremos de aquellos. En estas fuerzas predominan los efectos atractivos.

T T

Corte Imaginario



7. COMPRESIÓN (C). Es aquella fuerza generada internamente en el interior de una barra cuando fuerzas externas tratan de aplastar al cuerpo rígido. Para graficar la fuerza se realiza previamente una separación imaginaria. La fuerza de compresión se caracteriza por alejarse de la línea de corte. 8. FUERZAS DE ACCIÓN Y REACCIÓN. Son aquellas fuerzas de origen electromagnético y/o gravitacional que se manifiestan cuando los cuerpos están en contacto físico o cuando están separados. Fuerza de atracción gravitacional entre el Sol y los planetas (ley de gravitación universal enunciado por Isaac Newton); fuerzas eléctricas de acción y reacción entre partículas electrizadas (Ley de Coulomb); fuerza magnéticas entre “polos magnéticos” o cargas magnéticas Norte y Sur. 9. TERCERA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACC IÓN Establece que a toda fuerza de acción le corresponde una fuerza de reacción de igual módulo pero de sentido opuesto. Características: * Las fuerzas de acción y reacción siempre actúan en cuerpos diferentes. * Para ser graficadas requieren de una separación imaginaria de los cuerpos, si estos están en contacto. * La dirección de las fuerzas de acción y reacción dependen de la calidad de las superficies en contacto. * Si las superficies son lisas serán perpendiculares a los apoyos de lo contrario no serán perpendiculares a los contactos. 10. LEY DE HOOKE “La fuerza generada en el resorte es directamente proporcional a la deformación longitudinal”. F K.x====

Donde: k: constante de elasticidad del resorte en N/m x: deformación longitudinal, se mide en metros F: fuerza deformadora, se mide en newtons. La fuerza en el resorte se puede manifestar como tensión cuando el resorte es alargado y como compresión cuando el resorte es aplastado.

C C

F

F

F

F

COMPRESIÓN

x

F

F = k x

Leyde Hooke



11. FUERZA DE ROZAMIENTO O FRICCIÓN Es aquella fuerza de origen electromagnético que se manifiesta cuando un cuerpo trata de moverse o se mueve a través de una superficie rugosa, oponiéndose a su deslizamiento o traslación. La fuerza de rozamiento se grafica tangencialmente a las superficies en contacto con un sentido opuesto al movimiento o posible movimiento que intente realizar el cuerpo. El modulo de la fuerza de rozamiento es independiente del tamaño de las superficies en contacto, pero es proporcional a la reacción normal. De la figura, la reacción neta es R. Pero descomponiendo f : fuerza de rozamiento (roza la superficie) N: fuerza normal (perpendicular a la superficie) “θ”: ángulo de desviación por rugosidad de la superficie:

fTg

Nθ µ= == == == =

µ: coeficiente de fricción (adimensional) 12. LEY DE ROZAMIENTO El módulo de la fuerza de rozamiento es directamente proporcional al módulo de la reacción normal.

f .Nµ==== .

La fuerza de rozamiento se opone al movimiento relativo entre las superficies en contacto. 13. COEFICIENTE DE ROZAMIENTO El coeficiente de rozamiento es una característica de de rugosidad entre dos superficies en contacto. Es decir expresa el grado de aspereza entre dos superficies. Es una cantidad adimensional comprendida generalmente entre 0 y 1 (no tiene unidades). FORMAS DE ROZAMIENTO 14. ROZAMIENTO ESTÁTICO : es aquella fuerza que se opone al intento de deslizamiento. Su valor es variable desde cero hasta un valor máximo cuando el cuerpo se encuentra en un movimiento inminente (pronto a moverse).

0 s max max sf f f .Nµ< << << << < ⇒⇒⇒⇒ ====

sµ : COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTÁTICO.

Fuerza externa

fk

f s (max)

ESTÁTICO

45º

0

Fuerza de rozamiento

CINÉTICO

W

ÁNGULO DE ROZAMIENTO

f

R

F (externa)

θ

µ

N



La fuerza estática máxima se aplica solamente cuando el cuerpo esta pronto a moverse. 15. ROZAMIENTO CINÉTICO : es aquella que se presenta durante el movimiento de los cuerpos, oponiéndose a su deslizamiento a través de la superficie rugosa. Su valor es constante, independiente del la velocidad y de la aceleración.

k k kf cons tante f .Nµ==== ⇒⇒⇒⇒ ====

kµ : COEFICIENTE DE ROZAMIENTO CINÉTICO.

OBSERVACIONES: * El coeficiente de rozamiento estático es mayor que el coeficiente de rozamiento cinético.

k sµ µ<<<<

* La fuerza de rozamiento disminuye con la humedad, el calor y cualquier otro lubricante (aceite, grasa, vaselina, etc.). 16. PRIMERA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE INERCIA Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de M.R.U mientras la acción de otros cuerpos no le obligue a salir de dicho estado. El estado de reposo o de M.R.U de un cuerpo, está supeditado a la acción de otros cuerpos (a través de fuerzas externas) y permanecerá indefinidamente siempre que estas acciones o fuerzas se anulen mutuamente. (I) EQUILIBRIO ESTÁTICO: cuerpo en reposo relativo.

(II)EQUILIBRIO CINÉTICO: cuerpo con movimiento rectilín eo uniforme (M.R.U).

“Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es nula, entonces es posible que el cuerpo se encuentre en reposo relativo o es posible que tenga movimiento con velocidad constante”. 17. INERCIA: Es una propiedad de la materia que se manifiesta como aquella oposición natural que ofrecen los cuerpos cuando se les trata de sacar de su estado de reposo o de M.R.U. La inercia es una propiedad cualitativa de la materia. 18. MASA: Es una magnitud física escalar, que sirve para medir la inercia que poseen los cuerpos. La masa y la inercia son directamente proporcionales. La masa en la medida cuantitativa de la inercia.



19. EQUILIBRIO: Es aquel estado de reposo o de M.R.U que presenta un cuerpo, con respecto a un observador fijo (ubicado en un sistema de referencia inercial, como por ejemplo la Tierra). 20. TEOREMA DE LAMY O DE LAS TRES FUERZAS Si tres fuerzas coplanares actúan sobre un cuerpo en equilibrio, estas debe ser necesariamente concurrentes y además el módulo de cada fuerza es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto. La fuerza resultante es nula:

1 2 3 0F F F+ + =+ + =+ + =+ + =��

31 2 FF F

Sen Sen Senα β θ= == == == =

Siempre es posible construir con las tres fuerzas un triángulo, de tal manera que la fuerza resultante sea nula. CASO ESPECIAL: Si los tres ángulos son iguales, entonces el módulo de las tres fuerzas

también son iguales: 0

1 2 3120 F F Fα β θ= = == = == = == = = ⇒⇒⇒⇒ = == == == =

21. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO Se establece que, para que un cuerpo no se traslade aceleradamente, necesariamente la suma de todas las fuerzas actuantes deben ser igual a cero.

0 0F a==== ⇒⇒⇒⇒ ====∑∑∑∑� ��

�

Si la aceleración es nula; entonces es posible que el cuerpo esté en reposo o se mueve con velocidad constante.

0 0x yF F= ⇔ == ⇔ == ⇔ == ⇔ =∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

Si descomponemos las fuerzas sobre los ejes cartesianos, debe cumplirse que la sumatoria de las fuerzas en cada eje debe ser nula.

TEOREMA DE LAMY

F1

F2

F3

θ

β α

EQUILIBRIO DE TRES FUERZAS

F1

F2

F3



PLACA TRIANGULAR

22. CENTRO DE GRAVEDAD: es aquel punto geométrico ubicado dentro o fuera del cuerpo, por el cual pasa la línea de acción de la fuerza resultante, de las fuerzas de gravedad que actúan sobre cada una de las partículas que forman el cuerpo. El centro de gravedad es el punto donde actúa el peso del cuerpo. CENTRO DE GRAVEDAD DE FIGURAS SIMPLES: (1) El centro de gravedad de un placa triangular se encuentra en la intersección del as medianas, es decir el baricentro. (2) El centro de gravedad de una barra homogénea se encuentra en el punto medio de la barra. (3) El centro de gravedad de una placa rectangular homogénea se encuentra en la intersección de las diagonales. (4) El centro de gravedad de un círculo homogéneo se encuentra en su centro geométrico. 23. TIPOS DE EQUILIBRIO (1) Equilibrio estable: equilibrio en el que un cuerpo, ligeramente desplazado de su posición inicial, tiende a volver a ella. (2) Equilibrio inestable: equilibrio en el que un cuerpo separado de su posición, no la recupera. Es decir, si las fuerzas hacen que el cuerpo continúe moviéndose hasta una posición distinta cuando se desplaza, como ocurre con una varita en equilibrio sobre su extremo. (3) Equilibrio indiferente : equilibrio en el que un cuerpo, ligeramente apartado de su posición de equilibrio, permanece en equilibrio en su nueva posición. Por ejemplo, una esfera 24. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) ES EL GRÁFICO DE UN CUERPO O SISTEMA, EL CUAL SE REPRESENTA EN FORMA AISLADA DONDE SE SEÑALAN LAS FUERZAS EXTERNAS QUE ACTÚAN SOBRE EL CUERPO O SISTEMA.

RECTÁNGULO

L L

BARRA HOMOGÉNEA

O

CÍRCULO



En un diagrama de cuerpo libre se grafican solamente fuerzas externas al cuerpo o sistema de cuerpos. Las fuerzas internas al cuerpo o sistema se anulan entre sí. Es aquel gráfico que muestra imaginariamente en forma aislada a un cuerpo o sistema, con todas las fuerzas actuantes, trazadas con el siguiente criterio: (1) El peso (W) será trazado siempre verticalmente hacia abajo y estará localizado en el centro geométrico del cuerpo si este es de masa homogénea, de lo contrario se nos tendrá que especificar. (2) La fuerza de rozamiento o fricción, será trazada opuesta a la tendencia al movimiento siempre que la superficie sea rugosa o en todo caso si el problema no especifica el tipo de superficie. (3) Las tensiones y compresiones serán graficadas. (4) Las reacciones en los puntos de apoyo serán graficadas previa separación de las superficies en contacto y teniendo en cuenta si la superficie es lisa o rugosa. (5) Las fuerzas externas serán graficadas tal como aparece o se menciona en el problema, pudiendo, inclusive, prolongarse su línea de acción. 01.- Realizar el D.C.L. de la esfera homogénea, siendo la pared lisa 02.- Realizar el D.C.L. de la esfera homogénea, si esta en un plano inclinado rugoso.

03.- Realizar el D.C.L. de la barra homogénea

TIPOS DE EQUILIBRIO

INESTABLE

INDIFERENTE

CAMPO DE GRAVEDAD

ESTABLE



PROBLEMAS PROPUESTOS: ESTÁTICA I 1. Determinar el módulo de “ F ” si el bloque de 5 kg se encuentra en equilibrio. Las poleas lisas son

de 2 kg cada una y g =10 m/s2

2. Determinar el módulo de la fuerza con la que debe jalar el joven de 60 kg de tal manera que el tablón de 35 kg se mantenga en reposo. Considerar la polea pequeña de 5 kg y g =10 m/s2

3. Determinar cuánto desciende el punto A al ejercer una fuerza de – 200 j (N) en el extremo A del hilo. Considere que los resortes tienen igual constante de rigidez K = 5000 N/m y que la polea es ideal.

4. Una esfera de 12 kg se encuentra en reposo tal como se muestra. Determine el módulo de la

reacción (en N) del plano inclinado sobre la esfera )g = 10 m/s2)

5. Una esfera de6 kg y de radio r se coloca en una cavidad tal como se muestra. Determine el módulo de la fuerza que ejerce la superficie cóncava sobre la esfera (R = 6 r; g = 10 m/s2)

A

F

160

530

r

R



6. Una esfera lisa de 4 kg está apoyado en un plano inclinado y sujeto a un cable ideal. Determine el módulo de la fuerza de tensión en el cable (g = 10 m/s2)

7. La figura muestra dos bloques A y B en equilibrio. Si A = 3 kg, determine la cantidad de masa del bloque B. (g = 10 m/s2)

8. La figura muestra una cadena homogénea de 0,8 kg sujetada en los puntos A y B. Si el módulo de

la tensión en el punto más bajo 3 N. Determine el módulo de la reacción en el soporte A. (g = 10 m/s2)

9. La figura muestra una cadena homogénea de 1,6 kg sujetada en los puntos A y B. Determine el módulo de la reacción en el soporte A. (g = 10 m/s2)

10. La figura muestra una barra AB de masa despreciable. Si el bloque de 4 kg se encuentra en equilibrio, determine el módulo de la compresión en la barra AB. (g = 10 m/s2)

11. La figura muestra una barra de masa despreciable en equilibrio. Si la esfera de 2 kg se encuentra en equilibrio, determine el módulo de la compresión en la barra. (g = 10 m/s2)

BA

AB60°

30°

60°

60°B

A

C

60°30°

1430

B

A



12. Si cada polea lisa es de 1 kg y el sistema se encuentra en equilibrio, determine la deformación(en cm) que experimenta el resorte de K = 200 N/m (g = 10 m/s2)

13. Una polea de 1 kg se mantiene en reposo tal como se muestra. Si un bloque de 2 kg es colocado en A y dejado descender lentamente hasta alcanzar el equilibrio; determine cuantos centímetros desciende el bloque hasta que alcanzó el equilibrio. K = 1000 N/m; g = 10 m/s2.

14. Una barra de 6 kg se encuentra en reposo apoyada es una superficie lisa tal como se muestra.

Determine el módulo de la fuerza de tensión en el hilo horizontal y de la reacción de la superficie sobre la barra (g = 10 m/s2)

15. Una esfera de 2 kg se mantiene en equilibrio apoyada en superficies lisas. Determine el módulo de la reacción (en N) de la superficie curva sobre la esfera (g = 10 m/s2)

16. Para mantener al bloque de 6 kg en reposo, tal como se muestra, se ejerce una fuerza F. Determine el módulo de dicha fuerza (en N) si se sabe que es mínima (g = 10 m/s2)

F

530

K

530

x(m)

x =y2

10



17. Una barra homogénea de 2 5 kg se mantiene en reposo tal como se muestra. Determine el

módulo de la reacción de la articulación (en N)sobre la barra (g = 10 m/s2)

18. Una barra homogénea de 2 m de longitud se encuentra en reposo tal como se muestra. Determine

la medida del ángulo θ si la longitud del hilo que sostiene a la barra es de √7 m. Considere superficies lisas.

19. Si las esferas lisas A y B son de 0,8 kg y 1,3 kg respectivamente y se encuentran en reposo,

determine cuanto marca el dinamómetro ideal (g = 10 m/s2)

20. Un bloque pequeño es colocado sobre un tablón articulado tal como se muestra. Si inclinamos

el tablón lentamente ¿Para qué máximo ángulo θ el bloque se mantendrá en reposo respecto del

tablón? Considere µs = 0,75 entre el tablón y el bloque.

21. Si el bloque de 8 kg se encuentra a punto de resbalar, determine la masa de la esfera.

Considere que solo existe asperezas entre el bloque y la superficie horizontal (µs = 0,5) y que la polea es de 1 kg (g = 10 m/s2)

g

θ

D

53o

A

B

θ



22. Un pequeño bloque de acero de 4,4 kg es lanzado horizontalmente tal como se muestra cuando el resorte esta sin deformar, determine el módulo de la fuerza que ejerce el piso a dicho bloque en el instante en que este ha recorrido 60 cm. La longitud natural del resorte es de 80 cm; K

= 200 N/m; g = 10 m/s2 y µc = 5/12.

23. Si solo existe asperezas entre el bloque B y el piso (µs = 0,6) determine el módulo de la fuerza horizontal que se ejerce si el sistema se encuentra en movimiento inminente. MA = 4 kg; MB = 10 kg; g = 10 m/s2.

24. Un bloque de 10 k g se mantiene en reposo tal como se muestra. Si las superficies en contacto

son ásperas, determine el máximo módulo de (en N) si el mínimo es 50 N (g = 10 m/s2)

25. Un bloque de 10 kg reposa en una superficie horizontal. Si el coeficiente estático entre el bloque y el piso es 0,75, determine el menor módulo de la fuerza que logrará poner en movimiento al bloque (g = 10 m/s2)

F

θF

g

K

gFA

B



26. Si el sistema adjunto se encuentra en equilibrio determine la distancia h (en cm) que ha descendido la pequeña polea ideal. Considere que el bloque A es de 0,8 kg y B de 0,5 kg (g = 10 m/s2) 27. Determine la masa del bloque B para que el sistema se encuentre en reposo. El bloque A es

de 12 kg (g = 10 m/s2)

28. Determine la deformación que experimenta el resorte horizontal de K = 500 N/m. Las masas y los radios de las esferas A y B son (2 kg; 20 cm) y (5 kg; 30 cm) respectivamente; además, todas las superficies son lisas (g = 10 m/s2)

29. Sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio, determine el módulo de la tensión en la

cuerda (1). La masa de cada polea es 0,6 kg. (g = 10 m/s2)

30. Sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio, determine la deformación en el resorte de constante elástica K = 500 N/m. La masa de cada polea es 0,6 kg. (g = 10 m/s2)

2,4 kg(2)

(1)

1430

B

A

h

60 cm

A

B

g

A

B



31. Sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio, donde el módulo de la fuerza es F = 40 N. Determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). La masa de cada polea es 0,6 kg. (g = 10 m/s2)

32. Del sistema que se indica, el bloque A es de 20 kg y las poleas son de 2 kg. (g=10 m/s2).

a) Para el equilibrio mecánico del bloque B, éste debe tener como máximo una masa de... b) Si la masa del bloque B es de 8 kg., ¿qué módulo tiene la reacción del piso? c) Si la reacción del piso es de 100 N, ¿qué módulo tiene la tensión en la cuerda 1?

33. La barra homogénea de 8 kg se encuentra en equilibrio como se indica. (g = 10 m/s2)

a) Explique si las tensión en las cuerdas “1” y “2” es igual o diferente. b) En el caso de que las poleas sean lisas, ¿qué módulo tiene la tensión en las cuerdas “1” y “2”? c) ¿Si la barra fuese no homogénea y las poleas lisas para la posición mostrada existiría

10 kg

6 kg

F

(1)

g

B

A

(1)

= =(1)

(2)A

B



equilibrio mecánico?

34. Realice el D.C.L. del bloque de 4 kg y de la esfera de 2 kg (g=10 m/s2).

35. Realice el D.C.L. de cada una de las esferas cuyas masas son: mA= 5 kg; mB = 3 kg,

superficies lisas. (g=10 m/s2). También efectúe el D.C.L. del sistema de esferas.

36. Si el bloque A está a punto de subir, determine el módulo de la tensión en P y la masa del bloque A. (g=10 m/s2).

37. Determine el módulo de la tensión en A y la masa del cuerpo B para que el sistema se encuentre en reposo. Considere polea ideal. (g = 10 m/s2)

g

P

g

5kg

F= 100N A

g



38. Determine el módulo de la tensión en A. El bloque es de 40 kg. (g=10 m/s2; poleas ideales).

39. Si las poleas son ideales, determine el módulo de la tensión en P. (g=10 m/s2)

40. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque B si el sistema está en reposo. (g=10 m/s2)

41. Si el sistema se encuentra en reposo estando el resorte de constante elástica K= 1200 N/m estirado 5 cm, determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque “B”. (g = 10 m/s2)

42. Cuál es el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque B. (g=10 m/s2; poleas ideales).

43. Si el sistema se encuentra en reposo determine la masa del bloque A. La fuerza de rozamiento sobre el bloque B es de 120 N y la polea de 2 kg. (g=10 m/s2)

A

g

P

g

g

5kg 3kg

g

8kg

10kg

20kg

g



44. Realizar el D.C.L. de la esfera lisa de 10 kg. (g=10 m/s2)

45. Si la reacción del piso tiene un módulo de 40 N, determine la masa del bloque. Considere la

esfera de 6 kg. (g=10 m/s2).

46. Para mantener a un cuerpo de 40 kg en reposo se construye el siguiente sistema de poleas.

Determine el módulo de F si las poleas son ideales. (g=10 m/s2)

g

F

g

A) B) C)

D) E)

g

gF



47. ¿Cuál debe ser el módulo de la fuerza F que se debe ejercer para mantener el sistema en

reposo? El bloque tiene 28 kg y las poleas son de 2 kg cada una. (g=10m/s2)

48. Un sistema masa resorte se encuentra en equilibrio en la situación A y al colocar otro bloque idéntico al anterior (m=10 kg) alcanza el equilibrio en la situación B. Determine la constante de rigidez del resorte.

49. Indique la veracidad o falsedad de las proposiciones respecto del sistema en reposo.

(g=10m/s2)

I. Si la polea es ideal, la esfera será de 2,5 kg. II. Si la polea es de 2 kg, la esfera será de 3,5 kg. III. Si la polea es ideal o no, la tensión en A tiene el mismo módulo.

50. Determine la deformación del resorte de K=100 N/cm en el sistema en reposo. Superficies

lisas. (g = 10 m/s2)

F g

10cm

KK

A

B

gA

5kg

g

20kg



51. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque A para que se mantenga en

reposo mB=10 kg y la polea (2) es de 1 kg. (g=10 m/s2) 52. Si el sistema carece de rozamiento y las poleas son ideales, determine la masa del cuerpo B

para que esté en reposo. (g = 10 m/s2)

53. Una persona trata de poner en movimiento un gran bloque de granito. Si el módulo de la

fuerza horizontal que ejerce depende del tiempo según F = 0,5.t, donde F está en newtons y t en segundos y el valor máximo de la fuerza de rozamiento tal que el bloque no resbale es de 300 N. ¿En qué instante t el bloque empieza a resbalar?

54. La barra de 8 kg se encuentra a punto de resbalar sobre el plano horizontal rugosa µs=0,75,

como se indica. (g=10 m/s2).

a) ¿El módulo de la reacción en los apoyos A y B son iguales? b) ¿Qué módulo tiene la fuerza de rozamiento estático en A? c) ¿El módulo de la fuerza normal en B coincide con la reacción del piso? Sustente. Resolución: D.C.L. de la barra que está a punto de resbalar luego actúa s(max) s Nf .Fµ====

a)

g

20kg

liso

37º

Bµs= 0,75

A

g

(2)

(1)



Como la barra está en equilibrio RF 0====

��

Notamos que el triángulo de fuerzas es isósceles, luego: RA = RB = 50 N b) Como la reacción en A tiene dos componentes se tiene que la fuerza de rozamiento estático en A tiene un módulo de:

c) En el apoyo B la superficie es lisa, entonces no existe fuerza de rozamiento estático debido a ello la reacción normal coincide con la reacción del plano.

55. El bloque se encuentra deslizando sobre el plano inclinado rugoso con rapidez constante, tal

como se indica (m=10 kg; g=10 m/s2).

37º

θs=37

º

θs=37

º

53º37º

RB

F = mg= 80NgFNRA

θs

µs NF

s3 37º4s stg θ = µ = ⇒ θ =

37º

37º

53º

R = 50B N

R = 50A N

F = 80Ng

40N

FN

θs

R = 50NA

fsmáx

máx

máx

s A s

s

f R sen

= 50N sen 37ºf 30N

= θ

=

V= cte.

37º

m



a) Sobre el bloque actúan 3 fuerzas, sustente si es verdadero o falso. b) La reacción del plano inclinado tiene un módulo de 100 N. c) ¿Qué valor tiene el coeficiente de rozamiento cinético?

56. Realice el D.C.L. de cada una de las barras homogéneas.

57. Si la esfera de 12 kg se mantiene en reposo, determine el módulo de la tensión en el hilo. (g = 10 m/s2)

58. Un bloque de 10 kg se mantiene en reposo en un plano inclinado liso, tal como se muestra. Determine el módulo de la tensión en el hilo. (g=10 m/s2)

59. ¿El módulo de la tensión en cada cuerda es? El cuerpo es de 120 N.

articulación articulación

g

16ºg

37º 53ºA B

C g



60. Determine el módulo de la fuerza de tensión en el hilo AB si el sistema está en reposo. (g = 10 m/s2)

61. Se muestra un sistema mecánico en equilibrio. Si cada polea es de 6 kg determine el módulo

de la fuerza F. (g = 10 m/s2)

62. ¿Cuál es el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque B en reposo? (g =10 m/s2)

63. Si el bloque se encuentra en reposo determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre él. (g=10 m/s2)

64. Si el resorte está estirado 10 cm, determine el módulo y la dirección de la fuerza de rozamiento sobre el bloque de 10 kg para que se mantenga en reposo. (g=10 m/s2; K=200 N/m)

A

B

1,2kg

1,6kg

53ºF g

53º

3kg

g

37º

6kg

g

10kg

K g



65. Si la esfera es de 8 kg, determine el módulo de la fuerza que le ejerce la pared. Superficies lisas. (g=10 m/s2)

66. Si el sistema se encuentra en reposo determine la masa de B.

67. Una barra homogénea se encuentra en reposo tal como se encuentra. Determine el módulo de

la reacción del piso sobre la barra de 5 kg. (g=10 m/s2)

68. Si el sistema se encuentra en reposo, determine la masa del bloque. Considere que la esfera de

10 kg, la polea de 2 kg y las superficies lisas. (g=10 m/s2)

69. Si el sistema está en reposo, determine el módulo de la tensión en A y la masa del bloque (g=10 m/s2; poleas ideales)

70. Si el sistema se encuentra en reposo determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el

bloque A. La esfera es de 5 kg (g=10 m/s2)

g

37º

53ºg

45º

g

g

53º



71. El bloque mostrado se encuentra en reposo tal como se muestra. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque. (g=10 m/s2)

72. Si el resorte está estirado 10 cm determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque A, las poleas son de 1 kg cada uno y el sistema está en reposo.

73. Realice la veracidad o falsedad del las proposiciones, respecto del sistema en reposo. (g=10 m/s2)

I. Si el plano inclinado es liso la masa del bloque A será 10 kg. II. Si mA>10 kg o mA<10 kg existe fuerza de rozamiento. III. Si las superficies son lisas, el plano ejerce 60 N sobre el bloque A. PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL AVANZADO

53º

g

53º37º

g

5kg5kg

g

8kg 19kg

37º

K= 500N/m

g

8kg



1. Sobre un rodillo de peso P se arrolla y ata a un hilo elastico de constante elástica K. Cuando su

longitud 0L es igual a 2 Rπ , el hilo está sin tensión. Se cuelgan ahora, hilo y rodillo del ponto

“O”. Determinar la medida del ángulo θ correspondiente al equilibrio.

2. Del punto “O” cuelgan: un cilindro de radio de radio R y peso P, y un bloque de peso W cuyo hilo

que lo sostiene bordea al cilindro; la cuerda OM mide L. Determinar la medida del ángulo θ que

forma OM con la línea vertical en la posición de equilibrio y la presión que se ejerce entre el hilo y el cilindro.

Para el problema 01

2α

R

O O

Para el problema 02

θ

R

M

W

W

Para el problema 03

C

d

θ

B

A

Para el problema 04

O θ

A



3. Una varilla sin peso de largo AB L==== se apoya en A y en C sobre una pared vertical y una esquina C perfectamente lisas y en el extremo B está una carga de peso W. Determinar la medida del ángulo θ de equilibrio y la presión sobre los apoyos.

4. Una placa cuadrada de peso P está articulada en el vértice “O” y por el opuesto se apoya en una pared vertical. La diagonal

OA forma con la línea horizontal un ángulo θ . Determinar la fuerza de reacción en la articulación O.

5. Se muestra una varilla de largo OA a b= += += += + , peso W, articulada en el extremo O y apoyada en el extremo A contra una pared vertical perfectamente lisa. El centro de gravedad G divide a la varilla en dos segmentos de tamaños “a” y “b” diferentes. Determinar la fuerza de reacción sobre la varilla en los extremos A y B.

Para el problema 05 O θ

A a

b

G

Para el problema 06

A

β

B

a

b

G

F α

G

Para el problema 07

C

α

Β

A β O



6. Una varilla de peso W y de largo

AB a b= += += += + , se encuentra apoyada en A sobre una superficie horizontal y en el extremo B sobre un plano inclinado B. El centro de gravedad G divide a la varilla en dos segmentos de tamaños “a” y “b” diferentes. Considere conocidos los ángulos α y β . Si

no hay rozamiento, determine el valor de la fuerza “F” en el extremo A para mantener a la varilla en equilibrio.

7. Un barra de peso W, uniforme y homogénea de largo AB L==== , cuyo centro de gravedad está ubicado en el punto G. Considere conocidos los ángulos α y β . Determinar el valor de la tensión

en la cuerda OC.

8. Una barra uniforme y homogénea de peso W y largo AB L==== , se apoya en una semiesfera hueca perfectamente lisa de radio R. Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio y las reacciones en A y C.

A

Para el problema 08

θ

B

C

A

Para el problema 09

θ

b

G

C

β α

a

B

A

Para el problema 10

θ

p

F

V

B



9. Una barra de peso W con centro de gravedad en el punto G donde AG a==== y GB b==== , se apoya por sus extremos A y B contra dos planos lisos inclinados α y β respecto de la horizontal.

Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio. Además determinar las reacciones en los puntos de apoyo Ay B. Demuestre

que: a.Ctg b.Ctg

Tana b

α βθ

−−−−====++++

10. Una barra uniforme y homogénea de peso W y

largo AB L==== , se apoya en el extremo A en una superficie curva (parábola) perfectamente lisa , además en un vástago situado en el foco F. Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio y las reacciones en A y F.

11. Un cilindro de peso W apoya en los puntos A y B contra dos planos lisos inclinados α y β respecto de la

horizontal. Determinar el valor de la fuerza de reacción normal en los puntos A y B.

A

Para el problema 11

G

C

β α

B A

Para el problema 12

C

O

θ

B

A

Para el problema 13

P

θ

α

Q

B C

Para el problema 14

C

d

θ

B

A



Desprecie toda forma de rozamiento.

12. Tres pequeñas esferas A, B y C de pesos directamente proporcionales 3: 2: 1 pueden moverse en una ranura circunferencial, están enlazadas por tres varilla ingrávidas que forman un triangulo equilátero. Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

13. Dos cilindros de pesos P y Q pueden moverse sobre dos planos inclinados lisos y perpendiculares en el vértice A. Ambas están enlazadas por medio de una varilla ingrávida. Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio, la tensión en varilla y las reacciones en los puntos de apoyo. La base BC es horizontal.

14. Una varilla uniforme de peso W y largo AB L==== se apoya en una ranura de ancho “d”. Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio y las reacciones en los puntos de apoyo A y C.

W

Para el problema 17

θ

P

53°

O

A Para el problema 15

P

Η α

Q

45°

45°

O

Para el problema 16

θ

R

B

A



15. Dos cilindros de pesos P y Q pueden moverse sobre dos planos inclinados lisos y perpendiculares. Ambos están enlazadas por medio de una cuerda ingrávida que pasa a través de una polea que no ofrece fricción. En A se encuentra la articulación. Determinar la medida del ángulo α que define la posición de equilibrio.

16. En la figura determinar la medida

del ángulo θ que define la posición de equilibrio. Si OB mide 12 m, el radio R de la esfera homogénea es 1,0 m y el largo OA de la barra uniforme y homogénea es 4 m. El punto B es el centro de la esfera. La barra y la esfera tienen pesos iguales.

17. Dos esferas W y P de igual radio y pesos 15 N y 7 N respectivamente están unidos por un hilo de peso despreciable y se encuentran sobre un superficie cilíndrica con centro en O. Si no hay fricción, determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

18. Se muestra dos esferas W y P de igual radio y con pesos de 6 N y 5 N respectivamente, unidos por una varilla de peso despreciable, apoyadas sobre una superficie cilíndrica con centro en O. Si no hay fricción, determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

W

Para el problema 18

θ

P

O

60°

ββββ

P

C

Para el problema 19

αααα

W

A

Para el problema 20

5R

O

B C D

Para el problema 21

R O

a

b

α β



19. Se muestra dos bloques de pesos W y P en equilibrio, apoyadas sobre planos inclinados, unidas por una cuerda de peso despreciable que pasa a través de una polea en C. Si el coeficiente de rozamiento

estático es eµ , determinar la

relación entre los pesos. Considere que el bloque W

tiende a subir.

20. Se muestra cuatro esferas de radio iguales a R, donde A, B y C tienen pesos iguales a 4 N. Determinar el peso de la esfera D, tal que el sistema se encuentre en equilibrio, sabiendo que descansan sobre la superficie semiesférica de radio “5R”.

21. Se muestra dos esferas del mismo material de radios “a” y “b” de largo 3 cm y 2 cm respectivamente sobre una superficie esférica de radio “R” igual a 11 cm, en equilibrio. Si no existe rozamiento,

determine la relación: Sen

Sen

αβ

22. Se muestra dos esferas del mismo

material de radios “a” y “b” apoyadas sobre dos planos inclinados. Si no hay fricción, determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

a

Para el problema 22

θ

A

β α

b

A

O

Para el problema 23

R B

A

Para el problema 24

a

b

α β

A

B

O



23. Una barra uniforme OA de largo “a” de peso W, articulada en “O” se apoya sobre un rodillo

de radio “R”, perfectamente liso y sujeto con un hilo OB de largo “b” al punto “O”. Si existe

equilibrio y no hay rozamiento, determine el valor

de la tensión en el hilo OB .

24. Se muestra dos esferas del mismo material de radios “a” y “b” en contacto. Las esferas están

unidas entre sí por un mismo hilo AOB de largo “L” que pasa en “O” por una polea perfectamente lisa. Si existe equilibrio determinar la relación:

Para el problema 25

b O

a

θ

P

Para el problema 26

R

A

θ B

Para el problema 27 R

O

a b

θ

β

b

α

Para el problema 28

O

A

θ

B

C

R

Para el problema 29

r

r

2R



Sen

Sen

αβ

25. Una rueda de peso Q igual a 100 N se encuentra sobre un riel circunferencial tendiendo al

ascenso debido a la acción de un bloque P de peso 25 N que pende de una cuerda enrollada en la superficie exterior de la rueda. Suponga que el rozamiento es lo suficiente para impedir el deslizamiento, donde “a” mide 6 cm y “b” 15 cm. Determine la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

26. Una varilla uniforme y homogénea de largo “4R” está sujeta a un collarín en B y descansa sobre un cilindro liso de radio “R”. Sabiendo que el collarín puede deslizarse libremente a lo largo del tubo vertical, sin hay fricción, determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

27. Se muestra tres esferas del mismo material de radios “a” y “b” sobre una superficie esférica de radio “R”. Si no hay fricción, determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

B

Para el problema 30

θ

R

M

W

F

O

A

Para el problema 31

θ

C

B

A

Para el problema 32

θ

C

60°

B



28. Dos barras AD 2L==== y BC 2L==== de peso W cada una, están articuladas en el punto medio ”O”, sus extremos inferiores se apoyan sobre un piso horizontal perfectamente liso y las superiores están unidas entre sí por una cuerda AB inextensible. En las barras se apoya un cilindro de radio R y peso Q. Si existe equilibrio, determinar el valor de la tensión en la cuerda.

29. Dos esferas iguales de radio “r” y peso W se apoyan mutuamente entre si y apoyan, además, contra las paredes interiores de un cilindro abierto por su parte interior, de radio R, que se apoya sobre una plano horizontal. Determinar el peso mínimo Q que ha de tener el cilindro para no ser volcado por el peso de las esferas.

30. Se muestra una esfera homogénea de

radio OM R==== y peso P. El sistema en equilibrio presenta tres cuerdas. Desde el punto B sale una cuerda que bordea a la esfera y sostiene al bloque de peso W. Desprecie toda forma de rozamiento. Al cable de la izquierda se le aplica una fuerza vertical “F” hacia abajo. Determinar el valor de la fuerza “F”, de modo que la

cuerda MB L==== se desvía un ángulo θ hacia la derecha respecto de la línea vertical.

A

Para el problema 33

θ

6W

B

W

a

a

a

O

Para el problema 34

θ

A

B

C

D

Para el problema 35 a a

L

a a

5

4

3

2

1



31. Se muestra una barra uniforme y homogénea doblada en forma de “L”, recto en el vértice B, donde las

dimensiones son: AB a==== , BC b==== . Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio, si se

cumple que: 2 2a 2ab b 0+ − =+ − =+ − =+ − = .

32. Se muestra una barra uniforme y homogénea doblada en el vértice B formado un ángulo de 60°, donde las

dimensiones son: AB L==== , BC 2L==== . Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

33. Se muestra una estructura en forma de “T” formando ángulo recto, de peso despreciable. En los extremos se encuentran suspendidos dos esferas de pesos 6W y W. Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

34. Se muestra una placa cuadrada uniforme y homogénea en posición de equilibrio, donde “O” es

el punto de suspensión, donde AO 7.OB==== . Determinar la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

35. Se muestra cinco ladrillos idénticos de largo “L”, colocados de manera peculiar, cada ladrillo se desplaza la misma distancia uno del otro. Determinar el máximo valor de “a”, de tal manera que el conjunto permanezca en equilibrio.

36. Una estructura se compone de dos barras AB y

CB que mediante una charnelas se unen entre si y a

la pared. El ángulo 0BAC 90∠ =∠ =∠ =∠ = , el ACB α∠ =∠ =∠ =∠ = . A la charnela B está suspendida una carga de peso W. Determinar que fuerza comprime a la barra

CB y la tensión en la barra AB . Desprecie el peso de las barras.

Para el problema 36

α W

A

C

B

Para el problema 37

β

W

α

B

P A

O



37. A la charnela A se le aplica una fuerza horizontal “P” de módulo 2,50 kN. Despreciando el peso de las varillas, determinar el valor de la fuerza de compresión sobre el bloque “W” que se encuentra articulada en B.

Considere 037α ==== y 053β ==== .

38. Una estructura se compone de dos barras

AB y CB que mediante una charnelas se unen

entre si y a la pared. El ángulo 0BAC 90∠ =∠ =∠ =∠ = , el ACB α∠ =∠ =∠ =∠ = . A la charnela B se le instala una

polea de peso despreciable. Por la polea pasa una cuerda fijado por el extremo D a la pared y en el otro pende una carga de peso Q de módulo 30,0 kN. Determinar que fuerza de tensión o

compresión en las varillas CB y AB . Desprecie

el peso de la varillas y considere 053α ==== y 037β ==== .

BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN: http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com www.didactika.com [email protected] [email protected]

Para el problema 38

β

Q

D

C

B

α

A

semana 06 estatica i unac 2009 b

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