(semana 05 cinemática iii m.c. y m. del cuerpo rigido 2009 b)

CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 1

CINEMÁTICA III MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

CONCEPTO: Es aquel tipo de movimiento donde la partícula o punto material describe una trayectoria curva llamada circunferencia. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

1. DESPLAZAMIENTO LINEAL (S) Es la longitud de arco de la circunferencia que recorre el móvil entre dos puntos considerados de la trayectoria. Se mide en metros, kilómetros y centímetros.

2. DESPLAZAMIENTO ANGULAR ( θ ). Es el ángulo central correspondiente al arco descrito por el cuerpo, se mide en radianes. El ángulo medido en radianes es igual al cociente de la longitud de arco entre el radio de curvatura.

SS .r

rθ θ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== …(1)

Forma diferencial: θ====d S r.d

S

θ

A

B

Figura 01

r C

D

A

B

Figura 02

0

V

V

V

V

ω

θ A B

r

Figura 03



3. VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (V) Es aquella magnitud física vectorial, se define como la longitud de arco recorrido por el móvil por cada unidad de tiempo. Se representa por un vector tangente a la trayectoria.

t

S m kmV unidad : ;

t s h==== ⇒⇒⇒⇒ …(2)

Forma diferencial: ====t

dSV

dt

4. VELOCIDAD ANGULAR ( ω ) Es aquella magnitud física vectorial, se define como el desplazamiento angular que experimenta el móvil por cada unidad de tiempo. Se representa por un vector perpendicular al plano de rotación, el sentido se determina mediante la “regla de la mano derecha”, los dedos menores indican el sentido de rotación y el dedo pulgar señala la dirección de la velocidad angular.

Rapidez angular: θωt

= unidad: rad

so

1

s

Forma diferencial: d

dt

θω = entonces .d dtθ ω=

5. POSICIÓN DEL PUNTO MATERIAL.

Integrando tenemos:

0 0 0

. .= =∫ ∫ ∫t t

t t

d dt dtθ

θ

θ ω ω

Desarrollando la integral obtenemos que: ( )0 0. t tθ θ ω= + −

Usualmente hacemos: 0 00 0y tθ = = que reemplazado en la ecuación anterior te obtiene el

desplazamiento angular: . tθ ω=

6. RELACIÓN ENTRE LAS VELOCIDADES

Sabemos que: = = = == = = == = = == = = =

t

S .rV R .r

t t t

θ θ ω

Relación escalar: ====tV .rω …(4)

Relación vectorial entre la velocidad tangencia y angular: = ×��

v rω



MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.) 1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento donde la partícula o cuerpo describe una trayectoria

curva llamada circunferencia, donde la rapidez se mantiene constante y la velocidad solamente cambia la dirección, es decir el cuerpo se mueve con aceleración centrípeta cuyo valor se mantiene constante.

2.PERIODO (T). Es el intervalo de tiempo constante que demora un cuerpo en recorrer la misma trayectoria. Su valor indica el intervalo de tiempo por cada vuelta o revolución. Se mide en segundos, minutos, hora y años.

====Tiempo empleado

Tnumero de vueltas

3. FRECUENCIA (f). Se define como la inversa del periodo. Su valor indica el número de vueltas

que describe el cuerpo por cada unidad de tiempo. Se mide en revolución por segundo: R.P.S., revolución por minuto: R.P.M. y revolución por hora: R.P.H.

1 Numero de vueltasf

T tiempo empleado= == == == =

4. RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA FRECUENCIA

Si el cuerpo describe una vuelta, genera un ángulo 2π (radianes) y el tiempo empleado se denomina periodo.

Sabemos que: 2 1

2 2 ft T T

θ πω π π = = = == = = == = = == = = =

En función del periodo: 2

T

πω ====

En función de la frecuencia: 2 fω π==== 5. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (a c)

La aceleración centrípeta mide la rapidez de cambio que experimenta la velocidad tangencial en dirección. Se representa por vector que indica al centro de curvatura. Su valor es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad tangencial e inversamente proporcional a l radio de curvatura. Se mide en m/s2.

(((( ))))222

c

.rVa .r

r r

ωω= = == = == = == = =

En función de la velocidad tangencial: 2

c

Va

r====

ac

Fig. 01. ACELERACIÓN CENTRÍPETA

A

B

0

r V

V

V

C

ac

ac

ac

V

D



En función de la velocidad angular: 2ca .rω====

En el M.C.U, la velocidad angular es constante, por consiguiente la aceleración normal o centrípeta de pude definir como sigue:

Relación vectorial entre la velocidad tangencial y la velocidad angular: ω= ×= ×= ×= ×� � �

V r

(((( ))))ω ××××= == == == =� � �

�

c

d rd Va

d t d t

Se obtiene ω ω= × = ×= × = ×= × = ×= × = ×�

��

c

d ra V

d t

Finalmente: (((( ))))ca rω ω� �� = × ×= × ×= × ×= × ×

6. LEY DE KEPLER PARA EL M.C.U. Todo cuerpo o partícula que tiene movimiento circunferencial uniforme, describe ángulos iguales en intervalos de tiempos iguales, respecto de un sistema de referencia ubicado en el centro de la circunferencia. Ley de áreas: La partícula describe áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. La circunferencia en un caso particular de la elipse. 7. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: La velocidad angular se define como la derivada de la posición angular respecto del tiempo:

dt

dθω =

El diferencial del desplazamiento angular es: dtd .ωθ =

Integrando en un intervalo de tiempo tenemos: ∫∫ =2

1

2

1

.t

t

dtd ωθθ

θ

Desplazamiento angular: ( )1212 . tt −=− ωθθ

Ecuación práctica del M.C.U: t.ωθ =

Ley del movimiento: si 0 0t ==== , entonces: 0 .θ θ ω t= +

8. POLEAS Y DISCOS TANGENTES. La figura 02 muestra tres discos tangentes entre sí, de radios diferentes. Si los discos son tangentes el número de vueltas en inversamente proporcional al radio de curvatura, es decir el disco de mayor radio da menos vuelta y el disco de menor radio da mayor número de vueltas. Es decir la velocidad tangencial de los puntos periféricos tiene el mismo valor.

= = == = == = == = =A A B B C CV .R .R .Rω ω ω

(((( )))) (((( ))))====A CN. vueltas de A .R N. vueltas de C .R

A B

a b

Fig. 03. POLEAS CONCÉNTRICAS

RA RB

RC

A B C

Fig. 02. DISCOS TANGENTES



9. POLEAS Y DISCOS CONCÉNTRICOS. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a y b en la figura 03. Si los discos son concéntricos tienen la misma velocidad angular, por consiguiente la velocidad tangencial de sus puntos periféricos son directamente proporcional al radio.

A B

A B

V V V

R R Rω ==== ⇒⇒⇒⇒ ====



MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.)

1. Dos móviles que desarrollan M.C.U. parten de A y B encontrándose en C. Si la rapidez angular de A es

4π rad/ s, calcular la rapidez angular de B en rad/s.

2. Dos móviles que desarrollan M.C.U. parten de A y B encontrándose en C. Si la rapidez angular de A es 4π rad/ s y de B es 5π rad/s, ¿después de cuántos segundos se encuentran por primera vez?

3. Dos personas recorren la misma pista circunferencial (radio 80 m) partiendo del mismo punto en el mismo sentido, cuya rapidez angular están en relación de 1 a 5. Calcular la longitud de arco de circunferencia que recorre el más lento cuando es alcanzado por el más rápido.

4. Una partícula con M.C.U. tiene frecuencia de 1200 R.P.M. Si el radio de giro es 50 cm, calcular su aceleración centrípeta en m/s2.

5. Un proyectil es disparado desde el piso con rapidez de V = 50 m/s y un ángulo de elevación θ = 53°. Determinar el radio de curvatura de su tray ectoria en el instante que pasa por el punto más alto.

6. Un proyectil es disparado desde la superficie terrestre con una rapidez de V = 100 m/s y un ángulo de elevación de 53° ¿Cuántos segundos habrá desde el instante de lanzamiento hasta que el módulo de su aceleración tangencial es 6 m/s2 por segunda vez? (g = 10 m/s2)

7. Se lanza un cuerpo con una rapidez de V = 40 m/s y un ángulo de elevación de 53°. Determine la aceleración normal ( en m/s2) en el instante en que la rapidez del cuerpo es de 30 m/s (g = 10 m/s2)

8. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 10 cm y b = 20 cm. Si las poleas giran en sentido horario con rapidez angular constante de 4 rad/s, determinar la rapidez de alejamiento (en cm/s) entre los bloques A y B.

9. La figura muestra tres discos tangentes entre sí, de radios de curvatura R, 2R y 3R respectivamente. Cuando el disco mayor gira 4

A

B

C

Para el problema 02

O A

B

C

60°

Para el problema 01

O

A B

a b

Para el problema 08

V

g = 10 m/s2

θ

D A B

Para el problema 5, 6 y 7



vueltas, ¿Cuántas vueltas girara el disco de menor radio?

10. Una partícula realiza un movimiento circunferencial uniforme con rapidez angular ( / )12

rad sπ

y

radio 2,5 m. ¿En qué intervalo de tiempo (en s) la partícula realiza 7 vueltas completas?

11. Con respecto al movimiento circunferencial, cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. Un partícula que tiene M.C.U. tiene la aceleración centrípeta constante en módulo. II. La aceleración centrípeta en un movimiento circunferencial tiene dirección variable. III. Si la aceleración centrípeta es constante en módulo, entonces la trayectoria en una circunferencia.

12. Una partícula se desplaza en una trayectoria circunferencial de 2 m de radio en donde su posición angular varia con el tiempo de acuerdo a la ecuación θθθθ = 2 +2t. Si θ se mide en radianes y t en segundos, determine: a) su recorrido (en m) entre t = 1 s y t = 3 s. b) su rapidez angular en el mismo intervalo de tiempo.

13. Se muestra el movimiento curvilíneo de una partícula. Explique la medición de la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial.

14. De las siguientes afirmaciones indicar verdadero o

falso, respecto del M.C.U. I. El móvil no tiene aceleración. II. La velocidad del móvil es constante. III. La velocidad angular es constante

15. Un punto A del borde de un disco, que gira con M.C.U. en un plano horizontal, tiene una rapidez que es el triple de la que tiene otro punto B 4 cm más cerca del centro del disco. Determine el radio del disco.

16. Una esfera de 10 cm de radio gira uniformemente (con eje de giro vertical y que pasa por el centro de la esfera) con un periodo de 0,2π s. Determine el módulo de la velocidad de un punto de la superficie de la esfera que se encuentra a 6 cm de un plano horizontal que pasa por el centro de la esfera.

17. Dos partículas realizan un M.C.U. en sentidos opuestos tal como se muestra; si sus periodos son: TA = 20 min y TB = 30 min ¿luego de cuántos minutos, desde la posición mostrada se cruzaran por segunda vez?

3R 2R

R

A B C

Para el problema 09

A B

Para el problema 17

O

B

p

h

ω

Para el problema 18

g



18. Desde una altura de h = 20 m y sobre un punto P del borde de un disco horizontal se deja caer una

piedra. Si el radio del disco es 15 2 cm gira con frecuencia de 45 R.P.M., ¿a qué distancia (en cm) del punto P logra chocar la piedra en el disco? (g = 10 m/s2)

19. Se sueltan simultáneamente dos pelotitas A y B tal como se muestra. Si la plataforma gira uniformemente con 5π/3 rad/s y la primera pelotita marca el punto P en la plataforma y la segunda marca el punto Q, calcular la medida del ángulo POQ (g = 10 m/s2)

20. Dos móviles A y B parten de dos puntos diametralmente opuestos de una pista circunferencial con rapideces angulares de π/2 rad/s y π/3 rad/s en el mismo sentido. ¿Después de que intervalo de tiempo se encuentran juntos por primera vez?

21. Un disco de 20 cm de radio gira con M.C.U. en un plano horizontal. Si una hormiga se aleja del centro del disco, a lo largo de un radio, con una rapidez constante de 12 cm/s respecto del disco, calcular el módulo de la velocidad de la hormiga cuando se encuentra a 4 cm del centro del disco. La aceleración de un punto del borde del disco tiene un módulo de 3,2 m/s2.

22. ¿Con qué rapidez (en km/h) deberá volar el avión en el Ecuador de Este a Oeste para que a sus pasajeros les parezca que el Sol está fijo en el firmamento? Considerar: Radio de la Tierra = 6 396 km y π = 3,14

A

B

h

ωωωω

Para el problema 23

a b

P

Para el problema 24

A

45 cm

ω

Para el problema 19

B

80 cm

g

VA

VB

R

Para el problema 20



23. Desde una altura de h = 5 m y sobre un punto B del borde de un disco horizontal se deja caer una

piedra desde A. Si el radio del disco es 5 2 cm y gira a razón de 45 R.P.M. ¿a qué distancia (en cm) del punto B choca la piedra en el disco?. (g = 10 m/s2)

24. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 3 cm y b = 5 cm, que giran en sentido antihorario a razón de 45 R.P.M. Determine la rapidez (en m/s) con que sube el bloque P.

25. Se muestra un conjunto de poleas concéntricas, entre las poleas tangentes no hay deslizamiento. Si el bloque P baja con rapidez de 5 cm/s, determinar la rapidez del bloque Q (en cm/s). Los radios son los siguientes: a = 60 cm b = 30 cm x = 40 cm y = 20 cm

26. Se muestra tres poleas concéntricas de radios a = 10 cm; c = 30 cm. Si el sistema de poleas gira con rapidez angular constante igual a 4 rad/s, en sentido horario, determinar la rapidez en m/s con que se mueve el bloque Q.

Q

a

c

Para el problema 26

a

b

x

y

P Q

Para el problema 25

b a

Q

Para el problema 28

b a

Q

Para el problema 27



27. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b = 10 cm. Si las poleas giran en sentido antihorario con rapidez angular constante de 6 rad/s, determinar la rapidez (en m/s) del bloque Q.

28. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 15 cm y b = 10 cm. Si las poleas giran en sentido horario con rapidez angular constante de 4 rad/s, determinar la rapidez (en m/s) del bloque Q.

29. Se muestra una barra AB en posición horizontal y en reposo, cuya longitud es 1,0 m, sostenida por dos cuerdas iguales enrolladas a dos poleas de radios a = 2,5 cm y b = 7,5 cm. Si las poleas empiezan a girar en sentido horario con rapidez angular constante de 2 rad/s, ¿en qué intervalo de tiempo los cables que sostienen la barra estarán en posición vertical?

30. Se muestra una barra AB en reposo, cuya longitud es 0,5 cm, sostenida por dos cuerdas enrolladas

a dos poleas concéntricas de radios a = 30 cm y b = 10 cm. Si las poleas empiezan a girar en sentido antihorario con rapidez angular 45 R.P.M., ¿en qué intervalo de tiempo los cables que sostienen la barra estarán otra vez en posición vertical?

31. Se tiene una barra horizontal AB inicialmente en reposo como muestra la figura cuya longitud es 100 cm, sostenida por dos cable enrollados a dos poleas concéntricas de radios a y b, donde (a + b = 80 cm). Si las poleas empiezan a girar con rapidez angular constante igual a 0,3 rad/min en sentido antihorario, ¿en qué intervalo de tiempo (en min) los cables que sostienen la barra estarán en posición vertical? Observe que las longitudes de las cuerdas inicialmente son iguales.

a b

A

B

Para el problema 30

A B

a b 80 cm

Para el problema 29

L L

A B

L L

a b

Para el problema 31



MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (segunda parte) 1. Se muestra dos pares de poleas concentrica, donde un punto del borde de la polea de radio a = 20 cm,

tiene una rapidez de 60 cm/s. Si las poleas de radios b = 10 cm y d = 15 cm giran en sentido horario, ¿qué módulo tendrá la velocidad de los puntos del borde de la polea de radio c = 5 cm?

2. Dos móviles que desarrollan M.C.U parten de A y B. Si la rapidez angular de A es 2 rad/s y de B es 3 rad/s, ¿después de cuántos segundos se encuentran por primera vez?

3. Dos móviles que desarrollan M.C.U parten de A y B en el mismo sentido. Si la rapidez angular de A es 2

rad/ s y de B es 3 rad/s, ¿después de cuántos segundos se encuentran por primera vez?

a

b

c

d

Para el problema 01

A B

Para el problema 03

O

A

B

60°

Para el problema 02

O

R

O

ω

V

Para el problema 06

R

R

R

ω

V

Para el problema 05



4. Dos personas recorren la misma pista circunferencial (radio 80 m) partiendo del mismo punto en el mismo

sentido, cuya rapidez angular están en relación de 2 a 3. Calcular la longitud de arco de circunferencia que recorre el más lento cuando es alcanzado por el más rápido.

5. Una esfera hueca de radio 1,0 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Un proyectil se desplaza con velocidad de 400 i (m/s) perpendicularmente al eje, perforando a la esfera en un punto cuyo radio forma 30° con el eje vertical. Determinar la mínima rapidez angular (en rad/s) que debe tener la esfera par que el proyectil entre y salga por el mismo agujero.

6. Una esfera hueca de radio 0,5 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro con frecuencia de 100 R.P.S. Un proyectil se dispara de tal modo que pasa por el centro geométrico. Determinar la máxima rapidez (en m/s) que el proyectil tal que, atraviese haciendo un solo agujero.

7. Un cilindro hueco de radio de curvatura 0,4 m gira con frecuencia de 150 R.P.S respecto del eje vertical. Se dispara un proyectil horizontalmente, de modo que pasa por el eje de rotación. Calcular la máxima rapidez del proyectil (en m/s), tal que atraviese haciendo un dolo agujero.

8. Sobre un eje horizontal que gira con frecuencia de 1 200 R.P.M se tiene montado dos discos separados

una distancia de 25 cm. Se dispara un proyectil paralelamente al eje, tal que perfora los dos discos, notándose que el segundo agujero se desvía 12° resp ecto del primero. Determine la rapidez del proyectil (en m/s).

9. Dos satélites A y B describen trayectorias circunferenciales concéntricas de radios de curvatura R y 2R.

Si los vectores posición, respecto del centro de curvatura, describen áreas iguales en intervalos de tiempo iguales, determinar la relación entre sus respectivas rapideces angulares.

V

25 cm

ω

Para el problema 08

V

ω

Para el problema 07

b

a

c

Para el problema 11

a b

c

Para el problema 10



10. Se muestra tres discos A, B y C de radios a = 6 cm, b = 3 cm y c = 4 cm, donde A y B son concéntricos y además A y C son tangentes. Si el disco de radio “b” gira a razón de 120 R.P.M, determinar la rapidez angular (en rad/s) del disco de radio “c”.

11. Se muestra tres discos A, B y C de radios a = 2 cm, b = 4 cm y c = 5 cm, donde A y B son concéntricos y

además A y C son tangentes. Si el disco de radio “c” gira con rapidez angular de 3 rad/s, determinar el módulo de la velocidad (en cm/s) de los puntos periféricos del disco B.

12. Una partícula recorre la trayectoria mostrada, formada por dos semicircunferencias, con velocidad tangencial constante en 3 segundos. Sabiendo que R = 1 m, encontrar el modulo de la aceleración centrípeta en el punto A en m/s2.

13. Un móvil recorre la trayectoria ABC con módulo de velocidad constante por el tramo AB y para el tramo

BC. Se sabe que el modulo de la aceleración en AB es 6 m/s2 y en BC 5 m/s2. Determinar el intervalo de

x

y

A B

6 m

5 m

Para el problema 13

C

x

y

O

A

R

2R

Para el problema 12

12

3 9

6

O

Para el problema 17

12

3 9

6

O

Para el problema 16

V

R

O

d Para el problema 15

37°

A

V

R

O

d

Para el problema 14



tiempo (en s) que demora en el recorrido total ABC.

14. Una piedra atada a una cuerda de 2,5 m de longitud gira en un plano vertical con rapidez angular constante de 2 rad/s. En el instante que pasa por el punto más alto se rompe la cuerda, determinar el desplazamiento horizontal “d” (en m) que experimenta la piedra hasta llegar al piso. (g = 10 m/s2)

15. Una rueda de radio 5 m rota con rapidez angular constante de 2 rad/s respecto de un eje fijo. Si en la posición A se desprende de la rueda una partícula, determinar la altura máxima (en m) que alcanza respecto del piso. (g = 10 m/s2)

16. Se tiene un reloj de agujas, ¿a qué hora entre las tres y las cuatro, el horario (H) y el minutero (M) forma un ángulo recto?

17. Se tiene un reloj de agujas, ¿a qué hora entre las tres y las cuatro, el horario (H) y el minutero (M) forma un ángulo de 180°?

18. Sabiendo que poleas concéntricas de la izquierda giran con rapidez angular de 3 rad/s en sentido antihorario, desde el instante mostrado, ¿qué intervalo de tiempo después (en s) un observador ubicado en el bloque A verá

al móvil B con un ángulo de elevación de 53°? Ademá s los radios son: a = 2 cm, b = 1 cm, c = 1 cm y d = 3 cm.

19. Sabiendo que poleas concéntricas de la izquierda giran con rapidez angular de 3 rad/s en sentido antihorario, desde el instante mostrado, ¿qué intervalo de tiempo después (en s) un observador ubicado en el bloque A verá al móvil B con un ángulo de elevación de 53°? Además los radios son: a = 2 cm, b = 1 cm, c = 1 cm y d = 3 cm.

a

b c

d

A B

6 cm

Para el problema 19

a

b c

d

A B 6 cm

Para el problema 18

ω(rad/s)

π

2 4 6 0

t(s)

Para el problema 20

ω(rad/s)

2π

2 4 8 0

t(s)

Para el problema 21



20. Un disco experimenta un movimiento de rotación variado, cuya rapidez angular varía en el tiempo como muestra la grafica. Determinar el número de revoluciones que gira en los 6 primeros segundos.

21. Un disco experimenta un movimiento de rotación variado, cuya rapidez angular varía en el tiempo como muestra la grafica. Determinar el número de revoluciones que gira en los 8 primeros segundos.

22. En la figura muestra dos pares de poleas concéntricas donde, a = 20 cm, b = 30 cm, c = 15 cm, d = 20 cm. Si la polea pequeña de radio r = 10 cm gira en sentido antihorario a 45 R.P.M., determinar la rapidez (cm/s) con que se mueve el bloque P, sabiendo que entre las poleas en contacto no hay deslizamiento.

23. Dos móviles A y B se mueven a partir de las posiciones mostradas con velocidad angular de modulo

2π rad/h y π/6 rad/h respectivamente. ¿Al cabo de que tiempo (en min) se producirá el primer encuentro

24. Una partícula describe un movimiento circunferencial uniforme en sentido antihorario. Si la rapidez angular es 4 rad/s y radio 2 m, determine la velocidad en la posición A.

25. Dos partículas realizan un M.C.U. en sentidos opuestos tal como se muestra; si sus periodos son: TA = 40 min y TB = 60 min ¿luego de cuántos minutos, desde la posición mostrada se cruzarán por tercera vez?

26. BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN: http://grups.es/didactika/yahoo.com www.didactika.com [email protected]

b

a c

d r

P

Para el problema 22

A

B

Para el problema 23

A

X

Y

Z

Para el problema 24



MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V.) 1. CONCEPTO.

Es aquel movimiento mecánico de la partícula que tiene como trayectoria una línea curva llamada circunferencia, en el cual el móvil aumenta o disminuye su velocidad angular en módulo, progresivamente, por consiguiente se mueve con aceleración angular constante. La velocidad angular y la aceleración angular son colineales.

2. ACELERACIÓN ANGULAR (

�α ). Es aquella magnitud vectorial, que mide la rapidez de cambio de la velocidad angular que experimenta una partícula. Se representa por un vector perpendicular al plano de rotación.

Definición escalar: 0f

t t

ω ω∆ωα∆

−−−−= == == == = 2 2 2

rad rad radUnidades : , ,

s min h

Definición vectorial de la aceleración angular: d

d t

ωα�

� ====

Pero: d

d t

θω ==== entonces se obtiene: 2

2

d d

d t d t

ω θα θi i

= = == = == = == = =

En el movimiento circular uniformemente variado, la aceleración angular es constante:

Integrando la relación diferencial d .dtω α==== se obtiene que:

0 0 0

t t

t t

d .dt . dtω

ω

ω α α= == == == =∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Ecuación de la velocidad angular: (((( ))))0 0t tω ω α= + −= + −= + −= + −

Haciendo que 0 0t ==== , obtenemos la relación: 0 .tω ω α= += += += +

Otra vez: 0

d.t

d t

θω ω α= = += = += = += = +

Observe (((( ))))0d .t .dtθ ω α= += += += + ahora integramos:

0 0 0

0

t t

t t

d .dt . t.dtθ

θ

θ ω α= += += += +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

α

θ A B

r

Figura 01 ω



La posición angular en cualquier instante es: (((( )))) (((( ))))2120 0 0 0. t t t tθ θ ω α= + − + −= + − + −= + − + −= + − + −

3. VELOCIDAD ANGULAR MEDIA (((( ))))mω : Si la aceleración angular es constante, entonces la

velocidad angular varía linealmente. Entonces la velocidad angular media (velocidad angular constante) se define como la semisuma de la velocidad angular inicial y final.

0

2F

m

ω ωω ++++====

En el M.C.U la velocidad angular permanece constante, entonces el desplazamiento angular es:

0

2F

m.t .tω ωθ ω ++++ = == == == =

4.ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL (a t):

Es aquella magnitud vectorial que mide la rapidez de cambio que experimenta la velocidad tangencial en módulo. Se representa mediante un vector tangente a la circunferencia.

0T

V V Va

t t

∆∆

−−−−= == == == = 2 2 2

m cm kmUnidades : , ,

s s h

Ecuación de la velocidad linéalo tangencial:

0 TV V a .t= += += += +

Definición diferencial de la aceleración tangencial:

T

dVa

d t====

Se obtiene que: TdV a .d t==== integrando

0 0 0

= == == == =∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫V t t

T T

V t t

dV a .d t a . d t

(((( ))))0 0TV V a . t t− = −− = −− = −− = − entonces la velocidad varia con la ley: (((( ))))0 0TV V a . t t= + −= + −= + −= + −

5. ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA (a c): La aceleración centrípeta mide la rapidez

de cambio que experimenta la velocidad tangencial en dirección. Se representa por vector que indica al centro de curvatura. Su valor es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad tangencial e inversamente proporcional al radio de curvatura en cada instante de tiempo. Se mide en m/s2.

(((( ))))222

c

.rVa .r

r r

ωω= = == = == = == = =

6. ACELERACIÓN RESULTANTE (a): es la aceleración que resulta de adición vectorial la

aceleración tangencial y la aceleración centrípeta. El módulo se determina aplicando el teorema de Pitágoras.

Forma vectorial: t ca a a= += += += +� � �

at

ac a

r

Figura 02



Forma escalar: (((( )))) (((( ))))2 2

t ca a a= += += += +

7. RELACIÓN ENTRE LA ACELERACIÓN ANGULAR Y TANGENCIAL :

Sabemos que: tV .rω====

0 0− −− −− −− −= == == == =f f

t

V V .r .ra

t t

ω ω

0fta .r .r

t

ω ωα

−−−− = == == == =

====ta .rα

Debe observarse que la aceleración angular y la aceleración tangencial son mutuamente perpendiculares: α= ×= ×= ×= ×��

ta r Considerando que la trayectoria es una circunferencia, entonces el radio tiene longitud constante,

la aceleración tangencial se define como: (((( ))))

t

d .rdV da r. r.

d t d t d t

ω ω α = = = == = = == = = == = = =

8. PROPIEDAD DE LA POLEA MÓVIL.

La velocidad de la polea (punto A) es igual a la semisuma de las velocidades de los puntos B y C que son los extremos de la cuerda:

2B C

A

V VV

+=� �

�

DEMOSTRACIÓN Si elegimos un sistema de referencia donde el punto “O” se encuentra en reposo, se cumplirá que:

= −= −= −= −� �

B / O C / OV V

es decir, para nuestro observador el bloque B sube y el bloque C baja con la misma rapidez o viceversa.

(((( ))))− = − −− = − −− = − −− = − −� � � �

B O C OV V V V

Respecto de la tierra: ====� �

A OV V

2

++++= == == == =

� �

� �B C

A O

V VV V

La misma relación se cumple para la aceleración: 2

B CA

a aa

+=� �

�

y el desplazamiento: 2

B CA

d dd

+=� �

�

A

B C

Fig. 03. POLEAS MÓVILES

O



9. ACELERACIÓN ANGULAR VARIABLE : En toda grafica aceleración angular versus tiempo, el área bajo la curva es igual al incremento de la rapidez angular en un intervalo de tiempo.

0 0

.t

t

d dtω

ω

ω α=∫ ∫

0

0 .t

t

dtω ω α− = ∫

En este caso la aceleración angular varía linealmente:

0

0 .t

t

dtω ω α= + ∫

El incremento de la velocidad angular es:

0

0 .ω ω αt

t

dt− = ∫

0

.

2

b hω ω− =

En este caso particular la integral representa el área del triángulo.

α( rad/s2)

CAMBIO DE LA VELOCIDAD ANGULAR

0

t(s)



PROBLEMAS PROPUESTOS de MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL (M. C. U. V.) 1. Si un disco parte del reposo con M.C.U.V y en 9 segundos su rapidez angular es 36 rad/s. ¿Cuál será la

rapidez angular a los 10 segundos en rad/s?

2. Una partícula gira a 33 R.P.M y al desacelerar con M.C.U.V se detiene en 8 segundos. Determinar el número de vueltas que logró al perder su velocidad.

3. La frecuencia de una rueda cambia de 8000 R.P.M hasta 200 R.P.M en 5 segundos. Si tiene M.C.U.V, determinar su rapidez angular (en rad/s) 2 segundos antes de detenerse.

4. Una partícula que tiene M.C.U.V con aceleración angular de módulo 80 rad/s2. Si para girar 1500 rad necesita 6 segundos, determinar la rapidez angular inicial en rad/s.

5. El punto periférico, de una rueda de diámetro 8 m, en un instante dado tiene aceleración tangencial de módulo 20 m/s2 y rapidez angular 5 rad/s. Calcular la aceleración total en m/s2 en ese instante.

6. El movimiento del rotor de un helicóptero cambia de 300 R.P.M a 225 R.P.M en un minuto. Suponiendo que la frecuencia de rotación inicial del motor es de 300 R.P.M y que la aceleración angular permanece constante, ¿cuánto tiempo tardará el rotor en detenerse?.

7. La trayectoria circunferencial de un automóvil esta descrita mediante la ecuación: 210 5. 2.S t t= + + , donde S esta en metros y t en segundos. Si la trayectoria tiene un radio de 27 cm, hallar las aceleraciones tangencial, centrípeta y total cuando t = 1,0 s. Dar la respuesta en m/s2:

8. Desde el borde de una mesa, cuya superficie se encuentra a 1 m del suelo, se lanza horizontalmente un objeto con una rapidez de 5 m/s. Determinar las aceleraciones centrípeta y tangencial del objeto 0,5 después del lanzamiento.

9. Una partícula realiza un movimiento circunferencial acelerado con aceleración tangencial de modulo 2 m/s2. Si la magnitud de la aceleración normal en el instante 0t = fue 1 m/s2, determine la magnitud (en m/s2) de la aceleración normal cuando el desplazamiento angular sea de 3 radianes.

10. Un cuerpo realiza un M.C.U.V. de radio 2 m. Si su posición angular θ (en radianes) en función del

tiempo t (en segundos) es 2

22

ttθ = + , determine el módulo de la velocidad tangencial (en m/s) en el

instante 4t s= .

11. Una partícula que realiza una trayectoria circunferencial parte con una rapidez de 3π rad/s y con aceleración angular de modulo 4π rad/s2. Determine el número de vueltas que realizó en el décimo segundo.

12. Una partícula efectúa un M.C.U.V. con aceleración angular de 0,5 rad/s2 en una pista de radio 2 m. Si en t = 0 s parte del reposo, determine la longitud de arco (en m) que describe en el décimo segundo de su movimiento.

13. Una partícula describe un movimiento circunferencial uniformemente variado, radio 1,0 m y aceleración tangencial 1 m/s2, partiendo del reposo. Determine el desplazamiento angular (en rad) hasta el instante que el valor de la aceleración tangencial es igual a la aceleración centrípeta.

14. Un cuerpo inicialmente en reposo (θ = 0, ω = 0 en t = 0) es acelerado en sentido antihorario, en una trayectoria circular de 1.3 m de radio de acuerdo a la ecuación:

.1648120 2 +−= ttα Determinar: a) La velocidad angular y la posición angular como funciones del tiempo. b) Las componentes tangencial y normal de su aceleración en t = 2,0 s.

15. Una partícula se mueve en una trayectoria circular con radio R = 2 m con una velocidad angular ω = 5 rad/s. Si en t = 0 s comienza a desacelerar con una aceleración angular α = 2 rad/s2, determinar:



a) El intervalo de tiempo que demora en detenerse. b) El módulo de la aceleración tangencial y normal al cabo de 1 segundo. c) El módulo de la aceleración total en t = 1 s.

16. La velocidad angular de una rueda disminuye uniformemente con aceleración angular constante desde 900 R.P.M hasta 800 R.P.M en 5 segundos. Determinar: a) El módulo de la aceleración angular. b) El intervalo de tiempo más que hará falta para que la rueda se detenga. c) El grafico de ω versus t , sabiendo que en t = 0, ωo = 94,2 rad/s.

d) Realizar el grafico de θ versus t , si en t = 0, es oθ = 0.

17. Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio R = 2 m con M.C.U y una frecuencia de

5 R.P.S. Si cuando t = 0 s pasa por el punto P. En el instante t = 0,15 s determinar: a) Su posición en función al ángulo central. b) El módulo de la velocidad tangencial. c) El módulo de las componentes tangencial y normal de la aceleración.

18. Una partícula que tiene trayectoria circular, en un instante tiene rapidez V = 20 m/s y aceleración

total de módulo a = 20 m/s2 como se muestra en la figura. Determinar el radio de curvatura.

19. En el movimiento circunferencial uniformemente variado se cumple:

A) La aceleración tangencial es constante. B) La aceleración angular es perpendicular a la velocidad angular.

V a

53°

O

Para el problema 18

O x

y

R

P

Para el problema 16

R

Para el problema 23

V

a

127°

O

Para el problema 22



C) La aceleración angular es perpendicular al plano de rotación. D) La aceleración normal es constante. E) El vector aceleración del cuerpo apunta hacia el centro de la circunferencia.

20. ¿Cuántas vueltas habrá dado un disco que inicia un M.C.U.V. desde el reposo si al transcurrir el primer minuto tiene una frecuencia de 300 R.P.M.

21. Un cuerpo inicia un M.C.U.V. desde el reposo con 3 rad/s2, luego de cierto tiempo empieza a desacelerar a razón de 6 rad/s2 hasta que se detiene. Si el tiempo total que demora durante su movimiento es 30 s. Calcular el módulo de la velocidad angular máxima que logra el cuerpo.

22. En cierto instante, una partícula que realiza un M.C.U.V. tiene una aceleración total de módulo 5

m/s2 y que forma 127º con la velocidad. Determine la rapidez del móvil 2 s después del instante mencionado. El radio de la trayectoria es de 16 m.

23. Un partícula parte del reposo y empieza a describir una trayectoria en forma de espiral cuyo radio varía según la ley R = k.t ( k = 1 m/s), es decir en cada segundo el radio aumenta en 1 m. El movimiento posee aceleración angular de módulo 0,25 rad/s2. ¿Qué módulo de velocidad tangencial (en m/s) tendrá la partícula a los 12 segundos de su partida?

24. Un disco empieza a girar con aceleración angular constante. En determinado instante tiene una rapidez angular de 10 rad/s y 5 s más tarde tiene 20 rad/s ¿Qué medida de ángulo (en rad) ha girado el

α( rad/s2)

8

4 8 12 0

t(s)

Para el problema 26

α( rad/s2)

2π

2 8 0

t(s)

Para el problema 25

a b

P

Para el problema 28

Q

a

c

Para el problema 29

b



disco en los primeros 5 s?

25. Se muestra la variación de la aceleración angular en el tiempo de un disco. Si en el instante t = 0 su rapidez angular es “ω” y para t = 8 s la rapidez angular es “3ω”, determinar su rapidez angular (en rad/s) para t = 2 s.

26. Se muestra la variación de la aceleración angular en el tiempo de un disco. Si en el instante t = 0 su rapidez angular es “ω” y para t = 8 s la rapidez angular es “3ω”, determinar su rapidez angular (en rad/s) para t = 6 s.

27. Un disco que tiene M.C.U.V necesita 3 segundos para girar un ángulo de medida 234 radianes. Si su rapidez angular a cabo de este tiempo es 108 rad/s. Determinar el módulo de la aceleración angular (en rad/s2).

28. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas

giran en sentido horario con aceleración angular constante de modulo 4 rad/s2, determinar el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque P.

29. Se muestra tres poleas concéntricas de radios a = 10 cm, b = 20 cm y c = 25 cm. Sabiendo que las poleas giran en sentido horario con aceleración angular constante de módulo 4 rad/s2, determinar el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque Q.

30. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas giran en sentido horario con aceleración angular constante de modulo 4 rad/s2, determinar el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque Q.

31. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas giran en sentido horario con aceleración angular constante de modulo 4 rad/s2, determinar el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque Q.

32. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas giran en sentido horario con aceleración angular constante de módulo 4 rad/s2, determinar el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque Q.

b a

Q

Para el problema 30

b a

Q

Para el problema 31



33. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 10 cm y b= 20 cm. Sabiendo que el bloque Q sube con aceleración de módulo 0,6 m/s2, determinar el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque P.

34. Si el bloque B se mueve con velocidad de 8 ĵ (m/s) y el bloque C con 10 ĵ (m/s) ¿Cuál es el módulo

de la velocidad (en m/s) con la que se mueve el punto A?

35. Si el bloque B se mueve con velocidad de -8 ĵ (m/s) y el bloque C con 10 ĵ (m/s) ¿Cuál es el módulo de la velocidad (en m/s) con la que se mueve el punto A?

36. Si el bloque B se mueve con aceleración de -6 ĵ (m/s2) y el bloque C con 8 ĵ (m/s2) ¿Cuál es el

módulo de la aceleración (en m/s2) con la que se mueve el punto A?

37. Una partícula realiza un M.C.U.V partiendo del reposo. ¿En qué instante en (en s) el modulo de su aceleración centrípeta será el doble de lo que era en el instante t = 2 s?

A

B C

Para el problema 34

A

B C

Para el problema 35

A

B C

Para el problema 36

a b

Q

Para el problema 33

P

a b

Q Para el problema 32



38. Una partícula realiza un M.C.U.V partiendo del reposo. ¿En qué instante en (en s) el modulo de su aceleración centrípeta será el doble de lo que era en el instante t = 2 s?

39. Una partícula describe un movimiento circunferencial uniformemente variado de 1 m de radio. Si en el instante en que el vector aceleración total hace un ángulo de 53° con el vector velocidad de módulo es 2 m/s, determine el modulo del vector aceleración tangencial (en m/s2) en ese instante.

40. Una partícula se mueve en una circunferencia de 10 cm de radio con aceleración tangencial de módulo constante. Calcule el módulo de esta aceleración (en m/s2) luego de 20 s de haber iniciado su movimiento, sabiendo que al término de la quinta vuelta su rapidez tangencial es de 10 cm/s.

41. Una partícula realiza M.C.U.V con aceleración tangencial de módulo 1 m/s2, partiendo del reposo. Si el radio de la trayectoria es de 1 m, determine el desplazamiento angular (rad) en el instante en que el módulo de la aceleración centrípeta es 1 m/s2.

42. Una partícula parte del reposo en movimiento circunferencial sobre una trayectoria de radio 0,5 m y después de 0,1 s alcanza una velocidad angular de modulo 4π rad/s. Considerando que la aceleración angular es constante, ¿Cuál es el ángulo que forma la aceleración con el radio en dicho instante?

43. Un móvil parte del reposo y comienza a moverse con M.C.U.V con aceleración angular de módulo 2 rad/s2. Si se sabe que después de un tiempo ha barrido un ángulo central de θ rad y 2 segundos después ha barrido un

ángulo γ rad tal que: 4

5

θγ

= . Determinar γ en rad.

44. Un disco parte con velocidad angular de modulo ω0 y realiza un M.C.U.V. Determine cuantas vueltas realiza el disco al cabo de los 10 segundos iniciales de su movimiento, si al cabo de los primeros 2 segundos efectuó 5 vueltas adquiriendo una velocidad angular de modulo 6π rad/s.

45. Una partícula inicia su movimiento circunferencial con una aceleración angular constante de modulo 3 rad/s2. ¿Después de que tiempo (en s) el vector aceleración forma por primera vez un ángulo de 37° con el vector velocidad?

46. Una partícula describe un M.C.U.V en el plano X-Y partiendo de x = 4 m con una velocidad angular

inicial ˆˆ 3 ( / )k rad sω = − . Si luego de 5 segundos su velocidad angular es ˆ7 ( / )k rad s . Indique si las

siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F).

I. La aceleración angular es de 2ˆ2 ( / )k rad s . II. La rapidez después de 5 segundos es 28 m/s. III. En 5 segundos la partícula realiza cinco vueltas completas.

47. Un móvil parte del reposo del punto A y comienza a moverse con M.C.U.V en sentido antihorario. Si después de un cierto intervalo de tiempo, el móvil barre un ángulo central θ , determinar el ángulo ε que forma la aceleración instantánea con su componente tangencial.

X

Y

0

Para el problema 46

a an

o

θ

Para el problema 47

ε

A

at



48. Si un móvil parte del reposo y se mueve con M.C.U.V, determinar el desplazamiento angular θ que experimenta hasta el instante en que su aceleración lineal se duplica.

49. La velocidad angular de un disco giratorio en (rad/s) es: 22

20 13 3

= + −

t tω donde “t” se mide en

segundos. Calcular: a) El número de radianes que gira el disco en los tres primeros segundos. b) La aceleración angular en el instante 3=t s.

50. La velocidad angular de un punto giratorio en (rad/s) es: ( )230t 6tω = + donde “t” se mide en

segundos. Si cuando 10=t s la posición es 2 601= radθ Calcular:

a) la posición inicial ( )0=t s del punto.

b) La aceleración angular en el instante 2=t s.

51. Para el M.C.U.V: A) Demostrar que cuando una partícula parte del reposo y gira alrededor de un punto fijo con aceleración angular constante, la aceleración normal del punto material es directamente proporcional a su desplazamiento angular: .=na k θ

B) ¿Qué ángulo θ habrá girado el punto material cuando la aceleración resultante forme un ángulo de 60° con la aceleración normal?

Taller Número 4 Pregunta 1 A. El movimiento orbital de la Luna alrededor de la Tierra se puede aproximar como un movimiento circular

uniforme (considerar a la Luna y a la Tierra como cuerpos puntuales). Si la Luna se encuentra a 384 400 km de la Tierra y completa una vuelta alrededor de la Tierra en 27,3 días, estima la rapidez de la Luna en m/s.

B. Dos objetos puntuales se mueven alrededor de una pista circular. El objeto A se encuentra a 1 m del centro y el objeto B a 1,2 m del centro. Inicialmente se encuentran diametralmente opuestos, la rapidez de A es 1 m/s y la rapidez de B es 2,4 m/s. Si A gira en sentido antihorario y B en sentido horario determine después de cuánto tiempo su distancia de separación será mínima por segunda vez.

Pregunta 2 A. Albert está en la azotea de un edificio y lanza una moneda hacia arriba. Luego de 3 s la moneda pasa

por la parte superior de una ventana y 0,1 s después pasa por la parte inferior. La ventana tiene una altura de 2 m. Finalmente, la moneda llega al piso después de 5 s de haber sido lanzada. Determina la altura del edificio.

B. Una bola de acero se suelta desde la azotea de un edificio. Si durante el último segundo, antes de chocar contra el piso, recorre la mitad de la altura del edificio, determine la altura del edificio y la velocidad con la que llega al piso.

Pregunta 3 A. Un reloj de cuerda se adelanta un minuto en cada hora. Para este reloj defectuoso determinar la

velocidad angular del segundero, del minutero y del horario en rad/s.

B. Dos corredores, Juan y Pedro, se ubican espalda contra espalda en una pista circular a 100 m del centro. Juan parte con rapidez constante de 7,0 m/s en sentido horario. En ese mismo instante, Pedro

A B



parte con rapidez constante de 5,0 m/s en sentido antihorario. ¿Qué distancia recorre cada uno hasta el instante en que chocan?

Pregunta 4 Un meteorito cae perpendicularmente a la superficie terrestre y se aproxima para impactar en un punto P. Desde dicho punto, a t = 0 s, se lanza desde el reposo un cohete verticalmente hacia arriba con una aceleración constante de 8 m/s2. En el instante en el que la velocidad del cohete es de 80 m/s su motor se apaga y continúa su movimiento afectado sólo por la gravedad. Si 10 s después del lanzamiento del cohete, el meteorito tiene una velocidad de 40 m/s y se encuentra a 1000 m de la superficie de la Tierra, determinar: a) La velocidad del cohete y el meteorito en el instante que estos impacten. b) La altura en la que el cohete colisiona con el meteorito. c) En una misma figura realizar la gráfica de v-t del cohete y el meteorito. Pregunta 5 Una pelota A se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 20 m con una rapidez desconocida. Un segundo después del lanzamiento de la pelota A, se lanza una pelota B verticalmente hacia arriba desde una altura de 10 m y con la misma rapidez que la pelota A. Las pelotas se cruzan a una altura 13,775 m. Se pide: a) Determinar la rapidez de lanzamiento de las pelotas. b) En una misma figura realizar un gráfico de v-t para ambas pelotas. c) En una misma figura realizar un gráfico de x-t para ambas pelotas. Pregunta 6 Albert y Max se encuentran parados frente a frente debajo de un ventilador de 4 paletas mutuamente perpendiculares como se muestra en la figura. En cierto instante, Albert lanza hacia arriba una masilla con velocidad inicial de 9,0 m/s, y esta impacta en la paleta A cuando va de caída. Dos segundos después, Max lanza otra masilla hacia arriba, con velocidad inicial de 11,0 m/s, y esta impacta en la paleta B, también cuando va de caída. La altura de la hélice respecto al piso es de 5,0 m y las alturas desde las que Albert y Max lanzan las masillas son 1,5 m y 2,0 m, respectivamente. Considerando t = 0s en el instante en que Albert lanza la masilla, hallar el período del ventilador, si la masilla que lanzó Max impacta en la paleta B antes de que el ventilador complete la tercera vuelta desde el impacto de la primera masilla. 52.

Albert Max

A

B C

D



MOVIMIENTO del CUERPO RÍGIDO

1. CUERPO RÍGIDO. Es aquel cuerpo cuyas dimensiones externas no cambian en el tiempo, tienen forma y volumen constante, tal que la distancia entre dos puntos del cuerpo no cambia. Ejemplo de cuerpo rígido: Viga, columna, tabla, rueda de acero, biela, cilindro metálico, manivela, etc.

2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PLANO PARALELO. Por movimiento plano paralelo se entiende el movimiento de un cuerpo sólido durante el cual todos sus puntos se desplazan paralelamente a un plano fijo de referencia. Analicemos la traslación pura sin rotación de una rueda, en este caso todos los puntos del cuerpo rígido tienen la misma velocidad respecto de la tierra. Ahora analicemos la rotación pura de una rueda, el centro de rotación “C” no tiene velocidad de traslación, pero todos los puntos del cuerpo rígido tiene igual velocidad angular y los puntos periféricos tienen movimiento circunferencial uniforme. 3. DETERMINACIÓN DE LAS VELOCIDADES DE LOS PUNTOS DEL CUERPO. Si la rueda tiene movimiento de traslación y rotación tal que el punto de contacto con la superficie

no resbala, entonces el punto B tiene velocidad de traslación nula:

B

V

TRASLACIÓN PURA

V

V V

V A

C

B V V

V V

D

A

E C

ROTACIÓN PURA

B

SUMA DE VELOCIDADES

(VB = 0)

V

V A

C

V

B

PROPORCIÓN DE VELOCIDADES

2 V

V

A

C

C V

ROTACIÓN Y TRASLACIÓN

A



La velocidad del punto B se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C más la

velocidad de B respecto de C : / 0B C B CV V V= + =��

La velocidad del punto A se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C más la velocidad de A

respecto de C: /A C A CV V V= +� � �

La rapidez del punto A es el doble de la rapidez del

centro C de la rueda: 2AV V=�

La velocidad del punto D se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C más la velocidad de D respecto de C:

/D C D CV V V= +� � �

aplicado el Teorema de Pitágoras se obtiene que:

2DV V=�

La velocidad del punto E se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C más la velocidad de E respecto de C:

/E C E CV V V= +� � �

aplicado el Teorema de Pitágoras se obtiene que:

2EV V=�

4. CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN . Si en un instante un punto del cuerpo rígido tiene velocidad nula, entonces este punto se constituye como el centro de rotación en ese instante, entonces el cuerpo rígido experimenta una Rotación Pura, la velocidad de cualquier punto es perpendicular a la posición respecto del centro instantáneo de rotación. Este es un método, práctico muy útil en la resolución de problemas. Cuando analizamos el movimiento de la rueda que se traslada y rota sin resbalar, el punto B de contacto con la tierra se comporta como el centro instantáneo de rotación. Analicemos el movimiento de una barra de longitud L que apoya en un pared vertical y en una superficie horizontal. Sean los A y B los

B

VE V

VELOCIDAD EN “E”

V E

B

VD

V

VELOCIDAD EN “D”

V D

A

E C

y

VA B θ

CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN

C.I.

VB x



extremos de la barra, entonces determinamos el Centro Instantáneo de Rotación, trazando perpendiculares a las velocidades de A y de B. Si observamos desde el centro instantáneo de rotación todos los puntos del cuerpo rígido experimentan un movimiento de Rotación Pura.

Aplicamos las leyes del Movimiento Circunferencial Uniforme: V

Rω =

A BV V

x yω = = entonces se cumple que: .AV xω= y .BV yω=

5. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES DE LAS VELOCIDADES DE D OS PUNTOS DEL

CUERPO.

La determinación de las velocidades de los puntos del cuerpo rígido con ayuda de la composición de velocidades (movimiento compuesto) es habitualmente muy complicado de resolver. Sin embargo se puede determinar mediante métodos prácticos y simples, uno de ellos es el teorema siguiente, que dice: “las proyecciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo sólido sobre la recta que une estos puntos, son iguales”.

. .A BV Cos V Cosα β=

PROBLEMA 01. Un sistema mecánico está compuesto de una pieza que efectuá un movimiento de translación con una velocidad “u” y una barra AB de largo L y masa M, unida con esta pieza por medio de un eje que pasa por A. La barra gira alrededor del eje A en el sentido indicado con una velocidad angular ω. Determinar

VA B

α

VB

β

MÉTODO DE LAS PROYECCIONES

VB.Cosβ

VA.Cosα

ωωωω

B

C

αααα

Para el problema 01

A u



la velocidad del centro geométrico C de la barra para una posición definida por el ángulo α. RESOLUCIÓN La barra efectúa un movimiento compuesto (planoparalelo). La velocidad del punto C se compone de la velocidad “u” y la velocidad relativa relv cuyo módulo es

. .2rel

Lv Rω ω = =

La velocidad relativa del punto C respecto del punto A es perpendicular a la barra AB.

Los vectores relv y u� �

forman entre si un ángulo α . Aplicando el método del paralelogramo para adicionar dos vectores que forma entre su un ángulo α.

2 2 2. . .c rel relv u v u v Cosα= + +

2 2

2 . .2. . .

4 2c

L Lv u u Cos

ω ω α = + +

2 2

2 .. . .

4c

Lv u u L Cos

ω ω α= + +

Observación: La velocidad del punto C depende de la medida del ángulo α que forma la barra AB con la línea vertical, en cada instante de tiempo.

ωωωω

B

C

αααα

Resolución 01

vrel

A

u

vC



PROBLEMAS PROPUESTOS de MOVIMIENTO del CUERPO RÍGIDO

1. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Determine el módulo de

la velocidad del punto “A”.

2. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Determine el módulo de la velocidad del punto “A”.

3. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Si θ = 45°, determine el

módulo de la velocidad del punto “A”.

4. Una cilindro rueda sin resbalar sobre un plano inclinado tal que su centro de masa se traslada con una

rapidez de V = 10 m/s. Si θ = 60°, determine el módulo de la velocidad resulta nte en el punto A.

5. Luego de abandonar a la barra sobre las superficies lisas; el punto medio “C” describirá como trayectoria: A) una recta B) una circunferencia C) una elipse D) una parábola E) una hipérbola

6. Respecto del problema anterior; si el extremo A tiene una velocidad de módulo 20 cm/s, cuando θ = 37°, determine el módulo de la velocidad (en m/s) del extremo B en ese instante.

7. Si el extremo A de la barra AB se desliza horizontalmente con rapidez V. Determinar la rapidez con que se mueve el punto medio C de la barra.

8. Las ruedas de un ferrocarril, que se mueven horizontalmente hacia la derecha con rapidez V = 50 km/h,

ruedan sin resbalar sobre la línea férrea en la forma que se muestra. Determinar la rapidez (en km/h) con que se mueve el punto más bajo (punto P) de las ruedas en cada instante, sabiendo que R = 22 cm y r = 20 cm

A

V

θ

g

Para el problema 04

A

V

Para el problema 01

A V

Para el problema 02

V

A

θ θ θ θ

Para el problema 03



9. Un helicóptero se desplaza horizontalmente con rapidez de 75 m/s. Si la frecuencia de rotación es 40 R.P.S., determinar el radio máximo de la hélice, tal que, la máxima rapidez de un punto periférico de la hélice sea de 350 m/s.

BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN: http://grups.es/didactika/yahoo.com www.didactika.com [email protected] [email protected] [email protected]

A

C

B θ

Para el problema 05, 06 y 07

r R

V

P

Para el problema 08

(semana 05 cinemática iii m.c. y m. del cuerpo rigido 2009 b)

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