selección de ejercicios de derivadas de las pau

Seleccion de ejercicios de derivadas de las PAU

1. (2014 - Serie 3) Un nadador es en el mar en un punto N , situado a 3 km de una playa recta, y justodelante de un punto S, situado en la orilla de la playa; y quiere ir a un punto A, situado tambiena la orilla y a 6 km del punto S, de manera que el triangulo NSA es rectangulo en el vertice S. Elnadador nada a una velocidad constante de 3 km/h y anda a una velocidad constante de 5 km/h.

a) Si P es un punto entre el punto S y el punto A que esta una distancia x de S, demuestra queel tiempo, en horas, que necesita el nadador para nadar del punto N a punto P y andar desde

el punto P hasta el punto A viene determinado por la expresion t(x) =

x2 + 9

3+

6 x5

.

b) Calcula el valor de x que determina el tiempo mnimo necesario para ir del punto N al puntoA, pasando por P . Cual es el valor de este tiempo mnimo?

2. (2014 - Serie 4) Considera la funcion f(x) =x + 3

x 2.

a) Calcula las asntotas verticales, horizontales y oblicuas de la funcion f .

b) Encuentra la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion f en aquellos puntos dondela recta tangente sea paralela a la recta y = 5x + 4.

3. (2014 - Serie 5) Sean las funciones f(x) =eax + b

4y g(x) = +

3x + 4.

a) Determina el dominio y el recorrido de la funcion g.

b) Calcula para que valores de a y de b las graficas de las dos funciones son tangentes (es decir,tienen la misma recta tangente) en el punto de abscisa x = 0.

4. (2013 - Serie 4) Se quiere construir un canal que tenga com seccion un trapecio isosceles de maneraque la anchura superior del canal sea el doble de la anchura inferior y que los lados no paralelossean de 8 metros. Seguidamente tienes un esquema de la seccion del canal.

a) Encuentra el valor del segmento L de la grafica en funcion de la variable x (anchura inferiordel canal).

1 Documento realizado con LATEX


b) Sabemos que el area de un trapecio es igual a la altura multiplicada por la semisuma de las

bases. Comprueba que, en este caso, el area de la seccion viene dada por A(x) =3x

256 x24

.

c) Calcula el valor de x para que el area de la seccion del canal sea maxima (no es necesariocomprobar que realmente es un maximo).

5. (2013 - Serie 4) La funcion f(x) es derivable y pasa por el origen de coordenadas. La grafica dela funcion derivada es la que se ve dibujada, siendo f (x) creciente en los intervalos (,3] y[2,+).

a) Encuentra la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion f(x) en el punto abscisax = 0.

b) Indica las abscisas de los extremos relativos de la funcion f(x) y clasifica estos extremos.

6. (2013 - Serie 5) Un triangulo rectangulo situado en el primer cuadrante tiene el vertice A en elorigen de coordenadas, el vertice B = (x, 0) en el semieje positivo de abscisas y el vertice C pertenecea la recta x+ 2y = 8. El angulo recto es el que corresponde al vertice B como se indica en la figura.

a) Comprueba que el area del triangulo se puede expresar de la siguiente manera: A(x) = 2x x2

4.

b) Encuentra los vertices B y C para que el area del triangulo sea maxima y comprueba que setrata realmente de un maximo.

7. (2012 - Serie 3) Dadas la recta y = 3x + b y la parabola y = x2,

a) Calcula la abscisa del punto donde la recta tangente a la parabola es paralela a la recta dada.

b) Calcula el valor del parametro b para que la recta sea tangente a la parabola.



8. (2012 - Serie 3) Un triangulo equilatero de vertices A, B y C tiene los lados de 8 cm. Situamos unpunto P sobre una de las alturas del triangulo, a una distancia x de la base correspondiente.

a) Calcula la altura del triangulo de vertices A, B y C.

b) Indica la distancia del punto P a cada uno de los vertices (en funcion de x).

c) Determina el valor de x para que la suma de los cuadrados de las distancias del punto P acada uno de los vertices sea mnima.

9. (2012 - Serie 1) Un rectangulo esta inscrito en el triangulo que tiene sus lados en las rectas deecuaciones: y = x, x + y = 8, y = 0, y tiene un lado sobre la recta y = 0. Encuentra los verticespara que la superficie sea mnima.

10. (2012 - Serie 4) Una fabrica produce diariamente x toneladas de un producto A y (40 5x)/(10x) toneladas de un producto B. La cantidad maxima de producto A que se puede producir esde 8 toneladas. El precio de venta del producto A es de 100e/tonelada y la del producto B es250e/tonelada.

a) Construye la funcion de la variable x que proporciona los ingresos diarios, suponiendo que sevende toda la produccion.

b) Calcula cuantas toneladas de cada parametro se deben producir diariamente para obtener elmaximo de ingresos, y comprueba que es realmente un maximo relativo.

11. (2012 - Serie 4) Dadas la recta y = ax + 1 y la parabola y = 3x x2,a) Calcula los valores del parametro a para que sean tangentes.

b) Calcula los puntos de tangencia.

12. (2011 - Serie 1) Sea f(x) = x2eax.

a) Calcula el valor de a para que esta funcion tenga un extremo relativo en el punto de abscisax = 2.

b) Cuando a = 2, clasifica los extremos relativos.



13. (2011 - Serie 4) La grafica correspondiente a la derivada de una funcion f(x) es la siguiente:

a) Explica razonadamente que valores de x corresponden a maximos o a mnimos relativos def(x).

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcion f(x).

14. (2010 - Serie 4) Sea P (x) = ax2 + bx + c un polinomio de segundo grado cualquiera.

a) Encuentra la relacion existente entre los parametros a, b y c sabiendo que se cumple queP (1) = 0 y P (2) = 0.

b) Cuando se cumpla la condicion anterior, indique que valores puede tener P (3/2).

15. (2010 - Serie 4) En la siguiente figura se representan dos funciones. Una es la derivada de la otra.Decide si la funcion f(x) es la derivada de la funcion g(x) o si es al reves, estudiando que pasa enlos puntos x = a, x = b y x = c.

16. (2010 - Serie 5) Determina el valor de los parametros a, b y c para que la grafica de la funcion

f(x) =a

x2 + bx + csea la siguiente:



17. (2010 - Serie 2) Considera todos los prismas rectos de base cuadrada con un volumen V fijado.Llamamos x al lado de la base del prisma e y su altura.

a) Encuentra la expresion del volumen y del area total del prisma en funcion de las variables x ey.

b) Comprueba que el que tiene area mnima en realidad es un cubo.

18. (2009 - Serie 1) Sea f(x) = 2x3 x2 + 3x + 1. Dadas las rectas r1 : y = x + 2 y r2 : y = 7x 2,a) Explica, razonadamente, si alguna de las dos rectas puede ser tangente a la curva y = f(x) en

algun punto.

b) En el caso que alguna de ellas lo sea, encuentra el punto de tangencia.

19. (2008 - Serie 2)Considera una funcion de manera que su representacion grafica en el intervalo (3, 3)es la siguiente:

a) Determina las abscisas de los puntos extremos (maximos y mnimos) relativos.

b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la funcion en el intervalo (3, 3).c) Dibuja un esquema de la grafica de la derivada de esta funcion.

d) Sabiendo que la funcion es de la forma f(x) = ax4 + bx2 + c, encuentra de que funcion se trata.

20. (2008 - Serie 5) Indica para que valor de x la recta tangente a la curva y = ln (x2 + 1) es paralelaa la recta y = x. Escribe la ecuacion de esta tangente.

21. (2008 - Serie 5) De todos los triangulos rectangulos de hipotenusa 10 cm, encuentra la longitudde los catetos del triangulo que tiene el permetro maximo. Comprueba que la solucion obtenidacorresponda realmente al permetro maximo.

22. (2007 - Serie 2) Calcula los valores de a, a 6= 0, que hacen que las tangentes a la curva de ecuaciony = ax4 + 2ax3 ax + 1512 en los puntos de inflexion sean perpendiculares.


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