1

Seis Sigma

Programa de certificación de Black Belts ASQ

6. Metodología Seis Sigma - Medición

P. Reyes / Octubre 2003

2

6. Metodología Seis Sigma – Fase de Medición

A. Análisis del proceso y documentación B. Colección y resumen de datos – DPU,

DPMO C. Probabilidad y estadística D. Histogramas y distribución normal E. Análisis de capacidad de proceso F. Análisis de Sistemas de medición

3

6A. Análisis y documentación del proceso

1. Herramientas

2. Entradas y salidas del proceso

4P. REYESP. REYES

5

6A1. Las 7 herramientas estadísticas

Diagrama de Causa efecto – para identificar las posibles causas a través de una lluvia de ideas, la cual se debe hacer sin juicio previos y respetando las opiniones.

Diagrama de Pareto – para identificar prioridades

Diagrama de Dispersión – para analizar la correlación entre dos variables, se puede encontrar: Correlación positiva o negativa Correlación fuerte o débil Sin correlación.

6

6A1. Las 7 herramientas estadísticas

Hoja de verificación – para anotar frecuencia de ocurrencias de los eventos (con signos |, X, *, etc.)

Histogramas – para ver la distribución de frecuencia de los datos

Las cartas de control de Shewart – para monitorear el proceso, prevenir defectivos y facilitar la mejora Cartas de control por atributos y por variables

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6A1. Las 7 herramientas estadísticas

Diagrama de flujo – para identificar los procesos, las características críticas en cada uno, la forma de evaluación, los equipos a usar, los registros y plan de reacción, se tienen: Diagramas de flujo de proceso detallados Diagramas físicos de proceso Diagramas de flujo de valor

O

Estratificación – para separar el problema general en los estratos que lo componen, por ejemplo, por áreas, departamentos, productos, proveedores, turnos, etc..

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6A1. Herramientas Diagramas de flujo o mapas de proceso

Permiten comprender la operación del proceso Normalmente representan el punto de inicio para la mejora

Pasos para elaborarlo (Símbolos ANSI Y15.3) Organizar un equipo para examinarlo Construir un diagrama de flujo representando cada paso Discutir y analizar detalladamente cada paso Preguntarse ¿Porqué lo hacemos de esta forma? Comparar esta forma con la del proceso “perfecto” Existe demasiada complejidad, duplicidad o redundancia ¿Se opera el proceso como está planeado y puede

mejorarse?

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Proceso Desición Documento Datos

Proceso Preparación Operación EntradaPredefinido Manuales

Conector Con. página Display Almacen Terminador

6A1. Símbolos de diagrama de flujo

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Símbolos para Diagramas de Flujo

Iniciar/Detener Transmisión

Operaciones(Valor agregado)

Decisión

Inspección /Medición

Transportación

Almacenar

Entrada/Salida

Líneas de Flujo

Retraso

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6.1 Mapa de Proceso:

Inicio

Fin

Paso 2A Paso 2B Paso 2C

Paso 1

Paso 3

¿Bueno?Retrabajo SíNo

Es el diagrama de flujo de un proceso

que muestra cómo se realiza un trabajo.

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Diagrama de flujo / Análisis del valor

Actividades sin valor agregado

Actividades con valor agregado

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¿Cómo Ayuda un Mapa de Proceso?

Una vez que podemos ver las cosas -podemos hablar de ellas.

Los pasos que no agregan valor se hacen más evidentes.

El retrabajo y las reparaciones son obvias.

Se puede llegar a acuerdos.

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Diagramas de Flujo Existentes

Creados para un propósito diferente.

Con frecuencia no reflejan los puntos de inicio y Fin adecuados.

No son “cómo es”. “Quieren ser” No señalan el

desperdicio.

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Aprovecha al Equipo

Haz recorridos, entrevistas y revisiones de los diagramas de flujo y los estándares existentes.

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¡Haz el Mapa del Proceso lo más Pronto Posible!

señala con claridad la región en la que el equipo se debe enfocar.

evita que el equipo salga de los límites del proyecto.

El mapa de un proceso...

17

El Inicio y el Fin Se Deben Poder Medir

Selecciona los puntos de Inicio y Fin donde se llevan a cabo acciones que se pueden medir.

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Ejercicio Rápido - Inicio y Fin

Proceso Inicio Fin

Ensamble de Asiento

Dibujos de Ingeniería

Manufactura en Riel de Asientos

Cuentas por Pagar

19

Ejemplos - Inicio y Fin

Proceso Inicio Fin

Ensamble deAsiento

Marco de metalpuesto en línea

Inspección Final

Dibujos deIngeniería

Requerimientosdel Cliente

Cliente Recibeel Archivo CAD

Manufactura enRiel de Asiento

Operación dePérfiles

Estampados

Inspección Final

Cuentas porPagar

Recepción de laFactura delProveedor

DepósitoElectrónico

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Permite que la Gente vea el Mapa del Proceso

De ser posible, la gente que trabaja en el proceso debe poder ver una copia grande a escala del mapa del proceso.

¡Las revisiones, sugerencias y correcciones son bienvenidas!

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Herramientas de un Mapa de Proceso

Rotafolios y Marcadores.

Hojas para Rotafolio y Notas Autoadheribles.

22

Pasos para Elaborar un Mapa de Proceso

1. Establezcan los puntos de Inicio y Fin del proceso.

2. Hagan una lista de los pasos del proceso mediante una tormenta de ideas.

3. Realicen el primer recorrido y entrevistas.

4. Elaboren una lista de los proceso clave en las notas autoadheribles.

5. Discutan, revisen y modifiquen.

6. Hagan un segundo recorrido y entrevistas.

7. Añadan pasos de inspección, retrabajo, reparación y desperdicio en las notas autoadheribles.

8. Elaboren un mapa de proceso “cómo es”.

Como equipo...

23

¡Hazlo fácil!

En este momento, el mapa de proceso “cómo es” debe ser de “alto nivel”, pero debe incluir todos los pasos primarios necesarios para obtener la mejora deseada (es decir, los pasos con valor agregado relativos a los CTQ, CTC, CTD).

Idealmente, muestra de cinco a diez pasos.

Agrega más detalles posteriormente.

24

Paso 1: Puntos de Inicio y Fin

Revisen la declaración del problema.

Describan los procesos que causan el problema.

Comenten los puntos de Inicio y Fin que se pueden medir.

Pónganse de acuerdo y regístrenlos.

Declaración del Problema: El cliente

espera los dibujos modificados demasiado tiempo.

Proceso: Proceso de revisión de dibujos.

Pregunta:¿Cuál podría ser el punto de Inicio?

Pregunta: ¿Cuál podría ser punto de Fin?

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Puntos de Inicio y Fin Declaración del Problema:

“El Cliente espera demasiado tiempo los dibujos modificados.”

Proceso:Proceso de revisión de dibujos.

Inicio:El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos.

Fin:Se entrega el archivo de dibujos (CAD) al Cliente.

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Paso 2: Tormenta de Ideas sobre los Pasos del Proceso

Escriban Inicio y Fin donde todos lo puedan ver.

El equipo aporta ideas sobre los pasos del proceso que existen entre el inicio y el fin.

Inicio:El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos.

Pregunta:¿Cuáles son algunos de los probables pasos del proceso entre los puntos de inicio y fin?

Fin:El archivo CAD se entrega al Cliente.

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Pasos del Proceso Inicio:

El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos. Pasos a seguir:

Bosquejar el cambio requerido. Calcular el impacto del cambio. Determinar cuáles dibujos necesitan

cambiarse. Cambiar los dibujos apropiados.

Fin:El archivo CAD se entrega al Cliente.

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Paso 3: Primer Recorrido y Entrevistas

El equipo recorre el proceso existente.

Observen cómo se hace el trabajo.

Platiquen con la gente (entrevisten).

Tomen notas.

Enfóquense en los pasos del proceso.

29

Paso 4: Notas Autoadheribles Escriban los pasos del

proceso en notas autoadheribles.

Coloquen las notas sobre la pared.

Por ahora sólo dejen las notas.

Reunión con el grupo

Encontrar Especif.

Crear Boceto

Localizar Archivos

CAD Cambiar Dibujos

Calcular Impacto

Hacer Café

CrearPaquete

de Archivos

Enviar al Cliente

30

Paso 5:Comentar, Revisar, Modificar

Comenten, repasen y modifiquen el mapa del proceso en las notas autoadheribles.

Pónganse de acuerdo en los pasos que se deben conservar.

Pónganse de acuerdo en los pasos que se deben eliminar.

Retengan solo los pasos importantes del proceso.

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Pasos “Importantes” del Proceso

Información suficiente para facilitar la mejora.

Resultados que se puedan medir.

Podrían producirse defectos (CTQ, CTC, CTD).

Un inicio y un fin definidos.

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Pasos Importantes

¿Qué pasos podrían ser importantes en el mapa del proceso que aparece a la derecha?

Reunión con el grupo

Encontrar Especif.

Crear Bósquejo

Localizar Archivos

CAD Cambiar Dibujos

Calcular Impacto

Hacer Café

CrearPaquete

de Archivos

Enviar al Cliente

33

Paso 6: Segundo Recorrido y Entrevistas

Vuelvan a recorrer el proceso.

Busquen pasos que hayan pasado por alto.

Revisen pasos de inspección, retrabajo, reparación y desperdicio.

Tomen notas.

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Paso 7: Añadir Cambios

Agreguen notas autoadheribles.

Añadan inspecciones.

Añadan retrabajo y reparaciones.

Añadan desperdicio.

Por ahora dejen todas las notas.

Crear Bósquejo

Cambiar Dibujo

Calcular Impacto

Crear paquete de

archivos

Enviar a Cliente

Solicitud de Cambio del

Cliente

Cliente recibe archivos CAD

Impacto ¿OK?

Dibujo ¿OK?

Reunión con Ventas

Sí

No

No

Sí

35

Paso 8: Mapa del Proceso “Cómo Es”

El equipo establece un mapa del proceso “tal cual”.

Tiene el detalle suficiente para incluir los pasos importantes.

Sin demasiado detalle para que se entienda rápidamente.

Crear Bósquejo

Cambiar Dibujo

Calcular Impacto

Crear paquete de

archivos

Enviar a Cliente

Solicitud de cambio del

Cliente

Cliente recibe archivos CAD

Impacto ¿OK?

Dibujo ¿OK?

Reunión con Ventas

Sí

No

No

Sí

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Cuándo Recolectar DatosDurante la elaboración del mapa de proceso….

Identifica los puntos para la recolección de datos, pero¡no recopiles los datos!

Después de haber creado el Mapa “Cómo Es” …planea la recolección de datos sobre los pocas salidas vitales.

• Generalmente, cuando se recolectan datos durante la elaboración del mapa, se toman datos sobre puntos equivocados.

• ¡La recolección de datos se debe planear y enfocar sobre los factores de alta prioridad que son críticos para el cliente!

Precaució

n

(consulta el módulo “Planeación de la Recolección de Datos”)

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Mapa del Proceso “Cómo Es”

Crear Bósquejo

Cambiar Dibujo

Calcular Impacto

Crear paquete de

archivos

Enviar al Cliente

Solicitud de cambio del Cliente

Cliente recibe archivos CAD

Impacto ¿OK?

Dibujo ¿OK?

Reunión con Ventas

Sí

No

No

Si

• Es la condición base del proceso.

• Es el inicio de tu viaje hacia la mejora.

• Es la oportunidad para la estrategia de impacto de Six Sigma.

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Ejercicio 4.2 - Analiza tu Mapa

1. Consulta tu cuaderno de trabajo.

2. Usa el mapa de proceso “cómo es” que elaboraste para el proceso de la catapulta para identificar: Productos

comprobables Otras salidas del

proceso Pasos del proceso sin

valor agregado.

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El Mapa de Proceso “Cómo Debe Ser”

Una vez que se identifiquen las soluciones durante la fase de MEJORA…

Crea el nuevo mapa de proceso.

El nuevo mapa muestra el flujo de trabajo mejorado que ahora tiene…

- menos pasos- menos actividades sin valor agregado

Este nuevo mapa muestra el proceso “cómo debe ser” que “será” una vez que se implementen todas las soluciones.

NOTA

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6A1. Herramientas Procedimientos escritos

Facilita la consistencia de realización del proceso, visualizado con el diagrama de flujo

Instructivos de trabajo Proporcionan instrucciones de trabajo detalladas de

la secuencia de actividades paso a paso Se deben tener copias controladas en el área de uso Las palabras y términos utilizados deben ser

familiares a los empleados por el personal que realiza las tareas

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6A1. Herramientas Entradas y salidas de procesos por medio de una

matriz de causa y efecto La matriz lista variables clave de salida del proceso en

forma horizontal y las de entrada en forma vertical Para cada variable de salida se le asigna una prioridad Dentro de la matriz se asignan números que indican el

efecto que tiene cada variable de entrada en las variables de salida

Se obtiene la suma producto de estos números internos por la prioridad de salida como resultados y se saca el porcentaje relativo

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6A1. Herramientas – Matriz de causa efecto Matriz de causa y efectoSalidas

A B C D E

3 1 6 10 4 Res %

Ent 1 2 3 6 84 35

Ent 2 7 4 2 3 63 27

Ent 3 5 1 25 11

Ent 4 6 4 22 9

Ent 5 2 3 42 18

Totales

236 100

43

Hoja de verificación Se utiliza para reunir datos basados en la observación

del comportamiento de un proceso con el fin de detectar tendencias, por medio de la captura, análisis y control de información relativa al proceso

DEFECTO 1 2 3 4 TOTALTamaño erróneoIIIII I IIIII IIIII III IIIII II 26Forma errónea I III III II 9Depto. EquivocadoIIIII I I I 8Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III IIIII III IIIII IIIII 37Mal Acabado II III I I 7TOTAL 25 20 21 21 87

DIA

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Hoja de verificación Pasos para su elaboración

Determinar claramente el proceso sujeto a observación. Los integrantes deben enfocarse al análisis de las características del proceso.

Definir el período de tiempo durante el cuál serán recolectados los datos. Esto puede variar de horas a semanas.

Diseñar una forma que sea clara y fácil de usar. Asegúrese de que todas las columnas estén claramente descritas y de que haya suficiente espacio para registrar los datos.

Obtener los datos de una manera consistente y honesta. Asegúrese de que se dedique el tiempo necesario para esta actividad.

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DEFINICION Clasificación de los datos o factores sujetos a estudio en una

serie de grupos con características similares.

Estratificación

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Diagrama de Pareto El Diagrama de Pareto se usa para:

Analizar un problema desde una nueva perspectiva

Enfocar la atención en problemas de orden prioritario

Comparar cambios de datos durante diferentes periodos de tiempo

Proporcionar una base para la construcción de una línea acumulada

47

Diagrama de Pareto- Ejemplo

48

Diagrama de Pareto

Lo primero es lo primero” es el pensamiento detrás del diagrama de Pareto. Enfocar los recursos al problema principal desde la izquierda y continuar hacia la derecha.

La línea acumulativa contesta la pregunta ¿Qué clases de defectos constituyen el 80%?

01020

3040506070

8090

100

a b c d e

49

Diagrama de Pareto

EJEMPLO: Se tienen los defectos siguientes:

A. Emulsión 20

B. Grasa 60

C. Derrame 80

D. Tapa barrida 30

E. Mal impresa 10

Construir un diagrama de Pareto y su línea acumulativa

50

6A1. Herramientas Diagrama de causa efecto o diagrama de Ishikawa

Permite dividir los problemas en partes más pequeñas

Despliega muchas causas en una forma gráfica Muestra la interacción de las causas Sigue las reglas de la tormenta de ideas

La sesión de causa efecto se divide en tres partes: Tormenta de ideas Asignar prioridades Desarrollar un plan de acción

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Diagrama de Ishikawa

Anotar el problema en el cuadro de la derecha

Anotar en rotafolio las ideas sobre las posibles causas asignándolas a las ramas correspondientes a:

Medio ambiente Mediciones Materia Prima Maquinaria Personal y Métodos o Las diferentes etapas del proceso de

manufactura o servicio

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Lluvia de ideas

Técnica para generar ideas creativas cuando la mejor solución no es obvia.

Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuado

El problema a analizar debe estar siempre visible

Generar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran número de ideas, sin juzgarlas, ni criticarlas

Motivar a que todos participen con la misma oportunidad

53

DEFINICIÓN Técnica de análisis para la solución de problemas, que

muestra la relación entre una característica de calidad y los factores de influencia, ayudándonos a encontrar las causas posibles que nos afectan y encontrar su solución.

Diagrama de Causa Efecto

54

Diagrama de IshikawaMedio

ambiente Métodos Personal

¿Quéproducebajas ventasdeTortillinasTía Rosa?

Climahúmedo

Calidad delproducto

Tipo deexhibidor

Falta demotivación

Ausentismo

Rotación depersonal

Maquinaría Materiales

Clientes conventas bajas

Malositinerarios

Descomposturadel camiónrepartidor

Distancia dela agencia alchangarro

Medición

Seguimientosemanal

Conocimientode losmínimos porruta

Frecuenciade visitas

Elaboraciónde pedidos

Posición deexhibidores

Falta desupervición

55

6A.1 Herramientas: Pasos para el Análisis de Causa y Efecto

Paso 1Declaración del

Efecto

Paso 3Preguntar,

¿por qué?, ¿por qué? ¿por qué?

Paso 2Añadir las ramas

principales

Personas Máquinas

CAUSAS

EFECTO

METODOSMATERIALES

56

6A.1 Herramientas: Pasos para el Análisis de Causa y Efecto

 

Sigue 2 reglas sencillas:

Regla 1: Preguntar, ¿Por qué?, ¿Por qué?, ¿Por qué?

  Insiste en cada idea hasta que todas las causas estén en la lista.

  Regla 2: Asegurar que la

declaración que se hagas sea una causa, ¡no una solución!

DIAGRAMASDE

C Y E

57

6A1. Reducción por Votación de la Lista de Causas

Las causas que se encuentran en un círculo son las que recibieron más votos.

El equipo considera que estas son las causas más importantes del efecto.

Participación deficiente y en declive en

los programas de mejora

PERSONAS MÁQUINAS

CAUSAS

EFECTO

METODOS MATERIALES

Causa Importante

58

6A1. Herramientas – selección de posibles causas

El equipo discute la lista de causas de alta prioridad y decide cuáles son las más importantes (5 a 7).

El equipo se cuestiona lo siguiente: ¿Es una causa? (¿no una

solución?) ¿Podemos hacer algo

respecto a la causa? ¿Estamos seguros que ésta

cambiará el efecto? ¿Estamos de acuerdo?

Causas

1. ________

2. ________

3. ________

4. ________

5. ________

59

6A1. Herramientas – verificación de posibles causas Antes de invertir tiempo y dinero en la implementación

de una mejora para “contrarrestar” una causa, asegurarse que la causa sea real.

Estar completamente convencido que la causa es la

verdadera culpable del efecto indeseable.

60

6A1. Herramientas – verificación de posibles causas Para cada causa probable , el

equipo deberá:

Llevar a cabo una tormenta de ideas para verificar la causa.

Seleccionar la manera que:

represente la causa de forma efectiva, y

sea fácil y rápida de aplicar.

61

6A1. Herramientas – selección de posibles causas

Causas Forma de Verificación Seleccionada

1. Establecer el flujo de refrigeración de moldeo a diferentes niveles,

Utilizar un fluxometro exacto en una máquinaRecopilar datos pareados(índice de flujo del refrigerante, dimensión dellocalizador), crear un diagrama de dispersióny realizar un análisis de correlación.

62

6A1. Herramientas – verificación de posibles causas

Verificada

Causa Cómo Verificarla Resultados Si No

1. Flameado Inspeccionar las partes que no llegan a reparación. Determinar el porcentaje de flameado.

No se encontraron datos que establecieran al flameado como causa.

XXX

2. Verificación de la Presión de Inyección

Equipar un transductor temporal de presión y coleccione los datos para construir un diagrama de dispersión de presión del inyector y la variación de dimensiones del localizador principal

Diagrama de dispersión mostró una

relación negativa.

XXX

3. Pérdida de los localizadores principales

Partes inspeccionadas que no llegan a reparación. Determinar el porcentaje que no tienen Localizadores principales

Ausencia de datos que establecieran al {LB} como causa.

XXX

4. Nivel del flujo del refrigeranteestablecido a diferentes rangos

Utilizar un medidor exacto de flujo en una máquina coleccionar los datos y construir un diagrama de dispersión de flujo de refrigerante y de dimensiones del localizadorprincipal.

Diagrama de dispersión mostró una

relación positiva.

XXX

4. Método complicadoe de calibración

Aplicar un estudio de reproducción y repetitividad para determinar si se requieren de nuevos calibradores.

El resultado del calibrador R&R fue de 74.2%. El calibrador actual

es deficiente.

XXX

5. Las partes caen a un contenedor rígido

Recolecta r los datos de los dos histogramas. {Dimensión del Localizadorprincipal de las partes que no cayeron a un contenedor rígido y las partes que sí.}

Los

Histogramas

mostraron

mayor variación

en la dimensión

del localizador

principal después

de caer e n

cont enedor rígido

XXX

63

6B. Defectos por unidad yRendimiento Estándard

64

No Conformidades

FALLA: resulta cuando una característica no tiene el desempeño estándar.

DEFECTO: resulta cuando una característica no cumple con el estándar.

ERROR: resulta cuando una acción no cumple con el estándar.

65

Naturaleza de las oportunidades

Las necesidades vitales del cliente se traducen en Características Críticas para la Satisfacción (CTS),

Estas a su vez se traducen a Características Críticas para la Calidad, Entrega y Costo (CTQs, CTDs y CTCs) las cuales tienen impacto en las CTSs.

Las Características Críticas para el Proceso (CTPs), tienen impacto en las CTQs, CTDs o CTCs y son Oportunidades para control

66

Defectos por oportunidad 60 defectos se observaron en 60 unidades producidas (1

Defecto / Unidad).

Si se tienen 10 oportunidades de defectos por unidad de producto. Entonces la prob. de que de una oportunidad sea un defecto es 0.10, o 0.90 de que no lo sea.

Por tanto se tiene que 0.9010 = 0.3486 es la probabilidad de que una unidad de producto no tenga defectos.

67

Diferencia entre YRT y YFT

Rendimiento estandard (YRT)

Es la probabilidad de que una unidad pase por todos los pasos con 0 defectos

Si informa sobre la complejidad del proceso en donde

YRT = Y 1 x Y2 x.......x Yn

o YRT = e -DPU

donde:

DPU = defectos por unidadn = número de pasos en el proceso Yn = rendimiento del paso de proceso “n”

Rendimiento al final (YFT)

Es la probabilidad de que una unidad pase el ensamble final con 0 defectos

*No informa sobre la complejidad del proceso

*YFT = s/u

en dondes = unidades aceptadas

u = unidades probadas

68

Diferencia entre YRT y YFT

Rendimiento estandard (YRT)

Rendimiento tomado en cada paso del proceso (oportunidad)

Rendimiento antes de la inspección o la prueba

Incluye retrabajo y desperdicio

Siempre YFT

Observa la calidad de todas las partes que conforman el producto terminado.

Rendimiento al final (YFT)

Rendimiento al final del proceso

Es el rendimiento después de la inspección ó la prueba

Excluye el retrabajo y el desperdicio

Siempre YRT

Sólo observa la calidad del producto terminado

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¿Como calcular la capacidad SS para un proceso?

¿Qué proceso se considera? Facturación y CxC ¿Cuántas unidades tiene el proceso? 1,283 ¿Cuántas estan libres de defectos? 1,138

Calcular el desempeño del proceso 1138/1283=0.887 Calcular la tasa de defectos 1 - 0.887 = 0.113

Determinar el número de cosas potenciales que pueden ocasionar un defecto (CTQs) 24

Calcular la tasa de defecto por caract. CTQ 0.113 / 24 = .004709

Calcular los defectos x millón de oportunidades DPMO = 4,709 Calcular #sigmas con tabla de conversión de sigma 4.1

70

Todo – Una Parte = Al resto

P(sin defectos) = 1 - 0.05 = 0.95

¿Cuál es la probabilidad de que 10 cucharas salgan todas con pasas?

La idea básica¿Cuál es la probabilidad de obtener productos “libres de

defectos” en cada paso?

De 60 cucharas 3 no tenían pasas.

P (defecto) = 3/60 = 0.05(existe la posibilidad de que una sola cuchara tenga un

defecto)

71

P(sin defectos)=P(sin def.1)xP(sin def.2)...P(sin def.10)

P(sin defectos)= 0.9510

P(sin defectos)= = .5987 =59.9%

(Es la probabilidad de que diez cucharas salgan libres de defectos)

Dado que los eventos independientes son multiplicativos

Este método utiliza una distribución binominal para calcular la probabilidad de

diez cucharas libres de defecto consecutivas

72

Extendiendo el concepto

0.96 X 0.99 = 0.95

Existe una probabilidad del 95% de que cualquier producto pase a través de ambas operaciones, libre de

defectos.

Un proceso tiene dos operaciones. Una operación tiene un rendimiento de primera vez del 96%. La

otra tiene un rendimiento de primera vez del 99%.

El rendimiento estándar de la producción es igual a:

96% 99% 95%

Op 1 SalidaOp 2x =

Sin “correcciones”

Sin “correcciones” Sin “correcciones”

73

Rendimiento de la capacidad estandard

Recibo de partes del proveedor

45,000 Unidades

desperdiciadas

51,876 Unidades

desperdiciadasCorrecto la

primera vez

Después de la inspección de recepción

De las operaciones de Maquinado

En los puestos de prueba - 1er intento

125,526 unidades desperdiciadaspor millón de oportunidades

28,650 Unidades

desperdiciadas

95.5% de rendimiento

97% de rendimiento

94.4% de rendimiento

YRT = .955*.97*.944 = 87.4%

1,000,000 unidades

74

Otra forma de estimar las probabilidades…

Del ejemplo anterior, una muestra de cucharas en la cual, cada cuchara tiene una probabilidad de 0.05 de tener algún defecto.

La distribución de “Poisson” se puede utilizar si se cumplen las siguientes condiciones:

- El tamaño de la muestra es de 16 o mayor (60 en el ejemplo)

- La población es >10 veces que el tamaño de la muestra

- La probabilidad de un defecto es menor al 10% ( 5% en el ejemplo)

La fórmula para esta distribución es:

YRT = e-DPU

75

r d

r(d/u) /

Y = e – u

!

0 (-d/u)

= (1)e 1

Y=(d/u) e 0! (-d/u)

Y= e -d/u

Derivación del rendimiento estandard de producción (rendimiento real)La distribución “Poisson” como un Modelo de Defecto

en donde:Y es el rendimientod/u son los defectos por unidad (DPU)r es el número de sucesose es la función exponencial (=2.718)

Por lo tanto, cuando r = 0, tenemos la probabilidad de cero defectos, o de “rendimiento de producción estandard”.

Note que éste es diferente al rendimiento clásico (unidades/unidades probadas)

76

Del ejemplo anterior(Ya se había calculado YRT igual a 0.95)

OOY RT = e – DPU

DPU = Número total de defectos = 0.04 defectos + 0.01 defectos Número total de unidades unidad unidad

DPU = 0.05 defectosunidad Operación 1 Operación 2

YRT = e-0.05 = 2.718-0.05 = 0.95123 = 95%

96% 99% 95%

Op 1 SalidaOp 2x =

Sin “correcciones” Sin “correcciones” Sin “correcciones”

77

Rendimiento promedio normalizado

Debido a que cada paso de un proceso tendrá su propio nivel sigma, ¿cómo podemos encontrar un “promedio” de nivel sigma de todo el proceso?

(Este “promedio” de nivel sigma podría ser práctico. Para comparar procesos de diferentes complejidades)

Se utiliza el Rendimiento promedio normalizado o YNA para encontrar este “promedio” de nivel sigma.

YNA = (YRT)1 / #Pasos

En donde YRT es el rendimiento de producción estandard y #Pasos es el número de pasos del proceso

78

YNA = (YRT)1 / #Pasos

YRT = 95% y #Pasos = 2

YNA = (0.95)1/2 = 0.97467

Rendimiento promedio normalizado

Defectos = 1 - 0. 97467 = 0.0602 Encuentrelo en una tabla normal o utilice NORMSINV (YNA) en Excel

Zbench = 1.95

0.97467

1 - 0. 97467

96% 99% 95%

Op 1 SalidaOp 2x =

Sin “correcciones” Sin “correcciones” Sin “correcciones”

79

2b

Operación 1 Operación 2 Operación 3 Operación 4

99% ? 83% 98%

91%2a 99%

98%2c

Volumen Defectos 2a 100 9 2b 200 2 2c 250 5

Defectos(2a) + Defectos(2b) + Defectos(2c)

Partes hechas (2a) + Partes hechas (2b) + Partes hechas (2c)Y2 = 1

9 + 2 + 5

100 + 200 + 250Y2 = 1

Y2 = 0.971

Primero, modele el proceso paralelo como un proceso en serie: determine el rendimiento total de la Operación 2

Cálculo con procesos paralelos(Por ejemplo, cualquiera de las tres máquinas podría ejecutar cualquier operación #2)

80

2b

Operación 1 Operación 2 Operation 3 Operación 4

99% ? 83% 98%

91%2a 99%

98%2c

Volumen Defectos 2a 100 9 2b 200 2 2c 250 5

A continuación, encuentre el rendimiento de producción estandard (YRT) de las operaciones 1 a la 4 utilizando la Y2 calculada.

Cálculo con procesos paralelos(Por ejemplo, cualquiera de las tres máquinas podría ejecutar cualquier

operación #2)

YRT = Y1 x Y2 x Y3 x Y4

YRT = 0.99 x 0.971 x 0.83 x 0.98 = 0.7819YNA =(0. 7819)1/4 = 0.9404

Defectos = 1 - 0. 9404 = 0.0596 Encuentrelo en una tabla normal o utilice NORMSINV (YNA) en ExcelZbench = 1.56

81

Complejidad

LA GRAN IDEA

Tres formas de incrementar el rendimiento estandard:

Hacer cada paso del proceso, más capaz

Reducir el número de pasos en el proceso

Hacer ambos

82

2b

Operación 1 Operación 2 Operación 3 Operación 4

99% ? 98%

91%2a 99%

98%2c

Volumen Defectos 2a 100 9 2b 200 2 2c 250 5

Mejorando el rendimiento de la operación 3 al

100%

YRT = Y1 x Y2 x Y3 x Y4

YRT = 0.99 x 0.971 x 1.0 x 0.98 = 0.9421

YNA =(0. 9421)1/4 = 0.9803

Defectos = 1 - 0. 9803 = 0.0197 Encuentrelo en una tabla normal o utilice NORMSINV (YNA) en Excel

Zbench = 2.06

83

DPU (Defectos por unidad) = Defectos / Unidad

TOP (Total Oportunidades) = Unidades * Oportunidades

DPO (Defectos por Oportunidad) = Defectos / TOP

P(D) = DPO (Probabilidades de que la oportunidad esté defectuosa)P(ND) = 1-DPO (Probabilidades de que la oportunidad no

esté defectuosa)

Rendimiento estandard (La probabilidad de que cualquier unidad del producto pase por todo el proceso, libre de defectos)

YRT= P(ND)# de Oportunidad (Poisson)

YRT = P(ND) * P(ND) * P(ND) *......P(ND)n (Binomial)

Fórmulas a conocer

(La distribución binomial se recomienda para los casos en donde se conoce el rendimiento para cada elemento del proceso u

oportunidad).

84

6B. Probabilidad y estadística 1. Obteniendo conclusiones válidas

2. Teorema del límite central y distribución de muestreo de la media

3. Conceptos de probabilidad básica

85

6B1. Obteniendo conclusiones válidas

Obtención de conclusiones estadísticas válidas El objetivo de la estadística inferencial es

obtener conclusiones acerca de las características de la población (parámetros , , ) con base en la información obtenida de muestras (estadísticos X, s, r)

Los pasos de la estadística inferencial son: La inferencia La evaluación de su validez

86

6B. Obteniendo conclusiones válidas

Los pasos de la estadística inferencial son: Definir el objetivo del problema en forma precisa Decidir si el problema se evaluará con una o dos

colas Formular una hipótesis nula y la alterna Seleccionar una distribución de prueba y un valor

crítico del estadístico reflejado el grado de incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo)

Calcular el valor del estadístico de prueba con la información de la muestra

Comparar el valor del estadístico calculado vs su valor crítico y tomar una decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula

Comunicar los hallazgos a las partes interesadas

87

6C. Obteniendo conclusiones válidas

Hipótesis nula a ser probada (Ho) y alterna (Ha)

La hipótesis nula puede ser rechazada o no ser rechazada no puede ser aceptada

La hipótesis alterna incluye todas las posibilidades que no están en la nula y se designa con H1 o Ha.

Ho: Ya = Yb Ha: Ya Yb Prueba de dos colas Ho: A B Ha: A<B Prueba de cola

izquierda

88

6C1. Obteniendo conclusiones válidas

Tipos de errores: Error tipo I: resulta cuando se rechaza Ho siendo

verdadera, se denomina como alfa o riesgo del productor

Error tipo II: resulta cuando no se rechaza Ho siendo que es falsa, es denominado beta o riesgo del consumidor

Incrementando el tamaño de muestra se reducen alfa y beta

89

6C2. Teorema del límite central Para el caso de las cartas de control -Medias

Rangos: La distribución de las medias de las muestras

tiende a la normalidad independientemente de la forma de la distribución poblacional de la que sean obtenidas

Para las medias muestrales, el error estándar de la media se relaciona con la desviación estándar de la población como sigue: X

Xsn

90

6C2. Teorema del límite central Intervalo de confianza para la media:

A) Sigma conocida y n>30 (n es tamaño de muestra)

B) Sigma desconocida y n<30

2

2

X Zn

X tn

91

6C2. Teorema del límite central Intervalo de confianza para proporciones y

varianza: Para proporciones, p es la proporción y n>30

Para la varianza

2

(1 )p pp Z

n

2 22

2 2

, 1 1 , 12 2

( 1) ( 1)

n n

n s n s

92

6C2. Conceptos básicos de probabilidad Principios básicos:

La probabilidad de un evento varia entre 0 y 1 (éxito)

Un evento simple no puede desomponerse El conjunto de resultados posibles del

experimento se denomina espacio muestral La suma de las probabilidades en el espacio

muestra es 1 Si se repite un experimento un gran número de

veces N y el evento E es observado nE veces, la probabilidad de E es aproximadamente:

( ) EnP E

N

93

6c2. Conceptos básicos de probabilidad Eventos compuestos (conjunto de dos o más

eventos): La unión de A o B contiene elementos de A o de

B La intersección de A y B contiene elementos

comunes que se localizan al mismo tiempo en A y en B

( ) EnP E

N

94

Definición de variable aleatoria

Es aquella función que a cada resultado posible de un experimento le asocia un numero real.

•Se denotan con letras Mayúsculas: X,Y,Z,etc....

95

Variables aleatorias discretasEs aquella variable que únicamente toma valores susceptibles de contarse.

•Ejemplo 1: Considere el experimento de tomar al azar una ficha de asistencia de un numero de empleados. Sea X la variable numero de ausencias al año de un empleado. Note que X toma valores 0,1,2,...,250.

•Ejemplo 2.: Considere un experimento que consiste en medir el numero de artículos defectos de un lote de producto. Si Y es la variable numero de defectos , toma valores 0,1,2,...

96

Distribuciones y funciones de probabilidad

Toda variable aleatoria tiene asociada una función de probabilidades

Ejemplo : Se lanzan dos monedas y observamos el numero Y de caras.

Espacio muestral:{a, as, sa, ss}

Y toma valores 0,1,2.

97

Probabilidad

Introducción:

Diferencia entre experimento deterministico y aleatorio (estocastico).

Deterministico. Se obtienen el mismo resultado, con condiciones experimentales similares

•La caída de un cuerpo

Aleatorio. Se obtienen distintos resultados , aunque se repitan en condiciones similares.

•Tiempo de vida de un componente eléctrico

98

Conceptos relacionados a experimentos aleatorios:

Variable aleatoria. Es el nombre Que se le da a la característica (s) de interés observada en un experimento. Dicha variable es denotada por letras mayúsculas. Pueden ser Continuas o Discretas.

Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser finito o infinito.

Evento. Puede ser uno o una combinación de los valores Que toma una variable aleatoria

99

Espacio Muestral

Consiste en todos los posibles resultados de un experimento.

Para el lanzamiento de una moneda es (A,S).

100

Probabilidad histórica o frecuentista.Una forma de conocer algo acerca del comportamiento de una variable aleatoria es conociendo como se comporto en el pasado.

Note Que si un experimento se realizo un gran numero de veces, N, y la se observo Que en n veces sucedía el evento A, entonces n/N es un estimación razonable de la proporción de tiempos Que el evento A sucederá en el futuro. Para un gran numero de experimentos N, se puede interpretar dicha proporción como la probabilidad de del evento A.

P EventoAn

NN( ) lim

101

Ejemplo

prob

abil

idad

de

cara

s

n0 500 1000

0

.5

1

» en los 1900-s , Karl Pearson lanzo una moneda 24,000 veces y obtuvo 12,012 caras, dando una proporción de 0.5005.

102

Definición Clásica de Probabilidad. La probabilidad de un evento A, puede ser calculada mediante la relación de el numero de respuestas en favor de A, y el numero total de resultados posibles en un experimento.

P EventoAFavorable A

Total resultados( )

#

#

Note Que para las dos definiciones dadas de probabilidad esta será un numero entre 0 y 1.

Ejemplo 1. Se observa si 3 artículos tienen defecto o no , con defecto (m) o sin defecto (v).

S={vvv,mvv,vmv,vvm,vmm,mvm,mmv,mmm} es el espacio muestral .

Asociada a este espacio muestral se puede definir la variable aleatoria X=# de defectos, la cual toma los valores {0,1,2,3}

103

P r o b a b i l i d a d e s d e E v e n t o s

1 . P ( E ) 02 . P ( S ) = 13 . S i E 1 , E n s o n m u t u a m e n t e d i s j u n t o s

e n t o n c e s

n

ii

n

ii EPEP

11

)(

R e s u l t a d o s1 . S i A B e n t o n c e s P ( A ) P ( B )

2 . S i P ( E c ) = 1 - P ( E )

3 . P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B )

4 . S i B 1 B 2

… B n = S e n t o n c e s

n

iiBEPEP

1

)()(

104

Ejemplo:Datos (N=20):650 740 760 810 850 850 880 900 930 930 950 960960 980 980 980 1000 1000 1000 1070

El experimento:Seleccionamos al azar un numero ?

Cuál es S?

Sea E el evento en el que elegimos el 1000?P(E) =

Sea E el evento él numero es menor o igual a 760.P(E) =P(Ec) =

105

Sea E1 el evento en el cual elegimos 1000 y E2 es elevento en el cual elegimos un numero menor o igual a760.P(E1

E2) =

Sea E1 el evento en el cual elegimos 850 y E2 sea elevento el cual obtenemos un numero menor a 880.P(E1

E2) =

106

Leyes de probabilidades

1. En un experimento, si P(A) e la probabilidad de un evento A, entonces la probabilidad de Que no suceda A es: P A P A( ) ( ) 1

2. En un experimento, si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de Que ocurra A o el evento B es

P A o B P A P B( ) ( ) ( )

Para el caso de dos eventos A y B Que no son mutuamente excluyentes.P A o B P A P B P AyB( ) ( ) ( ) ( )

A las dos ecuaciones se les conoce como Leyes de adición de probabilidad

107

3. Ley de probabilidad condicional.

Sean A y B dos en un experimento tal Que la ocurrencia de B influye en la ocurrencia de A. Entonces la probabilidad Que ocurra A cuando B ya ocurrió es

P A BP A B

P B( / )

( )

( )

4. Independencia.

Dos eventos A y B se dice Que son independientes si

P A B P A( / ) ( )

o de otra forma siP A B P A P B( ) ( ) ( )

Resultado clave en estadística!!!

108

P r o b a b i l i d a d C o n d i c i o n a l

S i A y B s o n d o s e v e n t o s y P ( B ) > 0 , e n t o n c e s

)(

)()|(

BP

BAPBAP

E j e m p l o :B a r r a s d e a c e r o p r o d u c i d a s d e u n p r o c e s o p a r t i c u l a r t i e n e nl o n g i t u d e n t r e 1 9 . 5 y 2 0 . 5 c m . S u p o n g a l a s b a r r a s s o ni g u a l m e n t e p r o b a b l e s d e t e n e r c u a l q u i e r l o n g i t u d e n l o s e s p a c i o sm u é s t r a l e s .S e a A = ( 1 9 . 5 , 2 0 . 1 ) y B = ( 1 9 . 8 , 2 0 . 5 ) .

P o r l o q u e P ( A ) = y P ( B ) =

)(

)()|(

BP

BAPBAP

109

Ejemplo Maquina1 Maquina 2 Maquina3 Proporción de defectuosos

0.01 0.02 0.005

Numero producido

200 250 350

Si Ud. recibe un embarque de 800 fusibles de una planta de producción con la cantidad y calidad dada en la tabla. Si usted aleatoriamente selecciona uno de esos fusibles cual es la probabilidad que este funcione? S={(M1

D), (M1N), (M2

D), (M2N),

(M3D), (M3

N)}

P(N) = P(M1N) + P(M2

N) + P(M3N)

= P(N| M1)P(M1) + P(N| M2)P(M2) + P(N| M3)P(M3)

= (1–0.01)0.25 + (1–0.02) 0.3125 + (1–0.005) 0.4375

= 0.989

110

Independencia

El evento A y B son independientes síP(A|B) = P(A)

OP(AB)=P(A)P(B)

Ejemplo:Maq. 1 Maq. 2 Maq. 3

Prop. Dedefec.

0.01 0.01 0.01

Numeroproducido

200 250 350

Un proceso manufactura 5 partes. Suponga que salgandefectuosas es, E1,…,E5,Son indep. y tienen la misma probabilidad. Cual es laprobabilidad que una falle?

Cual es la probabilidad que ninguna falle?

111

Reglas de la probabilidad

•Adición

Si 2 eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad que el evento A o el evento B ocurra es:

•Multiplicación

probabilidad que ambos A y B ocurran es

Cuando los eventos A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A) y

P(AB)P(B)P(A)B)orP(A

A)P(A)|P(BB)P(B)|P(AP(AB)

P(A)P(B)P(AB)

112

•Probabilidad TotalSi A1,…An son mutuamente excluyentes, y

eventos exhaustivos, entonces

•Regla de Bayes

n

i 1ii ))P(AA|P(BP(B)

n

i 1ii )P(A)A|P(B

A)P(A)|P(BP(B)A)P(A)|P(B

B)|P(A

Permutaciones y Combinaciones

Las técnicas de conteo o enumeración son útiles en la solución de problemas de probabilidad.

Algunos resultados elementales de la teoría de análisis combinatorio

• Diagramas de árbol• Principio de la multiplicación• Permutaciones• Combinaciones• Partición

114

Diagramas de árbolEn casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar objetos en forma sistemática.

Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento que consiste en 4 componentes un auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta que se obtiene una falla.

L2

L3

L4

L1

A1

A1

A1

A2

A2

A2

A3

A3

A3

A2A1

A3

12 tratamientos

115

Teorema 1. (Principio de multiplicación)

Con m elementos y n elementos

es posible formar mn pares que contienen un elemento de cada grupo.

a a am1 2, ,..., b b bn1 2, ,...,

• Ejemplo 1. Se lanza una moneda 2 veces. Cual es el numero de resultados posibles.

primer lanzamiento {A,S}segundo lanzamiento {A,S}

m=2, n=2, mn=4.

• Ejemplo 3. De cuantas formas se pueden sacar 2 cartas de una baraja de 52 cartas.

m=52 la primera cartan=51 la segunda carta

mn=2652 formas

116

Generalización del principio de multiplicación

Ahora en lugar de dos conjuntos , vamos a suponer r conjuntos.

• Se desean hacer r decisiones, donde la primera decisión se puede hacer de n1 formas, la segunda de n2, la r-esima de nr formas distintas. Entonces el numero total de decisiones distintas en el orden dado es.

n n nr1 2 ...• Ejemplo: Un defecto genético puede ser trasmitido de madre

a hija. Una madre con dicho defecto tiene 4 hijas. ¿De cuantas formas posibles puede presentarse el defecto?.

•ni=2, i=1,2,3,4.

2*2*2*2= 16 formas

• Ejemplo:Composición de un elemento electrónico . Aluminio {No, N1, N2, N3, N4} PVC {Po, P1, P2, P3} Manganeso {Ko, K1, K2} 5*4*3=60 tratamientos.

117

Permutaciones

Definición.

Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una permutación .

El numero resultante de ordenar n objetos diferentes tomando r a

la vez será representado por el símbolo nrP

Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!!

Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de Física (F), Otro de Matemáticas (M). Note Que existen 6 formas de

acomodar dichos libros.

{ HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aquí importa el orden

3*2*1=6

118

El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares diferentes es :

n n n n! ( )( )...( )( ) 1 2 2 1

n! se lee como n factorial¿ Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n objetos, tal Que n es mayor o igual que r?

En este caso el numero de arreglos resulta ser:n n n n r n r P

Pn

n r

rn

rn

( )( )...( [ ])( [ ])

!

( )!

1 2 2 1

119

Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes intensidades de presión. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de administrar las intensidades es importante, ¿ cuantos motores se ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?.

10 intensidades (i1,i2,…,i10 ) y 2 aplicaciones.

Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),…..

P210 10!

8!90 .

120

Combinaciones

Una combinación es un arreglo de distintos elementos , en donde una combinación difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto.

!! En este caso no es importante el orden de los objetos !!

Definición. (Combinaciones).

El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero de maneras de formar un subconjunto de tamaño r de los n objetos. Esto se denota como:

nr

nC

r

121

Cn

rP

r

n

r n rrn r

n

!

!

!( )!

Teorema 2.

Ejemplo: En un lote de producción 100 chips de computadora, un comprador desea adquirir 10 chips, ¿ de cuantas formas se pueden seleccionar 10 chips de ese lote?.

Cn

rn

r n rrn

!

!( )! )!

100!

10!(100 10

122

Teorema de Partición

Teorema 3. (Partición).

El numero de formas de particionar n objetos distintos en k diferentes grupos que contienen n1,n2,…,nk objetos, respectivamente es:

N nn n n donde n n

ki

i

k

!

! !... !1 2 1

Ejemplo: Existen 20 bulbos de luz. Los cuales 6 dan luces amarillas, 8 rojas, y 6 anaranjadas. ¿ De cuantas formas se puediera ver el una línea de bulbos si se colocaran en forma aleatoria?

N 20!6!8!6! 116 396 280, ,

123

Variables Aleatorias y sus distribuciones

124

Tipos de variables aleatorias Discretas continuas

125

Definición de variable aleatoria

Es aquella función que a cada resultado posible de un experimento le asocia un numero real.

•Se denotan con letras Mayúsculas: X,Y,Z,etc....

126

Variables aleatorias discretasEs aquella variable que únicamente toma valores susceptibles de contarse.

•Ejemplo 1: Considere el experimento de tomar al azar una ficha de asistencia de un numero de empleados. Sea X la variable numero de ausencias al año de un empleado. Note que X toma valores 0,1,2,...,250.

•Ejemplo 2.: Considere un experimento que consiste en medir el numero de artículos defectos de un lote de producto. Si Y es la variable numero de defectos , toma valores 0,1,2,...

127

Distribuciones y funciones de probabilidad

Toda variable aleatoria tiene asociada una función de probabilidades

Ejemplo : Se lanzan dos monedas y observamos el numero Y de caras.

Espacio muestral:{a, as, sa, ss}

Y toma valores 0,1,2.

128

Función de probabilidades para Y.

y P(Y=y)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y

0.26

0.31

0.36

0.41

0.46

0.51

pGráfica

Y

P(Y=y)

129

La distribución de probabilidades puede ser una Tabla, una Gráfica o una formula.

Formula para la distribución de probabilidades de la tabla anterior

yy

yyYPyP )5(.)5(.

3)()( 3

130

Requisitos para una distribución

de probabilidad discreta.

)()(

).(.2

1)(0.1

xXPxf

yP

yP

X

ytoda

En algunas ocasiones

la notación usada es:

131

Funciones de distribución acumulativa

La función distribución de probabilidades acumulativa es calcula sumando las probabilidades obtenidas hasta un determinado valor de la variable aleatoria.

)()( xXPxFX Esta función tiene propiedades.

0)(

1)(

1)(0

xFLim

xFLim

xF

x

x

132

Función de distribución acumulativa para Y=#de caras

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y

0.3

0.5

0.7

0.9

F(x)

0 1 2

133

Ejemplo:Suponga se tiene un lote de N=100 objetos donde se sabe hay D=5 defectuosos. Se selecciona una muestra sin remplazo de tamaño n=4. Suponga que X es el numero de defectos en la muestra

Variable Probabilidad ProbabilidadAcumulada

X P(X=x) P(X<x)

0 .805 .805

1 .178 .983

2 .014 .997

3 .003 .999

4 .000 1

134

Los cálculos de probabilidades se

obtienen para este ejemplo como:

4,3,2,1,0

5

100

4

51005

)(

x

xx

n

N

xn

DN

x

D

xXP

135

Valor Esperado o Media de una variable aleatoria discreta

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como o E(X), es

X

xx

XX xXxPxxfXE )()()(

La media es el centro de la masa del rango de los valores de X.

136

Calculo de la media para la variable de No. De defectos

X

215.0

04003.03014.02178.01805.00

)(4

0

x

X XXxP

En este caso note que esta media no toma un valor entero como X

137

0 1 2 3 4x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

pro

b

Media X

138

Ejercicio:

La demanda de un producto es -1,0,1,2 por dia (-1 significa devolución). Con probabilidades dadas por 1/5,1/10,2/5,3/10. Calcular la demanda esperada.

X

139

Varianza de una variable aleatoria

Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x). Entonces , la varianza de Y es:

x

XXX xXPxXE )()(])[( 222

Medida de dispersión

140

2147.0

0)215.04(003.0)215.03(

014.0)215.02(

178.0)215.01(805.0)215.00(

)()(

22

2

22

22

x

XX xXPx

141

La desviación estándar de una variable aleatoria es simplemente la raíz cuadrada de la varianza

2XX

142

Distribuciones Discretas

Uniforme discreta.

La variable aleatoria toma un numero finito de n valores , cada uno con igual probabilidad.

nxXPxf

1)()(

143

0 2 4 6 8 1e+001x

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

prob

Uniforme discreta con n=10

144

12

1

2

)1(

22

n

n

X

X

La media y varianza de la distribución Uniforme discreta son:

Aplicaciones

145

Distribución Binomial

Ensayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso.

Donde la probabilidad de éxito se denota por p

•Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes.

•Suponga que la variable X de interés es el numero de éxitos.

•X toma valores 0,1,2,...,n

146

nxppx

nxXPxf xnx ,...,1,0)1()()(

La variable aleatoria X tiene una distribución binomial

)1()(

)(2 pnpXV

npXE

X

X

Tiene media y varianza.

147

Distribución Poisson

Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.

,...1,0!

)(

xx

exf

x

148

6D. Histogramas y Distribución Normal

149

DEFINICION Un Histograma es la organización de un número de

datos muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.

•Permite ver la distribución que tienen los procesos de manufactura y administrativos vs. especificaciones

•Permiten ver la frecuencia con la que ocurren las cosas.

La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estándar o .Un rango de ± 3 cubre el 99.73%.

Histograma

150

Histograma de Frecuencia

En un proceso estable las mediciones se distribuyen normalmente, a la derecha y a la izquierda de la media adoptando la forma de una campana.

TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO

MEDICIONES

Media

MEDICIONES

151

Histogramas con Datos agrupados

El Histograma es una gráfica de las frecuencias que presenta los diferentes datos o valores de mediciones agrupados en celdas y su frecuencia.

Una tabla de frecuencias lista las categorías o clases de valores con sus frecuencias correspondientes, por ejemplo:

CLASE FRECUENCIA1-5 76-10 1211-15 1916-20 1621-25 826-30 4

152

Definiciones - datos agrupados

Límite inferior y superior de clase Son los numeros más pequeños y más grandes de las clases (del ejemplo, 1 y 5; 6 y 10; 11 y 15; 16 y 20; 21 y 25; 26 y 30)

Marcas de claseSon los puntos medios de las clases (del ejemplo 3, 8, 13, 18, 23 y 28)

Fronteras de clase Se obtienen al incrementar los límites superiores de clase y al decrementar los inferiores en una cantidad igual a la media de la diferencia entre un límite superior de clase y el siguiente límite inferior de clase (en el ejemplo, las fronteras de clase son 0.5, 5.5, 10.5, 15.5, 20.5, 25.5 y 30.5)

Ancho de claseEs la diferencia entre dos límites de clase inferiores consecutivas(en el ejemplo, es 5).

153

Construcción del histograma - datos agrupados

Paso 1. Contar los datos (N)Paso 2. Calcular el rango de los datos R = (Valor mayor- valor menor)

Paso 3. Seleccionar el número de columnas o celdas del histograma (K). Como referencia si N = 1 a 50, K = 5 a 7; si N = 51 - 100; K = 6 - 10. También se utiliza el criterio K = Raíz (N)

Paso 4. Dividir el rango por K para obtener el ancho de clase

Paso 5. Identificar el límite inferior de clase más conveniente y sumarle el ancho de clase para formar todas las celdas necesarias

Paso 6. Tabular los datos dentro de las celdas de clasePaso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal

154

Ejemplo: Datos para histogramaDatos:

19 21 25 33 30 27 31 25 35

37 44 43 42 39 43 40 38 37

36 42 41 44 32 45 46 47 45

54 52 50 48 49 47 48 49 47

52 51 50 49 58 59 61 62 63

59 61 66 76 70

155

Ejemplo: Construcción del histograma

Paso 1. Número de datos N = 50

Paso 2. Rango R = 76 - 16 = 60

Paso 3. Número de celdas K = 6;

Paso 4. Ancho de clase = 60 / 6 = 10

Paso 5. Lím. de clase: 15-24, 25- 34, 35- 44, 45- 54, 55 - 64, 65-74, 75-94Paso 6. Número de datos: 2 7 14 17 7 2 1

Marcas de clase 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5

Paso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal

156

• Accesar el menu de análisis de datos con HERRAMIENTAS, ANALISIS DE DATOS, HISTOGRAMAS

• Marcar los datos de entrada en RANGO DE ENTRADA, marcar el rango de los límites superiores de clase en RANGO DE CLASES, indicar GRAFICA, marcar el área de resultados con RANGO DE SALIDA y obtener resultados y gráfica

NOTA: Los datos deben estar en forma no agrupada, Excel forma los grupos en forma automática o se le pueden proporcionar los límites de las celdas.

Histograma en Excel

157

Construcción del histograma

02468

1012141618

15-24

25-34

35-44

45-54

55-64

65-75

Frec.

158

Media - Promedio numérico o centro de gravedad del histograma

Cálculo de la media - datos agrupados

- Usa todos los datos - Le afectan los extremos

x Fi

Fi*Xi

n

ii1

Donde, Fi = Frecuencia de cada observaciónxi = Valor de cada marca de clase

Mediana - Es el valor que se encuentra en medio de los datos

Moda - Es el valor que más se repite

159

Desviación Estándar - Datos agrupados

S es usada cuando los datos corresponden a una muestra

Nota: Cada Xi representa la marca de clase típicamente es usada si se está considerando a toda la población

(Fi*Xi2 )- [(Fi*Xi)]2/n

i=1

n

n - 1

s =

(xi - x)2

i=1

n

n

=

160

Rango: Valor Mayor – Valor menor

Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media *100%Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o

tipo. Por ejemplo:

Material No. de Media Desviación Coeficiente Observaciones Aritmética Estándar de Variación

n s Srel

  A 160 1100 225 0,204 B 150 800 200 0,250

El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B

Otras medidas de Dispersión- Rango, CV

161

Ejercicio de Histogramas

Datos:

6.40 6.39 6.41 6.39 6.40 6.39 6.40 6.37 6.40 6.38

6.42 6.38 6.40 6.38 6.416.40 6.41 6.41 6.43 6.39

6.41 6.35 6.39 6.41 6.436.38 6.40 6.42 6.37 6.40

6.37 6.43 6.43 6.39 6.426.40 6.42 6.39 6.42 6.38

6.42 6.40 6.38 6.45 6.416.39 6.44 6.36 6.44 6.36

162

La Distribución Normal

163

No existen en la naturalezados cosas exactamente iguales,ni siquiera los gemelos, por tanto la variación es inevitable y es analizada por la Estadística

Describiendo la variabilidad

164

“La estadística nos proporciona métodos para organizar y resumir información, usándola para obtener diversas conclusiones”

Por ejemplo, sí deseamos saber el promedio de peso de las personas en una población tenemos dos opciones:

Pesar a todas y cada una de las personas, anotar y organizar los datos, y calcular la media.

Pesar solo una porción o subconjunto de la población (muestra). Registrar y organizar los datos y calcular la media de la muestra, tomándola para pronosticar o Inferir la media de toda la población.

La Estadística

165

Definiciones

Población: Es la colección de todos los elementos (piezas, personas, etc.). En nuestro caso sería un número infinito de mediciones de las características bajo estudio.

Muestra: Es una parte o sobconjunto representativo de la población, o sea un grupo de mediciones de las características.

Distribución: Es la forma del patrón de variación observado. .

166

Definiciones

Estadístico: Es una medición tomada en una muestra que sirve para hacer inferencias en relación con una población (media de la muestra, desviación estándar de la muestra).

Parámetro: Es el valor verdadero en una población (media, desviación estándar, se indican con letras griegas)

Datos Variables o continuos Los datos que tienen un valor real (temperatura, presión, tiempo,diámetro,altura )

Datos por atributos: Bueno - malo, pasa - no pasa, etc.

167

La distribución Normal

La distribución normal es una distribución de probabilidad que tiene media 0 y desviación estándar de 1.

El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1.

La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5.

La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar, su número se describe con Z.

Para cada valor Z se asigna una probablidad o área bajo la curva mostrada en la Tabla de distribución normal

168

Las distribuciones pueden variar en:

POSICIÓN AMPLITUD FORMA

… O TENER CUALQUIER COMBINACION

169

x x+s x+2s x+3sx-sx-2sx-3s

X

Para la población - se incluyen TODOS los datos

Para la muestra

La Distribución Normal

170

z0 1 2 3-1-2-3

x x+ x+2 x+3x-x-2x-3

X

La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal

La Distribución Normal Estándar

171

68%34% 34%

95%

99.73%

+1s

+2s

+3s

Características de la Distribución Normal

172

El valor de Z

Determina el número de desviaciones estándar entre algún valor x y la media de la población, mu Donde sigma es la desviación estándar de la población.

En Excel usar Fx, ESTADISTICAS, NORMALIZACIÓN, para calcular el valor de Z

z = x -

173

68%34% 34%

13.5% 13.5%

95%

68%34% 34%

13.5% 13.5%

99.73%

68%34% 34%

2.356%2.356%

Proceso con media =100y desviación estándar = 10

70 80 90 100 110 120 130

90 110

80 120

70 130

174

Áreas bajo la curva normal

175

El tiempo de vida de las baterías del conejito tiene una distribución aproximada a la normal con una media de 85.36 horas y una desviación estándar de 3.77 horas.

¿Qué porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?

Áreas bajo la curva normal

176

Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s

1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida

Z Area

2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o

DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z

Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar

177

Distribución normal, dadas una media y desviación estándar: 1. Área desde menos infinito a X se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM, dar el valor de X, Media, Desviación Estándar s, VERDADERO y se obtendrá el área requerida

X Area

2. Un valor de X específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM.INV, dar el valor del área, Media y Desviación Estándar y se obtendrá el valor de la X

Cálculos con Excel – Distr. Normal

178

¿Que porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?

Z = (x-mu) / sZ = (80-85.36)/(3.77)= - 5.36/ 3.77 = -1.42

85.3680

-1.42 0

Área bajo la curva normal

179

0 1

86 8785.36

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?

Área bajo la curva normal

180

85.36 87

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?

1.67 = .33 ó 33% de las veces una batería durará más de 87 horas

Área bajo la curva normal

181

Considere una media de peso de estudiantes de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs. Contestar lo siguiente:

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese más de 85Kgs.?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 50Kgs.?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 60 y 80 Kgs.?.

4. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 55 y 70 Kgs.?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 85 y 100Kgs.?

Considere una media de peso de estudiantes de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs. Contestar lo siguiente:

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese más de 85Kgs.?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 50Kgs.?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 60 y 80 Kgs.?.

4. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 55 y 70 Kgs.?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 85 y 100Kgs.?

Ejercicios

182

6E. Capacidad de Proceso

183

CONTENIDO

Introducción

Capacidad a partir de histogramas

Capacidad a partir de papel normal

Capacidad a partir de cartas de control

Capacidad de los sistemas de medición

Ejercicios de aplicación

184

Introducción

185

Objetivos de la capacidad del proceso

1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones

2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus modificaciones

3. Especificar requerimientos de desempeño para el equipo nuevol

4. Seleccionar proveedores

5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura

6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto interactivo de los procesos en las tolerancias

186

_Xxi

s

Z

LIEEspecificación inferior

LSEEspecificación superior

p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones

187

¿Cómo vamos a mejorar esto?

Podemos reducir la desviación estándar...

Podemos cambiar la media...

O (lo ideal sería, por supuesto) que podríamos cambiar ambas

Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo,asegúrarse que se mantenga

188

Variación a cortoPlazo - Zst

Variación a largo plazo - Zlt

Variación Global - Zbench.

189

Enfriador

Diámetro de pieza 18.315 +/- 0.005” DPMO inicial: 139,400 ppm

Dentro dela Pieza

Pieza aPieza

Lote aLote

Tiempo aTiempo

Variación deMedición DM = .003

Variación deProducto DP = .020

Cualquiera de los grupos de datos que aparecen dentro de un cuadrado, serían ejemplos de variación a corto plazo (mismo lote, mismo tiempo, sólo cambian las piezas). Este método de agrupamiento algunas veces se llama subgrupos racionales.

La gráfica en su conjunto sería un ejemplo de variación a largo plazo

Variación a Corto y Largo Plazo

190

Enfriador

Variación a corto plazo - Las familias de variación han sido restringidas de tal manera que los datos considerados, sólo son los que se obtuvieron del subgrupo racional. Ayuda a determinar subgrupos racionales importantes.

Variación a Largo Plazo - Aquí todas las familias de variación exhiben su contribución en la variación del proceso general.

Variación a Corto y Largo Plazo

Dentro dela Pieza

Pieza aPieza

Lote aLote

Tiempo aTiempo

Variación deMedición DM = .003

Variación deProducto DP = .020

Diámetro de pieza 18.315 +/- 0.005” DPMO inicial: 150,000 ppm

191

Visualizando los Componentes de Variación “Cambio y Tendencia”

Tiempo 1

Tiempo 2

Tiempo 3

Tiempo 4

• Capacidad inherente• Capacidad a corto plazo• Variación dentro del grupo• Z Corto Plazo (Zst)

• Variación entre grupos

• Con el transcurso del tiempo un proceso típico tendrá un cambio y una tendencia de aprox. 1.5 desv. estándar de la variación a corto plazo ZShift

• Capacidad • mantenida a • largo plazo• Variación total• de proceso• Z Largo Plazo (Zlt)

LIE LSEObjetivo

Dos retos: Centrar el proceso y reducir la variación

192

Capacidad de Proceso Tres elementos básicos• Exactitud (media)• Precisión (desviación estándar)• Requerimientos (límites específicos)Calculando el resultado Z (dos tipos)

ZST = (límite especif. - nom)desv. stdST

{{1 2 ==> res. ZLT = 2

{{{{ 3 2 113res. ZST = 3.33 <==

LímiteMínimoEspecif.

LímiteMáximoEspecif.

MediaNominal

ZLT = (límite especif. - media)std devLT

desv. std largo plazodesv. std corto plazo

193

1 2 3 4 5 6

2.52.01.51.00.5

Control deficiente,Proceso deficiente (Tipo A)

ClaseMundial (Tipo D)

Buena tecnología, control deficiente (Tipo B)

El control es bueno,el proceso es deficiente, ó la tecnología es inadecuada (Tipo C)

zst

z st -

z ltdeficiente

bueno

deficiente bueno

(Nota: St - corto plazo, Lt - largo plazo)

Comportamiento del proceso en el tiempo

¿A cuál categoría pertenecen estos procesos?

Tipo____ Tipo____ Tipo____ Tipo____

Capacidad de Proceso

194

Capacidad de proceso a corto y largo plazo Capacidad a corto plazo en base a sigma de

corto plazo

Capacidad a largo plazo en base a sigma de largo plazo

nLIELSE

d

RM

c

S

d

R

ST

ST

6ˆ

,,ˆ242

   

knc

STOTLT

4

ˆ 34

444

kn

knc

1

ˆ2

1

kn

XS

kn

ii

TOT

195

6E1. Capacidad de proceso a partir de Histogramas y Distribución normal

196

Procedimiento

1. Seleccionar una máquina donde realizar el estudio

2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso

3. Seleccionar un operador entrenado

4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%)

5. Cuidadosamente colectar la información

6. Construir un histograma de frecuencia con los datos

7. Calcular la media y desviación estándar del proceso

Nigel´s Trucking Co.

Teoría del camión y el túnel•El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor que la especificación.•Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de laespecificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Siel chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.

Ancho 9´

El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado

Capacidad del proceso – Fracción defectivaLa capacidad en función de la fracción defectiva del Proceso se calculaEn función de la fracción defectiva para cada lado del rango de Especificación.

Desv. Est.=Rango medioConstante d2 de acuerdo al tamaño de subgrupo en X-R

Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulasSiguientes:

Zi = LIE - promedio del procesoDesviación Estandar

LSE - Promedio del procesoDesviación Estandar

La fracción defectiva se calcula con las tablas de distribución normal

P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)

Zs =

Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)

Capacidad del proceso – Cp y CpkLa capacidad potencial del Proceso (Cp) es una medida de la variación del proceso en relación con el rango de Especificación.

Cp = Tolerancia

Variación del proceso=

LSE - LIE

6 Desviaciones STD.

Cpk es una medida de la capacidad real del proceso en función de la posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites de especificación. Con límites bilaterales da una indicación del centrado. Es el menor de:

CpK = LSE - promedio del proceso3 desviaciones STD

y Promedio del proceso - LIE3 desviaciones STD

La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del proceso.

CR = Rango del procesoTolerancia

= 6 desviaciones STDLSE - LIE

Capacidad Cp, Cpk y fracción defectiva

200

Cálculo de la capacidad del proceso

Habilidad o capacidad potencial Cp = (LSE - LIE ) / 6

Debe ser 1 para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Habilidad o capacidad real Cpk = Menor | ZI - ZS | / 3El Cpk debe ser 1 para que elproceso cumpla especificaciones

201

Ejemplo

Se tomaron los datos siguientes:

265 205 263 307 220 268 260 234 299197 286 274 243 231 267 281 265 214346 317 242 258 276 300 208 187 264280 242 260 321 228 250 299 258 267265 254 281 294 223 260 308 235 283200 235 246 328 296 276 264 269 235221 176 248 263 231 334 280 265 272265 262 271 245 301 280 274 253 287261 248 260 274 337 250 278 254 274278 250 265 270 298 257 210 280 269215 318 271 293 277 290 283 258 275251

202

Ejemplo (cont…)

Agrupando los datos en celdas se tiene:

Intervalo Marca Frecuencia Frecuencia de clase de clase Frecuencia Relativa Absoluta170 - 189 179.5 2 0.02 0.02190 - 209 199.5 4 0.04 0.06210-229 219.5 7 0.07 0.13230-249 239.5 13 0.13 0.26250-269 259.5 32 0.32 0.58270-289 279.5 24 0.24 0.82290-309 299.5 11 0.11 0.93310-329 319.5 4 0.04 0.97330-349 339.5 3 0.03 1.00 .

203

Ejemplo (cont…)

El histograma es el siguiente (se observa con forma normal):

0

5

10

15

20

25

30

35

170-189

210-229

250-269

290-309

330-349

Frec.

204

Ejemplo (cont…)

Calculando la media y la desviación estándar se tiene:

X-media = 264.06 s = 32.02

La variabilidad del proceso se encuentra en 6 = 192.12Si las especificaciones fueran LIE = 200 y LSE = 330

Cp = (330 - 200 ) / 192.2 < 1 no es hábil el proceso

Zi = (330 - 264.06) / 32.02 Zs = (200 - 264.06) / 32.02

Cpk = menor de Zi y Zs < 1 el proceso no cumple especificaciones

205

Ejercicio

Calcular la capacidad del proceso con la distribución de frecuencias siguiente considerando LIE = 530 y LSE = 580:

Intervalo Frecuencia Frecuenciade clase Marca de clase Frecuencia Relativa Absoluta .

531 - 535 533 6536 - 540 538 8541 - 545 543 12546 - 550 548 13551 - 555 553 20556 - 560 558 19561 - 565 563 13566 - 570 568 11571 - 575 573 8

206

Cálculo de la capacidad del proceso

Habilidad o capacidad potencial Cp = (LSE - LIE ) / 6

Debe ser 1 para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Habilidad o capacidad real Cpk = Menor | ZI - ZS | / 3El Cpk debe ser 1 para que elproceso cumpla especificaciones

207

Ejemplo

Se tomaron los datos siguientes:

265 205 263 307 220 268 260 234 299197 286 274 243 231 267 281 265 214346 317 242 258 276 300 208 187 264280 242 260 321 228 250 299 258 267265 254 281 294 223 260 308 235 283200 235 246 328 296 276 264 269 235221 176 248 263 231 334 280 265 272265 262 271 245 301 280 274 253 287261 248 260 274 337 250 278 254 274278 250 265 270 298 257 210 280 269215 318 271 293 277 290 283 258 275251

208

Ejemplo (cont…)

Agrupando los datos en celdas se tiene:

Intervalo FrecuenciaFrecuenciade clase Marca de clase Frecuencia RelativaAbsoluta170 - 189 179.5 2 0.02 0.02190 - 209 199.5 4 0.04 0.06210-229 219.5 7 0.07 0.13230-249 239.5 13 0.13 0.26250-269 259.5 32 0.32 0.58270-289 279.5 24 0.24 0.82290-309 299.5 11 0.11 0.93310-329 319.5 4 0.04 0.97330-349 339.5 3 0.03 1.00 .

209

Ejemplo (cont…)

El histograma es el siguiente (se observa con forma normal):

0

5

10

15

20

25

30

35

170-189

210-229

250-269

290-309

330-349

Frec.

210

Ejemplo (cont…)Calculando la media y la desviación estándar se tiene:

X-media = 264.06 s = 32.02

La variabilidad del proceso se encuentra en 6 = 192.12Si las especificaciones fueran LIE = 200 y LSE = 330

Cp = (330 - 200 ) / 192.2 < 1 no es hábil el proceso

Zi = (330 - 264.06) / 32.02 Zs = (200 - 264.06) / 32.02

Cpk = menor de Zi y Zs < 1 el proceso no cumple especificaciones

211

Ejercicio

Calcular la capacidad del proceso con la distribución de frecuencias siguiente considerando LIE = 530 y LSE = 580:

Intervalo Frecuencia Frecuenciade clase Marca de clase Frecuencia Relativa Absoluta

531 - 535 533 6536 - 540 538 8541 - 545 543 12546 - 550 548 13551 - 555 553 20556 - 560 558 19561 - 565 563 13566 - 570 568 11571 - 575 573 8

212

6E2. Capacidad a partir de papel normal

213

Ventajas

1. Se puede observar el comportamiento del proceso sin tomar tantos datos como en el histograma, 10 son suficientes

2. El proceso es más sencillo ya que no hay que dividir el rango de la variable en intervalos de clase

3. Visualmente se puede observar la normalidad de los datos, si se apegan a la línea de ajuste

4. Permite identificar la media y la desviación estándar aproximada del proceso. Así como la fracción defectiva, el porcentaje de datos entre cierto rango, el Cp y el Cpk.

214

Procedimiento

1. Se toman al menos n = 10 datos y se ordenan en forma ascendente, asignándoles una posición (j) entre 1 y n.2. Se calcula la probabilidad de cada posición con la fórmula siguiente: Pj = (j - 0.5) / n3. En el papel especial normal se grafica cada punto (Xj, Pj)4. Se ajusta una línea recta que mejor aproxime los puntos 5. Si no hay desviaciones mayores de la línea recta, se considera normal el proceso y se procede a hacer las identificaciones:

La media será el punto en X correspondiente a Pj = 0.5La desv. Estándar es la dif. En Xj correspondiente a Pj = 0.5 y Pj = 0.84

215

Ejemplo

Se tomaron los datos siguientes (Xj), ordenándolos y calculando la probabilidad de su posición (Pj)

Pos. J Valor Xj Pj Pos. J Xj Pj1 197 0.025 11 271 0.5252 200 0.075 12 275 0.5753 215 0.125 13 277 0.6254 221 0.175 14 278 0.6755 231 0.225 15 280 0.7256 242 0.325 16 283 0.7757 245 0.325 17 290 0.8258 258 0.375 18 301 0.8759 265 0.425 19 318 0.92510 265 0.475 20 346 0.975

216

Ejemplo (cont..)

Graficando los puntos se tiene:

0.5

X Media

0.84

Desv. Estándar

Xj

Pj

LIE

FracciónDefectiva

217

Pi0.9990.9980.9950.990.980.970.960.940.900.840.800.750.700.600.500.400.300.250.200.160.100.080.040.020.01

0.0050.0020.001

Normal distribution probability paper Xi

Pi = ( I - 0.5 ) / N

218

P-Val ue: 0.538A-Squared: 0.315

Anderson-Darl i ng Normali ty Test

N: 100StDev: 139.682Average: 504.232

900800700600500400300200

.999.99.95.80

.50

.20

.05

.01.001

Prob

abili t

y

C 1

N o r m a l P ro b a b i li ty P lo t

El trazo normal es el siguiente:

El eje Y es un rango no lineal de probabilidades normales.

El eje X es un rango lineal de la variable que se está analizando.

Si los datos son normales, la frecuencia de ocurrencias en varios valores Xi, puede predecirse usando una línea sólida (en su computadora esta línea será de color rojo) como modelo. Por ejemplo, sólo más del 20% de los datos del proceso serían valores de 400 o inferiores.

219

Diferentes trazos en papel de probabilidad Normal

220

Ejercicio

Tomando los datos siguientes (Xj), calcular la probabilidad (Pj), graficar en papel norma, ajustar valores con una recta, determinar la media, desv. Estándar, si las especs. son LIE = 1200 LSE = 1800 determinar la fracción defectiva.

1210 2105

1275 2230

1400 2250

1695 2500

1900 2625

221

6E3. Capacidad a partir de cartas de control

222

EN CASOS ESPECIALES COMO ESTOSDONDE LAS VARIACIONES PRESENTES SON TOTALMENTE INESPERADASTENEMOSUN PROCESO INESTABLE o “IMPREDECIBLE”. ?

? ? ? ?? ?

223

BASES DEL CEP

SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES, SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO “ESTABLE”. LA DISTRIBUCION SERA “PREDECIBLE” EN EL TIEMPO

Predicción

Tiempo

224

Control y Capacidad de Proceso

Control de Proceso:

Cuando la única fuente de variación es normal o de causa común, se dice que el proceso esta operando en “CONTROL”.

Capacidad de Proceso:

Medición estadística de las variaciones de causa común que son demostradas por un proceso. Un proceso es capaz cuando la causa común de variación cae dentro de las especificacionesdel cliente.

La capacidad no se puede determinar a menos que el proceso se encuentre en Control y Estable.

225

PROCESO EN CONTROL ESTADÍSTICO La distribución de la mayoría de las características medidas forman una curva en forma de campana o normal, si no hay causas especiales presentes, que alteren la normalidad . ¿cuales son las causas comunes?|

Distribucióndel Proceso

Area entre 0 y 1s -Probabilidad de Ocurrencia

_ x= media

s= sigma; es la desviación estándar; medida de la variación del proceso.14 % 14 %

2% 2%-3s -2s -1s x +1s +2s 3s

99.73%

34% 34%

x

226

Desviación Estándar del proceso

Donde,

= Desviación estándar de la población

d2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - R

C4 = Idem al anterior para una carta X - S

NOTA: En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y RangoMedio=Suma rangos / (n -1)

Donde,

= Desviación estándar de la población

d2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - R

C4 = Idem al anterior para una carta X - S

NOTA: En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y RangoMedio=Suma rangos / (n -1)

= R = S

d2 c4

227

Capacidad de proceso

Cuando las causas comunes son la única variación:

Cp El índice de capacidad potencial del proceso compara la amplitud del proceso con la amplitud especificada. Cp = (LSE - LIE) / 6

Cpk El índice de capacidad real del proceso compara la media real con el límite de especificaciones más cercano (LE) a esta. _

Cpk = LE - LX o Cpk = menor |Z1 - Z2| / 3 3

228

Ejemplo (carta X - R)

De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:

Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

= X media de medias = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23

[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]

Si el límite de especificación es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones

229

Ejemplo (carta X - S)

De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:

Xmedia de medias = 100 Smedio = 1.05

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

= X media de medias = Smedio / C4 = 1.05 / 0.94 = 1.117

[ C4 para n = 5 tiene el valor 0.94 ]Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105. El Cpk = (105 - 100) / (1.117 ) (3) = 1.492El Cp = (105 - 85) / 6 (1.117 ) = 2.984por tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones

230

Ejercicios

1) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 8) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46):

Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5

2) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 6) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 15, LSE = 23):

Xmedia de medias = 20 Smedio = 1.5

231

6F. Capacidad de los sistemas de medición

232

DefinicionesExactitud

Desviación respecto del valor verdadero del promedio de las mediciones

Valor verdadero:Valor correcto teórico / estándares NIST

SesgoDistancia entre el valor promedio de todas las mediciones y el

valor verdadero.Error sistemático o desviación

EstabilidadLa variación total en las mediciones obtenidas durante un

período de tiempo prolongadoLinealidad

Diferencia en los valores de la escala, a través del rango de operación esperado del instrumento de medición.

PrecisiónMedición de la variación natural en mediciones repetidas

233

Posibles Fuentes de la Variación del Proceso

La “Repetibilidad” y “reproducibilidad” (R&R), son los errores más relevantes en la medición.

Variación del proceso, real Variación de la medición

Variación del proceso, observado

Reproducibilidad

Repetibilidad

Variación dentro de la muestra

Estabilidad Linealidad Sesgo

Variación originada

por el calibrador

Calibración

234

Definición de la Repetibilidad

REPETIBILIDAD

Repetibilidad: Es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento de medición, cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo tiempo que mide las mismas características en una misma parte

235

Definición de la Reproducibilidad

Reproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas por diferentes operadores que utilizan un mismo instrumento de medición cuando miden las mismas características en una misma parte

Reproducibilidad

Operador-A

Operador-C

Operador-B

236

Estándares internacionales**

En México se tiene el CENEAM o el Centro Nacional de Metrológia

• En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards and Technologý)

•Un Estándar primario es certificado por NIST o por una organización alterna que use procedimientos de calibración actualizados

• Los Estándares secundarios son calibrados por el depto. de Metrología de las empresas en base a los estándares primarios, para efectos de calibración.

237

Estándares internacionales**

• Los Estándares secundarios se transfieren a Estándares de trabajo en producción.

•Para determinar la exactitud de los sistemas de medición se debe conocer su rastreabilidad a Estándares nacionales e internacionales.

Resolución: Para que el equipo de medición tenga una discriminación adecuada en la evaluación de las partes, su resolución debe ser al menos 1/10 de la variabilidad del proceso ( LTNS - LTNI = 6 ) **

238

Sesgo es la diferencia entre el promedio observado de las mediciones y el valor verdadero.

Definición del SesgoValor

Verdadero

Sesgo

239

Estabilidad (o desviación) es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de medición, hechas sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se mide una sola de sus características, durante un período de tiempo prolongado.

Definición de la Estabilidad

Tiempo 1

Tiempo 2

240

Linealidad es la diferencia en los valores real y observado, a través del rango de operación esperado del equipo.

Definición de la Linealidad

Rango de Operación del equipo

Valor verdadero

Valor verdadero

(rango inferior)

(rango superior)

Sesgo Menor

Sesgo mayor

241

Estabilidad del CalibradorCómo Calcularla…

• Para calibradores que normalmente se utilizan sin ajuste, durante periodos de tiempo relativamente largos.

» Realizar un segundo estudio R&R del Calibrador justo antes de que venza el tiempo de re calibración.

» La estabilidad del calibrador es la diferencia entre los promedios sobresalientes de las mediciones resultantes de los dos estudios.

Causas posibles de poca estabilidad…

• El calibrador no se ajusta tan frecuentemente como se requiere

• Si es un calibrador de aire, puede necesitar un filtro o un regulador

• Si es un calibrador electrónico, puede necesitar calentamiento previo.

242

Precisión en relación a la variación total

Identificar qué porcentaje de la variación total debe absorberse como error de medición.

<10% Aceptable10-30%. Puede ser aceptable, dependiendo qué tan crítico es el grado de la medición.>30%. ¡Inaceptable!

Precisión en relación a la variación total

Identificar qué porcentaje de la variación total debe absorberse como error de medición.

<10% Aceptable10-30%. Puede ser aceptable, dependiendo qué tan crítico es el grado de la medición.>30%. ¡Inaceptable!

%R&RVar Total

= R&R*100

Error R&R = RPT2 + REPR2

Para la fase de control del proyecto, sólo substituya la Tolerancia por Variación Total. TV= R&R + PV PV= variación de parte = Rp x K3

243

EL VALOR DEL R&R ES UN PORCENTAJE DE LA VARIACION TOTAL DEL PROCESO:

Mientras más mayor sea el % del R&R, mayor será el área de incertidumbre para conocer la dimensión verdadera de las partes.

ERROR TIPO 1: Pueden estarse aceptando partes que están fuera de especificaciones

ERROR TIPO 2: Pueden estarse rechazando partes que están dentro de especificaciones

Lo que fue

medido

VARIACIÓN DE PARTE A PARTE

LSL USLOBJETIVO

La dimensión verdadera de las partes se encuentra en algún lugar de la la región sombreada…

244

Generalmente intervienen de dos a tres operadores Generalmente se toman 10 unidades Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3 veces.

Generalmente intervienen de dos a tres operadores Generalmente se toman 10 unidades Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3 veces.

Estudio de R&R

245

Realizando el estudio R&R

Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el RANGO TOTAL DEL PROCESO . Es importante que dichas partes sean representativas del proceso total (80% DE LA VARIACION)

10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión sólida sobre el EQUIPO DE MEDICIÓN a menos que

246

Procedimiento para realizar un estudio de R&R

1. Ajuste el calibrador, o asegúrese de que éste haya sido calibrado.

2. Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la persona que realiza la medición.

3. Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar.

4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar.

5. Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola vez (Este es el ensayo 1).

247

Procedimiento para realizar un estudio de R&R

6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos

7. Utilice el formato proporcionado para determinar las estadísticas del estudio R&R Repetibilidad Reproducibilidad %R&R Desviaciones estándar de cada uno de los

conceptos mencionados Análisis del % de tolerancia

8. Analice los resultados y determine los pasos a seguir, si los hay.

248

Métodos de estudio del error R&R:

I. Método de Promedios- Rango• Permite separar en el sistema de medición lo referente a la reproducibilidad y a la Repetibilidad.• Los cálculos son más fáciles de realizar.

II. Método ANOVA•Permite separar en el sistema de medición lo referente a la reproducibilidad y a la Repetibilidad.•También proporciona información acerca de las interacciones de un operador y otro en cuanto a la parte.•Calcula las varianzas en forma más precisa.• Los cálculos numéricos requieren de una computadora.

El Método ANOVA es Más Preciso

249

Planteamiento del problema:

Las partes producidas en el área de producción, fallaron por errores dimensionales 3% del tiempo.

Ejemplo:

CTQ: Mantener una tolerancia ± 0.125 pulgadas

Sistema de Medición: Se miden las partes con calibradores de 2”.

Estudio R&R del La dimensión A es medida por dos Calibrador: operadores, dos veces en 10 piezas.

250

Repetibilidad y Reproducibilidad de

calibrador

Método X-media y Rango:

Operador A Operador BSerie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porción Xbar

1 9.376 9.358 9.354 9.3612 9.372 9.320 9.372 9.3723 9.378 9.375 9.278 9.2774 9.405 9.388 9.362 9.3705 9.345 9.342 9.338 9.3396 9.390 9.360 9.386 9.3707 9.350 9.340 9.349 9.3498 9.405 9.380 9.394 9.3819 9.371 9.375 9.384 9.38510 9.380 9.368 9.371 9.376

TotalesX-barA X-barB

R-barA R-barB

Porción R

251

1. Cálculo de las X-medias

Operador A Operador BSerie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porción Xbar

1 9.376 9.358 9.354 9.361 9.3622 9.372 9.320 9.372 9.372 9.3593 9.378 9.375 9.278 9.277 9.3274 9.405 9.388 9.362 9.370 9.3815 9.345 9.342 9.338 9.339 9.3416 9.390 9.360 9.386 9.370 9.3777 9.350 9.340 9.349 9.349 9.3478 9.405 9.380 9.394 9.381 9.3909 9.371 9.375 9.384 9.385 9.37910 9.380 9.368 9.371 9.376 9.374

Totales 93.772 93.606 93.588 93.580X-barA 9.3689 X-barB 9.3584

R-barA R-barB

Porción R

Repetibilidad y Reproducibilidad de calibrador

252

2. Cálculo de los Rangos

Operador A Operador BSerie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porción Xbar

1 9.376 9.358 0.018 9.354 9.361 0.007 9.3622 9.372 9.320 0.052 9.372 9.372 0.000 9.3593 9.378 9.375 0.003 9.278 9.277 0.001 9.3274 9.405 9.388 0.017 9.362 9.370 0.008 9.3815 9.345 9.342 0.003 9.338 9.339 0.001 9.3416 9.390 9.360 0.030 9.386 9.370 0.016 9.3777 9.350 9.340 0.010 9.349 9.349 0.000 9.3478 9.405 9.380 0.025 9.394 9.381 0.013 9.3909 9.371 9.375 0.004 9.384 9.385 0.001 9.37910 9.380 9.368 0.012 9.371 9.376 0.005 9.374

Totales 93.772 93.606 0.174 93.588 93.580 0.052X-barA 9.3689 X-barB 9.3584

R-barA 0.0174 R-barB 0.0052

Porción R 0.0630

Repetibilidad y Reproducibilidad de

calibrador

253

Ancho de tolerancia====>

Número de intentos (m)=>

Número de partes (n)==>

Número de operadores

alfa ========> 4.56

(=4.56 para 2 ensayos, 3.05 para 3 ensayos)

Beta =========> 3.65

X-media máx.=>

X-media mín. =>

Diferencia X-dif

R-media doble =>

K3 ======> 1.62

Identificación de Parámetros del Estudio y Cálculos

Totales 93.772 93.606 0.174 93.588 93.580 0.052X-barA 9.3689 X-barB 9.3584

R-barA 0.0174 R-barB 0.0052Porción R 0.0630

(=3.65 para 2 operadores; 2.7 para 3 operadores)

0.25

2

102

9.3689

9.3584

0.0105

0.0113

254

0.0515DV = R x K1 =

Repetibilidad: La variación del dispositivo de medición (VD) se calcula sobre cada grupo de mediciones tomadas por un operador, en una sola parte.

0.03655

Reproducibilidad: La variación en el promedio de las mediciones (AV) se calcula sobre el rango de los promedios de todas las mediciones, para cada operador, menos el error del calibrador (vale si la raíz es negativa)

AV = (Xdif * K2)2 - (DV2/(r*n)) =

3. Cálculo de R&R

255

R&R = DV2 + AV2 =

El componente de varianza para repetibilidad y reproducibilidad (R&R) se calcula combinando la varianza de cada componente.

PV = Rpart x K3 = 0.1021

El componente de varianza para las partes (PV), se calcula sobre el rango de los promedios de todas las mediciones, para cada parte.

TV = R&R2 + PV2 = 0.1142

La variación total (TV) se calcula combinando la varianza de repetibilidad y reproducibilidad y la variación de la parte.

0.05277

3. Cálculo de R&R

256

Basado en la tolerancia:

%DV = 100*DV/Ancho de tolerancia=

%AV = 100*AV/Ancho de tolerancia=

%R&R = 100*R&R/Ancho de tolerancia =

Basado en la variación Total de las Partes:

%DV = 100*DV/Variación total=

%AV = 100*AV/ Variación total =

%R&R = 100*R&R/ Variación total =

%PV = 100*PV /Variación total =

20.61

45.09

14.62

21.108

32.00

46.20

89.40

3. Cálculo de R&R

257

Ejercicios

Para un estudio de R&R 2 operadores midieron con el mismo equipo de medición 10 partes en 3 intentos cada uno,obteniendo:

Mediciones Mediciones Número de operador A de operador Bde parte 1 2 3 1 2 3 1 50 49 50 50 48 51 2 52 52 51 51 51 51 3 53 50 50 54 52 51 4 49 51 50 48 50 51 5 48 49 48 48 49 48 6 52 50 50 52 50 50 7 51 51 51 51 50 50 8 52 50 49 53 48 50 9 50 51 50 51 48 49 10 47 46 49 46 47 48