segundo laboratorio de fisica i uni

Informe de laboratorio Nº2

OBJETIVOS

Determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento rectilíneo a partir

de la gráfica “Posición vs. Tiempo”

Determinar la aceleración instantánea de un cuerpo en movimiento rectilíneo a

partir de la gráfica “Velocidad vs. Tiempo”

Comprender el concepto matemático de la derivada usando como ejemplos los

conceptos físicos de velocidad y aceleración instantánea.

Verificar la segunda ley de Newton.

Yance Aranda, Israel 2

Velocidad y aceleración instantánea

Segunda ley de Newton


PROLOGO



INSTRUMENTOS

El equipo necesario para estos experimentos son los siguientes:

Chispero electrónico

Fuente del Chispero

Tablero con superficie de vidrio y conexiones para aire comprimido

Papel eléctrico tamaño A3

Papel bond tamaño A3

Un disco de 10 cm de diámetro

Un nivel de burbuja

Dos resortes

Una regla de 1m graduada en milímetros



FUNDAMENTO TEÓRICO

El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta. Consideremos

que el eje OX de la figura 1 coincide con la trayectoria. La posición del objeto está definida

por su desplazamiento medido desde un punto arbitrario O, u origen. En prinicipio, el

desplazamiento puede relacionarse con el

tiempo mediante una relación funcional

x= f(t). Obviamente, x puede ser positiva o

negativa. Supongamos que en el tiempo t

el objeto se encuentra en la posición A,




siendo OA = x. Más tarde en el tiempo t’, se encuentra en B, siendo OB = x’ . La velocidad

promedio entre A y B está definida por

_

v = x’ - x = x ()

t’ - t t

donde x = x’ - x es el desplazamiento de la partícula y t = t’ - t es el tiempo

transcurrido. Por consiguiente la velocidad promedio durante un cierto intervalo de tiempo

es igual al desplazamiento promedio por unidad de tiempo. Para determinar la velocidad

instantánea en un punto, tal como A, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan

pequeño como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran cambios en el estado de

movimiento durante ese pequeño intervalo. En el lenguaje matemático esto es equivalente a

calcular el valor límite de la fracción () cuando el denominador t tiende a cero. Esto se

escribe en la forma

v = lim v = lim x

t0 t0 t

de modo que obtenemos la velocidad instantánea calculando la derivada del

desplazamiento con respecto al tiempo. Operacionalmente la velocidad instantánea se

encuentra observando al cuerpo en movimiento en dos posiciones muy cercanas separadas

por una pequeña distancia dx y midiendo el intervalo de tiempo dt necesario para que vaya

de una posición a otra. Entones el término “velocidad” se referirá siempre a la velocidad

instantánea.

ACELERACIÓN

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Si la velocidad permanece

constante, se dice que el movimiento es uniforme. Refiriéndonos nuevamente a la Figura 1,

supongamos que en el tiempo t el objeto se encuentra en A con una velocidad v y en el

tiempo t’ en B con una velocidad v’. La aceleración promedio entre A y B está definida por



a = v’ - v = v ,

t’ - t t

donde v = v’- v es el cambio en la velocidad y, como antes, t = t’ - t es el tiempo

transcurrido. Luego la aceleración promedio durante un cierto intervalo de tiempo es el

cambio en la velocidad por unidad de tiempo durante el intervalo de tiempo.

La aceleración instantánea es el valor límite de la aceleración promedio cuando el

intervalo t es muy pequeño. Esto es,

a = lim a = lim v ,

t0 t0 t

ó

a = dv ,

dt

de modo que obtenemos la aceleración instantánea calculando la derivada de la velocidad

con respecto al tiempo. Operacionalmente, se encuentra la aceleración instantánea

observando el pequeño cambio de la velocidad dv que tiene lugar en el intervalo muy

pequeño de tiempo, dv. Entonces cuando digamos “aceleración”, nos estaremos refiriendo a

la aceleración instantánea.

En general, la aceleración varía durante el movimiento. Si el movimiento rectilíneo

tiene una aceleración constante, se dice que el movimiento es uniformemente acelerado.

Si la velocidad aumenta en valor absoluto con el tiempo, se dice que el movimiento

es “acelerado”; pero si la velocidad disminuye en valor absoluto con el tiempo, el

movimiento se denomina “retardado”.




Concepto de fuerza

En muchos casos se observa el movimiento de una sola partícula, ya sea porque no tenemos

manera de observar las otras partículas con las cuales interactúa o porque las ignoramos a

propósito. En esta situación es algo difícil usar el principio de la conservación del

momentum. Sin embargo, hay una manera práctica de resolver esta dificultad,

introduciendo el concepto de fuerza. La teoría matemática correspondiente se denomina

dinámica de una partícula.

Designaremos el cambio con respecto al tiempo del momentum de una partícula con

el nombre de “fuerza”. Esto es, la fuerza que “actúa” sobre una partícula es

La palabra “actúa” no es apropiada ya que surgiere la idea de algo aplicado a la partícula.

La fuerza es un concepto matemático el cual, por definición, es igual a la derivada con

respecto al tiempo del momentum de una partícula dada, cuyo valor a su vez depende de su

interacción con otras partículas. Por consiguiente, físicamente, podemos considerar la

fuerza como la expresión de una interacción. Si la partícula es libre, p = constante y F = d

p/ d t = 0. Por lo tanto, podemos decir que no actúan fuerzas sobre una partícula libre.


La expresión () es la segunda ley de movimiento de Newton; pero, como podemos ver, es

más una definición que una ley, y es una consecuencia directa del principio de

conservación del momentum.

Recordando la definición () del momentum, podemos escribir la ecuación () en la forma

y si m es constante, tenemos



Se puede expresar la ecuación ( ) en palabras diciendo:

La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre

el e inversamente proporcional a su masa.

En este caso se puede notar que la fuerza tiene la misma dirección que la aceleración.

Por la ecuación ( ) apreciamos que si la fuerza es constante la aceleración, a = F / m, es

también constante y el movimiento es uniformemente acelerado. Esto es lo que sucede con

los cuerpos que caen cerca de la superficie terrestre: todos los cuerpos caen hacia la tierra

con la misma aceleración g , y, por consiguiente, la fuerza de atracción gravitacional de la

tierra, llamada peso, es

W = m g

En el procedimiento anterior se ha demostrado matemáticamente la segunda ley,

esta demostración es posible hacerla en la actualidad, sin embargo Issac Newton no la

dedujo de esta forma, sino a través de generalizaciones de observaciones experimentales

del movimiento real de cuerpo materiales, y de cómo las fuerzas aplicadas afectan a esos

movimientos. En consecuencia, son leyes naturales que describen el comportamiento del

mundo externo, mas que axiomas matemáticos.

Debe notarse que la segunda ley de Newton contiene la afirmación crucial de cómo

se mueven los objetos cuando se le somete a la acción de fuerzas. Por tanto en cierto

sentido la segunda ley ocupa una posición de importancia especial en tanto que la primera y

la tercera sirven en cierta medida para ampliar la segunda.



DATOS

t X Y0 10.5 10.61 11.8 12.92 13.6 14.63 14.5 15.74 15.8 16.75 18.2 196 20.9 21.37 23.8 248 25.9 25.49 26.9 26.2




10 27.2 26.911 29.7 28.412 31.1 28.513 32.6 27.914 34.9 26.315 36.7 24.216 37.6 22.417 39 20.418 37.3 18.319 36.2 17.120 35 15.421 34.2 14.622 32.1 13.923 29 12.824 26 12.225 23.1 1226 20.2 12.427 17.5 13.228 15.2 14.429 13.6 1530 10.7 16.131 7.6 17

Objeto Masa(g)

Vaso 11.4masa 1 49.7masa 2 49.5masa 3 49.7masa 4 199.2




CUESTIONARIO

1.1 Defina un sistema de referencia, es decir, dibuje un sistema de coordenadas XY




5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

5

10

15

20

25

30

TRAYECTORIA DE LA PARTICULA

Valores de X

Va

lore

s d

e Y

1.2 Respecto a este sistema de referencia y al instante tomado como t=0 construya la

función {(t,x(t))}, para ello llene la segunda columna dela tabla 1.

0 5 10 15 20 25 30 35

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

f(x ) = 0.000317968791824549 x⁴ − 0.0220351477379304 x³ + 0.377493384286167 x² − 0.133758351277621 x + 11.6610628342246

FUNCIÓN DE x(t)

Tiempo (ticks)

x(t

)

1.3 Calcule la componente x de la velocidad en los instantes t=6, 10 y 14 ticks o los que

indique el profesor. Para ello llene la columnas 3, 4 y 5 de la tabla 1; grafique las funciones

{(t,Vm(6,t))}, {(t,Vm(10,t))}, {(t,Vm(14,t))} y obtenga los respectivos limites.

X {(t,Vm(6,t))} {(t,Vm(10,t))} {(t,Vm(14,t))}0 10.5 1.733 1.670 1.7431 11.8 1.820 1.711 1.7772 13.6 1.825 1.700 1.775



3 14.5 2.133 1.814 1.8554 15.8 2.550 1.900 1.9105 18.2 2.700 1.800 1.8566 20.9 2.279 1.575 1.7507 23.8 2.900 1.133 1.5868 25.9 2.500 0.650 1.5009 26.9 2.000 0.300 1.60010 27.2 1.575 2.016 1.92511 29.7 1.760 2.500 1.73312 31.1 1.700 1.950 1.90013 32.6 1.671 1.800 2.30014 34.9 1.750 1.925 0.79315 36.7 1.756 1.900 1.80016 37.6 1.670 1.733 1.35017 39 1.645 1.686 1.36718 37.3 1.367 1.263 0.60019 36.2 1.177 1.000 0.26020 35 1.007 0.780 0.01721 34.2 0.887 0.636 -0.10022 32.1 0.700 0.408 -0.35023 29 0.476 0.138 -0.65624 26 0.283 -0.086 -0.89025 23.1 0.116 -0.273 -1.07326 20.2 -0.035 -0.438 -1.22527 17.5 -0.162 -0.571 -1.33828 15.2 -0.259 -0.667 -1.40729 13.6 -0.317 -0.716 -1.42030 10.7 -0.425 -0.825 -1.51331 7.6 -0.532 -0.933 -1.606

Calculo de los limites:

Tenemos aproximadamente x(t) = 0.0003t4 - 0.022t3 + 0.3775t2 - 0.1338t + 11.661

Calculamos la velocidad instantánea para cada uno

x'(t)=Vinst= 0.0012t3 – 0.066t2 + 0.755t – 0.1338

Para t=6 Vinst= 2.279





0 5 10 15 20 25 30 35

-1.000

-0.500

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

VELOCIDAD MEDIA EN X CON t=6

Tiempo (ticks)

Velo

cid

ad

med

ia

0 5 10 15 20 25 30 35

-1.500

-1.000

-0.500

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

VELOCIDAD MEDIA EN X CON t=10

Tiempo (ticks)

Velo

cid

ad

med

ia



0 5 10 15 20 25 30 35

-2.000

-1.500

-1.000

-0.500

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

VELOCIDAD MEDIA DE X CON t=14

Tiempo (ticks)

Ve

loc

ida

d m

ed

ia

1.4 Construya la función {(t,y(t))}, para ello llene la segunda columna dela tabla 2.

0 5 10 15 20 25 30 35

0

5

10

15

20

25

30

f(x ) = 0.000225722430745987 x⁴ − 0.00790853225707314 x³ − 0.0499693472545249 x² + 2.75705270909051 x + 9.23402406417112

FUNCIÓN DE y(t)

Tiempo (ticks)

y(t

)

1.5 Indique la componente y de la velocidad en los instantes t=6, 10 y 14 ticks

Tenemos aproximadamente y(t) = 0.0002t4 - 0.0079t3 - 0.05t2 + 2.7571t + 9.234

Calculamos la velocidad instantánea para cada uno

x'(t)=Vinst= 0.0008t3 – 0.0237t2 – 0.1t + 2.7571





Para t=14 Vinst= -1.0929

1.6 Transforme los valores de velocidad obtenidas a cm/s. Con estos valores construya para

cada instante el par ordenado (Vx(t),Vy(t)).

T (Vx(t),Vy(t))6 (91.176 , 59.068)

10 (80.648 , 7.848)14 (31.72 , -43.716)

Presente la curva de calibración de cada resorte.

Para obtener la constante del resorte, k, medimos diferentes elongaciones de cada resorte, utilizando las siguientes masas:

Objeto Masa(g)

Vaso 11.4masa 1 49.7masa 2 49.5masa 3 49.7masa 4 199.2

El resultado de medir las elongaciones de cada resorte se muestra a continuación:

Masa(g) Peso (N)

Elongación Elongación

resorte largo (cm)

resorte corto (cm)

0 0 13.5 11.749.7 487.06 13.6 12

110.8 1085.84 15.8 13160.3 1570.94 16.4 14.2260.3 2550.94 20.1 16.2

310 3038 21.4 18.2



Curva de calibración del resorte corto

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 5 10 15 20 25

Elongación (cm)

Pe

so

(N

)


359.5 3523.1 23.3 19.2



Haciendo ajuste por mínimos cuadrados:

Para el resorte largo

nº x y xy x21 13.5 0 0 182.252 13.6 187.06 2544016 184.963 15.8 1085.84 17156272 249.644 16.4 1570.94 25763416 268.965 20.1 2550.94 51273894 404.016 21.4 3038 65013.2 457.967 23.3 3523.1 82088.23 542.89

Suma 124.1 11955.88 243839028 2290.67

Sabemos: f(x) = a0 + a1x, al resolver:

De estas ecuaciones, al reemplazar las

sumas halladas en el cuadro, obtenemos a0 = -4248.06 y a1 = 338.37. Este último valor es la pendiente de la recta, equivalente a k, por lo tanto kl = 338.37 N/cm.

Para el resorte corto

nº x y xy x21 11.7 0 0 136.892 12 487.06 5844.72 1443 13 1085.84 14115.92 1694 14.2 1570.94 22.307.348 201.645 16.2 2550.94 41.325.228 262.446 18.2 3038 55291.6 331.247 19.2 3523.1 67643.52 368.64

Suma 104.5 12255.88 206.528.336 1613.85

Similarmente al caso anterior, se halla que a0 = -4786.8 y a1 = 437.92. Entonces, se obtiene que k2 = 437.92 N/cm.


y a0∑i=1

n

xi+a1∑i=1

n

x i2=∑

i=1

n

x i yina0+a1∑i=1

n

xi=∑i=1

n

yi


CONCLUSIONES

Cuando calculamos las medidas de las posiciones, velocidades y aceleraciones nos

damos cuenta que hay una diferencia con la parte teórica.

Si los experimentos serían realizados con rozamiento sería complicado calcular las

velocidades y aceleraciones puesto que la fuerza de rozamiento no es uniforme, por eso

es que las realizamos con el menor rozamiento posible.

Podemos notar que podemos tomar las velocidades de x e y como si fueran

independientes.

Debido a este laboratorio se ha podido demostrar experimentalmente lo que la teoría

nos dice, acerca de la relación proporcional entre la fuerza, masa y aceleración,

haciendo notar que al graficarlas tendremos una mejor visión de la relación exacta que

hay entre sus magnitudes. Cabe destacar la importancia que es sabe que cualquier

fuerza resultante que actúe en un cuerpo que tenga masa va a presentar aceleración.





Mientras mayor sea la distancia que recorra la partícula en estudio, tantos más

exactos serán los cálculos de velocidad y aceleración instantánea.

En todos los casos donde se observe la presencia de una fuerza, se dice que existe

una interacción entre los cuerpos interactuantes, es decir, el movimiento de un cuerpo

es en respuesta a la interacción entre ellos.

El dispositivo usado en el experimento (discos de metal) permiten eliminar el

rozamiento de los cuerpos permitiendo su movimiento sobre cualquier superficie plana,

debido a que se le inyecta aire a presión que hace que este se levante a menos de 1 mm

de altura evitando el contacto del disco con la superficie.

El experimento permite relacionar la fuerza aplicada al disco con la aceleración 'a'

que adquiere.

En el gráfico de 'a' vs 'F' es una línea recta con una pendiente, luego según la

formula de la segunda ley de Newton si existe una aceleración o, entonces la fuerza

debe ser cero, pero experimentalmente se prueba que puede existir fuerzas aunque no

haya aceleración, que existe el rozamiento que no permite mover el cuerpo dando una

aceleración cero.

Se concluye que la variación del tiempo es siempre constante y es hallada mediante

una regla de tres, en donde participan una cantidad de impresiones tomadas en un

determinado tiempo, ahora esto será mas pequeño o mas grande dependiendo de la

frecuencia en que se encuentre el instrumento.



OBSERVACIONES Y

RECOMENDACIONES

En esta experiencia se puede observar lo siguiente:

La fuerza es directamente proporcional a la aceleración.

La aceleración es inversamente proporcional a la masa.

Al momento de determinar la fuerza resultante ejercida por los resortes tanto el

resorte "A" como el resorte "B" ejerce de antemano una fuerza inicial, que

teóricamente no debería existir por considerar DX = 0 pero que sin embargo se da

a consecuencia del colchón del aire utilizado para hacer que el rozamiento sea

nulo, que hace que el disco quiera moverse en diferentes direcciones, por lo tanto,

es necesario para el cálculo de la fuerza total es necesario sustraer dicha fuerza

inicial a la fuerza resultante.

Mientras el chispero electrónico este operativo evite tocar el papel eléctrico, y el

disco metálico, para poner el disco en movimiento tómelo del mango de madera.



Durante este experimento se ha usado gravedad g = 9.8m/s2

La fuerza tomada del chispero fue de 40 Hz= 0.025 s.

Se observa que la frecuencia del chispero es inestable ya que se realiza el conteo

de puntos en tiempos diferentes por 3 veces y se comprobó que cada vez la

frecuencia era diferente para el mismo chispero, por lo cual asumimos la

frecuencia de 40Hz ya que esta presentaba puntos con mayor claridad y a

distancias constante aproximadamente.

A pesar de haber escogido esta frecuencia podemos observar claramente que no

nos permite hallar teóricamente la masa experimental.

Al hallar la fuerza resultante observamos que existe un exceso en ésta.

Una de las causas de este exceso se debe a que al momento de soltar el disco se

le dio un pequeño impulso, cual provocará una fuerza que aumentará el módulo de

fuerza ejercida por el resorte.

Verificar que al recoger los instrumentos a usarse estén en buen estado de

funcionamiento ya que puede haber instrumentos que estén dañados y que no

funcionen bien.

Pesar en la balanza analítica las masas de las pesas para así evitar los errores y

llegar a una mayor precisión de los resultados.

Se debe nivelar bien la plataforma antes de iniciar el experimento para así evitar

que el disco no se desplace. Ya que es necesario que se encuentre en equilibrio.



Al instalar todo el sistema de trabajo, verificar que el chispero que es un

interruptor de corriente se encuentre funcionando correctamente.

Es recomendable que el ángulo entre el hilo que va desde el disco a la polea sea

lo mas mínimo posible o también puede ser recto para evitar así que se formen

fuerzas

Se debe tratar que la polea a usarse debe ser lo mas lisa posible para que el hilo

se desplace con facilidad y esto hace que la fuerza varíe y que este a una distancia

mínima de la esquina de la mesa de trabajo y a que la tensión varíe.

Es recomendable elegir un tramo de puntos impresos por el disco donde no se

repitan tan seguido, sino que exista una distancia casi igual en los puntos para

obtener el espacio y la velocidad.

Evitar que el papel carbón se encuentre parchado puede existir una anomalía ya

que a la hora que el disco pasa se puede demorar y darnos así un gran margen de

error y pueda saltar el disco.

Evitar que la manguera que esta conectada al disco no se encuentre enroscada ya

que evitaría que ingrese aire y evita el desplazamiento del disco.


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