7/25/2019 Segunda Etapa Pregunta 01

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2. SEGUNDA ETAPAEstudios de casos

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CASO 1: Vibraciones en unedifcio de una sola planta.

A modo de introduccin, comenzamos modelando las vibraciones en un edifcio deuna sola lanta. En cual!uier caso, cuando se inicia la cat"stro#e, el edifcioe$erimenta e$cesiva de%e$in lateral, causando da&o ermanentemente a laestructura. Es mu' di#(cil modelar los detalles del movimiento de un edifcio. Sinembar)o, el modelo de edifcios como estructuras idealizadas consta de isos

relativamente esados, e$tensos ' aredes el"sticas. Teniendo en cuenta cadalanta de un edifcio con la masa untual situada en el centro de masa del iso*f)ura +, la analo)(a con el sistema masa-resorte-amorti)uador del sistema*f)ura 2 es clara.

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as aredes roorcionan #uerzas el"sticas !ue act/an endireccin ouesta a la direccin del movimiento cuando cadalanta se deslaza de su osicin de e!uilibrio. a ri)idez totaldel edifcio deende de las ri)ideces de las artes de laestructura.

a rimera tarea es derivar la ecuacin de movimiento ara un

edifcio de una sola lanta. A continuacin e$aminaremosdiversas vibraciones libres ' amorti)uadas de edifcio.0ontinuando, vemos los e#ectos de una #uerza sinusoidalconsiderando tanto la ausencia ' resencia de amorti)uacin.0on una comrensin de comortamiento b"sico del edifcio deuna sola lanta, se rocede en edifcios de varios isos. Ambas

vibraciones #orzadas ' no #orzadas son consideradas. Por /ltimo,uno de los isos del edifcio se modela or el comortamientoreal del edifcio a ser observado.

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a) Ignorando los eectos de amortiguacin (omitir los amortiguadores en lasfguras 1 !)" muestre #ue os argumentos est$ndares nos conducen al problemacon %alor inicial (&VI) para el despla'amiento del centro de masa del teco.

mu * +u ,-" u(-),uo" u(-),u1

as constantes m + representan a masa total del teco la rigide'general de las paredes" respecti%amente.

as constantes m ' 1 reresentana masa total del teco ' la ri)idez)eneral de las aredes,resectivamente

El olinomio caracter(stico,corresondiente a la ecuacindi#erencial4u55 6 1u 78 es P*r7 mr2 6 1 7 8' sus resectivas ra(cesr+7 ' r27 de donde el sistema#undamental de solucin )enerales9

u 7Aora allamos las constantes 0+' 02:emlazando el valor u*87uou*8 7 7uoEntonces 0+7uo,

Aora allamos la rimera derivada dela solucin )eneral

u;7:emlazamos el valor u

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b) /&uede decir usted cmo el edifcio reacciona

a di%ersas condiciones iniciales0El edifcio reacciona a condiciones iniciales a trav>s de laecuacin cuando la ecuacin u*8 7 uo , la roorcin deldeslazamiento var(a con resecto al tiemo.

c) /&uede suponer si el despla'amiento inicial uo

la %elocidad inicial u1 son dierentes de cero0Si el deslazamiento inicial ser" uo un valor distinto decero ' el valor de u+ ser" cero cuando el tiemo iniciacon cero, or consecuente u+ toma valores con resectoal tiemo.

d) esde #ue tiene unidades de tiempo" aga t ," u, uo 2n el &VI de (1) redu'ca al &VI nodimensional

33* , -4 (-),14 3(-),%, onde la deri%ada escon respecto a la %ariable .

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Del P=? @ + se tiene lo si)uiente

u 7

:eemlazando datos se obtiene lo si)uiente,

cuando t 7, u 7 uo'9

u 7

u 7

uo' 7

' 7

' 7

:esolviendo la ecuacin di#erencial ordinaria9El olinomio caracter(stico de la ecuacin di#erenciales '

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Aora allamos las constantes 0+ ' 02

:eemlazando el valor '*87+

'*877+Entonces 0+ 7 +, aora allamos la rimera derivada de la solucin )eneral

'B 7

:eemlazamos el valor '

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e) 5ultipli#ue la 2O dada en (!) por 6" obtenga

onde

Se e7ige a los estudiantes interpretar este resultado anal8ticamente (laderi%ada de la energ8a es cero)" gra8#uela a tra%9s de un diagrama depase (c8rculo centrado en el origen)" #ue les permite concluir #ue laenerg8a se conser%a en el sistema. ote #ue para este sistema particular"la energ8a es proporcional al cuadrado de la distancia desde el origenasta la traectoria. 2s $cil %er el cambio de la energ8a se almacenael$sticamente por el resorte" cuando ; es cero" toda la energ8a escin9tica.

Demostracin9

Elevando al cuadrado9Elevando al cuadrado la solucin de la ecuacin di#erencial

:emlazando en la ecuacin

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Entonces la solucin es9

D?AG:A4A DE CASE

ANA?AND A G:AC?0A9

a ener)(a es constante *sobre la tra'ectoria ' derivada de la tra'ectoria,

Es un lu)ar )eom>trico

Tiene la #orma de una circun#erencia de radio 0 en el lano