SECUENCIA 2

Los números decimales, ¿son otra clase de números?

Introducción

En esta secuencia hemos priorizado algunas cuestiones acerca de los números

decimales que los estudiantes han comenzado a conocer y sistematizar en los

dos años anteriores, para continuar en la escuela secundaria con el

establecimiento de relaciones entre los diferentes tipos de escrituras:

fraccionarias, decimales, porcentuales…

Se pretende que al finalizar el 6° grado los estudiantes hayan tenido la

oportunidad de enfrentarse a problemas, extra o intramatemáticos, que les

permitieran reconocer, escribir y comunicar números decimales, producir

argumentos para justificar equivalencias, intercalar números entre otros dos,

elaborar estrategias para comparar decimales y producir conclusiones útiles para

validar procedimientos o resultados.

Algunos autores llaman decimales a cualquier número real expresado en forma

decimal, es decir a todo número con coma. En este trabajo sostenemos el criterio

que reconoce como números decimales únicamente a los números racionales que

tienen como representante una fracción decimal.1 De este modo diferenciamos los

números decimales de las expresiones decimales de un número, que también

puede ser real.

Si bien las fracciones surgen con las primeras civilizaciones, los números decimales

aparecen en el siglo XVI, cuando Stevin2 en su obra La Disme, sugiere utilizar un

criterio de posición para escribir las fracciones decimales, que consiste en

colocar una coma o un punto a la derecha de las unidades y seguidamente

escribir los numeradores de las fracciones en décimos, centésimos, milésimos…,

colocando ceros cuando faltan unidades de algún orden.

Los números decimales serán considerados, entonces, como otra forma de escritura, así

por ej., la expresión 0,25 designa un número decimal que también se puede escribir

en forma de fracción que a su vez es equivalente a la fracción irreducible .

Son tres formas distintas de expresar un número decimal particular.

2

Para el tratamiento de este tipo de números los problemas con dinero

constituyen un contexto familiar para los estudiantes y permiten muchas veces

“la entrada” al estudio de los decimales. Muchas veces los conocimientos que

tienen disponibles los niños permiten anticipar y controlar resultados aunque aún

no dominen ciertas relaciones matemáticas. Hoy nos encontramos con la dificultad

que las monedas menores al peso han quedado en desuso, si bien aún son legales en

los precios o pagos no son utilizadas. Por otra parte el uso de decimales en el

contexto del dinero tiene ciertos límites. Así por ejemplo entre 1,99 y 2 no existe

otro precio, lo que no permite “hacer visible” que entre dos racionales hay

infinitos números racionales.

Por esta razón se plantean situaciones del contexto de la medida que permiten el

uso de los milésimos y también problemas descontextualizados, es decir problemas

intramatemáticos.

Si bien hemos decidido que los números racionales se estudien a partir de otra

forma de escritura de las fracciones decimales, es importante que su estudio se

profundice al analizar el valor posicional y las relaciones entre los diferentes

órdenes. Se proponen situaciones en las que hay que discutir sobre la composición de

un número destacando el valor posicional de cada cifra. Por ejemplo: ¿Qué número

se forma con 0,1; 0,1; 0,001; 0,001; 0,001 y 0,01?

También en las situaciones que planteen establecer relaciones de equivalencia y

orden será necesario considerar el valor posicional, para desechar ideas como que la

cantidad de cifras decimales determina si un número es mayor a otro. Así por

ejemplo 3,5 no es menor que 3,222 aunque 5 es menor que 222.

Desde esta propuesta se propone un trabajo centrado en la construcción de

significados para los decimales, su comparación y sus diversas representaciones, así

como la transformación de un número en otro. Se plantean diferentes contextos

intra y extramatemáticos y algunos juegos con la intencionalidad que se

conviertan en auténticos desafíos intelectuales.

Los problemas propuestos tienden a que los estudiantes pongan en juego distintos

tipos de tareas del trabajo matemático como: tomar decisiones, justificar,

validar, resolver, comunicar, formular preguntas…, pero con la convicción de

que la apropiación de conceptos está íntimamente relacionada con las

interacciones que se generen en el aula y 1con la intervención del docente.

1 Criterio que sostienen J. D. Godino, Socas(2001), Centeno (1998)

3

Actividad 1

Un cuadrado unidad

Organización de la clase: se propone trabajar en parejas

Materiales: cuadrículas de 10 x 10 cuadraditos

En esta actividad les proponemos expresar relaciones entre los cuadraditos y una cuadrícula de

10 x 10, que consideraremos como unidad.

1. Para pensar y responder sin pintar:

a. ¿Cuántos cuadraditos pintarían si les piden representar las fracciones 1

4y

1

5?

b. ¿Es cierto que dos columnas de cuadraditos representan la fracción 2

5 del cuadrado unidad?

c. Discutan si es posible escribir otra fracción que represente la misma parte que 2

5.

d. ¿Cuántos cuadraditos representan2

10 del cuadrado unidad?

2. Ahora a pintar:

a. Representen en el cuadrado dibujado las fracciones 1

10 y

1

100

b. Representen también la fracción 14

100y las fracciones

12

100+

3

10

3. Para discutir con tu compañero y responder:

a. ¿Cuántos centésimos hay en un cuarto de la unidad? ¿y en 1

5 de la unidad?

b. ¿Cuántos décimos hay en treinta centésimos?

c. ¿A qué es igual la mitad de un décimo? ¿Cómo se escribe como fracción decimal?

d. ¿Podrían representar1

1000? ¿Es necesario hacer otras divisiones en el cuadrado unidad?

e. ¿Cuántos milésimos hay en una unidad? ¿Y en 1

2 unidad?

f. Analicen qué fracción está representada en cada caso. Escríbanla de dos maneras diferentes

4

Actividad 2

¡A jugar! Pintando el cuadrado unidad2

Materiales: un cuadrado unidad de 10 x10 cuadraditos por jugador, dos lápices de distinto

color para cada jugador y un mazo de 15 cartas con fracciones decimales, que

figuran en los recortables.

Organización de la clase: se juega en parejas

Reglas de Juego:

Se mezclan las cartas del mazo y se colocan boca abajo en la mesa.

Para decidir quién comienza, cada jugador saca una carta, el que saque la fracción mayor comienza

el juego.

Por turno cada uno saca una carta y representa la fracción que le tocó en su cuadrado unidad con el

color elegido.

Gana la partida el jugador que pinte primero todo el cuadrado unidad o al que le hayan quedado la

menor cantidad de cuadraditos sin pintar cuando se terminen las cartas.

Si alguno de los jugadores recibe una carta que no se puede representar porque se pasa de la

unidad, este jugador debe abandonar el juego y entonces gana su contrincante.

Para después de jugar

Se propone que resuelvan en forma individual

¿Es verdad que si ya pintaste5

10 y te toca la carta

70

100 te pasás del entero? Explica por qué

Fede dice que le tocaron las tarjetas4

10 ,

50

100 y que con

1

10 completa la unidad ¿Tiene

razón? Justifica tu respuesta

2 Adaptado de Hacer Matemática en 6°. Cecilia Parra Irma Saiz Editorial Estrada 2011ª)

Para recordar

Las fracciones que tienen

como denominador la unidad

seguida de ceros (10, 100,

1000….) se llaman fracciones

decimales.

Para recordar

5

Melina jugaba con Ariel. Ariel dice que con las tarjetas 150

1000

70

100 y

1

10 completa el cuadrado

unidad, Melina dice que no, que le falta ¿Quién creen que tiene razón? Si están de acuerdo con

Melina escriban cuánto le falta. ¿Hay alguna carta que le sirve?

Si ya pintaron750

1000 y

1

10 ¿Cuánto le falta para completar el entero? ¿Qué carta necesita

para completar la unidad?

Tarea

Responder:

a) ¿Cuántos décimos hay en 70

100? ¿Y en

500

1000?

b) Completar con la fracción que falta para que el cálculo sea igual a 1

23

100 +

54

100 +

1

10 + = 1

Actividad 3

Juego de comunicación: ¿Qué parte?

Materiales: cuadrículas de 10 x 10 y papel para escribir mensajes.

Organización de la clase: La clase se divide en un número par de grupos con dos o tres

integrantes, que actuarán como emisores primero y como receptores luego.

Reglas de juego:

Cada equipo recibe una tarjeta distinta con la representación gráfica de una fracción,

como las que siguen:

a) ¿Cuántos décimos hay en tres unidades?

b) ¿Cuántas unidades hay en 60

10?

c) ¿Cuántos milésimos hay en dos unidades?

d) ¿Cuántos centésimos hay en 5 décimos?

Para seguir

pensando:

6

Cada equipo tiene que escribir un mensaje con la expresión fraccionaria que corresponda

a la representación que recibió.

Cuando todos los equipos terminan de escribir el mensaje, cada uno lo entrega al equipo

asociado para que la represente nuevamente en forma gráfica y además escriba la

expresión decimal.

Luego analizan entre los equipos si la representación gráfica realizada por el equipo

receptor es la misma o es equivalente a la que recibió el equipo emisor al inicio de la

jugada.

En caso de error, emisores y receptores discutirán si la causa está en la escritura

fraccionaria del mensaje emitido o en la representación gráfica de los receptores. Además

podrán discutir si la escritura decimal es la traducción de la fraccionaria.

Para después de jugar

Analizá y resolvé estas situaciones

1. En una cuadrícula representá lo que dicen estos mensajes:

a)2

10 +

1

4b) 0,25 +

15

100

7

2. Escribí de tres maneras diferentes el número: 3 décimos más 18 centésimos.

3. Benja representó en la cuadrícula una fracción decimal, quiso escribir esa

representación de distintas maneras lo hizo en forma incompleta. Escribí en los espacios

en blanco lo que falta.

4. ¿Cuáles de las siguientes escrituras corresponden a mil trescientos cinco milésimos?

Decidí cuáles son correctas. Explicá por qué

a)1, 305 b) 1305,1000 c)1305

1000d) 0, 1305 e)1300,005

Tarea

Escribí estos números:

a) Ocho enteros, cinco décimos

b) Dos enteros, siete décimos y un centésimo

c) Cuatro enteros, dos centésimos

d) Quince enteros, doce milésimos

…….

4Setenta y cinco…………….

… …

20

…….

100Siete décimos y cinco……… 0,……

Si una unidad se divide en 10 partes cada parte

es un décimo. Se escribe 0,1 =1

10.

Un centésimo es una de las cien partes en que se

dividió la unidad. Se escribe 0,01= 1

100.

Si la unidad se divide en 1000 partes, cada parte

es un milésimo 0,001= 1

1000.

Para recordar

8

Actividad 4

Juego: Cartas y números

Materiales: Un mazo de 30 cartas (diez de 0,1, diez de 0,01 y diez de 0,001), una tabla por

jugador como la siguiente: Número decimal Puntaje

Organización de la clase: Se divide la clase en parejas

Reglas de Juego:

Cada pareja recibe un mazo de cartas y deciden quién reparte las cartas. El jugador que

se encuentra a la derecha del que reparte comienza el juego.

Cada jugador recibe cinco cartas y una tabla para anotar.

El juego consiste en armar un número con las cinco cartas y escribirlo en la tabla.

El que escriba el número mayor gana esa ronda y se anota 2 puntos. Si hay empate

porque escribieron el mismo número obtienen un punto cada uno.

Se juegan tres rondas y gana el que obtiene mayor cantidad de puntos.

Partidas simuladas Para después de jugar, sin usar las cartas

Analicen las situaciones y respondan:

a) ¿Con qué cartas armarías los siguientes números: 0,3; 0,04; 0,002; 0,24; 0,135?

b) Ariana usó cinco cartas 0,01 y cinco cartas de 0,1 ¿Qué número armó?

c) ¿Qué cartas usarías para armar el 1,01 de dos maneras diferentes? ¿Y el 1,1?

d) ¿Qué número se arma con todas las cartas del mazo?

e) Para anotar un número, Mayra sumó tres veces 0,001, dos veces 0,1 y cuatro veces 0,01

¿Qué número anotó?

Tarea 1. Usando solamente los decimales 0,1, 0,01 y 0,001 ¿qué cuenta harían para que el

resultado sea 0, 345?

2. Si en el visor de la calculadora figura el número 2,346 ¿qué cálculo hay que hacer en lamáquina para que en el visor aparezca el número 2,306 sin borrar? ¿Y para que aparezca 2, 046?

9

10

Actividad 5 Problemas para pensar

Analicen las situaciones y resuelvan

1. Javier, Cecilia y Mariela midieron el largo de su propia carpeta. Todos utilizaron el metro

como unidad y expresaron los resultados con fracciones.

¿Cuál de los estudiantes tiene la carpeta más larga? ¿Por qué?

2. Marita la dueña de la mercería tiene estas piezas de cinta. ¿Cuál de ellas mide 1 metro y

4 milímetros?

3. Roberto, el carpintero y su ayudante, están construyendo una escalera. Roberto dice al ayudante, alcanzame el tablón de 14 metros y ocho centímetros. ¿Cuál de los tres tablones le tiene que alcanzar?

Yo medí 2

5 m A mí me dio

2

10+

25

100 m

Mi carpeta

mide 35

100 m

14,8 m 14,08 m 14,80 m

1,40 m 1,04 m 1,004 m

4. Fede compró caramelos en el kiosco y pagó justo usando estas monedas

¿Cuál de estos precios pagó?

Tarea Para dormir

Carolina y su hermana Agustina conversan acerca de las camas de su

habitación. Carolina dice que el ancho de su cama es 1m 5 dm y Agustina dice

que la suya es más ancha porque mide 1,5 m. ¿Es cierto lo que dice Agustina?

¿Por qué?

Actividad 6

¿Estamos en problemas?

Problemas para analizar 1. Cuando la profesora preguntó cuánto le falta a 6,90 para llega a 10

¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

Para mí lo que

falta es 3,01

Yo pienso que lo

que falta es 3,10 Yo creo que

es 3,19

Marcos

Ale

Noelia

11

2. Para discutir en el grupo y responder:

¿Cuánto le falta a 3,99 para llegar a 4?

¿Cuánto le falta a 3,0099 para llegar a 4?

¿Cuánto le falta a 0,2 para llegar a 1?

¿Cuánto se pasa el 2 del número 1,79

¿Cuánto se pasa el 1 del número 0, 019?

3. Emi tenía que decidir qué números de la lista están más cerca de 3. Él dice que hay

dos. ¿Les parece que tiene razón? ¿Por qué?

2,98 2,9 2,99 3,01 3,1

¿Cuál es el número entero que está más cerca de 6,5999? ¿Es único?

Tarea

Tarea

Para resolver sin la calculadora

Si en el visor de la calculadora está el número 5, 627 ¿qué cálculo hay que hacer para

que aparezca 5,027 sin borrar?

Si en el visor de la calculadora está el número 9,148 ¿qué cálculo que habría que hacer

para que aparezca 9,108?

Actividad 7 Juego de la Guerra de personajes

Materiales: Un mazo de veinte cartas de personajes que se encuentran en el anexo.

Organización de la clase: Se juega en parejas. Se reparten 10 cartas para cada jugador

Para seguir

pensando:

12

Reglas de juego

Antes de comenzar los integrantes de la pareja deciden quién reparte.

Cada jugador hace una pila con sus cartas sin mirarlas. Va a comenzar el juego el

jugador que no repartió.

En cada vuelta cada jugador toma la carta superior de su pila y la mira pero no se la

muestra al adversario.

El jugador al que le toca comenzar el juego, da vuelta la carta y elige una característica,

la que considere mejor de su carta y “canta”, por ejemplo: “peso, 118,300Kg”.

A continuación, el otro jugador canta el peso correspondiente a su carta. El que tiene la

carta con la medida mayor para la magnitud elegida gana y se lleva las dos cartas. Por

ejemplo, si el peso en la primera carta del adversario hubiera sido”87,5 kg”, gana el

primero y se lleva las dos cartas.

Los jugadores eligen alternativamente qué magnitud comparar.

Si se produce empate porque las medidas para la magnitud elegida son equivalentes, se

declara la guerra. Quien advierte el empate dice “canto guerra pri” y elige la

característica que competirá.

Se colocan sobre la mesa las cartas que empataron; entonces dan vuelta una segunda

carta que será la que competirá para desempatar y se comparan las medidas respectivas

y el que tiene la medida mayor se lleva las cuatro cartas.

El juego continua hasta que se acaban las cartas de cada uno.

Gana el jugador que obtiene más cartas.

Para después de jugar

Organización de la clase: realizar en forma individual

1. Cuando Ale y Florencia jugaban a la guerra de personajes, hubo discusiones:

Florencia: “Altura: 1, 77 m”

Ale: “Peso 1,770 kg”

Florencia: “Canto guerra pri”

Ale: “¡No estoy de acuerdo! ¡Gané yo! Porque 770 es mayor que 77”

¿Qué opinan? ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

13

2. Durante algunas vueltas, el juego se mantuvo tranquilo. Hasta que de pronto… Ale dijo:

“Peso 125,8 kg” y Flor leyó su carta: “125,80 kg” ¿Les parece que alguno de ellos cantó

“guerra pri”? ¿Por qué?

3. En otra vuelta hubo guerra. Ale cantó “guerra pri” y leyó: altura: 1,50 m ¿Qué altura

podría tener Florencia en su carta? Escribe la menos dos alturas posibles.

4. A esta altura del partido, Ale y Florencia estaban convencidos de que para jugar a esta

guerra de personajes había que saber bastante de decimales. Siguieron jugando hasta

que apareció un nuevo motivo de desacuerdo: Florencia: “Altura: 1,63 m y Ale dice 163

10

de m.

Actividad 8

A ordenar pesos y alturas

1. a) Julieta ordenó estas cartas según las pesos de los personajes de mayor a menor.

¿Están de acuerdo?

Peso:112,505 kg

Altura: 1,570 m

Largo de brazos: 0,77 m

Peso: 112,70 kg

Altura: 1,68 m

Largo de brazos: 0,56 m

Peso: 112,07 kg

Altura: 1,64 m

Largo de brazos: 0,69 m

Peso: 112,05 kg

Altura: 1,94 m

Largo de brazos: 0,780 m

b) Ordenen las mismas cartas según las altura de los personajes de menor a mayor.

c) Clarita discute con los amigos acerca del largo de brazos de dos personajes: Yoda y

Chewbacca. Ella dice que Yoda tiene más cortos los brazos.

Si a las cifras decimales de un

número decimal se le agregan ceros

se obtienen números decimales

equivalentes.

Para recordar

14

Yoda

Largo de brazos: 0,6 m

Es decir que 0,6 < 0,56

¿Tiene razón? ¿Por qué?

Chewbacca

Largo de brazos: 0,56 m

2. Cuando Joaquín y Any jugaban con las cartas de personajes, ocurrió esta discusión:

Joaquín: “Altura: 1, 7 m”

Any: “Peso 1,68 kg”

Joaquín: “Canto guerra pri”

Any: “¡Qué guerra ni guerra! ¡Gané yo! Tengo 1 con 68 y vos 1 con 7”

¿Qué opinan? ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

Tarea

1. Ordena estos números de mayor a menor

a) Doce enteros, cinco centésimos b) 12,01 c) 12, 30 d) 100

8e) 12,1 f) Doce enteros, cinco

décimos

2. a. Víctor tarda 11,5 segundos en recorrer 100 metros llanos y Manuel, 11,48 segundos.

¿Es cierto lo que dice Lucía: -“Manuel tarda más porque 48 es mucho más grande que

5”?

b. Alejandra dice que 9,320 es mayor que 9,32 porque tiene más cifras. ¿Tiene razón?

El signo < se lee: “...es menor que..”

Y el signo > se lee; “…es mayor que…” Para recordar

15

Actividad 9

Adivinar números

Organización de la clase: En parejas

Analicen lo que pasó cuando jugaron a adivinar números y resuelvan.

1. Juan Manuel y Sofía jugaban a adivinar números. Mientras los números eran enteros

no hubo problemas, pero cuando comenzaron a jugar con decimales se generó esta

discusión:

- Juan Manuel:- “Adivina adivinador...El número que pensé está entre 2,4 y 2,5”

- Sofía: No seas tramposo, no hay números entre 2,4 y 2,5

¿Quién piensan que tiene razón? Expliquen por qué.

2. Juan Manuel le dio a Sofía estos ejemplos de números que están entre 2,4 y 2,5:

2, 41 2,47 y 2,49

¿Están de acuerdo con Juan Manuel? ¿Podrían ustedes escribir otro número?

3. Ahora Sofía está contenta porque si puede encontrar números decimales entre dos

decimales ganarle a Juan Manuel.

Sofía: - ““Adivina adivinador...Mi número está entre 3,14 y 3,15 y tiene tres cifras

decimales” ¿Qué números habrá pensado Sofía? Escriban tres.

4. En la última jugada Juan Manuel dice:

“Adivina adivinador...pensé un número que está entre 4, 56 y 4, 57 y tiene dos

lugares después de la coma”

Sofía dice que ella ganó porque ahora sí se equivocó Juan Manuel y perdió. ¿Tiene

razón Sofía? ¿Por qué?

Tarea

Escribí tres números entre:

a) 1,7 y 1,8

b) 12,05 y 12,06

c) 0,5 y 0, 51

d) 13,6 y 14

16

Actividad 10

¿Qué aprendimos?

Organización de la clase: Esta actividad se realizará en forma individual

1. Juegos Olímpicos

En la tabla se muestran algunos resultados de la primera etapa de salto en altura de

mujeres en los juegos olímpicos de 2018. Países PB

China 1,81

Suiza 1,77

Australia 1,78

Italia 1,79

Ucrania 1,94

Grecia 1,83

Islas

Marshall

1,45

República

Checa

1,81

Eslovenia 1,74

Sudáfrica 1,75

Israel 1,79

Finlandia 1,87

Leyenda PB: mejor marca personal

2. Un mismo número

¿Cuáles de las siguientes escrituras corresponden al número mil quinientos cinco

milésimos

a) 1,505 b) 1505,1000 c) 1505

1000d) 0, 1505 e) un entero y quinientos cinco milésimos

a) ¿Cuáles son los países que ocuparon los tres primeros puestos?

b) Escribe como fracción decimal la marca de los atletas de Italia y

Eslovenia.

c) ¿Cuánto le falta a la marca de la atleta de Islas Marshall para

llegar a 2?

d) ¿Cuáles de los siguientes números están más cerca de la marca de

la atleta de China?

1, 791 1, 799 1, 812 1,8099

e) Escribe de dos maneras diferentes la marca de Sudáfrica.

f) Escribe dos decimales equivalentes a la marca de Israel.

g) Escribí tres números decimales entre la marca de las atletas de

Eslovenia y Sudáfrica, es decir entre 1,74 y 1,75.

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3. Para pensar

a. Mariela pesaba 55,5 kg. Hoy subió a la balanza y extrajo un ticket que decía

55,500 kg. Ella preocupada dijo que subió de peso. ¿Es cierto? ¿Por qué?

b. En un supermercado venden las manzanas en bolsas con diferentes pesos.

Quedan sólo dos bolsas. Una de ellas dice: “peso 3,3 kg” y la otra dice: “peso 3,25

kg”. Si quiero llevar la bolsa que contienen más manzanas, ¿Cuál elijo?

4. Para explicar

a. ¿Cómo le explicarías a otro alumno qué hay que tener en cuenta para ordenar

los números: 5,65; 5, 065; 5,056; 5, 506; 5,605?

b. ¿Qué tenés en cuenta para saber si dos números decimales son equivalentes?

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