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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN Y CULTURA

Transformación Educativa

Diplomado

Prácticas Docentes en las Matemáticas de

Telesecundaria

Módulo 2: Orientaciones docentes para el Eje Temático

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Material del Participante

Noviembre de 2011

Diplomado:

Prácticas Docentes en las Matemáticas de

Telesecundaria

Módulo 2

Material del Participante

2011

AÑO DE LA

TRANSFORMACIÓN

TRANSFORMACIÓN

EDUCATIVA

Material del Participante. Módulo 2 para el Diplomado “Prácticas docentes en las matemáticas de Telesecundaria”, fue elaborado en noviembre de 2011 por la Universidad de Sonora, bajo convenio de colaboración con la Secretaría de Educación y Cultura del Estado de Sonora.

Secretaría de Educación y Cultura del Estado de Son ora M.C. Jorge Luis Ibarra Mendívil Secretario de Educación y Cultura Mtra. Shirley Guadalupe Vázquez Romero Subsecretaria de Educación Básica Coordinación General:

Dra. Silvia Elena Ibarra Olmos

Dra. Norma Guadalupe Pesqueira Bustamante

Mtra. Gabriela Mora

Coordinación Académica:

Dr. José Luis Soto Munguía Autores:

L.M. María Antonieta Rodríguez Ibarra

M.C. Maricela Armenta Castro

Dr. José Ramón Jiménez Rodríguez

M.C. Manuel Alfredo Urrea Bernal

Dr. José Luis Soto Munguía

Edición:

Maricela Armenta Castro

José Ramón Jiménez Rodríguez

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra no podrá ser reproducido total ni parcialmente, ni almacenarse

en sistemas de reproducción, ni transmitirse por medio alguno sin permiso de los titulares de los derechos

correspondientes.

Primera Edición: 2011

D.R. © Secretaría de Educación y Cultura, 2011

Blvd. Luis Donaldo Colosio final sin número, Col. Las Quintas.

C.P.83240, Hermosillo, Sonora, México.

ISBN en trámite

i

ÍNDICE

Diplomado Prácticas docentes en las matemáticas de Telesecundaria.

Presentación

v

MÓDULO 2

Orientaciones docentes para el Eje Temático Sentido numérico y

pensamiento algebraico

Introducción 1

Actividad 1

Análisis preliminar de una secuencia didáctica

• Los problemas planteados en la Secuencia Didáctica 30 Sistemas de

ecuaciones

3

• Un primer análisis 6

Actividad 2

Las sugerencias didácticas para el profesor

• Primera sugerencia 7

• El propósito de la secuencia didáctica

• Una sugerencia gráfica

• Una propuesta de solución

• Una sugerencia para despejar x

• Resumen: Lo que aprendimos

8

9

10

11

11

Actividad 3

Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

• Tres sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 12

Actividad 4

Una estrategia alternativa para resolver los problemas planteados en la

Secuencia didáctica 30 Sistemas de ecuaciones

• Solución al problema Las vacas y los chivos 13

• Solución al problema de repaso (peras y duraznos) 14

• Solución al problema La edad de don Matías

• Solución al problema de repaso (la edad de Mónica)

14

15

ii

• Solución al problema Compras en el mercado

• Solución al problema de repaso (cuadernos y lápices)

• Solución al problema de los quesos

• Solución al problema de los dos números

• Solución al problema del triángulo y el rectángulo

• Solución al problema del rectángulo

• Solución al problema de los sueldos

• Solución al problema de los balones

• Análisis de las soluciones

16

16

17

18

18

19

20

20

21

Actividad 5

Analizando de nuevo las sugerencias didácticas

• Sugerencia para elaborar una primera tabla 22

• Sugerencia para elaborar la segunda tabla 23

• Sugerencia para obtener la solución gráficamente

• Resumen: la solución gráfica del problema

24

25

• Resolviendo gráficamente algunos sistemas de ecuaciones lineales

con dos incógnitas

26

Actividad 6

Distinguiendo sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

• Discriminando algunos sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas

28

Actividad 7

Estableciendo algunas definiciones básicas

• Algunas definiciones imprescindibles 29

Actividad 8

Analizando y resolviendo tres problemas

• Problema 1: ¿Qué compañía de renta de autos nos conviene

contratar?

30

• Problema 2: Diseñando un programa de activación física

• Problema 3: El proceso industrial más rentable

• Análisis conjunto de los tres problemas y su solución

32

34

34

iii

Actividad 9

Métodos generales y métodos particulares de solución de sistemas de

ecuaciones lineales con dos incógnitas

• Métodos generales y métodos particulares de solución de un

sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

35

Actividad 10

Aprendiendo a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas con tecnología

• La interpretación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas 36

• La interpretación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales

con dos incógnitas

• La solución numérica de un sistema de dos ecuaciones lineales con

dos incógnitas usando tecnología

• La solución gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas usando tecnología

• El método algebraico de solución de un sistema de dos ecuaciones

lineales con dos incógnitas y su interpretación gráfica usando

tecnología

• El método algebraico de solución de un sistema de ecuaciones

lineales con dos incógnitas usando tecnología: la fórmula general

38

42

51

55

63

Actividad 11

Reactivos de evaluación del aprendizaje de las matemáticas

• Reactivo 1 La cancha de tenis 69

• Reactivo 2 La pizzería

• Reactivo 3 Yécora

• Un primer análisis

• Descripción general del Examen del IIEEES

• Análisis de los reactivos del Eje Temático Sentido numérico y

pensamiento algebraico, Forma A de la aplicación 2010-2011 para

Segundo Grado

• Análisis integrador

70

71

72

73

76

82

Actividad 12

Reformas curriculares e implicaciones en el quehacer docente

• Propósitos del estudio de las matemáticas para la educación

secundaria

84

• Estándares curriculares del Eje Temático Sentido numérico y

pensamiento algebraico

85

iv

• Competencias matemáticas 87

Anexo

Descripción de los conceptos Sentido numérico y Pensamiento algebraico

90

v

Diplomado

Prácticas docentes en las matemáticas de Telesecundaria Presentación

El contexto socioeconómico de la escuela Telesecundaria

En nuestro país los estudios de secundaria escolarizada se ofrecen en tres modalidades

principales: General, Técnica y Telesecundaria1. Las tres opciones comparten los mismos

propósitos en lo que respecta a la formación de sus estudiantes, tan es así que están

regidas por los mismos planes y programas de estudio; sin embargo sus características,

estructuras y formas de organización son distintas. En particular, la Telesecundaria tiene

los siguientes rasgos distintivos:

• La matricula por escuela es muy reducida, a tal grado que más del 85% de los

planteles tienen menos de 120 estudiantes.

• La inmensa mayoría de las escuelas (casi el 90%) están ubicadas en poblaciones

pequeñas, generalmente rurales, cuyo número de habitantes no rebasa los 2500.

• Más del 60% de las escuelas están enclavadas en comunidades con un índice de

marginación considerado como alto o muy alto.

• Las precarias condiciones socioeconómicas de sus estudiantes impacta

directamente sus condiciones de estudio. Según datos del año 2008, el 95% de los

estudiantes no tenían acceso a internet en sus casas y más del 60% declararon no

contar en su hogar con más de diez libros distintos a los libros de texto.

• Cada maestro es responsable de la enseñanza de todas las asignaturas del grado

en que trabaja, desempeñando con frecuencia labores de tipo administrativo, a

falta de personal contratado para realizarlas.

Los rasgos enlistados antes, pero sobre todo el último, hacen que el ejercicio docente en

Telesecundaria sea muy diferente al de las otras dos modalidades.

Las razones expuestas han pesado para que el presente Diplomado haya sido diseñado

exclusivamente para profesores de telesecundaria en servicio; han pesado también las

propias inquietudes de los profesores que han insistido en la naturaleza distinta del

trabajo que realizan, comparado con las otras dos modalidades que cursan en estos

momentos su propio Diplomado. Al diseñarlo se ha partido de la convicción de que, si se

pretende mejorar el trabajo cotidiano que se lleva a cabo en las aulas, a modalidades con

1 Hay una cuarta modalidad denominada Secundaria Comunitaria, que no deja de ser importante, pero no se

incluye aquí porque la población estudiantil que atiende no llega al 1% de la matrícula nacional.

vi

prácticas docentes diferentes, tendrán que corresponder acciones de profesionalización

docente distintas.

Nuevos Planes y Programas, nuevos retos

Desde mucho antes que la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos

(OCDE) diseñara y promoviera el examen Pisa, la secundaria mexicana ya daba particular

importancia a los cursos de Español, Matemáticas y Ciencias (Física, Química y Biología).

En las últimas cuatro reformas curriculares (1974, 1993, 2006 y 2011) a estas áreas se les

ha asignado una carga horaria superior al 40% del tiempo total dedicado a la docencia

frente al grupo en este nivel educativo. A pesar de ello, nuestros estudiantes han

mostrado en las distintas aplicaciones del examen Pisa, un desempeño que nos coloca

entre los países con resultados más bajos. Por ejemplo, en el último examen que se aplicó

en el año 2009 ocupamos en matemáticas el lugar 50, entre un total de 65 países

evaluados y nuestros estudiantes obtuvieron 419 puntos en promedio, muy por debajo de

los 496 obtenidos por los países miembros de la OCDE como promedio. En esta misma

edición de Pisa, los estudiantes sonorenses ocuparon el lugar 23 entre los 32 estados de

la república, al haber obtenido 410 puntos en promedio, 9 puntos todavía por debajo del

promedio nacional.

Desde la primera aplicación del examen Pisa en el año 2000, el número de países

evaluados por Pisa ha ido en aumento y sus resultados son tomados cada vez con mayor

seriedad por los países participantes. En México la importancia de esta evaluación se

reconoce, por primera vez de manera explícita, en el nuevo plan de estudios aprobado

este año para el nivel de educación básica (SEP, 2011, p. 85):

El Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos de la OCDE (PISA, por sus siglas en

inglés) es un marco de referencia internacional que permite conocer el nivel de desempeño de

los alumnos que concluyen la Educación Básica, y evalúa algunos de los conocimientos y

habilidades necesarios que deben tener para desempeñarse de forma competente en la

sociedad del conocimiento.

La prueba PISA se ha convertido en un consenso mundial educativo que perfila las sociedades

contemporáneas a partir de tres campos de desarrollo en la persona: la lectura como habilidad

superior, el pensamiento abstracto como base del pensamiento complejo, y el conocimiento

objetivo del entorno como sustento de la interpretación de la realidad científica y social.

Los “conocimientos y habilidades” a los que se refiere la cita anterior tienen que ver con la

adquisición de las competencias indispensables para la vida, que en la Telesecundaria

cobran particular importancia dadas las condiciones de marginación social, económica y

cultural, en las que viven sus alumnos. Para un estudiante en esas condiciones, es muy

difícil pensar que la escuela ocupará una parte de su vida en el futuro, acaso porque no la

vii

considera entre sus necesidades más apremiantes. Como puede verse en la Tabla

siguiente, más de la mitad de estos estudiantes no piensan continuar su escolaridad más

allá del bachillerato y el 15% de ellos piensa que no habrá más escuela que la

Telesecundaria donde estudian.

Expectativas de los estudiantes de tercer grado de secundaria respecto a la

escolaridad que les gustaría alcanzar. Fuente: INEE, estimaciones a partir de los

Cuestionarios de contexto para alumnos de tercer grado de secundaria aplicados

junto con los Excale 09 en 2008.

En esta modalidad de secundaria, más que en las otras dos, cobra sentido el

preguntarnos: ¿cuáles son las herramientas que les proporcionará la escuela, para que

puedan enfrentar con éxito los retos que les planteará la vida?, ¿cuáles son las

competencias mínimas indispensables que les permitirán ejercer su ciudadanía de manera

plena? Los examinadores de Pisa ofrecen una respuesta general a estas preguntas (INEE,

2010, p. 99):

Ésta [la Matemática] y los otros dos dominios se conciben como las competencias esenciales

para el desarrollo de los individuos en una sociedad cada vez más demandante y competitiva.

La sociedad del conocimiento exige que los ciudadanos, y no sólo los que aspiran a ejercer

carreras profesionales, sean competentes en Lectura, Ciencias y Matemáticas. En un entorno

real, los ciudadanos enfrentan una serie de situaciones al ir de compras, viajar, ocuparse de su

economía doméstica, cocinar, juzgar información de periódicos sobre estadísticas de

población u otras, en las cuales el empleo de razonamientos cuantitativos, espaciales u otras

capacidades matemáticas contribuyen a aclarar, formular o resolver los problemas que se les

plantean.

En el Plan de estudios 2011. Educación Básica, se propone que para el año 2021 el

conjunto de la sociedad mexicana debiera contar con las competencias que Pisa ha

clasificado en el nivel 3 (véase SEP, 2011, p. 85). En el caso particular de las competencias

viii

matemáticas en los estudiantes sonorenses, esto significa de acuerdo con la gráfica

siguiente (INEE, 2010, p. 111), que para ese año el 84% de nuestros estudiantes de 15

años que se encuentran: debajo del nivel 1 (22%), en el nivel 1 (33%) y en el nivel 2 (29%),

deberán poder ubicarse en el Nivel 3.

Los precarios resultados obtenidos por nuestro país en las cuatro aplicaciones del examen

Pisa, han sido difundidos de manera superficial, cuando no dolosa: a veces ofreciéndolos

como evidencia de las debilidades del sistema educativo mexicano, a veces como una

prueba del franco fracaso de nuestras escuelas, y con frecuencia usándolos para

cuestionar severamente el trabajo que los profesores realizan en sus aulas. Quienes

ix

comparten esta visión conciben el examen Pisa como una especie de instrumento de

medición del producto que genera el trabajo docente. Nada más apartado de la realidad

que eso. La gran diversidad de factores que se conjugan para que nuestros estudiantes

salgan tan mal evaluados en este examen, complica cualquier análisis y ponen en duda la

efectividad de cualquier medida que pretenda mejorar sustancialmente las puntuaciones.

Estos factores van desde las condiciones económicas y sociales en las que viven los

estudiantes, su acceso a la cultura y al arte, la escolaridad de los padres y el ambiente

familiar, sólo por mencionar algunos, que junto con su historial académico hasta los 15

años, conforman el cúmulo de competencias que Pisa está evaluando. Los mismos

diseñadores de ese examen lo dejaron claro desde su primera aplicación en el año 2000

(OCDE, 2002, p. 255):

Si los puntajes de un país en las escalas de aptitud para lectura, para matemáticas, o para

ciencias son significativamente más altos que en otro país, no puede inferirse

automáticamente que las escuelas o ciertas partes del sistema educativo en el primer país

sean más eficaces que las del segundo. Sin embargo, se puede concluir legítimamente que el

impacto acumulado de las experiencias de aprendizaje en el primer país, comenzando desde la

primera infancia hasta los 15 años de edad y contemplando tanto las experiencias en la

escuela como en el hogar, han tenido como consecuencia resultados más altos en los ámbitos

de aptitud que mide PISA.

Lo que corresponde al profesor es desarrollar las competencias docentes que los tiempos

están exigiendo, esa será la mejor manera de apoyar la formación de nuestros estudiantes

en las mejores condiciones posibles. El Diplomado que se presenta aquí, pretende

contribuir al desarrollo de estas competencias en el campo de la Matemática.

Objetivos

Con el propósito de mejorar los ambientes escolares de aprendizaje, a principios de este

año 2011 el Gobierno del Estado de Sonora anunció la puesta en marcha del Programa de

Transformación Educativa, con énfasis inicial en la problemática del aprendizaje de las

matemáticas de la niñez que cursa sus estudios de educación básica.

El presente Diplomado se enmarca dentro de este Programa y está destinado a fortalecer

la formación disciplinar y didáctica, en el campo de la matemática, de los profesores de

Telesecundaria, con la plena conciencia de que tener mejores profesores, aunque no es

suficiente, es un paso importante en las expectativas de elevar el desempeño escolar de

los niños y jóvenes estudiantes. La estrecha relación entre ambos factores, formación de profesores y aprendizaje de los

alumnos se manifiesta en el propósito fundamental del Diplomado que presentamos aquí,

el cual se establece de la siguiente manera:

x

OBJETIVO GENERAL:

Desarrollar en el profesor de Telesecundaria las competencias docentes

(disciplinares y didácticas) que lo hagan más eficaz para conducir el proceso

de aprendizaje de las matemáticas.

Para el logro de este objetivo general es necesario que el profesor analice críticamente la

parte matemática del diseño de las evaluaciones estandarizadas a las que están siendo

sometidos sus alumnos, revisando la consistencia de estas evaluaciones con los planes y

programas de estudio que está obligado a seguir. Se requiere además que se involucre en

la conceptualización matemática y didáctica indispensable para conducir los procesos de

aprendizaje de sus estudiantes y pueda profundizar en estos conceptos. Es importante

que viva los procesos de estudio de las situaciones problemáticas planteadas en las

secuencias de aprendizaje de los libros de texto, a fin de que identifique en ellas los

objetivos, los estándares curriculares y las competencias disciplinares a los que se refieren

los nuevos planes de estudio.

El objetivo general se alcanzará en la medida que los docentes participantes logren

alcanzar los siguientes objetivos específicos:

a. Profundizar en la comprensión de los objetivos, las orientaciones didácticas y los

contenidos disciplinares de la matemática programada para estudiarse en

Telesecundaria.

b. Analizar el diseño de los reactivos de la sección de matemáticas, en los exámenes

estandarizados más conocidos que se aplican a los estudiantes.

c. Desarrollar habilidades para resolver las situaciones problemáticas planteadas en

las secuencias de aprendizaje de los libros de texto y para hacer explícitos los

conceptos matemáticos involucrados en su resolución.

d. Desarrollar habilidades para la expresión oral y escrita, particularmente de ideas

matemáticas.

e. Introducir variantes de las situaciones problemáticas planteadas en las secuencias

de aprendizaje.

f. Desarrollar competencias para usar didácticamente los recursos tecnológicos

disponibles durante el desarrollo de las secuencias de aprendizaje.

g. Analizar y enriquecer las sugerencias didácticas propuestas en los Libros para el

Maestro.

xi

Estructura

El Diplomado tendrá una duración total de 150 horas y constará de tres Módulos, a

desarrollarse en 50 horas cada uno. Todos los Módulos tienen la misma estructura, pero

cada uno de ellos está dedicado a uno de los ejes temáticos contemplados en el Plan de

estudios 2011. Educación Básica.

En el Primer Módulo, denominado “Orientaciones docentes para el eje temático Manejo

de la Información”, se analizan algunos reactivos de Matemáticas tomados del examen

ENLACE aplicado este año y que corresponden al eje temático referido en el nombre del

Módulo; luego se analizan los propósitos, las competencias y los estándares curriculares

relacionados con este eje, según el Plan de estudios 2011. Educación Básica. Finalmente se

discute una secuencia de aprendizaje de Primer Grado, perteneciente al mismo eje

temático, tanto desde el punto de vista matemático como didáctico.

En el Segundo Módulo, titulado “Orientaciones docentes para el eje temático Sentido

numérico y pensamiento algebraico” se analizan algunos reactivos del examen aplicado

por el IIEEES este año y que plantean problemas sobre el eje temático abordado en este

Módulo; luego se analizan los propósitos, las competencias y los estándares curriculares

contemplados para este eje en los planes y programas vigentes; para finalmente discutir

una secuencia de aprendizaje de Segundo Grado, perteneciente a este eje temático, tanto

desde el punto de vista matemático como didáctico.

En el Tercer Módulo, llamado “Orientaciones docentes para el eje temático Forma,

espacio y medida” se revisan algunos reactivos de matemáticas del examen Pisa

seleccionados entre los reactivos liberados del eje temático tratado en este Módulo; para

posteriormente analizar los propósitos, las competencias y los estándares curriculares

contemplados para este eje en los planes y programas vigentes; para finalmente discutir

una secuencia de aprendizaje de Tercer Grado, perteneciente a este eje temático, tanto

desde el punto de vista matemático como didáctico.

Metodología de trabajo y orden de los contenidos2

La estrategia metodológica general descrita aquí se aplicará en cada uno de los tres

Módulos que integran el Diplomado. En cada Módulo pueden distinguirse tres partes:

2 Como se especifica en la Introducción al presente Módulo, el orden de las tres partes que lo integran ha

sido modificada a partir de las observaciones recibidas por los profesores durante la impartición del Primer Módulo. Ahora la Tercera parte, que versa sobre una Secuencia de Aprendizaje tomada del Libro para el Alumno, será abordada al iniciar el Módulo.

xii

1. La descripción general de la evaluación estandarizada cuyos reactivos serán

analizados y la resolución y análisis de los reactivos seleccionados.

2. La ubicación del eje temático que se aborda en el módulo, dentro de los planes y

programas de estudio vigentes.

3. El análisis matemático y didáctico de una secuencia de aprendizaje, tomada de los

libros de texto y seleccionada del eje temático que se estudia.

En la primera parte se revisarán los fundamentos sobre los que están diseñados los

instrumentos de evaluación seleccionados y se establecerán las conexiones de dichos

instrumentos con los planes y programas de estudio vigentes, es decir su relación con la

matemática que se enseña en el salón de clases. Se resolverán también los reactivos

seleccionados y se hará un análisis comparativo entre lo que están evaluando y lo que

pretenden evaluar.

En la segunda parte se analiza el eje temático al que se refiere el Módulo, y tomando

como referencia el Plan de estudios 2011. Educación Básica, se establecen sus propósitos,

las competencias que se pretenden desarrollar con él y los estándares curriculares que se

quieren lograr.

La tercera parte es la más extensa de las tres, en ella se ha seleccionado de los libros de

Matemáticas para el alumno, una secuencia de aprendizaje para profundizar en los

conceptos matemáticos que contiene, en los procesos de resolución de los problemas que

plantea, así como también para analizar y ampliar las sugerencias didácticas formuladas

en el Libro para el Maestro.

Con el propósito de empatar la actividad docente del Diplomado, con el enfoque

propuesto en la currícula vigente del nivel secundaria, se crearán los ambientes de

discusión y análisis en el grupo para que los participantes avancen en la realización de las

tareas contempladas en cada Módulo, de manera individual o en equipo. Las tareas están

diseñadas para propiciar la reflexión a través de la cual se construyan los conocimientos y

se desarrollen las habilidades y actitudes que se pretenden alcanzar con la actividad en

particular y con el módulo y el diplomado en general.

En cada etapa se señalará si el trabajo debe realizarse individualmente, por equipos o si

requiere de la intervención de todo el grupo. Las indicaciones sobre la modalidad de

trabajo que corresponda se especifican en el Material de Participante y será enfatizada

por el instructor.

xiii

Por otra parte, es posible que en algunas actividades se requiera utilizar diferentes

materiales, ya sea los materiales impresos que se entregan a cada profesor, libros de

texto de Telesecundaria, juegos geométricos, calculadoras o computadora con acceso a

INTERNET. En todos los casos estos materiales serán proporcionados por el Instructor.

Portafolio de Evidencias de Aprendizaje

Con el propósito de tener mayor claridad sobre las acciones específicas para acreditar el

Diplomado, los productos que se vayan generando serán entregados al instructor y se

integrarán en un portafolio de evidencias que serán valoradas permanentemente en el

Diplomado, tanto en su desarrollo como al final del mismo. El portafolio de evidencias

estará integrado por las tareas especificadas en cada una de las actividades que integran

el Material del Participante, las cuales se elaboran en forma individual o por equipos,

según se indica en el mismo.

Se sugiere que el Instructor haga una caracterización cualitativa de las tareas

desarrolladas por los participantes, clasificando los trabajos según la calidad de los

mismos en las categorías siguientes:

a) Insuficiente. El trabajo no cumple con los requisitos mínimos solicitados.

b) Regular. Cumple con los requisitos mínimos, pero presenta limitaciones.

c) Satisfactorio. Cumple a plenitud con todos los requisitos solicitados.

d) Excelente. Satisface todas las exigencias y además hace consideraciones y

planteamientos bien elaborados, más allá de los solicitados.

Cuando alguno de los productos entregados por un participante se clasifique como

Insuficiente por parte del Instructor, podrá regresarse con las observaciones pertinentes,

para que en un nuevo plazo claramente determinado, se entregue una versión mejorada

al Instructor y se integre al Portafolio de Evidencias.

Para acreditar el Diplomado se requiere que cada participante haya aprobado cada uno de

los tres Módulos, y un Módulo no podrá aprobarse si más del 20% de los productos

integrados en el portafolio de evidencias es clasificado como insuficiente.

El portafolio de evidencias de cada participante estará integrado por dos tipos de tareas:

I. Fotocopias en limpio de cada una de los trabajos derivados en las actividades.

Cuando se haga explícito que una tarea es en equipo, se entregará una copia por

equipo, especificando los integrantes.

xiv

II. Los trabajos individuales que se señalan en las actividades de cierre de cada

módulo.

Criterios para la evaluación del Diplomado

Para aprobar el Diplomado se requiere tener aprobado cada uno de los tres Módulos del

mismo, lo cual significa que fueron evaluados en la categoría de Regular, Satisfactorio o

Excelente.

Para la evaluación aprobatoria de cada Módulo se tomarán en cuenta los aspectos

señalados en la siguiente tabla.

Evaluación Criterios

Regular

1. Asiste a más del 90% de las sesiones presenciales.

2. En las reuniones presenciales mantiene una actitud participativa y

de cooperación con su equipo.

3. Más del 80% de sus actividades en las sesiones presenciales son

evaluadas como regulares.

4. La actividad de cierre es evaluada como regular.

Satisfactorio




3. Más de la mitad de sus actividades en las sesiones presenciales son

evaluadas como satisfactorias y el resto como regulares.

4. La actividad de cierre es evaluada como satisfactoria.

Excelente




3. Más del 50% de sus actividades son evaluadas como excelentes y el

resto como satisfactorias.

4. La actividad de cierre es evaluada como excelente.

Para la aprobación del Diplomado en su conjunto, los criterios se establecen en la tabla

siguiente.

xv

Evaluación Criterios

Regular A lo más uno de los Módulos es calificado como excelente o satisfactorio y el

resto como regulares.

Satisfactorio Al menos dos Módulos han sido evaluados como satisfactorios y el otro como

regular o excelente.

Excelente Al menos dos Módulos han sido acreditados como excelentes y el otro como

satisfactorio.

Referencias bibliográficas

INEE (2010). México en Pisa 2009. México: INEE.

OCDE (2002). Conocimientos y aptitudes para la vida. Primeros resultados del Programa

Internacional de Evaluación de Estudiantes (PISA) 2000 de la OCDE. México: Santillana.

SEP (2011). Plan de Estudios 2011. Educación Básica. México: SEP.

MÓDULO 2 MATERIAL DEL PARTICIPANTE

1

Introducción

Con el propósito de mejorar los ambientes escolares de aprendizaje, a principios de este año

2011 el Gobierno del Estado de Sonora anunció la puesta en marcha del Programa de

Transformación Educativa, con énfasis inicial en la problemática del aprendizaje de las

matemáticas de la niñez que cursa sus estudios de educación básica. El presente Diplomado se enmarca dentro de este Programa y está destinado a fortalecer la

formación disciplinar y didáctica en el campo de la matemática, de los profesores de

telesecundaria, con la plena conciencia de que tener mejores profesores, aunque no es

suficiente, es un paso importante en las expectativas de elevar el desempeño escolar de los

niños y jóvenes estudiantes.

En este contexto, en este segundo Módulo, denominado “Orientaciones docentes para el eje

temático Sentido numérico y pensamiento algebraico”, la atención se centrará en los siguientes

cuatro aspectos: a) análisis de la Secuencia Didáctica 30 Sistemas de Ecuaciones, tomada del

Libro de Texto para Segundo Grado y perteneciente a este eje temático, tanto desde el punto de

vista matemático como didáctico; b) profundización del conocimiento matemático del tema

Sistemas de Ecuaciones e introducción didáctica de recursos tecnológicos para su tratamiento; c)

análisis de reactivos del Examen IIEEES 2011 para Segundo Grado de Secundaria relacionados

con este eje temático; y d) aspectos relevantes de los Programas de Estudio de Secundaria 2011

concernientes a este eje.

El Módulo está organizado en actividades cuya estructura se plantea mediante el desarrollo de

fases o etapas denominadas “momentos”, en las cuales se plantean situaciones problema para

su resolución y/o análisis.

En la primera parte del Módulo, que es la más extensa, se trabajará con una de las secuencias del

Libro de Texto de Segundo Grado, esta secuencia está ubicada en el eje temático Sentido

numérico y pensamiento algebraico, atiende aspectos relacionados con el álgebra, en particular

se centra en la resolución algebraica de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. El

tratamiento que se dará a la secuencia está orientado a promover la discusión sobre el

contenido matemático y las orientaciones didácticas.

En lo que respecta al análisis de los reactivos del Examen IIEEES 2011, se tiene el propósito de

dar soporte para la reflexión y discusión de los siguientes aspectos:

a) Tomar conciencia que los procesos de evaluación son mecanismos que permiten hacer

una valoración integral de las actividades de aprendizaje y de enseñanza, detectando los

aspectos que causan dificultades, los objetivos de las actividades que aún no se han

alcanzado y la búsqueda de alternativas para superar los obstáculos detectados.


2

b) Valorar los conocimientos, habilidades y su integración en competencias que se espera

desarrollen nuestros alumnos, haciendo un análisis de los reactivos seleccionados del

Examen IIEEES 2011.

c) Contrastar los conocimientos matemáticos contemplados en los planes y programas de

estudio con los requeridos para la resolución de los problemas asociados a las

situaciones presentadas en los diferentes reactivos del instrumento de evaluación.

d) Contrastar los enfoques didácticos sugeridos en los planes y programas de estudio, con

los procedimientos que aplican los profesores para resolver los problemas matemáticos

que se les presentan.

e) Tomar conciencia de que las evaluaciones practicadas a los alumnos son mucho más que

un mecanismo de asignación de una calificación, y considerarlas como un proceso

mediante el cual pueden observarse los tipos de avances y de dificultades de los

alumnos, arrojando información sobre sus aprendizajes en aspectos como los del manejo

algorítmico alcanzado, su desarrollo conceptual, sus habilidades y competencias para

modelar situaciones y resolver problemas extra matemáticos, su desarrollo en el uso

adecuado del lenguaje matemático, sus habilidades para el manejo numérico, las

expresiones analíticas y los recursos gráficos y geométricos.

El tercer aspecto que se atenderá en este Módulo está relacionado con los Programas de

Estudio de Secundaria que fueron aprobados en 2011, en lo concerniente a matemáticas. El

propósito de este apartado es identificar los elementos que se están tomando en consideración

para organizar las matemáticas de secundaria, particularmente analizaremos los apartados

siguientes:

- Propósitos de estudio de las matemáticas para la educación secundaria.

- Estándares curriculares para el eje temático Manejo de la información.

- Competencias matemáticas.


3

Actividad 1 Análisis preliminar de una secuencia didáctica

1. Los problemas planteados en la secuencia didáctica. Considera los siguientes

problemas planteados en el Libro de Texto de Matemáticas, Segundo Grado, en la

Secuencia 30 Sistemas de ecuaciones.3 La tarea que aquí se te plantea no consiste en

resolver estos problemas, sino en analizarlos, con el fin de que procedas a responder

las preguntas que se formularán posteriormente en el apartado 2.

Problema planteado para la Sesión 1 (Las vacas y los chivos):

Problema de repaso, práctica y fortalecimiento planteado para la Sesión 1 (peras y duraznos):

Problema planteado para la Sesión 2 (La edad de don Matías):

3 Libro para el Maestro. Matemáticas. Segundo Grado. Págs. 212-229. En el Libro de Texto para el alumno

esta misma secuencia aparece en las págs. 196-213.


4

Problema de repaso, práctica y fortalecimiento planteado para la Sesión 2 (La edad de Mónica):

Problema planteado para la Sesión 3 (Compras en el mercado):

Problema de repaso, práctica y fortalecimiento planteado para la Sesión 3 (cuadernos y lápices):

Problema planteado para la Sesión 4 (el problema de los quesos):


5

Problemas planteados para la Sesión 5 (el problema de los dos números):

El problema del triángulo y el rectángulo:

El problema de los sueldos:

El problema del rectángulo:


6

El problema de los balones:

2. Un primer análisis. Discute con tus colegas y responde las siguientes preguntas.

a) Los problemas anteriormente formulados, ¿en qué sentido son problemas?

b) ¿Cuáles de ellos son problemas formulados en un contexto de la vida real, es decir,

son problemas prácticos de la vida cotidiana, surgen como resultado de una necesidad

emanada de la vida cotidiana?

c) De los problemas que consideras que son de la vida real, ¿cuáles se resuelven en la

vida diaria usando sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas?

Actividad 2


7

Las sugerencias didácticas

1. Consideremos las siguientes sugerencias didácticas formuladas en el Libro para el

Maestro, Matemáticas II Grado.4

Primera sugerencia.

a) ¿Cómo se compagina la sugerencia didáctica de permitir a los alumnos “utilizar

cualquier procedimiento que quieran (incluso dibujos) para resolver el problema”, con el

objetivo fundamental planteado para toda la secuencia didáctica, consistente en

“representar con letras los valores desconocidos de un problema” y usar dichas letras

“para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros”?

Analicemos ahora el siguiente recuadro sintético. (El propósito de la secuencia)

4 Libro para el Maestro. Matemáticas. Segundo Grado. Pág. 212.


8

b) Los métodos especificados en la columna Propósitos de la sesión para las sesiones 2

(“método algebraico de sustitución”), 3 (“método algebraico de suma o resta”) y 4

(“método algebraico de igualación”), ¿son métodos para plantear, métodos para

resolver, o métodos para plantear y resolver sistemas de ecuaciones?

c) ¿Cuáles son los métodos para plantear sistemas de ecuaciones?

d) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones, ¿son solamente algebraicos?

e) ¿A qué sistemas de ecuaciones se refiere la secuencia?

Una sugerencia gráfica


9

Pongamos atención a la siguiente sugerencia didáctica.

f) ¿Cuál es la razón para sugerir a los alumnos que “con un color unan los puntos que

graficaron para la Tabla 1”, y enseguida que “con un color distinto unan los puntos que

graficaron para la Tabla 2”? En el contexto del problema, ¿qué significado tiene esta

acción de unir los puntos graficados a partir de cada uno de los datos contenidos en las

tablas?

Una propuesta de solución


10

Consideremos ahora la siguiente solución al problema de la edad de Mónica formulada

en el Libro para el Maestro.

g) ¿Es correcta la solución formulada en los incisos a) y b), a saber, 12 años y 60 años?

Una sugerencia para despejar x

h) ¿Es correcto lo que se afirma en el párrafo Posibles dificultades del recuadro anterior,

en el sentido de que “para despejar x hay que dividir todo lo que está a la derecha del

signo igual entre dos”?

Resumen: Lo que aprendimos


11

i) ¿Cómo se compagina lo declarado en el párrafo Propósito de la actividad con la

descripción de la competencia matemática denominada Manejar técnicas

eficientemente?

Actividad 3 Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas


12

Tres sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Encuentra todas las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas. Puedes hacerlo de manera individual, o bien trabajando colaborativamente

con tus colegas.

a) b) c)

Actividad 4


13

Una estrategia alternativa para resolver los problemas planteados en la

secuencia didáctica

Juanito dice que puede resolver fácilmente cualquiera de estos problemas de otra forma.

Analiza con detenimiento el proceso de resolución propuesto por Juanito, y que se

muestra en las páginas siguientes, a fin de que luego procedas a responder las preguntas

que se formularán.

* * * Solución de Juanito al problema planteado para la Sesión 1 Las vacas y los chivos:

68 animales en total

;

Hay 17 vacas y 51 chivos.

Juanito dice que también puede resolver este problema por un método diferente. Más

precisamente, por el método de tanteo. Si don Matías tuviera 20 vacas, entonces

debería tener 60 chivos, pero en total habría 80 animales. En cambio, si tuviera 15 vacas,

entonces debería tener 45 chivos, haciendo un total de 60 animales. Así que don Matías

tiene 17 vacas y 51 chivos, lo que completa perfectamente el total de 68 animales. Esto

lo ilustra mediante la siguiente tabla.


14

Total

10 30 40

20 60 80

15 45 60

17 51 68

* * * Solución al problema de repaso (peras y duraznos)

Usando este mismo tipo de estrategias, Juanito pudo resolver también fácilmente el

problema de repaso planteado para la Sesión 1. Observa cómo lo hizo.

� � = 21

� = 10

= = 5

La bolsa contiene 5 duraznos y 16 peras.

* * *

Aquí está la solución de Juanito al problema planteado para la Sesión 2 La edad de don Matías.

=


15

+ =70

=70

La edad de Raúl es 14 años, la de don Matías es = 56 años.

* * *

Solución de Juanito al problema de repaso planteado para la Sesión 2 La edad de Mónica.

Del problema anterior ya sabemos que la edad de don Matías es 56 años. Como la

séptima parte de 56 es igual a 8, resulta que Mónica tiene 16 años. Esta respuesta es

correcta porque 56 + 16 = 72.

Otra manera de resolver el problema, con dibujos:

+ = 72

=


16

La edad de Mónica es años, mientras que la edad de don Matías es

años.

* * *

Solución de Juanito al problema planteado para la Sesión 3 Compras en el mercado.

$425

$309

$116

$58 Una gallina cuesta $58. Entonces tres conejos cuestan $309 - 3 $58 = $135, por lo que

cada conejo cuesta $ 45.

* * * Solución de Juanito al problema de repaso planteado para la sesión 3 (cuadernos y lápices):


17

$54

$92

$38

$54

$16 Entonces cada lápiz cuesta $3.

* * *

Solución de Juanito al problema planteado para la Sesión 4 (el problema de los quesos).

= $300

= - $30

- $60 = $300

= $360

= $72

= $72 - $30 = $42

* * *


18

Solución de Juanito a los problemas planteados para la Sesión 5 (el problema de los dos números).

+ = 72

- = 16

= 72 + 16 = 88 = 22

= 50

* * * Solución de Juanito al problema del triángulo y el rectángulo.

En este caso x y z representan segmentos de una cierta longitud, siendo z más grande

que x (así lo sugiere el dibujo).

Perímetro del triángulo:

+ + = 14.4

Semiperímetro del rectángulo:

+ 1 + - = 23.6/2 = 11.8 + - = 11.8 – 1 = 10.8

+ = 10.8 +

x z


19

Si tomamos dos triángulos iguales tenemos

+ + = 28.8

Entonces

+ + 10.8 + = 28.8

+ + = 18

De aquí resulta que

= 18/15 = 1.2 + = 10.8 + = 10.8 + 1.2 = 12

= 6

* * *

Solución de Juanito al problema del rectángulo

En este caso, x representa nuevamente un segmento de cierta longitud, y que sirve como

un lado del rectángulo:

+ + 1.2 = + 4.3 (en cms)

= 4.3 – 1.2 = 3.1 (cm)

Entonces el largo del rectángulo mide 3.1 + 4.3 = 7.4 cm.

* * * Solución al problema de los sueldos.

x


20

+ = $15 000

= + $ 3 600

+ $ 3 600 = $15 000

= $11 400

= $5 700

= $9 300

* * *

Solución al problema de los balones.


21

El maestro Juan compró 7 balones de fútbol y 5 balones de básquetbol.

* * *

Análisis de las soluciones de Juanito Intercambia opiniones con tus colegas y responde las siguientes preguntas.

a) ¿Son correctas las respuestas obtenidas por Juanito? ¿Son igualmente correctas las

estrategias y los procedimientos que empleó?

b) ¿Son aceptables desde el punto de vista matemático los razonamientos, los

procedimientos y las notaciones empleadas por Juanito?

c) ¿Cuál es la justificación para que en lugar de sus propias estrategias y procedimientos,

Juanito deba emplear sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver

los problemas anteriores, según cada uno de los métodos particulares descritos en el

libro de texto?


22

Actividad 5 Analizando de nuevo las sugerencias metodológicas

1. Tratemos de entender las razones que pudieran justificar, en contra de la intuición y el

sentido común, el empleo de una estrategia diferente a la de Juanito para resolver los

problemas planteados. Tomemos como referente el problema planteado en el Libro

para el Maestro para la Sesión 1 de la Secuencia Didáctica 30, y las sugerencias que allí

se formulan para abordarlo.

Sugerencia para elaborar una primera tabla.

Analiza este fragmento con tus colegas y responde las siguientes preguntas. a) ¿Podrías explicar por qué razón la Tabla 1 empieza con el valor 34 para el número de

chivos? ¿Con cuál valor sería más razonable que empezara?

b) ¿Podrías explicar por qué razón la secuencia de valores para el número de chivos es

34, 35, 40, …, 60?

c) ¿Podrías explicar por qué razón la Tabla 1 contiene los valores 17 y 18 para el número

de vacas?


23

d) ¿Te parece natural la organización de la Tabla 1? ¿No sería más lógico que en la

primera columna se consignara el número de vacas, y que éste iniciara a partir de 1?

e) ¿Qué explicaciones le darías a un alumno que formulara las preguntas anteriores

respecto a la Tabla 1?

f) ¿Qué tan racional y lógica te parece la sugerencia metodológica formulada en el

recuadro anterior para abordar la solución de este problema? Argumenta tu respuesta.

Sugerencia para elaborar la segunda tabla.

2. Consideremos ahora el segundo fragmento de las sugerencias metodológicas

formuladas para abordar este problema.

a) Junto con tus colegas, plantea una justificación para la Tabla 2, si es que les parece

justificable, o bien formula una crítica en caso contrario.


24

Sugerencia para obtener la solución gráficamente 3. Veamos ahora el tercer fragmento de las sugerencias metodológicas elaboradas para

abordar el problema.

a) Si las Tablas 1 y 2 no hubieran contenido los valores de 17 para el número de vacas y

51 para el número de chivos, ¿cómo podrían los estudiantes reconocer a esta pareja de

valores como el punto de intersección de las gráficas?


25

Resumen: la solución gráfica del problema Analicemos ahora el resumen que el Libro de Texto presenta para esta Sesión 1.

b) De acuerdo con este resumen, ¿qué es lo que se debe hacer en una gráfica “para

resolver un problema que involucre dos ecuaciones y dos incógnitas”? Describe el

procedimiento lo más clara y detalladamente que te sea posible.


26

Resolviendo gráficamente algunos sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 4. Junto con tus colegas, encuentra el punto de intersección de los siguientes pares de

rectas, usando el procedimiento del punto anterior, y consigna la solución de los

sistemas de ecuaciones correspondientes.

a)

x

y

2

1

1 2

-1

-1-2

-2

Punto de intersección: ( , ) Solución del sistema:

b)

2

2

4

4 6

6

8

8

-2

-2

-4

-4-6

-6

-8

-8

y

x

Punto de intersección: ( , ) Solución del sistema:

c)

y

x

-80 -60 -40 -20

-10

10

20

30

Punto de intersección: ( , )

Solución del sistema:

d) y

x

1

1 2

2

3

30

Punto de intersección: ( , )

Solución del sistema:


27

a) Regresa ahora al inciso b del apartado 3 y trata de describir con más claridad el

método para encontrar, en una gráfica, el punto de intersección de dos rectas.


28

Actividad 6 Distinguiendo sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Trabaja en equipo con tus colegas, intercambia opiniones, discute los argumentos y

señala cuáles de los siguientes constituyen sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas y cuáles no, y argumenta tu decisión.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)


29

Actividad 7

Estableciendo algunas definiciones básicas

Trabaja en equipo con tus colegas, intercambia opiniones y formula una definición para

las siguientes ideas fundamentales.

a) Ecuación.

b) Ecuación lineal.

c) Ecuación lineal con una incógnita.

d) Ecuación lineal con dos incógnitas.

e) Sistema de ecuaciones.

f) Sistema de ecuaciones lineales.

g) Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

h) Solución de una ecuación.

i) Solución de un sistema de ecuaciones.

j) Solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.


30

Actividad 8 Analizando y resolviendo tres problemas

1. Considera los siguientes tres problemas. Trabajando en equipo con tus colegas, haz lo

que se te pide en cada uno de ellos.

Problema 1. ¿Qué compañía de renta de autos nos conviene contratar? Una práctica comercial, que cada día es más frecuente, consiste en que las diferentes

empresas promocionen sus artículos y/o servicios comparando los precios que ofrecen,

con los de la competencia.

Un ejemplo de esta situación se presentó en la ciudad de Navojoa, Sonora, donde fueron

repartidos volantes de la compañía El Paskola, Renta de Carros, una de las dos empresas

que en esa ciudad se dedica a la renta de automóviles. A continuación reproducimos una

copia de la propaganda mencionada.

Por su parte, los directivos de la otra compañía, denominada Wareke, Su Auto Seguro y

Barato, al enterarse de la propaganda anterior, contraatacaron diseñando y repartiendo

el volante siguiente:


31

a) ¿Cuál es la tarifa que cobra El Paskola, Renta de Carros, por la renta de cada uno de

sus automóviles, según el número de kilómetros recorridos?

b) ¿Y cuál es la tarifa que cobra Wareke, Su Auto Seguro y Barato, según el número de

kilómetros recorridos?

c) Concentra la información proporcionada por las dos empresas en una sola tabla.

Agrega otros valores en los espacios que están en blanco, o más columnas si lo

consideras conveniente.

Kilómetros 10 20 25 60 100 220 300 350 475 500

Costo en El

Paskola

Costo en Wareke

d) ¿Qué comentarios puedes hacer a partir de la información que se presenta en la tabla

del inciso anterior? ¿Puedes ya decidir cuál de las dos compañías es más barata?

Argumenta tu respuesta.


32

e) ¿Existe algún kilometraje para el cual las dos compañías cobren lo mismo? Si acaso

existe, ¿cuál es? ¿Es único? Argumenta todas tus respuestas.

f) Intenta encontrar una expresión que te permita calcular el costo de rentar un

automóvil en Wareke, Su Auto Seguro y Barato. ¿De qué depende el monto que se

pagará?

g) Haz lo mismo para la otra compañía.

h) ¿Qué relación tienen las dos expresiones algebraicas que encontraste en los dos

incisos previos, con la pregunta formulada en el encabezado del problema?

Problema 2. Diseñando un programa de activación física Algunas publicaciones de la Organización Mundial de la Salud (OMS), del Instituto

Mexicano del Seguro Social (IMSS), y de otros organismos, informan que la obesidad se

ha ido convirtiendo paulatinamente en un problema de salud pública en la República

Mexicana. Estos datos muestran que poco a poco nos estamos acercando a ser una nación de

individuos mayoritariamente obesos, con las consecuencias poco convenientes que esto

acarrea para el futuro de la nación. Por ejemplo, la Encuesta Nacional de Salud realizada

en el año 2006, muestra que cinco de cada cien bebés menores de once meses, uno de

cada cuatro niños en edad escolar, uno de cada tres adolescentes y siete de cada diez

adultos, son obesos. Las causas que han generado esta problemática son de diferente naturaleza. En la

Revista del Consumidor, publicada por la Procuraduría Federal del Consumidor

(PROFECO), edición del mes de octubre de 2008, encontramos que las porciones de

comida y bebidas que se servían hace 20 años para consumo de los adultos, actualmente

son las que se sirven en un menú infantil. Ilustrando este hecho, se dice que hace 20 años la porción de refresco que se vendía en

los cines era de 192 mililitros; en cambio ahora se venden porciones de 591 mililitros. Lo

mismo sucede en el caso de las palomitas. Hace 20 años, la porción vendida era el

equivalente a 5 tazas; actualmente equivale a 20 tazas.


33

En la tabla siguiente se muestra la cantidad de energía que proporcionan dichas

porciones, medidas en kilocalorías.

Alimento/Bebida Energía proporcionada (en

kilocalorías)

Una porción grande de

refresco, (591 mililitros)

250

Una porción “jumbo” de

palomitas (20 tazas)

1160

La OMS nos dice también que las necesidades calóricas de un mexicano de peso y talla

normal (72 kg. de peso y 1.65 m de estatura) son, como máximo, de 2000 kilocalorías

diarias. Presentamos a continuación una serie de actividades físicas, así como la cantidad de

calorías que una persona de peso y estatura normal gasta al realizarlas, durante una

sesión continua de una hora.

Actividad Gasto calórico (en kilocalorías)

Andar en bicicleta a velocidad media 580

Aerobics 500

Levantamiento de pesas 460

Basketbol 940

Volibol 500

Baile moderno 520

Caminata normal 220

Una estudiante, cuando se enteró de la información anterior, decidió diseñar su

programa de ejercicios semanales, por medio del cual desea quemar 3000 calorías

semanales, dedicando 6 horas a la semana a diversas actividades físicas. Organicémonos por equipos para presentar diversas alternativas a esta estudiante,

considerando, además de las anteriores, las siguientes suposiciones:

a) Que solamente se seleccionan dos actividades físicas cualesquiera de entre las

consignadas en la tabla.

b) Que solamente se seleccionan dos actividades físicas de las consignadas en la tabla,

pero que una de ellas sea el baile moderno.

c) Que se seleccionan dos actividades físicas de la tabla, siendo una de ellas el baile, y

asignándole las tres quintas partes del tiempo total.


34

d) Que se seleccionan tres actividades físicas, donde una de ellas es el baile, actividad

preferida por esta estudiante, y a la cual desea dedicar el doble del tiempo que le

dedicará a las otras dos juntas.

Problema 3. El proceso industrial más rentable. Para la fabricación de un artículo de consumo masivo se pueden utilizar dos procesos

industriales. El primero de ellos requiere de una inversión inicial de $220 mil pesos y la

producción de cada artículo cuesta $2. El segundo proceso requiere de una inversión

inicial de $75 mil pesos, pero la producción de un artículo cuesta $5. En el mercado, el

artículo en cuestión tiene un precio de venta al mayoreo de $7. ¿Cuál de los dos

procesos es más rentable?

Análisis conjunto de los tres problemas y su solución 2. Después de haber trabajado en colaboración con tus colegas resolviendo los tres

problemas anteriores, discute y responde las siguientes preguntas:

a) En los tres casos, ¿te parece que se trata de problemas en contextos de la vida real, y

que en su resolución las matemáticas tienen un papel decisivo? Argumenta tu respuesta.

b) En particular, ¿qué contenidos matemáticos están involucrados en estos tres

problemas? ¿Qué técnicas matemáticas se requiere aplicar?


35

Actividad 9 Métodos generales y métodos particulares de solución de sistemas de


Trabaja en equipo con tus colegas, intercambia puntos de vista y opiniones, y responde

las siguientes preguntas.

a) ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas?

b) Los métodos descritos en la Secuencia 30 del Libro de Texto para resolver sistemas de

ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿son métodos particulares o métodos generales?

c) ¿Existe un método general para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas?

d) ¿Cuál es la solución general de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas?

e) ¿Cuáles podrían ser las razones que justifiquen la enseñanza exclusiva de métodos

particulares para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas en

secundaria, en detrimento del método general?


36

Actividad 10 Aprendiendo a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

con tecnología

Empezaremos esta actividad analizando la interpretación gráfica de una ecuación lineal

con dos incógnitas del tipo . Para ello usaremos como apoyo el software de

geometría dinámica conocido como GeoGebra. Luego nos apoyaremos en esa

interpretación gráfica para, a su vez, darle un significado gráfico a los sistemas de

ecuaciones lineales con dos incógnitas y su solución. Posteriormente analizaremos los

métodos numérico, gráfico y algebraico de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

con dos incógnitas y su instrumentación en el software matemático que resulta

adecuado en cada caso.

1. La interpretación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas

Abre el archivo denominado EcnLinxy.ggb; aparecerá la siguiente ventana:

Trabajando en equipo con tus compañeros explora el efecto que tienen en la

interpretación gráfica de la ecuación lineal los parámetros , y ,


37

tanto en forma separada como en conjunto. Una exploración sistemática podría consistir

en los siguientes pasos. a) Mueve el punto ubicado sobre el deslizador rojo para modificar el valor del parámetro

, dejando intactos los valores y de los otros dos parámetros. ¿De qué

manera influye el valor de en el comportamiento de la gráfica de la ecuación lineal

? b) Regresa el deslizador rojo a su valor inicial . Mueve ahora el punto ubicado

sobre el deslizador azul para modificar el valor del parámetro , dejando intactos los

valores y de los otros dos parámetros. ¿De qué manera influye el valor de

en el comportamiento de la gráfica de la ecuación lineal ?

c) Regresa el deslizador azul a su valor inicial . Mueve ahora el punto ubicado

sobre el deslizador negro para modificar el valor del parámetro c, dejando intactos los

valores y de los otros dos parámetros. ¿De qué manera influye el valor de

en el comportamiento de la gráfica de la ecuación lineal ?

d) Regresa el deslizador negro a su valor inicial . Mueve el deslizador rojo de tal

forma que tome un valor cualquiera distinto de cero y deja fijo este valor. Ahora

mueve el deslizador negro para que tome distintos valores. Observa lo que pasa.

También puedes dejar fijo el valor de y luego hacer variar el valor de . Observa lo

que pasa en este caso. Explica la manera en que los parámetros y influyen

conjuntamente en la gráfica de la ecuación lineal .

e) Regresa los deslizadores rojo y negro a sus valores iniciales y . Mueve el

deslizador azul para que tome un valor distinto de cero y deja fijo este valor. Ahora

mueve el deslizador negro para que tome distintos valores. Observa atentamente lo

que pasa en la gráfica. Puedes también dejar fijo el valor de y luego hacer variar el

valor de . Observa atentamente lo que pasa en este caso. Explica la manera en que los

parámetros y influyen ambos en la gráfica de la ecuación lineal .


38

f) Regresa los deslizadores azul y negro a sus valores iniciales y . Mueve el

deslizador rojo a fin de que tome un valor distinto de cero y déjalo fijo. Ahora mueve

el deslizador azul para que tome diferentes valores. Observa atentamente lo que pasa

en la gráfica. Puedes también dejar fijo el valor de y luego hacer variar el valor de .

Observa atentamente lo que ocurre en la gráfica en cada caso. Explica la manera en que

los parámetros y influyen en conjunto en la gráfica de la ecuación lineal

.

g) Mueve ahora a tu albedrío los tres deslizadores y observa atentamente lo que pasa en

la gráfica. Explica la influencia que tienen los tres parámetros , y en la gráfica de

la ecuación lineal .

2. La interpretación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Ahora analizaremos la interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con

dos incógnitas. Continuaremos utilizando como apoyo el software de geometría

dinámica GeoGebra. Representaremos el sistema en cuestión del siguiente modo:

Abre el archivo denominado SEL2x2.ggb; aparecerá la siguiente ventana:


39

En este archivo, los tres deslizadores azules que figuran en la esquina superior izquierda

permiten modificar el valor de los parámetros , y de la primera ecuación del

sistema, mientras que los deslizadores rojos hacen lo mismo con los parámetros ,

y de la segunda ecuación. a) Mueve a tu albedrío los tres deslizadores azules y selecciona un valor para cada uno

de los parámetros , y de la primera ecuación del sistema. En cada caso, este

valor que selecciones lo dejarás fijo. Con ello, se tendrá en la pantalla la gráfica de una

línea recta, remarcada en color azul. Ahora mueve a tu albedrío los tres deslizadores

rojos para hacer variar los valores de los parámetros , y de la segunda ecuación,

de modo que en la gráfica se produzca una segunda línea recta, remarcada en color rojo,

que coincida exactamente con la primera. También puedes proceder fijando

primeramente los valores de los parámetros , y de la segunda ecuación, y luego

haciendo variar los valores de los parámetros , y de la primera ecuación del

sistema. Discute con tus compañeros y formula verbalmente la(s) condición(es) que

debe(n) cumplirse para que se produzca el efecto deseado.


40

b) Ahora expresa esta(s) misma(s) condición(es) en el lenguaje simbólico de la

matemática.

Condición de coincidencia:

c) Usando los mismos valores de los parámetros , y de la primera ecuación del

sistema que generaste en el inciso a), o generando otros, según prefieras, mueve a tu

albedrío los tres deslizadores rojos para hacer variar los valores de los parámetros ,

y de la segunda ecuación, de modo que en la gráfica se produzca una segunda

línea recta, remarcada en color rojo, que sea paralela a la primera. También puedes

proceder fijando primeramente los valores de los parámetros , y de la segunda

ecuación, y luego variando los valores de los parámetros , y de la primera

ecuación del sistema. Discute con tus compañeros y formula verbalmente la(s)

condición(es) que debe(n) cumplirse para que se produzca este nuevo efecto.

d) Expresa esta(s) misma(s) condición(es) en el lenguaje simbólico de la matemática.

Condición de paralelismo:

e) Usando los mismos valores de los parámetros , y de la primera ecuación del

sistema que generaste en el inciso a), o generando otros, según prefieras, mueve a tu

albedrío los tres deslizadores rojos para hacer variar los valores de los parámetros ,

y de la segunda ecuación, de modo que en la gráfica se produzca una segunda

línea recta, remarcada en color rojo, que se intersecte con la primera. También puedes

proceder fijando primeramente los valores de los parámetros , y de la segunda

ecuación, y luego variando los valores de los parámetros , y de la primera

ecuación del sistema. Discute con tus compañeros y formula verbalmente la(s)

condición(es) que debe(n) cumplirse para que se produzca la intersección de las rectas.


41

f) Expresa esta(s) misma(s) condición(es) de intersección en el lenguaje simbólico de la

matemática.

Condición de intersección:

g) Las tres situaciones que hemos analizado en los apartados anteriores, ¿tienen alguna

relación con la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas? ¿Cuál

es esa relación? Descríbela lo más claramente que te sea posible.

h) Reflexionando sobre lo que has hecho hasta este momento, ¿crees que el uso del

software GeoGebra te ha permitido aprender nuevos conocimientos matemáticos?

¿Cuáles conocimientos, en concreto?

i) Con base en esta experiencia que has vivido, ¿crees que el uso del software

matemático podría permitir que tus estudiantes aprendieran nuevos conocimientos

matemáticos con menos dificultades? ¿Qué tendrías que hacer como profesor para que

eso ocurriera?

j) Seguramente te habrás percatado de que en el archivo de GeoGebra que estás

utilizando, al graficar las dos rectas correspondientes al sistema de ecuaciones lineales

que fijaste, se activó un nuevo deslizador en la parte inferior izquierda. Este deslizador

permite variar el valor de la variable en el dominio del sistema de ecuaciones lineales.

Mueve este deslizador en cada uno de los tres casos que ya hemos analizado

(coincidencia, paralelismo e intersección). Observa atentamente lo que ocurre en las

gráficas, y considera nuevamente la pregunta planteada en el inciso g).


42

k) ¿De qué depende la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas y su naturaleza?

l) ¿Cuáles son las posibilidades para la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales

con dos incógnitas?

m) ¿Qué tipo de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas es más numeroso: el

de los sistemas que tienen solución única, el de los sistemas que no tienen solución, o el

de los sistemas que tienen infinidad de soluciones? Argumenta tu respuesta.

n) ¿Se refleja adecuadamente este hecho en la Secuencia 30 Sistemas de Ecuaciones del

Libro de Texto de Matemáticas, Segundo Grado?

3. La solución numérica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

usando tecnología En este apartado y el siguiente utilizaremos como ejemplos ilustrativos los siguientes dos

sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

S1) S2) Ya hemos visto previamente que estos dos sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas pueden ser escritos en forma equivalente como sigue:


43

S1a) S2a) Las herramientas de tecnología adecuadas para resolver de forma numérica un sistema

de ecuaciones lineales con dos incógnitas son las denominadas Hojas de Cálculo, de las

cuales la más conocida es Excel. En nuestro caso, utilizaremos la hoja de cálculo de

GeoGebra.

a) Abre el archivo de GeoGebra denominado solSEL2x2num.ggb. Aparecerá la siguiente

pantalla.

En esta Hoja de Cálculo de GeoGebra previamente diseñada, la columna A ha sido

destinada para establecer el rango inicial de valores de la incógnita en el que se

buscará la solución del sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Dicho rango

está determinado por dos valores que deben introducirse en las celdas respectivas: el

valor inicial (por default se toma igual a 0 en el archivo) y el valor final (por default se

toma igual a 1). Entre estos dos valores extremos se toman valores intermedios,

haciendo variar el valor de desde su valor inicial hasta su valor final con un cierto

incremento, que también debe especificarse (en este archivo, por default se toma igual a


44

0.1). Bajo estas condiciones, GeoGebra genera un conjunto finito de valores de . El

número de elementos que constituyen a dicho conjunto aparece etiquetado como

número de datos (con los valores definidos por default, éste resulta igual a 11). En este archivo, la solución del sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas no es

encontrada de manera automática por el software, sino en interacción con el estudiante,

quien a partir de la interpretación de los resultados reportados por GeoGebra debe

ubicar un intervalo cada vez más pequeño de valores de en los que la solución del

sistema esté “encerrada”. Es decir, la búsqueda de la solución del sistema de ecuaciones

lineales con dos incógnitas transcurre en un escenario experimental, en el cual el

estudiante es el investigador. El estudiante debe proponer un primer intervalo (generalmente distinto al definido por

default) para buscar la solución, y fijar un cierto incremento. Por ejemplo, podemos

empezar buscando la solución en el intervalo con un incremento de

10, para lo cual deberemos introducir estos valores en las celdas correspondientes:

Con estos valores que han sido introducidos, GeoGebra genera un conjunto de valores

de que guarda internamente en una variable denominada lista1. Coloquemos estos


45

valores de en la columna B. Para ello, en el renglón inferior denominado Entrada

deberemos escribir, usando el teclado, el comando RellenaColumna:

GeoGebra asocia internamente a cada columna con un número natural. La columna A se

asocia con el 1, la columna B con el 2, y así sucesivamente. Por lo tanto, para completar

el comando anterior deberemos escribir lo que sigue:

Al presionar ENTER el comando es ejecutado y en la columna B podemos observar la

secuencia de valores de :

Ahora deberemos generar los conjuntos de valores correspondientes para en cada

una de las dos ecuaciones lineales. Estos conjuntos de valores los generaremos como

listas, usando precisamente el comando lista. En el caso de la primera ecuación del

sistema, , el comando que generará los valores correspondientes y que

deberemos teclear en el renglón de Entrada, es el siguiente:


46

Al presionar ENTER este comando es ejecutado, aunque en la pantalla no se muestra

nada nuevo. GeoGebra ha creado internamente una variable denominada lista2, que

contiene la secuencia de valores de correspondientes a la primera ecuación del

sistema.

En el caso de la segunda ecuación del sistema, , el comando que generará

los valores correspondientes y que deberemos teclear en el renglón de Entrada, es el

que sigue:

Al presionar ENTER el comando es ejecutado, aunque aparente nada nuevo ocurre en

pantalla. GeoGebra crea internamente una variable denominada lista3, que contiene la

secuencia de valores de correspondientes a la segunda ecuación del sistema. Ahora procederemos a colocar en la columna C los valores de correspondientes a la

primera ecuación del sistema. Lo haremos con el siguiente comando:

De manera análoga procedemos a colocar en la columna D los valores de

correspondientes a la segunda ecuación del sistema, mediante el siguiente comando:

Ahora que tenemos completa nuestra tabla, deberemos analizar los valores de y de

en conjunto, a fin de ubicar un nuevo intervalo de valores de , más pequeño que el

anterior, en el que la solución esté “encerrada”. Con el fin de facilitar la búsqueda de

este nuevo intervalo, resulta conveniente agregar una nueva columna (columna E) que

contenga las diferencias entre los valores de dados por cada una de las dos

ecuaciones lineales del sistema. Resulta claro que mientras más cercana a sea esta

diferencia en cada renglón de la tabla, más cercanos entre sí serán los valores de

determinados por cada una de las dos ecuaciones, y que se corresponden con el valor de

ubicado en ese mismo renglón. El comando para generar la lista de diferencias de

valores de es el siguiente:


47

El comando que permite ubicar en la columna E los valores correspondientes a las

diferencias es:

Ahora que tenemos la tabla completa, incluyendo la columna de valores auxiliares,

deberemos analizarla para ubicar un nuevo intervalo de valores de , más pequeño que

el original, en el cual los valores de dados por cada una de las dos ecuaciones lineales

del sistema sean aproximadamente iguales, lo que implica que en dicho intervalo está

“encerrada” la solución del sistema.

En el recuadro azul hemos ya ubicado este nuevo intervalo: .

Procederemos a hacer una nueva búsqueda de la solución en este intervalo, repitiendo

todos los pasos anteriores. El resultado final es la siguiente tabla:


48

Los resultados de esta tabla sugieren una nueva búsqueda en el intervalo

. Procedamos a hacerla repitiendo uno a uno y en el mismo orden

todos los pasos anteriores. El resultado final es la siguiente tabla:

Los resultados de esta tabla sugieren ahora una nueva búsqueda en el intervalo

. Repitiendo una vez más los pasos anteriores obtenemos la

siguiente tabla:

Los resultados de esta nueva tabla parecen confusos, ya que podemos detectar varios

valores de para los que los valores correspondientes de en cada una de las dos

ecuaciones del sistema son aparentemente iguales. Lo que ocurre es que estamos


49

trabajando en el límite de precisión de dos decimales fijados por default para el

software. Si modificamos la precisión con la que GeoGebra presenta los resultados

numéricos podremos notar la diferencia. Por ejemplo, aumentemos la precisión a 5

lugares decimales, como se muestra enseguida:

Ahora podemos apreciar la diferencia:

Por supuesto, podemos continuar este proceso hasta obtener la precisión deseada

(GeoGebra puede presentar un valor numérico hasta con una precisión de 15 cifras

decimales!). Las siguientes pantallas ilustran la continuación del proceso:


50

En esta última tabla vemos que nuevamente hemos rebasado la precisión de 5

decimales. Podemos considerar que una solución aproximada hasta cuatro decimales del

sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas S1 (o su equivalente, el sistema S1a) es

la siguiente:

b) Usa este mismo archivo de GeoGebra para que resuelvas numéricamente, ya sea de

manera individual o en colaboración con tus colegas, el segundo sistema de ecuaciones

lineales con dos incógnitas S2 formulado al principio de esta sección.


51

c) Usa este mismo archivo de GeoGebra para que resuelvas numéricamente los tres

sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas planteados en la Actividad 3.

d) ¿Qué conocimientos y competencias matemáticas crees que puede promover en los

estudiantes la práctica de la solución numérica de un sistema de ecuaciones lineales con

dos incógnitas mediante el empleo de una herramienta tecnológica del tipo de Hoja de

Cálculo?

4. La solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas usando

tecnología Ahora usaremos como ejemplo ilustrativo el sistema de ecuaciones lineales con dos

incógnitas S2 formulado en la sección anterior. Más precisamente, utilizaremos el

sistema equivalente

S2a) a) Abre un nuevo archivo de GeoGebra. En el renglón de entrada introduce la expresión

algebraica que corresponde a la primera ecuación del sistema:

Al presionar ENTER la ecuación es aceptada y en pantalla aparece su gráfica:


52

b) Ahora hacemos lo mismo para la segunda ecuación del sistema:

Al presionar ENTER la ecuación es aceptada y también se produce su gráfica:


53

c) Una vez que las gráficas correspondientes a cada una de las dos ecuaciones lineales

del sistema han sido creadas, activamos con el cursor la segunda casilla de la barra de

herramientas. Aparecerá el siguiente menú de opciones:

En este menú deberemos seleccionar, ubicando el cursor en la casilla correspondiente, la

opción Intersección de Dos Objetos:


54

d) Una vez seleccionada esta opción deberemos mover el cursor hacia cada una de las

dos rectas. Cuando, al acercar a ella el cursor, la recta se grafique en trazo más grueso y

en pantalla aparezca una etiqueta que la identifique, deberemos hacer click sobre ella

para seleccionarla como uno de los dos objetos de los que buscaremos su intersección.

Deberemos hacer esto para cada una de las dos rectas.

Al completar la selección de los dos objetos, GeoGebra ubica el punto de intersección de

ellos y obtiene sus coordenadas, representando dicho punto en pantalla:

Como hemos visto anteriormente, las coordenadas del punto de intersección

constituyen la solución del sistema de ecuaciones lineales simultáneas con dos


55

incógnitas. En este caso, en la pantalla anterior se puede leer que, con una aproximación

de dos cifras decimales, la solución del sistema de ecuaciones lineales S2 está dada por

Como hemos visto antes, podemos cambiar la presentación de los resultados numéricos

en pantalla para que incluyan más decimales. Por ejemplo, usando el redondeo a cinco

cifras decimales tendremos lo siguiente:

Ahora podemos ver que, con una aproximación de cinco cifras decimales, la solución del

sistema de ecuaciones lineales S2 es:

e) Usa este mismo archivo de GeoGebra para que resuelvas gráficamente, ya sea de

manera individual o en colaboración con tus colegas, el primer sistema de ecuaciones

lineales con dos incógnitas S1 formulado al principio de la sección anterior.

f) Usa este mismo archivo de GeoGebra para que resuelvas gráficamente cada uno de los

tres sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas que fueron planteados en la

Actividad 3.


56

g) ¿Qué conocimientos y competencias matemáticas crees que puede promover en los

estudiantes la práctica de la solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con

dos incógnitas mediante el empleo de un software de graficación?

5. El método algebraico de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos

incógnitas y su interpretación gráfica, usando tecnología Iniciaremos esta sección analizando el proceso técnico de resolución de un sistema de

ecuaciones lineales con dos incógnitas. Como resultado de tal análisis, estableceremos

los conceptos de transformación no equivalente, transformación equivalente y

transformación equivalente conveniente. Usando un ejemplo concreto como ilustración,

y utilizando el software matemático GeoGebra, daremos una interpretación geométrica

a estos tres conceptos. Enseguida discutiremos la estrategia adecuada y general para

resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: reducirlo a un sistema

equivalente formado por dos ecuaciones más simples, una de ellas lineal y con una sola

incógnita, y la segunda también lineal y con dos incógnitas, pero en la que una de las

incógnitas está expresada en términos de la otra. Posteriormente haremos uso de esta

estrategia general y, con apoyo del software matemático GeoGebra, aplicaremos esta

estrategia general a cualquier sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, para

obtener la solución general de dicho sistema. Desde el punto de vista técnico, el proceso de solución, tanto de un sistema de

ecuaciones como de una ecuación dada (y no solamente de ecuaciones lineales) consiste

en realizar, siempre que sea posible, una serie de transformaciones de dicho sistema o

ecuación, para obtener consecutivamente otros sistemas o ecuaciones más sencillos,

hasta llegar a uno cuya solución sea conocida o relativamente fácil de obtener. A fin de

garantizar que esta última solución es también solución del sistema o ecuación original,

es preciso estar seguros de que los sistemas o ecuaciones transformadas que se

obtienen durante el proceso tengan el mismo conjunto solución que el sistema o la

ecuación original. Los sistemas o ecuaciones que tienen esta propiedad se denominan

sistemas o ecuaciones equivalentes, y las transformaciones algebraicas que dan lugar a

ellas, transformaciones equivalentes. Para ilustrar este último concepto, usaremos como ejemplo el siguiente sistema de

ecuaciones lineales con dos incógnitas:


57

a) Discute con tus colegas y determina cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales con dos incógnitas son equivalentes al que se acaba de formular. Argumenta tu

selección.

a1) a2) a3)

a4) a6)

a7) a9)

a10) a11)

a12) b) Usa el archivo de GeoGebra denominado transfequiv.ggb para verificar tu respuesta al

inciso anterior. ¿Qué interpretación gráfica tiene el hecho de que un cierto sistema de

ecuaciones lineales con dos incógnitas sea o no equivalente a otro?

c) De las anteriores transformaciones equivalentes que encontraste, ¿cuáles son

convenientes y cuáles no lo son? Argumenta tu respuesta.

d) ¿Cuáles son las transformaciones equivalentes que se aplicaron en los casos

anteriores?

e) Representa algebraicamente las tres principales transformaciones equivalentes

convenientes que se emplean en el proceso de solución de un sistema de ecuaciones

lineales con dos incógnitas:


58

f) ¿Cómo describirías al proceso de solución de un sistema de ecuaciones lineales con

dos incógnitas? ¿En qué podría consistir una estrategia adecuada para lograrlo?

g) ¿Crees que el uso del software matemático te ha permitido entender la esencia del

proceso de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas?

¿Representa esto un aprendizaje nuevo para ti?

Procederemos ahora a utilizar el mismo sistema de ecuaciones lineales con dos

incógnitas

para ilustrar el proceso de solución que elaboramos en los párrafos anteriores, y su

implementación con el uso de software matemático.

h) Abre un nuevo archivo de GeoGebra. Una vez abierto, activa la pestaña Vista, y de las

opciones que se abren al activarla, selecciona CAS – Cálculo Simbólico, según se muestra

en el siguiente recuadro:


59

Al activar la opción de Cálculo Simbólico se modifica la ventana de GeoGebra:

En el renglón 1 de la Ventana CAS – Cálculo Simbólico introduzcamos la primera ecuación

lineal del sistema:


60

Introduzcamos esta misma ecuación en el renglón de Entrada de la Vista Algebraica, y

veamos el efecto:

Con el fin de eliminar el término que contiene a la incógnita del miembro derecho de

la ecuación, apliquemos la transformación equivalente conveniente, consistente en

restar de ambos lados de la ecuación:


veamos el efecto. ¿Hemos aplicado una transformación equivalente?

Con el fin de despejar de esta última ecuación, apliquemos ahora la respectiva

transformación equivalente conveniente, consistente en dividir ambos miembros de la

ecuación entre :




61

Introduzcamos ahora la segunda ecuación del sistema:


veamos el efecto:

Con el fin de eliminar el término que contiene a la incógnita del miembro derecho de

la ecuación, apliquemos la respectiva transformación equivalente conveniente,

consistente en restar 3 de ambos lados de la ecuación:



Con el fin de despejar de esta última ecuación, apliquemos ahora la transformación

equivalente conveniente, consistente en dividir ambos lados de la ecuación entre :




62

Con el fin de obtener una ecuación con una sola incógnita, a saber, (o, en otras

palabras, eliminar la incógnita ) procedamos a igualar entre sí los miembros derechos

de las ecuaciones simplificadas que hemos obtenido en los pasos 3 y 6:

Introduzcamos esta misma igualdad en el renglón de Entrada de la Vista Algebraica, y

veamos el efecto. ¿Es correcto lo que hemos hecho? ¿Hemos alterado el conjunto

solución del sistema?

Transformemos la igualdad anterior en una equivalente y más simple. Para ello,

sumemos primero en ambos miembros:


veamos el efecto. ¿Hemos aplicado una transformación equivalente? Restemos ahora de ambos lados de la ecuación, con el fin de “aislar” el término que

contiene a la incógnita :

Introduzcamos esta última ecuación en el renglón de Entrada de la Vista Algebraica, y



63

Por último, para despejar la incógnita dividamos ambos lados de la ecuación entre :

Introduzcamos esta última igualdad en el renglón de Entrada de la Vista Algebraica, y

veamos el efecto. ¿Hemos aplicado una transformación equivalente? Una vez obtenido el valor de la incógnita , procedamos a sustituirlo en alguna de las

ecuaciones que previamente obtuvimos en los pasos 3 y 6. Por ejemplo, sustituyendo en

la ecuación del paso 6 tenemos:

Introduzcamos esta misma igualdad en el renglón de Entrada de la Vista Algebraica, y

veamos el efecto. ¿Es correcto lo que hemos hecho? ¿Hemos alterado el conjunto

solución del sistema?

De manera análoga, sustituyendo el valor obtenido de la incógnita en la ecuación

simplificada del paso 3 tenemos

De este modo, hemos concluido que la solución del sistema de ecuaciones lineales dado

es la siguiente:


64

Podemos comprobar que efectivamente estos valores de las incógnitas y satisfacen

ambas ecuaciones del sistema, sustituyéndolos en dichas ecuaciones. Por ejemplo, su

sustitución en la primera ecuación conduce al siguiente resultado:

La sustitución de estos mismos valores en la segunda de las ecuaciones del sistema da

por resultado

El método algebraico de solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas usando tecnología: la fórmula general i) En esta sección utilizaremos las capacidades de cómputo simbólico del software

GeoGebra, a fin de obtener la solución general de un sistema de ecuaciones lineales

simultáneas con dos incógnitas. La expresión simbólica para tal sistema es la siguiente:

Como hemos visto anteriormente en la sección 2 de esta misma Actividad, para que

efectivamente tengamos tal sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es

necesario que los coeficientes en y en en cada una de las ecuaciones no sean

simultáneamente iguales a cero, lo que algebraicamente se expresa mediante las

condiciones

Abre un nuevo archivo de GeoGebra. Una vez abierto, activa la pestaña Vista, y de las

opciones que se abren al activarla, selecciona CAS – Cálculo Simbólico, según se muestra

en el siguiente recuadro:


65

Al activar la opción de Cálculo Simbólico se modifica la ventana de GeoGebra:

En el renglón 1 de la Ventana CAS – Cálculo Simbólico introduzcamos la primera ecuación

lineal del sistema:

De ambos lados de esta ecuación restemos :


66

Dividamos la ecuación resultante entre :

Repitamos los tres pasos anteriores con la segunda ecuación lineal del sistema:

Procedamos ahora a igualar los miembros derechos de las ecuaciones obtenidas en los

renglones 3 y 6:

Multipliquemos esta igualdad por el producto :

Sumemos a ambos lados de esta última igualdad:

Restemos de los dos lados de la igualdad obtenida:


67

Factoricemos en el lado izquierdo de la igualdad anterior:

Sustituyamos esta factorización en la igualdad previa y dividamos entre :

Sustituyamos ahora este valor de la incógnita en la primera de las ecuaciones

simplificadas del sistema, que obtuvimos en el paso 3:

Finalmente, sustituyamos el valor de la incógnita en la segunda de las ecuaciones

simplificadas del sistema, obtenida en el paso 6:

Repitamos ahora todo el proceso anterior como sigue:


68

De este modo, usando el conocimiento matemático sobre las transformaciones

equivalentes de las expresiones algebraicas y las capacidades de cómputo simbólico del


69

procesador CAS de GeoGebra, hemos encontrado que la solución general del sistema de


está dada por las expresiones

j) Usa las expresiones algebraicas que acabamos de encontrar con ayuda del software

matemático GeoGebra, y que nos dan la solución general de un sistema de ecuaciones

lineales con dos incógnitas, para resolver los sistemas de ecuaciones lineales formulados

anteriormente en la Actividad 3.

k) Las expresiones generales para la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas

con dos incógnitas que encontramos en el inciso i), ¿toman en cuenta las tres

posibilidades para dicha solución que anteriormente hemos analizado? ¿De qué modo?

l) ¿Qué conocimientos y competencias matemáticas crees que puede promover en los

estudiantes la solución algebraica de un sistema de ecuaciones lineales con dos

incógnitas mediante el empleo de un software matemático con capacidades de

manipulación simbólica?


70

Actividad 11

Reactivos de evaluación del aprendizaje de las matemáticas

1. Los siguientes reactivos se incluyeron en la aplicación 2010-2011 de la Evaluación

Estatal del Desempeño Escolar del IIEEES. Para tener una base para el análisis que

haremos posteriormente te pedimos los resuelvas.


71


72


73


74

2. Un primer análisis

a) Haz una valoración global de la dificultad de este grupo de reactivos para tus

estudiantes pensando en los siguientes aspectos: ¿Podrían resolver

correctamente la mayor parte de los reactivos? ¿Cuáles sí? ¿Cuáles no? ¿Por

qué? ¿Hay alguno que te parezca particularmente complicado?

b) ¿Los reactivos permiten valorar el desarrollo de alguna(s) competencia(s)

matemáticas? En caso de responder afirmativamente, ejemplificar con alguno de

ellos y, en caso contrario, exponer las razones.


75

3. Descripción general del examen del IIEEES a) Lee el texto siguiente:

La Evaluación Estatal del Desempeño Escolar en Primaria y Secundaria se ha venido

aplicando sistemáticamente en el Estado de Sonora, desde el año 2005. Tanto la

aplicación como el diseño de esta evaluación, están bajo la responsabilidad de Instituto

de Innovación y Evaluación Educativa del Estado de Sonora (IIEEES).

Aunque, tal como se especifica en el nombre, la evaluación se aplica a estudiantes de

nivel básico, nuestro interés aquí es analizar los instrumentos usados en secundaria. El

IIEEES declara, para este nivel, que el “propósito fundamental como instituto de

evaluación de los rendimientos académicos, ha sido proporcionar información confiable

para la toma de decisiones en los planteles y aulas de educación secundaria”.

El término evaluación tiene una connotación muy general en educación, pero aquí está

reducido esencialmente a la medición académica de los logros obtenidos por los

estudiantes en el grado en el que son evaluados, mediante la aplicación de un examen

de opción múltiple.

El Informe de Debilidades y Fortalezas Académicas de Educación Secundaria, Segundo

Grado5, publicado en junio de 2011, señala que, para el ciclo escolar 2010-2011, “se

aplicaron dos formas diferentes de examen manteniendo el mismo número de reactivos y

asignaturas: 20 de español, 20 de matemáticas, 10 de ciencias naturales y 10 de ciencias

sociales, en cada forma de examen. Como se observa, en cada grupo se aplicaron un

número doble de reactivos de cada asignatura. En el Instituto procesamos información de

21 554 exámenes de la forma A y 20 707 exámenes de la forma B, en total 42 261, en 617

planteles; cabe aclarar que dos planteles pueden estar ubicados en un mismo edificio”.

Asimismo, se plantea que “se sabe de las limitaciones que la evaluación estandarizada

tiene con respecto a las competencias; sin embargo tiene algunas bondades. Por

ejemplo, en la evaluación estandarizada es posible el control absoluto de las respuestas

de los alumnos, tanto las correctas como las erróneas; lo cual permite elaborar

conjeturas sobre las deficiencias de los alumnos y como consecuencia, la emisión de

posibles líneas de trabajo preventivo para las futuras generaciones y medidas correctivas

para las presentes. La virtud anterior evita mucho trabajo de análisis al docente y le da

elementos suficientes para generar actividades pertinentes a la solución de problemas

detectados en las evaluaciones estandarizadas. Ésta aporta mucha información al

docente que debe ser utilizada para mejorar los aprendizajes en los alumnos”.

5 http://www.ieees.gob.mx/index.php?option=com_content&view=article&id=82:informe-de-debilidades-y-fortalezas-academicas-

en-secundaria&catid=14:publicaciones


76

Con respecto al diseño del examen se especifica que “tratamos de elaborar pruebas que

se acercaran a las propuestas de PISA. Nuestras pruebas atienden a tres aspectos

esenciales en el desarrollo de competencias: la existencia de un problema o situación en

un contexto real, de la vida cotidiana o al menos plausible para el alumno; el empleo de

procesos cognitivos en la solución de dicho problema; y el uso de un conocimiento

generado en las actividades académicas del ciclo escolar y contempladas en el

programa”.

El examen cubre, en términos de contenidos, los tres ejes sobre los cuales están

organizados los programas de estudio de matemáticas del nivel secundaria. Según el

Informe, en el proceso de diseño 2011, “primero se recogieron de los programas todos

los aprendizajes esperados del grado y después se seleccionaron algunas situaciones a las

que se les llamó estímulos, y a través del cuestionamiento referente a ellos, tratar de

poner en evidencia la aplicación de los aprendizajes esperados. Bajo esta perspectiva es

posible que algunos aspectos considerados en el programa no estén contemplados en los

exámenes, pero no significa que no se puedan establecer conjeturas sobre lo que no se

examinó explícitamente. Si un grupo demuestra serias deficiencias en el examen

aplicado, es muy posible que éstas se mantengan en los aspectos contemplados en el

programa que no fueron examinados. Tenemos pues, una especie de muestreo de las

habilidades y capacidades de los alumnos en los grupos…”

“Cada reactivo elaborado está registrado en un formato especial donde se anota su área

de conocimiento, su eje temático, ámbito o subtema, el contexto en el que está ubicado,

el aprendizaje esperado, el proceso cognitivo que el alumno debe poner en acción al

solucionarlo, la posible competencia a usar, y su clave. Tratamos que los estímulos

presentados a los alumnos fueran cercanos a ellos –o plausibles– a fin de que tuviera

sentido el esfuerzo de resolver la situación problema. Con ellos se ensamblaron los

exámenes mismos que después se pilotearon en una muestra de 200 alumnos por cada

forma de examen en diez escuelas de diferentes estratos y con diferentes niveles de

rendimiento en pasadas aplicaciones. Después de la aplicación se calibraron los

reactivos…”

“Con la finalidad de orientar al docente frente a grupo de cómo podría utilizar esta

información censal en su grupo, vamos a considerar que nuestros resultados son de un

grupo en particular y los resultados los vamos a presentar en una matriz. Pero antes de

hacerlo vamos a explicar cada uno de los elementos de la misma. La matriz se presenta

por forma de examen. Tiene una primera columna que indica el número de reactivo de la

prueba; en la segunda columna el eje temático, ámbito, o cualquier otra forma de

organización que marque el programa; en la tercera columna el aprendizaje esperado,

según el programa; en la cuarta columna la letra de la opción correcta del reactivo. Las


77

siguientes tres columnas son útiles para señalar con una marca cuál es el índice de

dificultad (fácil, mediano, difícil) del reactivo desde el punto de vista del docente que

analiza los resultados. Esto servirá para contrastar la apreciación del docente con los

resultados crudos de porcentaje de aciertos del grupo. Esto será motivo de reflexión,

sobre todo cuando los resultados no son los esperados. Se tratará de conjeturar qué

hicimos o qué dejamos de hacer para que los resultados no sean lo halagadores que

deseamos. Hasta esta parte de la tabla el docente puede manejarla aún sin conocer los

datos precisos de su grupo que le serán entregados a través de nuestra página

electrónica del Sistema de Reportes y Consultas de la Evaluación Estatal (SIRCEV). Esta

información la tendrán en nuestra página antes del inicio de clases en agosto próximo…” “Posteriormente, cuando cuente con los porcentajes de acierto de cada reactivo –vía

SIRCEV–, podrá registrar estos porcentajes en la octava columna de la matriz. Esta es la

segunda etapa de reflexión: ¿Los resultados son los previstos? Si hay contrastes, ¿a qué

se debe? ¿Por qué los alumnos seleccionan en mayor porcentaje una opción incorrecta en

particular? ¿Qué información podemos rescatar?…”

b) Después de discutir en tu equipo el contenido del escrito anterior, escribe una

opinión breve sobre la utilidad que tiene en tu escuela la aplicación del

instrumento de evaluación al que se refiere el texto.

c) Según el texto anterior, el informe plantea con respecto al diseño del examen

que “Nuestras pruebas atienden a tres aspectos esenciales en el desarrollo de

competencias: la existencia de un problema o situación en un contexto real, de la

vida cotidiana o al menos plausible para el alumno; el empleo de procesos

cognitivos en la solución de dicho problema; y el uso de un conocimiento

generado en las actividades académicas del ciclo escolar y contempladas en el


78

programa”. Para cada uno de los tres grupos de reactivos que resolviste aquí,

explica en qué parte están presentes las características mencionadas. Justifica la

respuesta.

1 La cancha de tenis

2 La pizzería

3 Yécora

4. Análisis de los reactivos del eje temático Sentido Numérico y Pensamiento

Algebraico, Forma A de la aplicación 2010-2011 para 2º Grado a) Según los programas de estudio de matemáticas, un elemento que forma parte

de su estructura lo constituyen los aprendizajes esperados. Se dice que “estos

aprendizajes señalan, de manera sintética, los conocimientos y habilidades que

todos los alumnos deben alcanzar como resultado del estudio de varios


79

contenidos, incluidos o no en el bloque en cuestión”. Con base en lo anterior, para

cada reactivo indica en cada caso la respuesta correcta y describe en qué

consisten los aprendizajes esperados.6 ¿Qué aspectos del aprendizaje esperado

ponen de manifiesto los alumnos que dan la respuesta correcta? Justifica.

Reactivo Aprendizajes esperados Observaciones

21

1.2 Resuelve problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas

22

2.2 Resuelve problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas

23

1.2 Resuelve problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas

25 2.5 Estima y calcula el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

26

1.9 Anticipa resultados en problemas de conteo con base en la Identificación de regularidades.

27

1.9 Anticipa resultados en problemas de conteo con base en la identificación de regularidades.

28 3.1 Obtiene la regla que genera una sucesión de números

36

4.5 Interpreta o utiliza dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno.

37 1.1 Resuelve problemas que impliquen números con signo

6 Tomados de la matriz de análisis de reactivos de los exámenes de Segundo Grado de Secundaria 2011, Forma A del Examen del

IIEEES. Informe, Junio 2011. http://www.ieees.gob.mx/index.php?option=com_content&view=article&id=82:informe-de-debilidades-

y-fortalezas-academicas-en-secundaria&catid=14:publicaciones.


80

38 2.7 Interpreta y calcula las medidas de tendencia central (moda) en datos.

b) Para cada reactivo, considera las opciones de respuesta incorrecta y conjetura

sobre los razonamientos que harían los estudiantes para inclinarse por cada una

de las opciones de respuesta incorrecta.

Reactivo Respuestas

incorrectas Posible razonamiento

21

22

23

25

26

27

28

36

37


81

38

c) Para el reactivo 21, en el Informe 2011 del IIEEES se observa acerca del error más

importante que: “El 30% de los alumnos se equivocaron, al tomar sólo las

expresiones algebraicas explícitas que aparecen, sin razonar que estas medidas

estaban implícitas en otras medidas”. ¿Cuál de las opciones de respuesta pone de

manifiesto este error? Argumenta.

d) Para el reactivo 22, en el Informe 2011 del IIEEES se observa que: “El 30% de los

alumnos se equivocó al multiplicar números de diferente signo”. ¿Cuál de las

opciones de respuesta pone de manifiesto este error? Argumenta.

e) Para el reactivo 23, en el Informe 2011 del IIEEES se observa que: “El 42% de los

alumnos se equivocó al restar dos binomios. No transforman en la suma del

inverso del sustraendo. Problema de dos pasos”. Ejemplifica el procedimiento

descrito en la observación, señalando cuáles son los pasos a los que se refiere.

Utiliza las opciones de respuesta del reactivo.


82

f) Las medidas de la cancha de tenis que se indican en el reactivo 25, ¿satisfacen la

expresión algebraica de dichas medidas consignadas en el croquis de la cancha?

g) Para los reactivos 23 y 37, comenta sobre la utilidad práctica que tiene la

resolución del problema planteado.

h) Con respecto al reactivo 28, en el Informe 2011 del IIEEES se observa como error

más importante el que “El 36% de los alumnos comprueba una regla de

generalización sólo con el primer término de una sucesión”. ¿Cuál es el mínimo de

comprobaciones para determinar si una “regla” relaciona adecuadamente las

variables involucradas en una situación dada?

i) La regla general formulada en el reactivo 18, ¿es única? ¿Existe alguna otra regla

general que le sea equivalente?


83

j) ¿Cómo se puede hacer concordar la regla general a la que se refiere el reactivo

28 con la afirmación que se hace en el planteamiento del problema, en el sentido

de que “a los dos meses las ventas se estabilizaron (vendieron poco más o menos

lo mismo todos los siguientes días)”?

k) En el tipo de relación planteada en el reactivo 28, ¿qué características de la tabla

debieran identificarse al momento de la selección de la respuesta?

l) Si tuvieras que mejorar los reactivos analizados, escribe aquí la propuesta que

harías en cada uno de los siguientes aspectos:

• Enunciado del reactivo:

• Opciones de respuesta:


84

5. Análisis integrador

Concluido el análisis anterior, se pretende ahora analizar globalmente el instrumento de

evaluación referido, tanto con respecto a su diseño, como a la utilidad que representan

para tu práctica docente los resultados obtenidos por los estudiantes.

a) Después de haber analizado aquí algunos reactivos del examen del IIEEES, escribe

dos conclusiones sobre el diseño de este instrumento de evaluación.

b) Supongamos que tus alumnos están entre los que fueron evaluados con estos

reactivos y te dan a conocer los resultados que hemos revisado aquí.

i) Selecciona uno de los tres reactivos y especifica cuál de los propósitos del plan

de estudios estaría directamente relacionado con él. Justifica tu respuesta.

ii) Para cada reactivo escribe una acción específica, que pudieras emprender en tu

clase, para mejorar el desempeño de tus estudiantes en ese reactivo.


85

Actividad 12

Reformas curriculares e implicaciones en el quehacer docente

La reforma educativa de mayor trascendencia en educación básica data de 1993. Se

establece en educación primaria un planteamiento curricular que incorpora las

tendencias más novedosas en didáctica de las matemáticas a nivel internacional. Se van

dando también una serie de acciones para que preescolar, primaria y secundaria se

constituyan en un nivel único, el de educación básica. Posteriormente, en el ciclo escolar

que inicia en septiembre de 2004, entra en vigor la reforma de educación preescolar y se

establecen algunas acciones para la concreción, en el año 2006, de la reforma de la

educación secundaria. Una característica fundamental del planteamiento curricular de 1993 lo constituye el

enfoque declarado como “de resolución de problemas”, pues pone de manifiesto el

papel que juegan los problemas en la construcción del pensamiento matemático y,

consecuentemente, propone cambios radicales en la actividad docente, dando un lugar

preponderante a la actividad de aprendizaje sobre la actividad de enseñanza. En la reforma para la educación preescolar se mantiene la posición de que son los

aprendizajes de los niños el centro de atención del sistema educativo. El plan de estudios

de preescolar establece un campo formativo denominado Pensamiento Matemático

formulado a partir del desarrollo de competencias. Siguiendo esta línea, de desarrollar

competencias en los estudiantes, en 2006 se presentan los nuevos programas de estudio

de secundaria. En ellos se establece que la matemática para este nivel educativo estará

organizada en tres ejes temáticos, denominados Sentido numérico y pensamiento

algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. Las renovaciones curriculares, del 2004 en preescolar y del 2006 en secundaria, y la

experiencia de la aplicación de los programas de 1993, son factores importantes para

que en 2009 se realice un replanteamiento a los programas de estudio de primaria, que

mantiene los planteamientos centrales de 1993, pero que, además, presenta cambios

significativos como el enfoque, ahora bajo el esquema del desarrollo de competencias y

la reestructuración de los ejes temáticos de este nivel educativo. Mientras que en el

programa de 1993 la organización curricular contenía seis ejes temáticos, a partir de

2009, se organiza en tres que se corresponden con los de la educación secundaria.


86

En este contexto se presentan en 2011 nuevos programas de estudio para secundaria, en

los que se mantienen los principios de la reforma del 2006, pero en el que aparecen

algunos elementos novedosos que impactan la práctica del profesor. En la presente

actividad nos dedicaremos, precisamente, a identificar algunas de las implicaciones que

tienen estos nuevos planteamientos en la práctica docente.

Propósitos del estudio de las Matemáticas para la educación secundaria En esta fase de su educación, como resultado del estudio de las Matemáticas, se espera que los

alumnos:

1. Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con

números enteros, fraccionarios o decimales, para resolver problemas aditivos y

multiplicativos.

2. Modelen y resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones hasta de segundo

grado, de funciones lineales o de expresiones generales que definen patrones.

3. Justifiquen las propiedades de rectas, segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláteros,

polígonos regulares e irregulares, círculo, prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera.

4. Utilicen el teorema de Pitágoras, los criterios de congruencia y semejanza, las razones

trigonométricas y el teorema de Tales, al resolver problemas.

5. Justifiquen y usen las fórmulas para calcular perímetros, áreas y volúmenes de diferentes

figuras y cuerpos, y expresen e interpreten medidas con distintos tipos de unidad.

6. Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos

contenidos en tablas o gráficas de diferentes tipos, para comunicar información que

responda a preguntas planteadas por ellos mismos u otros. Elijan la forma de organización

y representación (tabular o gráfica) más adecuada para comunicar información

matemática.

7. Identifiquen conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, y calculen

valores faltantes y porcentajes utilizando números naturales y fraccionarios como factores

de proporcionalidad.

8. Calculen la probabilidad de experimentos aleatorios simples, mutuamente excluyentes e

independientes.

a) De los propósitos anteriores, ¿cuáles se refieren al eje temático Sentido numérico y

pensamiento algebraico? Justifica tu respuesta

b) Para cada uno de los propósitos seleccionados plantea un problema cuya resolución

pudiera contribuir a lograrlos.


87

Estándares Curriculares del eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraico

Este eje temático se subdivide en cuatro temas:

1.1. Números y sistemas de numeración.

1.2. Problemas aditivos.

1.3. Problemas multiplicativos.

1.4. Patrones y ecuaciones.

Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno:

1.1.1. Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.

1.1.2. Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común

divisor.

1.2.1. Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas.

1.3.1. Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división

entre polinomios.

1.4.1. Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de

una sucesión.

1.4.2. Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas.

Organizados por equipo:

a) Seleccionen uno de los seis estándares curriculares establecidos para el eje Sentido

numérico y pensamiento algebraico y propongan un problema cuya resolución ilustre

que el estudiante cuenta con este estándar (un estándar por equipo).


88

b) Resuelvan el problema que plantearon y señalen qué partes del proceso de solución

evidencian que el resolutor cuenta con el estándar seleccionado.

c) En una hoja por separado, escriban el problema (sin resolver) y entréguenlo a otro

equipo. Solicítenle que resuelva el problema, que explique con detalle la estrategia

de resolución y, una vez terminada la tarea, lo regrese.

d) Revisen la respuesta que le proporcionó el otro equipo y respondan:

i. ¿Dan muestran de que cuentan con el estándar seleccionado?

ii. Si la respuesta es afirmativa, señale en que parte o partes del proceso se

pone en evidencia.


89

Competencias matemáticas

En lo que respecta a la descripción de las Competencias Matemáticas, en los Programas de Estudio de Secundaria 2011 (p. 23) se señalan las siguientes: Resolver problemas de manera autónoma. Implica que los alumnos sepan identificar,

plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones; por ejemplo, problemas

con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas en los que

sobren o falten datos; problemas o situaciones en los que sean los alumnos quienes

planteen las preguntas. Se trata de que los alumnos sean capaces de resolver un

problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más

eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o

más valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos

de resolución. Comunicar información matemática. Comprende la posibilidad de que los alumnos

expresen, representen e interpreten información matemática contenida en una situación

o en un fenómeno. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de

representar la información cualitativa y cuantitativa relacionada con la situación; se

establezcan nexos entre estas representaciones; se expongan con claridad las ideas

matemáticas encontradas; se deduzca la información derivada de las representaciones y

se infieran propiedades, características o tendencias de la situación o del fenómeno

representado. Validar procedimientos y resultados. Consiste en que los alumnos adquieran la

confianza suficiente para explicar y justificar los procedimientos y soluciones

encontradas, mediante argumentos a su alcance que se orienten hacia el razonamiento

deductivo y la demostración formal. Manejar técnicas eficientemente. Se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas

de representación que hacen los alumnos al efectuar cálculos, con o sin apoyo de

calculadora. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas establece la

diferencia entre quienes resuelven los problemas de manera óptima y quienes alcanzan

una solución incompleta o incorrecta. Esta competencia no se limita a usar de forma

mecánica las operaciones aritméticas, sino que apunta principalmente al desarrollo del

significado y uso de los números y de las operaciones, que se manifiesta en la capacidad

de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un problema; en la utilización

del cálculo mental y la estimación; en el empleo de procedimientos abreviados o atajos a

partir de las operaciones que se requieren en un problema, y en evaluar la pertinencia

de los resultados. Para lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario que los

alumnos la sometan a prueba en muchos problemas distintos; así adquirirán confianza

en ella y la podrán adaptar a nuevos problemas.


90

a) ¿Qué diferencias encuentran entre las competencias matemáticas propuestas en

los Programas de Secundaria 2011 con las planteadas en los Programas de

Secundaria 2006?

b) Para cada una de las competencias matemáticas, propongan un problema y

muestren qué aspectos de la competencia seleccionada se buscaría desarrollar,

en el caso hipotético de que lo plantearan a sus alumnos.


91

c) En una hoja adicional, escriban el problema (sin resolver) y entréguenlo a otro

equipo. Solicítenle que lo resuelva, explicando con detalle la estrategia de

resolución y, una vez terminada la tarea, lo regrese.

d) Revisen la respuesta que proporcionó el otro equipo y señalen en qué parte o

partes del proceso se pone en evidencia el desarrollo de la competencia

seleccionada. Justifiquen su respuesta.

Establece algunas conclusiones acerca de la relación que guardan entre sí los propósitos,

los estándares y las competencias matemáticas como elementos de la estructura

curricular de campo de formación Pensamiento Matemático.


92

Anexo

Descripción de los conceptos Sentido numérico y Pensamiento algebraico

Sentido numérico (National Council of Teachers of Mathematics, 19897)

• Entender correctamente el significado de los números; entre otros aspectos,

cuándo usarlos, entender el sistema decimal.

• Ser consciente de las múltiples relaciones que se dan entre los números, tanto

gráficas como simbólicas.

• Reconocer la magnitud relativa de los números, es decir, tener referentes físicos

y matemáticos para comparar números y hacerse una idea del tamaño que

tienen en función del contexto en el que aparecen.

• Conocer el efecto relativo de las operaciones numéricas, lo que implica manejar

las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas.

• Disponer de puntos de referencia para las mediciones de objetos comunes y de

situaciones en el entorno, y particularmente, elegir las unidades adecuadas.

Pensamiento algebraico (Arcavi, 19948)

• Decidir con respecto a la pertinencia de una representación algebraica al resolver

un cierto problema (usar variables para modelar la situación descrita en el

problema, expresar todas las variables como función de sólo una de dichas

variables, etcétera)

• La habilidad para analizar de manera preliminar una expresión algebraica

(esbozar una gráfica y/o probar con algunos números, por ejemplo) y luego

tomar la decisión pertinente, antes de precipitarse acudiendo a procedimientos

algorítmicos.

• Comprender “cuándo y cómo los símbolos pueden y deben ser usados con el

objeto de exhibir relaciones, generalidades y demostraciones que de otra manera

permanecerían ocultas e invisibles”, y “tener la confianza implícita en que estos

son los utensilios apropiados”.

• Como balance o contrapeso a esta visión optimista, “el sentido del símbolo

debería incluir, a su vez, la sensación (o el presentimiento) de que en ciertas

7 Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. NCTM, Reston, VA. 1989.

8 Arcavi, A. (1994). Symbol sense: informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of

Mathematics, 14(3), 24-35.


93

ocasiones los símbolos pueden constituir una opción engorrosa y entonces otros

métodos u otras representaciones pueden ser preferibles”.

• La toma de conciencia del hecho de que al transformar una expresión algebraica

en otra que le es equivalente, resulta posible “leer” o “ver” información que

estaba oculta o implícita en la expresión original (en el caso de la solución de

ecuaciones, esto es justamente lo que ocurre).

• La habilidad para “leer” información contenida en una expresión algebraica.

• La habilidad para pasar de una forma de representación a otra al resolver

problemas.

• La integración de diferentes clases de conocimiento algebraico para tomar la

decisión adecuada.

• La habilidad para escoger una representación algebraica de entre una serie de

posibilidades, de acuerdo con cierto criterio de conveniencia.

• La habilidad para interpretar el rol que juegan los símbolos en distintos contextos

(en particular, distinguir entre variables y parámetros).

• La habilidad para discernir si el conjunto solución de una ecuación es el conjunto

vacío, o si está formado por un elemento, o bien por una cantidad finita o infinita

de elementos.

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