Secciones Cónicas:De lo Concreto a lo Abstracto

Ángel M. Carreras JusinoMSP – SG

Escuela San Germán Interamericana1er Congreso de Maestros de Matemáticas y Ciencia

16 al 18 de octubre de 2009

Objetivos

• Definir geométricamente las secciones cónicas.• Conocer el desarrollo a través de la historia del

estudio de las secciones cónicas.• Reconocer la ocurrencia y algunas aplicaciones

de las secciones cónicas en la vida real.• Mostrar variedad de métodos para la

construcción de secciones cónicas.• Presentar las ecuaciones de las secciones

cónicas.

Contenido

• ¿Qué es una sección cónica?• Trasfondo Histórico• Ocurrencia de las Cónicas• Construcciones• Ecuaciones• Recursos electrónicos– Graph– GSP– Sitios de internet

¿QUÉ ES UNA SECCIÓN CÓNICA?

¿Qué es una Sección Cónica?

Una sección cónica es una curva obtenida al intersecar un cono recto circular con un plano.

¿Qué es una Sección Cónica?

Una sección cónica es una curva obtenida al intersecar un cono recto circular con un plano.

TRASFONDO HISTÓRICO

Trasfondo Histórico• Menaechmus (Griego; 380 – 320 BC)

– Se le atribuye la primera definición de secciones cónicas, aunque su trabajo no sobrevivió se conoce de estos a través de referencias de otros.

– La definición utilizada en esos tiempos difiere de la utilizada comúnmente hoy día en que esta requiere que el plano que interseca el cono sea perpendicular a la recta que genera al cono como superficie de revolución.

– De esta manera, la forma de la cónica está determinada por el ángulo formado en el vértice del cono.• Si el ángulo es agudo, entonces la cónica es un elipse.• Si el ángulo es recto, entonces la cónica es una parábola.• Si el ángulo es obtuso, entonces la cónica es una hipérbola.• Note que el círculo no puede ser definido en esta forma, razón por la cual no era

considerado una cónica en ese entonces.

Trasfondo Histórico

• Euclides de Alejandría (Griego; 325 - 265 BC)– Se dice que escribió cuatro libros sobre cónicas,

pero estos también se extraviaron.• Arquímedes (Griego; 287 – 212 BC)– Estudió las cónicas determinando el área acotada

por una parábola y una elipse.– La única parte de su trabajo que sobrevivió es un

libro sobre los sólidos de revolución de cónicas.

Trasfondo Histórico

• Apolonio de Perga (Griego; 262 – 190 BC)– Se le atribuye el mayor progreso en el estudio de secciones

cónicas, cuyos ocho volúmenes Secciones Cónicas resumía el conocimiento existente en la época y expandía el mismo.

– Su mayor innovación fue el caracterizar una cónica utilizando propiedades dentro del plano e intrínsecas a la curva.

– Gracias a esto, ahora es posible mostrar que cualquier plano que interseque el cono, sin importar su ángulo, producirá una cónica según la definición previa, llevando a la definición utilizada comúnmente hoy día.

Trasfondo Histórico

• Pappus de Alejandría (Griego; 290 – 350)– Se le acredita el descubrimiento de la importancia

del concepto del foco de una sección cónica y el descubrimiento del concepto relacionado de la directriz.

• Omar Khayyám (Persa, 1048 – 1123)– Matemático y poeta que trabajó con las obras de

Apolonio, luego de estas ser traducidas al árabe, y utilizó las secciones cónicas para resolver ecuaciones algebraicas.

Trasfondo Histórico

• Johann Kepler (Alemán; 1571 – 1630)– Extendió la teoría de las cónicas a través del “principio de

continuidad”, un precursor del concepto de límites.• Girard Desargues (Francés; 1591 – 1661) y Blaise

Pascal (Francés; 1623 – 1662)– Desarrollaron una teoría de cónicas utilizando una forma

previa de geometría proyectiva y esto ayudó a propiciar un interés en el estudio de este nuevo campo.

– Pascal, en particular, descubrió un teorema conocido como el “Hexagrammum Mysticum” del cual se deducen otras propiedades de las cónicas.

Trasfondo Histórico

• René Descartes (Francés, 1596 – 1650)– Aplicó su recién descubierta Geometría Analítica

al estudio de las cónicas. Esto tuvo el efecto de reducir los problemas geométricos de las cónicas a problemas en álgebra.

OCURRENCIAS DE LAS CÓNICAS

Ocurrencia de las Cónicas

ElipsesParábolas

Hipérbolas

Elipses• Cualquier cilindro cortado en

un ángulo revelará un elipse (ejemplo El Planetario Tycho Brahe en Copenhagen)

• Si se inclina un vaso de agua la superficie del líquido adquirirá la forma de un elipse.

Elipses

• En el siglo 17, Johann Kepler descubrió que cada planeta viaja alrededor del sol en una órbita elíptica con el Sol como uno de sus focos.

• Las órbitas de la Luna y satélites artificiales de la Tierra también son elípticas, como lo son las trayectorias de cométas en órbitas permanentes alrededor del sol.

Elipses

• En una escala más pequeña, los electrones de un átomo se mueven en una órbita elíptica con el núcleo como uno de sus focos.

Elipses• Los elipses tienen una propiedad importante que es utilizada en la reflexión

de luz y ondas de sonido.• Cualquier luz o señal que comienza en uno de sus focos será reflejada al otro

foco.– Litotripsia– “Whispering Galleries”

• St. Paul’s Cathedral en Lóndres• Statuary Hall en Washignton DC• Parque de los Deseos en Medellín, Colombia

Elipses

Parábolas

• Una de las mejores aproximaciones de la naturaleza a las parábolas es la trayectoria de objetos lanzados hacia arriba y atraídos hacia el suelo por la fuerza de gravedad.

Parábolas

• Este descubrimiento ocurrido en el siglo 17, por Galileo, hizo posible que las personas que manejaban cañones trabajar en tipo de trayectoria de una bala de cañón de acuerdo con el ángulo de inclinación.

Parábolas

Parabolic Golf

• Las parábolas exhiben unas propiedades muy útiles.– Si una luz es colocada en el foco

de un espejo parabólico, esta será reflejada en rayos paralelos al eje de simetría de la parábola.

– El principio opuesto es utilizado en los espejos gigantes en telescopios refractivos y en antenas utilizadas para recoger ondas de luz y de radio del espacio.

Parábolas

• La misma idea de las antenas parabólicas es utilizada en algunos deportes para recoger sonido.

Hipérbolas

• Si un cono recto circular es intersecado por un plano paralelo a su eje, parte de una hipérbola es formada.

• Tales intersecciones pueden ocurrir en situaciones tan simples como sacarle punta a un lápiz o en los patrones formados en una pared por una lámpara.

Hipérbolas

• Una explosión sónica de una onda de choque tiene la forma de un cono y esta interseca el suelo en una hipérbola.

• Esta toca todos los puntos en la curva al mismo tiempo, así que personas en diferentes lugares a lo largo de la curva en el suelo lo oirán al mismo tiempo.

Hipérbolas

• Una hipérbola que revoluciona alrededor de su eje forma una superficie llamada un hiperboloide.

CONSTRUCCIONES

Construcciones

Construcciones

Construcciones

Círculo

Construcciones

Parábola

Construcciones

Elipse

Construcciones

Hipérbola

Construcciones

• Elipse– Un elipse es el conjunto de puntos P(x, y) en un

plano tal que la suma de las distancias desde cualquier punto P en el elipse a dos puntos fijos F1 y F2, llamados los focos es constante.

Construcciones

• Se fijan dos puntos (que pueden ser dos tachuela en un cartón) F y F´. (La distancia entre F y F´ la llamaremos 2c)

• Se coge un hilo de longitud fija 2a y se unen los extremos con las tachuelas

• Manteniendo el hilo tenso con un lápiz se puede dibujar una curva deslizando el hilo sobre el cartón. Esta curva cerrada es una elipse.

Construcciones

• Parábola– Una parábola es el conjunto de todos los puntos P(x, y) en un plano que están a una misma distancia de un punto fijo, el foco, y una recta fija, la directriz.

Construcciones

• Para dibujar una parábola necesitamos una escuadra y una cuerda que tenga la misma longitud que uno de sus catetos.

• Fijamos un punto F que llamaremos foco y una recta d que llamaremos directriz. Un extremo de la cuerda lo fijamos en el vértice correspondiente al ángulo no recto del cateto cuya longitud coincide con la de la cuerda y el otro extremo en el foco F. El otro cateto de la escuadra se apoya en una recta fija d. Con un lapicero tensamos la cuerda manteniéndolo pegado al cateto al mismo tiempo deslizamos la escuadra a lo largo de la recta fija, de esta forma se dibuja la parábola.

Construcciones

• Hipérbola– Una hipérbola es el conjunto de puntos P(x, y) en

un plano tal que la diferencia de las distancias desde P a puntos fijos F1 y F2, los focos, es constante.

Construcciones

• Se fijan dos puntos F y F´ (que llamaremos Focos) y se elige una regla de longitud L, mayor que la distancia FF´.

• Se Toma un hilo de longitud H, tal que  L-H se menor que FF´, se fija un extremo del hilo en el extremo T de la regla, y el otro extremo del hilo se fija se une a uno de los focos por ejemplo F. El extremo libre de la regla se apoya sobre el otro foco F´. Cogemos un lápiz P y tensando el hilo llevamos el lápiz junto a la regla. Deslizamos el lápiz sobre la regla manteniendo el hilo tenso, al desplazar el lápiz sobre la regla esta girara. De esta forma se traza una rama de la hipérbola.

• Para trazar la otra rama se apoya la regla en el otro foco y se hace lo mismo.

ECUACIONES

Ecuaciones

• Elipse

Los valores de a, b y c están relacionados por la ecuación c2 = a2 - b2

Ecuaciones

• Elipse

Ecuaciones

• Parábola

Ecuaciones

• Hipérbola

Los valores de a, b y c están relacionados por la ecuación c2 = a2 + b2

Ecuaciones

• Hipérbola

RECURSOS ELECTRÓNICOS

Graph www.padowan.dk

Geometer Sketch Pad

Sitios de Internet

• http://centros.edu.xunta.es/contidos/internetenelaula/descartes07/Esp/Geometria/Las_conicas/indice.htm

• http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbfunpatt.htmhttp://www.ies.co.jp/math/java/conics/

• http://homepage.mac.com/dscher/foldedrect.html

Referencias

• “Algebra 2”; Holt, Rinehart and Winston (2007)

• http://en.wikipedia.org/wiki/Conics• http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbconics.h

tm