LAS SECCIONES CÓNICAS

Historia

El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo ligado a uno de los

tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo

o problema de Delos.

"...la peste se llevo una cuarta parte de la población ateniense y la

profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el

origen del segundo problema..."

"...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para

preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto

que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer

los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió

para detener la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su

volumen en lugar de dos ..."

Generalidades.

Se designa sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección

entre un cono y un plano(si dicho plano no pasa por el vértice), se obtienen las

cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e

hipérbola. Un cono circular recto. La primera definición conocida de sección cónica

surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menæchmus) donde las definieron

como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola

y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden

definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de

la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.

Tipos de Cónicas

Secciones cónicas

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación

del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones

cónicas, a saber:

β < α : Hipérbola (naranja)

β = α : Parábola (azulado)

β > α : Elipse (verde)

β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).

Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será

tangente al cono).

Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el

vértice.

cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β

disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del

cono (β = 0).

Características

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las

distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Además de los focos F y

F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:

Centro,

Eje mayor, AA´

Eje menor, BB´

Distancia focal, OF

La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de

distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia

entre los focos.

Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la

curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares

se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes

elementos:

Centro, O

Vértices, A y A

Distancia entre los vértices

Distancia entre los focos

La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es:

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un

punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes

elementos:

Eje, e

Vértice, V

Distancia de F a d, p.

Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas,

tiene la siguiente ecuación:

Aplicaciones

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que

interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen

secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están

relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán

hipérbolas o parábolas.También son importantes en aerodinámica y en su

aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran

exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

Circunferencia

La circunferencia es una línea curva y cerrada donde todos sus puntos están a

igual distancia del centro.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan

de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada

radio.

La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el

lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es

decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos

semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular

al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados,

cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se

denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.

Elementos de la circunferencia.

Secantes, cuerdas y tangentes. La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la

circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la

circunferencia;

Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la

circunferencia;

Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia

(necesariamente pasa por el centro);

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas

de longitud máxima son los diámetros)

Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

Recta Tangente o simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en

un sólo punto;

Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la

circunferencia;

Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos

de un diámetro.

Diámetros Conjugados :

Par de diámetros conjugados en una elipse

Dos diámetros de una sección cónica se denominan conjugados cuando toda

cuerda paralela a uno de ellos es bisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros

de la circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente conjugados.

En una elipse dos diámetros son conjugados si y sólo si la tangente a la elipse en

el extremo de un diámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.

Posiciones relativas

La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:

Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que

la longitud del radio.

Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a

la longitud del radio.

Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la

longitud del radio.

La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del

centro a la recta es mayor que la longitud del radio.

Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la

distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta

tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de

tangencia con el centro.

Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos

distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular

comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente

Dos circunferencias

En función de sus posiciones relativas, se denominan:

Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus

centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o

distinto radio. (Figura 1)

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás

puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus

centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o

distinto radio. (Figura 2)

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus

centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o

distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de

dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo

entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos

de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay

entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios.

Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre

sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de

sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus

centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona

circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura

5)

Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos

circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son

circunferencias coincidentes.

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el

punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al

.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada

circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia,

se deduce:

resultando:

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,

la ecuación de la circunferencia es:

Ecuación vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial:

. Donde es el parámetro de la curva, además cabe

destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación

cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas

deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio

esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.

Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en

coordenadas polares como

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la

ecuación se transforma en:

Ecuación en coordenadas paramétricas

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones

trigonométricas como:

y con funciones racionales como

Circunferencia topológica.

En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada que sea

homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–

dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente fijado al identificar los

dos extremos de un intervalo cerrado.

La circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de

un punto fijo llamado centro.

→

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

realizamos estos cambios:

Otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Para que una expresión del tipo:

En la ecuación de la circunferencia se cumplira que:

Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un

mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos

de la ecuación

No tenga término en xy.

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas:

Ejemplo.

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

Ejemplo.

Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el

radio.

Ejemplo.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación

por las coordenadas de los puntos se obtiene el

sistema:

Ejemplo.

Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia,

y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1. Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:

2. No tiene término en xy.

3.

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

Ejemplo.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente

al eje de abscisas.

Ejemplo.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente

al eje de ordenadas.

Ejemplo.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de

intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

Ejemplo.

Halle la ecuación de la circunferencia concéntrica con

,

y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

Ejemplo.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1).

¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

Ejemplo.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia

que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

Ejemplo.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y

tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

Ejemplo.

Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio

es y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Circunferencias concéntricas

Dos o más circunferncias son concéntricas si sus centros coinciden.

Las circunferencias concéntricas no tienen ningún punto en común.

Ejemplo.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación

, y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

Ejemplo.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia

que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

Laboratorio

La Elipse

Historia

Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de Tebas (Egipto). La

elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por

Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la

sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus.

En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde

descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler

introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705,

demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica

alrededor del Sol.

La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la

suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un

cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la

generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje

menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor

de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elementos de una elipse

La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes

perpendiculares entre sí:

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

el semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje

mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos

focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a). Si F1

y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia

F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

donde es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse

El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El

resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos

equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos

adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal

(segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la

letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con

Dado que , también vale la relación:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada

cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.La designación tradicional

de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función

trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:

Constante de la elipse

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a

cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las

longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y

PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de

la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico,

para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio

vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF1 + PF2 = 2a

En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de

puntos, cómo se cumple la definición.

Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor

llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P

de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular

de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta

propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede

ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales

se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina

foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la

excentricidad de la misma.

Además de la bien conocida relación , también es cierto que ,

también es útil la fórmula .

Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz

para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela

a la directriz anterior.

Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas

Forma cartesiana centrada en origen

La ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a

corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es

horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento

[FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea,

siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

(ec 1)

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la

excentricidad ), es:

(ec 2)

Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse,

θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.

Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la

ecuación (ec 1), en caso contrario utilizar la ecuación (ec 2).

Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.

En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la

elipse es:

Para el otro foco:

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.

En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro

foco en la coordenada angular , la forma polar es:

}

El ángulo de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera

del punto y el numerador de las mismas es el llamado semi-latus rectum

de la elipse, normalmente denotado . El semi-latus rectum es la distancia entre un

foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa

por el foco.

Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en y siendo el semieje

mayor y el menor, es:

Mediante : no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares

con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La

relación entre y θ es

.

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en en la que el parámetro

sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado es:

Mediante . El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo origen

está centrado en .

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.

Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de

segunda especie. Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión

sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado

menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula,

utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión

aproximada del perímetro de una elipse:

Propiedades notables

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se

puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

La elipse como cónica

La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal

manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz

del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso

el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas

figuras bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.

La elipse como hipotrocoide

La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de

la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz. En una curva

hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira

tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.

La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.

Construcción paramétrica de una elipse

Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros equivalen a la medida

de los ejes ortogonales de la futura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los

ejes principales X e Y, partiendo del extremo de los radios alineados, la

intersección de dichos segmentos son puntos de la elipse.

Anamorfosis de una circunferencia en una elipse

Determinada trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el

plano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis. Se corresponde con

una perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idioma griego y

significa trasformar.

Una circunferencia en un plano

cartesiano no deformado.

Esta circunferencia se transforma en una elipse

mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y/o el X se ha dilatado.

En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados,

cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la

circunferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en rectángulos.

Elipses semejantes

Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian sólo en el tamaño

(pero no en la forma), de tal manera que multiplicando todas las longitudes por un

factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad en Física5

acerca de la intersección de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas.

Teorema:

Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos elipses

semejantes con el mismo centro y ejes correspondientes colineales consta

de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud.

Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el caso particular en que las

elipses dadas sean dos circunferencias concéntricas. Contrayendo o dilatando

uniformemente una de las direcciones coordenadas, mediante anamorfosis,

podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los

segmentos con la misma pendiente cambian su longitud en la misma proporción.

Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la recta tienen la

misma longitud, la tenían ya al principio.No deben confundirse las elipses

semejantes con las elipses cofocales. La elipse en mecánica celeste

Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, "en tiempos iguales una masa en

órbita barre con su radio vector áreas iguales".

En mecánica celeste clásica, dos masas puntuales sometidas exclusivamente a

interacción gravitatoria describen una órbita elíptica (o circular 6 ) la una en torno a

la otra cuando la órbita es cerrada. Un observador situado en cualquiera de las

masas verá que la otra describe una elipse uno de cuyos focos (o centro) está

ocupado por el propio observador. La excentricidad y otros parámetros de la

trayectoria dependen, para dos masas dadas, de las posiciones y velocidades

relativas. Los planetas y el Sol satisfacen la condición de masas puntuales con

gran precisión porque sus dimensiones son mucho. más pequeñas que las

distancias entre ellos. La cinemática de la órbita se rige por las leyes de Kepler. En

la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una órbita elíptica que

cumplen la segunda ley de Kepler: "en tiempos iguales una masa en órbita barre

con su radio vector áreas iguales". Cuando el "planeta" está más cerca de la

"estrella" va más rápido y cuando está lejos va más despacio, pero de tal manera

que su velocidad areolar es la misma en ambos casos. Esto significa que las áreas

de los sectores elípticos amarillos son iguales y sus arcos t0 t1 se han recorrido en

intervalos de tiempo iguales, Δt = t1 - t0. La "estrella" está situada en P, uno de los

focos de la elipse.

Elipses

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de

distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario

Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices

Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor

Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor

Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría

Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los

ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

Excentricidad de la elipse

La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de

la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje

mayor.

Ecuaciones de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la

elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de

focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor

Semidistancia focal :

Semieje menor:

Ecuación reducida:

Excentricidad :

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en el origen :

Las coordenadas de los focos son: F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo

Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas

de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos

tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse

será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación

de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro

C(4, 2).

Ejemplos

Dada la elipse de ecuación : ,

Hallar el centro, semiejes, vértices y focos.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos

tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:

La Parábola

Historia

La tradición refiere que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en

su estudio del problema de la duplicación del cubo,1 donde demuestra la existencia

de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es

confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.Sin embargo, el primero en

usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada

obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el

estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Secciones cónicas.

La trayectoria de una pelota que rebota es una sucesión de parábolas.

En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante

de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.nota 1 Se define

también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una

recta llamada directriz,nota 2 y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría

proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen

pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza. La

parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su

forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo,

son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la

influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria

balística).

Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado por

otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular a la base del

triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección es paralelo a un lado

del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que se dibuje desde la sección de

un cono a su diámetro paralelo a la sección común del plano cortante y una de las

bases del cono, será igual en cuadrado al rectángulo contenido por la línea recta

cortada por ella en el diámetro que inicia del vértice de la sección y por otra línea

recta que está en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la

sección que el cuadrado en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido

por los dos lados restantes del triángulo. Y tal sección será llamada una parábola

Apolonio de Perge

Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los

rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas

satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la

búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo,

dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.

Propiedades geométricas

Diferentes elementos de una parábola.

Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde), y las líneas que

unen el foco y la directriz de la parábola (azul).

Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono

recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la

parábola como un lugar geométrico:

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una

recta dada, llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco.

De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola

que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un

punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se

traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La

intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como

resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para

diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea

necesario.

De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a

la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección

de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como

vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La

distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

Los puntos de la parábola están a la

misma distancia del foco F y de la

recta directriz.

Construcción de puntos en una

parábola.

Lado recto

El lado recto mide 4 veces la distancia focal

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es

paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre

la directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa

que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el

segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal).

Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman

ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean

cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además,

tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el

punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para

construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son

desconocidos.

Semejanza de todas las parábolas

Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la

apariencia de que tienen formas diferentes.

Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la

única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que

todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su

escala.

Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en

ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación

cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es

que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la

ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.

Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al

tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre

la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la

directriz.

Tangentes a la parábola

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cualquiera de la misma y T a la

proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual

es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como se ha visto. Luego MP

biseca al ángulo FPT, restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P.

Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que

FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro

punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de

MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque

a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P.

Aplicaciones prácticas

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos

paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son

muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio

concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en

la posición del foco. La concentración de la radiación solar en un punto, mediante

un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes

centrales captadoras de energía solar. Análogamente, una fuente emisora situada

en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros

tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de

luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o

divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Análogamente, un

emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el

foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.

Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las

grandes centrales captadoras de energía solar.

Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se sitúa

en el foco de una superficie parabólica.

Ecuaciones de la parábola

Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.

Prueba geométrica de la relación y=ax2.

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas

geométricas basado en ecuaciones y coordenadas. Una parábola cuyo vértice está

en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la

forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola,

incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes,

todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la

parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo». Si

bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la

geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya

estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará a continuación

usando notación moderna. Tomando nuevamente la definición de parábola como

sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y

sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV

al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base

del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.

Por el teorema de potencia de un punto:

.

Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:

.

Usando nuevamente los paralelismos:

.

Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en

.

Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición

de V, por lo que haciendo

arroja la expresión moderna y=ax².

Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de

una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma

(y-v)=a(x-u)2,

agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

La ecuación de una parábola de eje es vertical es : .

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando

y por x y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de la parábola de eje es horizontal es: .

Ecuación involucrando la distancia focal

Ecuación de una parábola vertical.

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el

parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe

sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda

automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice

y a esa misma distancia del último.Consideremos el caso especial en que el vértice

es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por

(0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo

que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

La ecuación de la parábola con vértice (0,0) y foco (0,p) es: .

De forma alterna:

La ecuación de la parábola de vértice (0,0) y foco en (0,p) es: .

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la

parábola. Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren

«hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar

excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:

Ecuación de la parábola de vértice (0,0) y foco en (0,-p) es: .

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación

similar intercambiando los roles de x, y:

La ecuación de la parábola de vértice en (0,0) y foco en (p,0) es

obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la

izquierda.

Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen

mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se

tiene.

Ec. De parábola de vértice (h, k),foco (h, k+p) es

mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:.

Ec. de parábola de vértice (h, k), foco (h+p, k) es .

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes

de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una

parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de

coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición

en un plano es:

si y sólo si :

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos.

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el

que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma

, donde a es distinto de cero

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado

foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola

Foco

Es el punto fijo F.

Directriz

Es la recta fija D.

Parámetro

Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

Eje

Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vértice

Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Radio vector

Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuación de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

Ejemplo

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Ejemplo

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Ecuación de la parábola de eje vertical

Ejemplo

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Excentricidad

Excentricidad de la elipse

La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al

cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

Posiciones relativas de una cónica y una recta

Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos el sistema formado por las

ecuaciones de ambas.

En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del

discrimínante, , las siguientes soluciones:

1 Si Δ > 0

Dos soluciones: la recta y la cónica son secantes.

2 Si Δ = 0

Una solución: la recta y la cónica son tangentes.

3 Si Δ < 0

Ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.

Calcula la posición relativa de la circunferencia y la recta

.

Estudiar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las rectas:

1 x + 7y -20 = 0

2 3x + 4y - 27 = 0

3 x + y - 10 = 0

Determina la posición relativa de la recta x + y - 1 =0 con respecto a la hipérbola x2 - 2y2 = 1.

Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y2 = 16 x.

Laboratorio

Hipérbola

Etimología. Hipérbole e hipérbola

Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de

hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Secciones cónicas.

Historia

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas

del cono. Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por

Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,2 donde

demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una

hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.3

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su

tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas

griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas que se cortan

en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan

F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea

perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas

gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje

transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al

cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de

los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje

transversal a una distancia ±a con respecto al centro.

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de

dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría,

y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el

valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados

focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante

positiva.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas:

Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y

ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ejemplos: a) b)

Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el

eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La

excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja. Una hipérbola en el plano complejo

es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ;

tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor

absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos

llamados focos y , es una constante positiva igual al doble de la distancia (o

sea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda:

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números

complejos.

Ecuaciones en coordenadas polares

Dos hipérbolas y sus asíntotas.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

Ecuaciones paramétricas

Imagen de sección cónica.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la

longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor. Si el ángulo de

plano intersección, respecto del eje de revolución, es mayor que el comprendido

entre la generatriz y el eje de revolución, la intersección será una elipse. Será una

parábola si es paralelo al citado eje, y una circunferencia si es perpendicular al eje.

Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los

puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la hipérbola

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario

Es la mediatriz del segmento .

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices

Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene

por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento de longitud 2c.

Eje mayor

Es el segmento de longitud 2a.

Eje menor

Es el segmento de longitud 2b.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas

Son las rectas de ecuaciones:

Relación entre los semiejes

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

Ecuación de la hipérbola

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes

coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y sabiendo que , llegamos a:

Ejemplos

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'( -5, 0) y F(5,

0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la

excentricidad de la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144.

Ecuación reducida de eje vertical de la hipérbola

F'(0, -c) y F(0, c)

La ecuación será:

Ejemplo

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).

Ecuación de la hipérbola

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de

coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

Ejemplos

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la

forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).

Ecuación de la hipérbola de eje vertical

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de

coordenadas F(X0, y0+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la hipérbola será:

Ejemplo

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la

forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).

Hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b. Y su

ecuación es:

Las asíntotas tienen por ecuación:

,

Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

La excentricidad es:

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de -45°

alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:

Si efectuamos un giro de 45° en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto cuadrante y

su ecuación será:

Ejemplos

La ecuación representa una hipérbola equilátera, calcular vértices y sus focos.

Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, la

primera componente y la segunda componente coinciden, es decir, x = y. Y como además el punto

A pertenece a la curva, tendremos:

Una hipérbola equilátera pasa por el punto (4, 1/2). Haya su ecuación referida a sus asíntotas como

ejes, y las coordenadas de los vértices y los focos.