secciones cónicas
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Universidad Técnica Particular de Loja Tema: Secciones Cónicas. Expositor: Ing. Daniel Irene R. Periodo: Septiembre 2010 - Febrero 2011.TRANSCRIPT
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SECIONES CÓNICASLA CIRCUNFERENCIA, LA
PARÁBOLA, LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA.
MATEMÁTICAESCUELA DE ARQUITECTURA
Capitulo Nro. 01
Autores:
ING. SONIA LORENA GONZAGA V. ([email protected])ING. LAPO PAUTA CARMEN MIREYA. ([email protected])ING. PINEDA PUGLLA EDGAR IVAN. ([email protected])
ING. IRENE ROBALINO PEDRO DANIEL. ([email protected])
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Definiciones:• Se denomina sección cónica a la curva
intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.
• Intersección de un plano y un cono de dos hojas.• Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección,
podemos crear un círculo, un elipse, una parábola o una hipérbola; o en el caso especial cuando el plano se pone en contacto con el vértice: un punto, una línea o 2 líneas intersectadas.
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circunferencia
elipse
parabola
hiperbola
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Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
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• Algebraicamente las secciones cónicas se pueden definir en términos de la ecuación general de segundo grado.
• La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica.
• Conjunto de todos los puntos (x,y) que son equidistantes de un punto fijo (h,k).
• Forma canónica o estándar de la circunferencia.
022 FEyDxCyBxyAx
LA CIRCUNFERENCIA
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x2 + y2 = r2
Con centro en (h, k)Con centro en el origen (0, 0)
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LA PARÁBOLA
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)(4)( 2 kyphx
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La forma estándar o canónica de la ecuación de la parábola con vértice (h,k) y directriz y= k- p es:Y sus elementos son:Foco (h, k + p)Directriz y = k – pEje focal x = hSi p > 0 la parábola se abre hacia arriba.Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
)()( kyphx 42 Eje vertical
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La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma:
(y - k)² = 4p(x - h) eje horizontal
Y sus elementos son los siguientes:• Foco (h + p, k)• Directriz x = h – p• Eje focal y = k• Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice.• Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha.• Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.
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•Cuerda focal es el segmento de recta que pasa por el foco de una parábola y tiene sus extremos en la misma.• La cuerda focal perpendicular al eje de la parábola es el lado recto.
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PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACION
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La forma canónica estándar de la ecuación de una elipse con centro (h,k) y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a>b, es
LA ELIPSE
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• Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro.
• La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje Y esta dada por
• También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: 2b² / a y la excentricidad e = c / a.
1)()(
2
2
2
2
a
ky
b
hx
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X
Y
L’
V V’F’F C
c
b
a
L
A
A’
CF CF
Con centro en (h, k) Con centro en el origen (0, 0)
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Es el conjunto de todos los puntos (x,y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola . Tiene dos ramas separadas.
LA HIPERBOLA
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X
Y
LF V V’C
A
L’
A’
F’
CF CF’
El valor absoluto de la diferencia entre las distancias es constante
Los elementos de una hipérbola son:
- F y F’, focos. - VV’, eje transverso- V y V’, vértices. - C, centro- L, eje focal. - L’, eje normal- AA’, eje conjugado- CF, lado recto
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• La ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la forma:
• Sus focos son (h+c,k) y (h-c,k) y • Sus vértices son (h–a,k) y (h+a,k).
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
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•Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es de la forma
• Sus focos son (h,k+c) y (h,k -c) y • Sus vértices son (h-a,k ) y (h+a,k ).
1)()(
2
2
2
2
b
hx
a
ky
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Las intersecciones con el eje X, que también son los vértices son x=± a, y no hay intersecciones con el eje Y. Haga x=0 y despeje Y.
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•Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:
• Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:
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Asíntotas de hipérbola con centro (0,0)
La hipérbola se acerca a estas rectas asíntotas, en tanto un punto P(x,y) sobre la hipérbola se mueve hacia afuera del origen. Una forma fácil de dibujar las asíntotas es primero dibujar el rectángulo y luego trazar las diagonales de este rectángulo.
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• Los vértices se encuentran a a unidades del centro, y los focos se encuentran a c unidades del centro con:
• La excentricidad de la hipérbola está dada por el cociente.
• En la hipérbola c>a, entonces resulta que e>1. Si la excentricidad es grande las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas son más puntiagudas
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PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACION