Teorema (Teorema del valor intermedio)

Sea f continua en un intervalo cerrado [a, b] y sea N un numero entref (a) y f (b). Entonces existe un numero c entre a y b, tal que f (c) = N.

Ejemplo Mostrar que hay una raız de la ecuacion

4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0

entre 1 y 2.

() 9 de mayo de 2012 1 / 8

Teorema (Teorema del valor intermedio)

Sea f continua en un intervalo cerrado [a, b] y sea N un numero entref (a) y f (b). Entonces existe un numero c entre a y b, tal que f (c) = N.

Ejemplo Mostrar que hay una raız de la ecuacion

4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0

entre 1 y 2.

() 9 de mayo de 2012 1 / 8

Consideramos el lımite

lımx 7→0

1

x2

Haciendo una tabulacion para valores de x cercanos a 0, obtenemos que

x 1x2

±1 1±0,5 4±0,2 25±0,1 100±0,05 400±0,01 1000±0,001 1000000

Luego el lımite no existe pues no se acerca a ningun valor, al contrariocada vez que x esta cerca de 0, f (x) es mas grande.

() 9 de mayo de 2012 2 / 8

Consideramos el lımite

lımx 7→0

1

x2

Haciendo una tabulacion para valores de x cercanos a 0, obtenemos que

x 1x2

±1 1±0,5 4±0,2 25±0,1 100±0,05 400±0,01 1000±0,001 1000000

Luego el lımite no existe pues no se acerca a ningun valor, al contrariocada vez que x esta cerca de 0, f (x) es mas grande.

() 9 de mayo de 2012 2 / 8

DEFINICION. La notacion

lımx 7→a

f (x) =∞

significa que el valor de f (x) puede volverse lo suficientemente grande,cada vez que x este cercano a a, pero no igual a a. Esta definicion segeneraliza a limites laterales de manera analoga.

Ejemplos

lımx 7→01x2

=∞lımx 7→0+

1x =?

lımx 7→0−1x =?

Graficamente identificamos estos lımites como decaimientos asintoticos arectas verticales.

() 9 de mayo de 2012 3 / 8

DEFINICION. La notacion

lımx 7→a

f (x) =∞

significa que el valor de f (x) puede volverse lo suficientemente grande,cada vez que x este cercano a a, pero no igual a a. Esta definicion segeneraliza a limites laterales de manera analoga.

Ejemplos

lımx 7→01x2

=∞lımx 7→0+

1x =?

lımx 7→0−1x =?

Graficamente identificamos estos lımites como decaimientos asintoticos arectas verticales.

() 9 de mayo de 2012 3 / 8

DEFINICION. La notacion

lımx 7→a

f (x) =∞

significa que el valor de f (x) puede volverse lo suficientemente grande,cada vez que x este cercano a a, pero no igual a a. Esta definicion segeneraliza a limites laterales de manera analoga.

Ejemplos

lımx 7→01x2

=∞lımx 7→0+

1x =?

lımx 7→0−1x =?

Graficamente identificamos estos lımites como decaimientos asintoticos arectas verticales.

() 9 de mayo de 2012 3 / 8

DEFINICION. La lınea x = a es llamada una asintota vertical de lacurva y = f (x), si se cumple una de las siguientes condiciones

lımx 7→a

f (x) =∞ lımx 7→a+

f (x) =∞ lımx 7→a−

f (x) =∞

lımx 7→a

f (x) = −∞ lımx 7→a+

f (x) = −∞ lımx 7→a−

f (x) = −∞

EJEMPLOSHallar si existen, las asintotas verticales de las siguientes funciones

f (x) = 2xx−3 .

g(x) = x−1x2−1 .

h(x) = ln x

i(x) = tan x

() 9 de mayo de 2012 4 / 8

DEFINICION. La lınea x = a es llamada una asintota vertical de lacurva y = f (x), si se cumple una de las siguientes condiciones

lımx 7→a

f (x) =∞ lımx 7→a+

f (x) =∞ lımx 7→a−

f (x) =∞

lımx 7→a

f (x) = −∞ lımx 7→a+

f (x) = −∞ lımx 7→a−

f (x) = −∞

EJEMPLOSHallar si existen, las asintotas verticales de las siguientes funciones

f (x) = 2xx−3 .

g(x) = x−1x2−1 .

h(x) = ln x

i(x) = tan x

() 9 de mayo de 2012 4 / 8

Tambien podemos estudiar el comportamiento de las funciones cuando elvalor de x es lo suficientemente grande(∞). Consideremos la funcion

f (x) = x2−1x2+1

y elaboramos la tabla

x f (x)±0 −1±1 0±2 0,6±5 0,923077±10 0,980198±50 0,9992±100 0,9998±1000 0,999998

Notemos que a medida que x toma valores grandes, f (x) se acerca a 1.Simbolicamente podemos describir este comportamiento como

lımx 7→∞

x2 − 1

x2 + 1= 1

() 9 de mayo de 2012 5 / 8

Tambien podemos estudiar el comportamiento de las funciones cuando elvalor de x es lo suficientemente grande(∞). Consideremos la funcion

f (x) = x2−1x2+1

y elaboramos la tabla

x f (x)±0 −1±1 0±2 0,6±5 0,923077±10 0,980198±50 0,9992±100 0,9998±1000 0,999998

Notemos que a medida que x toma valores grandes, f (x) se acerca a 1.Simbolicamente podemos describir este comportamiento como

lımx 7→∞

x2 − 1

x2 + 1= 1

() 9 de mayo de 2012 5 / 8

Tambien podemos estudiar el comportamiento de las funciones cuando elvalor de x es lo suficientemente grande(∞). Consideremos la funcion

f (x) = x2−1x2+1

y elaboramos la tabla

x f (x)±0 −1±1 0±2 0,6±5 0,923077±10 0,980198±50 0,9992±100 0,9998±1000 0,999998

Notemos que a medida que x toma valores grandes, f (x) se acerca a 1.Simbolicamente podemos describir este comportamiento como

lımx 7→∞

x2 − 1

x2 + 1= 1

() 9 de mayo de 2012 5 / 8

DEFINICION. Sea f una funcion definida en algun intervalo (a,∞).Entonces

lımx 7→∞

f (x) = L

significa que el valor de f (x) se acerca a L, cada vez que x es mas grande.

Graficamente se ve que la funcion se acerca a la recta y = L cada vez quex toma valores grandes.

DEFINICION. La recta y = L es llamada una asintota horizontal de lacurva y = f (x) si

lımx 7→∞

f (x) = L o lımx 7→−∞

f (x) = L

Ejemplos

f (x) = arctan x

g(x) = x2−1x2+1

h(x) = 1x

() 9 de mayo de 2012 6 / 8

DEFINICION. Sea f una funcion definida en algun intervalo (a,∞).Entonces

lımx 7→∞

f (x) = L

significa que el valor de f (x) se acerca a L, cada vez que x es mas grande.

Graficamente se ve que la funcion se acerca a la recta y = L cada vez quex toma valores grandes.

DEFINICION. La recta y = L es llamada una asintota horizontal de lacurva y = f (x) si

lımx 7→∞

f (x) = L o lımx 7→−∞

f (x) = L

Ejemplos

f (x) = arctan x

g(x) = x2−1x2+1

h(x) = 1x

() 9 de mayo de 2012 6 / 8

DEFINICION. Sea f una funcion definida en algun intervalo (a,∞).Entonces

lımx 7→∞

f (x) = L

significa que el valor de f (x) se acerca a L, cada vez que x es mas grande.

Graficamente se ve que la funcion se acerca a la recta y = L cada vez quex toma valores grandes.

DEFINICION. La recta y = L es llamada una asintota horizontal de lacurva y = f (x) si

lımx 7→∞

f (x) = L o lımx 7→−∞

f (x) = L

Ejemplos

f (x) = arctan x

g(x) = x2−1x2+1

h(x) = 1x

() 9 de mayo de 2012 6 / 8

DEFINICION. Sea f una funcion definida en algun intervalo (a,∞).Entonces

lımx 7→∞

f (x) = L

significa que el valor de f (x) se acerca a L, cada vez que x es mas grande.

Graficamente se ve que la funcion se acerca a la recta y = L cada vez quex toma valores grandes.

DEFINICION. La recta y = L es llamada una asintota horizontal de lacurva y = f (x) si

lımx 7→∞

f (x) = L o lımx 7→−∞

f (x) = L

Ejemplos

f (x) = arctan x

g(x) = x2−1x2+1

h(x) = 1x

() 9 de mayo de 2012 6 / 8

OBSERVACION. Si n es un entero positivo, entonces

lımx 7→∞

1

xn= 0 lım

x 7→−∞

1

xn= 0

Ejemplos Calcular los siguientes limites

lımx 7→∞

3x2−1x2+5

.

lımx 7→∞

(√

x2 + 1− x).

OBSERVACION. Si a ∈ R y a > 0, entonces

lımx 7→−∞

ax = 0

Evaluar lımx 7→0− e1x

() 9 de mayo de 2012 7 / 8

OBSERVACION. Si n es un entero positivo, entonces

lımx 7→∞

1

xn= 0 lım

x 7→−∞

1

xn= 0

Ejemplos Calcular los siguientes limites

lımx 7→∞

3x2−1x2+5

.

lımx 7→∞

(√

x2 + 1− x).

OBSERVACION. Si a ∈ R y a > 0, entonces

lımx 7→−∞

ax = 0

Evaluar lımx 7→0− e1x

() 9 de mayo de 2012 7 / 8

OBSERVACION. Si n es un entero positivo, entonces

lımx 7→∞

1

xn= 0 lım

x 7→−∞

1

xn= 0

Ejemplos Calcular los siguientes limites

lımx 7→∞

3x2−1x2+5

.

lımx 7→∞

(√

x2 + 1− x).

OBSERVACION. Si a ∈ R y a > 0, entonces

lımx 7→−∞

ax = 0

Evaluar lımx 7→0− e1x

() 9 de mayo de 2012 7 / 8

OBSERVACION. Si n es un entero positivo, entonces

lımx 7→∞

1

xn= 0 lım

x 7→−∞

1

xn= 0

Ejemplos Calcular los siguientes limites

lımx 7→∞

3x2−1x2+5

.

lımx 7→∞

(√

x2 + 1− x).

OBSERVACION. Si a ∈ R y a > 0, entonces

lımx 7→−∞

ax = 0

Evaluar lımx 7→0− e1x

() 9 de mayo de 2012 7 / 8

La notacionlımx 7→∞

f (x) =∞

significa que f crece tanto como crece x .Ejemplos

lımx 7→∞ x =?

lımx 7→∞ ex =?

lımx 7→∞ x2 − x =?

lımx 7→∞x2+x3−x =?

() 9 de mayo de 2012 8 / 8

La notacionlımx 7→∞

f (x) =∞

significa que f crece tanto como crece x .Ejemplos

lımx 7→∞ x =?

lımx 7→∞ ex =?

lımx 7→∞ x2 − x =?

lımx 7→∞x2+x3−x =?

() 9 de mayo de 2012 8 / 8

DEFINICION. Una recta de la forma y = mx + b es una asintotaoblicua de la funcion f (x), si

lımx 7→∞

f (x)− (mx + b) = 0

Graficamente interpretamos una asintota oblicua si la curva y = f (x) seacerca a la recta y = mx + b.

Ejemplos. Encontrar la asintota oblica de las siguientes funciones

f (x) = x2+1x−1 .

g(x) = x2+sin xx−1 .

() 9 de mayo de 2012 9 / 8

DEFINICION. Una recta de la forma y = mx + b es una asintotaoblicua de la funcion f (x), si

lımx 7→∞

f (x)− (mx + b) = 0

Graficamente interpretamos una asintota oblicua si la curva y = f (x) seacerca a la recta y = mx + b.

Ejemplos. Encontrar la asintota oblica de las siguientes funciones

f (x) = x2+1x−1 .

g(x) = x2+sin xx−1 .

() 9 de mayo de 2012 9 / 8

DEFINICION. Una recta de la forma y = mx + b es una asintotaoblicua de la funcion f (x), si

lımx 7→∞

f (x)− (mx + b) = 0

Graficamente interpretamos una asintota oblicua si la curva y = f (x) seacerca a la recta y = mx + b.

Ejemplos. Encontrar la asintota oblica de las siguientes funciones

f (x) = x2+1x−1 .

g(x) = x2+sin xx−1 .

() 9 de mayo de 2012 9 / 8