schrödinger-cuantica

8/17/2019 Schrödinger-cuantica

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Problemas y ejercicios de mec´ anica cu´ antica

III.2. Problemas adicionales

III.7 Compruebe que las eigenfunciones de la part́ıcula en un pozo cuadrado infinitono son funciones propias del operador Ô = −i (d/dx).

Aplicando el operador Ô a las eigenfunciones (III.42) que describen los estados

estacionarios de partı́culas en un pozo rectangular infinito, se obtiene

−i dϕn (x)dx

= −i πna

2

a cos

πnx

a ,

resultado que no tiene la forma de la ecuación de eigenvalores

−i ddx

ϕn (x) = λϕn (x) .

Esto muestra que las ϕn (x) no son eigenfunciones del operador −i d/dx. En elcapı́tulo VII veremos que este operador es muy importante y que el resultadorecién demostrado significa que las funciones ϕn no corresponden a momento

lineal determinado.

III.8 Considere un conjunto de part́ıculas que se mueven en un pozo de potencialde anchura a y paredes infinitas. Escriba la función de onda ψ (x, t) que las describe,para el caso en que para el tiempo t = 0 la probabilidad de que la enerǵıa del sistemasea E 1 o E 2 es 1/2. Determine asimismo |ψ (x, t)|2 y el valor medio de x.

La función de onda para t = 0 es

ψ (x, 0) = 1√ 2

[ϕ1 (x) + ϕ2 (x)] , (III.53)

con

ϕ1 (x) = 2a sen πxa , ϕ2 (x) = 2a sen 2πxa .Escribiendo como en el problema III.4

ψ (x, 0) =∞n=1

cnϕn (x) , (III.54)

los únicos coeficientes diferentes de cero son

c1 = c2 = 1√

2, (III.55)

por lo que la expresión general, válida para todo tiempo, (T5.7) o (III.25)

ψ (x, t) =∞n=1

cnϕn (x) e−iE nt/, (III.56)

se reduce a

ψ (x, t) = 1√

a

e−iE 1t/ sen

πx

a + e−iE 2t/ sen

2πx

a

, (III.57)

con

E 1 = π2 2

2ma2, E 2 =

2π2 2

ma2 .

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III.11 Investigue qué tan realista puede ser modelar un átomo de hidrógeno conun pozo rectangular infinito unidimensional, suponiendo que la l ı́nea de emisión de1216 Å (que pertenece a la serie de Lyman, en el ultravioleta) ocurre debido a unatransición del nivel n = 2 al nivel n = 1. Utilice esta hipótesis para estimar el diámetrodel átomo y compárelo con el valor correcto 1.06 Å.

III.12 Considere las funciones gaussiana F (x) y su transformada de Fourier F̃ (k)dadas en el inciso d) del problema III.2, y utiĺıcelas para determinar la dispersión delas variables (“conjugadas”) x y k. Observe que se cumple el importante resultadoσ2xσ

2k = 1. Considere ahora el paquete de ondas estudiado en el inciso b) del

mismo problema y estime las correspondientes dispersiones, para mostrar que valeuna relacíon similar a la anterior.

III.13 En la ecuación de eigenvalores L̂ϕ(x1, x2) = λϕ(x1, x2) el operador L̂ in-tercambia las variables x1 y x2. Determine qué propiedad general poseen las eigen-funciones de este problema y cuáles son los posibles valores propios.

III.14 Un problema importante en mecánica cuántica es el de la part́ıcula sujetaa una fuerza lineal restitutiva (el oscilador armónico). La ecuación de Schrödingerestacionaria para este problema, en una dimensión, tiene la forma

− 2

2mϕ +

1

2kx2ϕ = E ϕ.

Se proponen soluciones de los siguientes tipos:

a) ϕ = A1 exp(ax2) + A2 exp(−ax2), con a real y positiva,

b) ϕ = (B1 + B2x)exp(−bx2), con b real y positiva.

Encuentre los valores que deben tener las constantes Ai, Bi, a y b para que estasfunciones sean soluciones f́ısicamente aceptables y estén normalizadas a la unidad.Encuentre el valor de E en cada caso.

III.15 De acuerdo con el principio de correspondencia, los resultados de la teoŕıacuántica deben coincidir con los correspondientes de la f́ısica clásica en el ĺımite denúmeros cuánticos muy grandes. Demuestre que cuando n → ∞ la probabilidad deencontrar a la part́ıcula en un pozo de potencial infinito en un punto entre x y x + dxes independiente de x, tal como predice la f́ısica clásica.

III.16 Determine las funciones que satisfacen la ecuación de valores propios

Âf (x) = λf (x),

cuando Â es el operador que al aplicarse a una función la eleva al cuadrado.

III.17 Considere una función f (x) que puede ser integrada dos veces, y f̃ (k) sutransformada de Fourier. Exprese la transformada de Fourier de df (x)/dx y de xf (x)en términos de f̃ (k).

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lo que conduce a

δ (x) δ (y)δ (z − z0) = δ (r − r0) δ (θ)2πr2 sen θ

. (IV.28)

Cuando θ y ϕ son ambas coordenadas ignorables (lo que ocurre en el origen),debe emplearse |J r|, definida por

|J r| = π0

2π0

|J | dθdϕ = 4πr2. (IV.29)

Resulta entonces

δ (x) δ (y)δ (z) = δ (r)

4πr2. (IV.30)

IV.7 Demuestre que si al potencial de la ecuación estacionaria de Schrödinger sele agrega una constante, las soluciones no se modifican. Discuta el efecto de estapropiedad en los eigenvalores de la enerǵıa de la part́ıcula libre.

Si al potencial en la ecuación estacionaria de Schrödinger

− 2

2m∇2ϕ + V (x) ϕ = E ϕ (IV.31)

se le agrega la constante C , la ecuación se transforma en

− 2

2m∇2ϕ + V (x) ϕ = (E − C ) ϕ.

Definiendo la nueva energı́a E = E − C se obtiene la nueva ecuación de Schrö-dinger,

− 2

2m∇2ϕ + V (x) ϕ = E ϕ. (IV.32)

Como ambas ecuaciones (IV.31) y (IV.32) tienen la misma forma, sus soluciones

son comunes. Luego lo único que se modifica son los eigenvalores correspondientesde la energı́a, pues ahora están dados por E n = E

n+C , es decir, se han desplazado

por la cantidad C . En particular, en el caso de la part́ıcula libre el continuo inicialde valores para E dentro del intervalo [0, ∞) se desplaza a [C, ∞).

IV.8 Muestre que para cualquier paquete de part́ıculas libres se cumple que

x (t) = x (t0) + v (t − t0) .De los resultados de la sección 4.5 del texto sigue que el paquete general de

part́ıculas libres se puede escribir en la forma

ψ (x, t) =

1

2π ∞−∞ ∞

−∞ eik(x

−x)−iD(t

−t0)k2

ψ0 x dxdk, (IV.33)donde se ha puesto

k = p

, D =

2m, (IV.34)

y ψ0 (x) = ψ (x, t0) representa la amplitud (inicial) al tiempo t0, totalmentearbitraria. Integrando sobre la variable k obtenemos la correspondiente expresiónen términos del propagador de partı́cula libre:

ψ (x, t) = 1

2π

π

iD (t − t0) ∞−∞

ei(x−x)2/4D(t−t0) ψ0

x

dx. (IV.35)

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Procediendo de forma análoga, la relación de dispersión para aguas profun-das resulta

ω =

gk, (IV.70)

de la que sigue que

vg = 1

2 gk = 12 λg2π (IV.71)y que

vf = λν =

λg

2π = 2vg. (IV.72)

b) Para el caso de la gúıa de ondas electromagnéticas, cuando se cumple que

vf = λν = ω

k =

c 1 − (ω0/ω)2

(IV.73)

se llega a la relación de dispersión

k = ω

c

1 − ω0ω2

, (IV.74)

o bien

ω =

c2k2 + ω20. (IV.75)

La velocidad de grupo de esta onda resulta

vg = ∂ω

∂k =

c2k c2k2 + ω20

= c

1 −

ω0ω

2. (IV.76)

Es claro que vg

≤ c, como debe ser para una velocidad que describe la

propagación de la energı́a electromagnética.De la teoŕıa de la relatividad especial se sabe que bajo ninguna circunstanciauna señal f́ısica se puede propagar con velocidad mayor que c, la velocidadde la luz en el vaćıo. La ecuación (IV.73) muestra que vf > c. Igual que enel problema anterior, esta aparente contradicción se debe al hecho de queuna onda monocromática no transporta enerǵıa (ni siquiera información),puesto que se extiende de manera uniforme indefinidamente en el espacio yel tiempo. Por el contrario, una señal en forma de una onda modulada sepropaga con velocidad de grupo, la que siempre es menor que c en mediosnormalmente dispersores.6

IV.3. Ejercicios

IV.14 Considere una función de onda de part́ıculas libres que para t = 0 tienela forma ϕ(x)eip0x/, donde ϕ(x) es real y difiere de 0 sólo para valores de xen el intervalo (−δ, δ ). Encuentre el intervalo de x en que la función de onda essignificativamente diferente de cero para el tiempo t.

6En regiones de dispersión anómala, vg puede ser mayor que c. Sin embargo, en estos casosla velocidad de propagación de los fenómenos f́ısicos es la llamada velocidad de se˜ nal , que esdiferente de la de grupo y menor que la de la luz. Véase por ejemplo Hecht (1977).

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La partı́cula libre

IV.15 Encuentre la función de onda para el tiempo t para part́ıculas libres cuyaamplitud para t = 0 es

ψ(r, 0) = 1

(πσ2)3/4e−r

2/2σ2+ip0·r/.

IV.16 La ecuación de Schrödinger para part́ıcula libre tiene la solución general(ecuación (T4.4))

ψ(x, t) = Ae−iEt/+ipx/ + Be−iEt/−ipx/.

Demuestre que las condiciones iniciales pueden escogerse tales que:

a) ψ(x, t) sea eigenfunción del operador ˆ p = −i ∂/∂x (cf. ecuación (IV.43));b) la densidad de probabilidad resulte independiente del tiempo, o sea que repre-

sente una onda estacionaria.

IV.17 Resuelva el problema de la part́ıcula libre en coordenadas ciĺındricas polares.

IV.18 Considere un paquete de part́ıculas libres con una distribución gaussiana demomentos:A(k) = e−(k−k0)

2/q2.

a) Encuentre ψ(x, t) para este paquete.

b) ¿Con qué velocidad se desplaza el centro de masa del paquete?

c) ¿Con qué velocidad crece la dispersión espacial del paquete? ¿Puede llegar aser esta velocidad mayor que la de la luz? Explique su respuesta.

IV.19 Demuestre que la velocidad de fase de la onda de de Broglie asociada a unapart́ıcula libre que se mueve con velocidad v está dada por

vf = c2

v .

Sugerencia: Utilice la relación relativista E = mc2.

IV.20 Demuestre que se puede escribir

δ (x − ξ ) = 2L

∞n=1

sen

nπξ

L

sen

nπxL

, 0 < ξ < L.

IV.21 Una representación importante de la delta de Dirac se construye consideran-do el ĺımite n → ∞ de la secuencia

δ n (x) = cn 1 − x2n , para 0 ≤ |x| ≤ 1, n = 1, 2, 3, . . .0, para |x| > 1,pues es punto central en la demostración del teorema de Weierstrass. Determine loscoeficientes cn tales que 1

−1δ n (x) dx = 1

y demuestre que

ĺımn→∞

1−1

f (x) δ n (x) dx = f (0) .

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V. Ecuación completa de Schrödinger

V.1. Problemas del texto

V.1 Demuestre que si ψ1 y ψ2 son soluciones de la ecuación de Schrödinger depen-diente del tiempo, se cumple la siguiente relacíon que generaliza la ecuación decontinuidad:

∂

∂tψ∗1ψ2 +

i

2m∇ · (ψ2∇ψ∗1 − ψ∗1∇ψ2) = 0.

Escribimos la ecuacíon de Schrödinger para ψ2 y ψ∗1, con el mismo potencial:

i ∂

∂tψ2 = −

2

2m∇2ψ2 + V ψ2, (V.1)

−i ∂ ∂t

ψ∗1 = −

2

2m∇2ψ∗1 + V ψ∗1. (V.2)

Multiplicamos la primera de estas ecuaciones por ψ∗1 y la segunda por ψ2, yrestamos los resultados para obtener

i ∂

∂tψ∗1ψ2 = −

2

2m

ψ∗1∇2ψ2 − ψ2∇2ψ∗1

.

Observamos ahora que puede escribirse

ψ∗1∇2ψ2 = ∇ · (ψ∗1∇ψ2) − (∇ψ∗1) · (∇ψ2)y una relación análoga para ψ2∇2ψ∗1, por lo que

ψ∗1∇2ψ2 − ψ2∇2ψ∗1 = ∇ · (ψ∗1∇ψ2 − ψ2∇ψ∗1) . (V.3)Sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene finalmente

∂

∂tψ∗1ψ2 +

i

2m∇ · (ψ2∇ψ∗1 − ψ∗1∇ψ2) = 0. (V.4)

Obsérvese que al escribir la ecuación conjugada (V.2) se supuso que el potencialV (r) es real; un potencial complejo producirı́a un término adicional en la ecuación(V.4).

V.2 Estudie detalladamente la continuidad de ψ en los siguientes problemas uni-dimensionales:

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a) pozo rectangular con |V | → ∞;b) V (x) = aδ (x − x0).

El inciso a) de este problema se discute detalladamente en la mayoŕıa de loslibros de mecánica cuántica, mientras que el inciso b) será analizado con detalle

en el problema VI.3. Aqúı nos limitaremos a lo esencial para responder a lapregunta del problema.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger para el pozo infinito de anchuraa,

Eψ = − 2

2m∇2ψ, 0 < x < a, (V.5)

son continuas en todo punto:

ψn(x) ∼ sen(πnx/a), 0 < x < a,ψn(x) = 0, x ≤ 0, x ≥ a, (V.6)

en tanto que sus derivadas

ψn(x) ∼ cos(πnx/a), 0 < x < a,ψn(x) = 0, x ≤ 0, x ≥ a,

(V.7)

son discontinuas en x = 0, a. Éstos son precisamente los puntos de retorno, donde,en el caso clásico, la velocidad de la partı́cula cambia bruscamente de signo porefecto de la pared perfectamente reflectora. La discontinuidad de ψ n(x) en x = 0y x = a es debida a la discontinuidad infinita del potencial en esos puntos, comopuede demostrarse con un análisis similar al del siguiente caso.

En el caso del inciso b), para x = x0 la ecuación de Schrödinger es la departı́cula libre, pero en la vecindad de x = x0 se levanta una barrera infinitamentealta y angosta. Integrando la ecuación de Schrödinger en la vecindad (x0

−, x0+)

se tiene

− 2

2m

x0+x0−

d

dx

dψ

dx

+ aψ(x0) = 2Eψ(x0). (V.8)

Como ψ es continua en x0, el lado derecho se anula cuando → 0, de manera quedψ

dx

x0+

−

dψ

dx

x0−

= 2ma

2 ψ(x0), (V.9)

o sea que la derivada de la función de onda es discontinua en x0, siendo el valorde la discontinuidad proporcional a la magnitud a del potencial delta. Una vezmás, la discontinuidad de ψ se da en el punto clásico de retorno, en el que lavelocidad de la partı́cula sufre un cambio brusco por la reflexión.

V.3 Muestre que el propagador K (x, t | x, t), definido con la ecuación (T5.22), esuna solución de la ecuación de Schrödinger y que el propagador K c (x, t | x, t) dadopor la ecuación (T5.23) es una función de Green de la misma ecuación. ¿Qué propie-dades posee K c que lo distinguen de otras posibles funciones de Green de la ecuaciónde Schrödinger?

a) La expresión (T5.22) para el propagador es

K

x, t | x, t = n

e−iωn(t−t)ϕ∗n

x

ϕn (x) , (V.10)

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Ecuaci´ on completa de Schr¨ odinger

donde se ha introducido la abreviación ωn = E n/ y ϕn es una solución de laecuación estacionaria de Schrödinger,

E nϕn = − 2

2m∇2ϕn + V (x)ϕn. (V.11)

De (V.10) sigue que

∇2 K x, t | x, t = n


x∇2ϕn (x) ,

V (x) K

x, t | x, t = n


x

V (x) ϕn (x) ,

∂

∂tK

x, t | x, t = −n

iωne−iωn(t−t)ϕ∗n

x

ϕn (x) .

Podemos entonces escribir con ayuda de la ecuación (V.11):

−

2

2m∇2 K x, t | x, t+ V (x)K x, t | x, t=

n


x − 2

2m∇2ϕn(x) + V (x)ϕn(x)

=

n

E ne−iωn(t−t)ϕ∗n

x

ϕn(x) = i ∂

∂tK

x, t | x, t , (V.12)lo que demuestra que K (x, t | x, t) es solución de la ecuación de Schrödingerdependiente del tiempo para el mismo potencial al que corresponden las funcionespropias ϕn(x).

De hecho, podrı́amos habernos ahorrado la demostración, notando que si en

(V.10) se considera a x y t como parámetros y se define C n(x, t) ≡ eiωnt

ϕ∗n (x),se obtiene K (x, t | x, t) = n C n(x, t)e−iωntϕn (x), que es la forma general dedesarrollar la solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo(cf. ecuación (T5.7)). Lo novedoso del presente cálculo está en la posibilidad deintercambiar los papeles de los juegos de variables (x, t) ↔ (x, t), efectuandosimultáneamente una conjugación de la correspondiente función de onda.

b) El propagador K c (x, t | x, t) está dado por la ecuación (T5.23), es decir,

K c (x, t | x0, t0) =

n e−iωn(t−t0)ϕ∗n (x0) ϕn (x) , t > t0,

0, t < t0. (V.13)

Para t > 0, (V.13) coincide con (V.10) y satisface por lo tanto la ecuaci ón de

Schrödinger dependiente del tiempo. Para t < 0 se satisface la misma ecuación,ahora trivialmente, pues todo es nulo. En t = t0 hay una discontinuidad, cuyovalor está dado por

n

ϕ∗n (x0) ϕn (x) = δ (x − x0) , t → t0, (V.14)

resultado que expresa la relaci´ on de completez 1 de las funciones ϕn, y valepara toda base completa de funciones ortonormales (cf. ecuación (T4.13)). Esto

1Se le conoce también, particularmente en España, como relación de completitud.

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significa que la derivada del propagador K c respecto de t da una función deltaen el tiempo, multiplicada por la altura de la discontinuidad, δ (x − x0). Porconsiguiente, si se repite el cálculo anterior se obtendrá la ecuación de Schrödingercon un término adicional:

i ∂

∂tK c x, t | x, t+

2

2m∇2 K c x, t | x, t− V (x) K c x, t | x, t

= i δ (x − x0) δ (t − t0) . (V.15)El nuevo término juega el papel de fuente del propagador, pues agrega unainhomogeneidad a la ecuacíon diferencial. La ecuación (V.15) muestra queK c (x, t | x0, t0) es una función de Green de la ecuación de Schrödinger, es de-cir, una solución fundamental de esta ecuación con una fuente puntual. Como lapropagación se realiza sólo hacia el futuro (pues K c = 0 para t < t0), se le llamapropagador causal .2

V.4 Demuestre que el propagador dado por la ecuación (V.10) (o la (T5.22)) posee

la siguiente propiedad integral:

K (x1, t1 | x2, t2) =

K (x1, t1 | x, t) K (x, t | x2, t2) dx, t1 < t < t2.

De la ecuación (V.10) sigue que

K (x, t | x2, t2) =n

e−iωn(t−t2)ϕ∗n (x2) ϕn (x) ,

K (x1, t1 | x, t) =n

e−iωn(t1−t)ϕ∗n (x) ϕn (x1) .

Multiplicando ambas expresiones entre sı́ e integrando sobre x, se obtiene K (x1, t1 | x, t) K (x, t | x2, t2) dx =

=nn

e−i(ωn−ωn)tei(ωnt2−ωn t1)ϕ∗n (x2) ϕn (x1)

ϕ∗n(x)ϕn(x)dx.(V.16)

Tomando en cuenta que las eigenfunciones ϕn(x) son ortonormales, ϕ∗n (x) ϕn (x) dx = δ nn , (V.17)

y efectuando la suma sobre n, sigue que K (x1, t1 | x, t) K (x, t | x2, t2) dx =

n

e−iωn(t1−t2)ϕ∗n (x2) ϕn (x1)

= K (x1, t1 | x2, t2) , (V.18)

que es el resultado solicitado. Obsérvese que en la expresión integral, x toma todoslos valores posibles, en tanto que t debe ser un tiempo fijo, intermedio entre t1 y

2Una discusión introductoria sobre estos temas especialmente clara y rica puede verse enFeynman y Hibbs (1965).

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t2. Es fácil mostrar que esta propiedad integral del propagador se extiende a unnúmero arbitrario de integraciones, cronológicamente ordenadas.

Desde el punto de vista f́ısico, el resultado anterior es natural para la descrip-ción de un sistema lineal. A partir de la expresi ón general (cf. ecuación (T4.40))

ψ(x, t) = K (x, t | x1, t1) ψ(x1, t1)dx, t > t1, (V.19)sigue, por iteración, con t > t1 > t0,

ψ(x, t) =

K (x, t | x1, t1) K (x1, t1 | x0, t0) ψ(x0, t0)dx1dx0. (V.20)

A su vez, (V.19) puede reescribirse como

ψ(x, t) =

K (x, t | x0, t0) ψ(x0, t0)dx0, t > t0, (V.21)

de donde la ecuación (V.18) sigue de inmediato (con un cambio apropiado del

nombre de las variables). Esta derivación es posible porque los efectos de la fuenteen x0 son propagados por K (x1, t1 | x0, t0) y se convierten en una nueva fuenteψ(x1, t1), que es a su vez propagada por K (x, t | x1, t1). Para este último propa-gador, el que ψ(x1, t1) sea directamente una fuente, o el efecto de la propagaciónlineal de una fuente anterior, es indistingible.

V.5 Estudie detalladamente el movimiento del paquete descrito por la amplitud(T.5.28).

La amplitud referida es

ψ(x, t) = 2

a n e−iωnt senπn

a

x senπn

a

x0 , (V.22)en donde ωn = E n/ = (π

2 /2m0)n

2, y describe el comportamiento de electronesligados a un pozo rectangular infinito, localizados inicialmente en el punto x0. Laaplicación directa de la expresión (T5.15) (o (V.26)) para la densidad de corrientede flujo da

j(x, t) = 2π

m0a2

m,n

m sen2πn

a x0

sen

πna

x

cosπm

a x

sen(ωn − ωm) t.

(V.23)Esta expresión representa un desarrollo de Fourier en el tiempo de la densidad decorriente, con coeficientes que dependen de la posición; las frecuencias de estasoscilaciones están dadas por la expresión ωnm ≡ ωn − ωm = (E n − E m) / , ycorresponden precisamente a las frecuencias de transición de Bohr. De (V.19)vemos que, en particular, para t = 0 la corriente es nula, por lo que las part́ıculasfueron simplemente “soltadas”; todo el movimiento ulterior es de origen cuántico.

V.6 A partir de ψ = ReiS , con R y S funciones reales de la posición y el tiempo,deduzca las ecuaciones (T5.26) y (T5.27):

ψ(x) =√

ρeiS , S (x) = m

x0

v

x

dx.

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Al escribir la función de onda en la forma

ψ =R eiS , (V.24)

con R y S funciones reales, se obtiene de inmediato que ρ = ψψ∗ = R2, es decir,R =

√ ρ. Por lo tanto

ψ = √ ρeiS

. (V.25)La ecuación de continuidad, consecuencia directa de la ecuación de Schrödinger,

∂ρ

∂t +

i

2m

∂

∂x

ψ

∂ψ∗

∂x − ψ∗∂ψ

∂x

= 0,

da para la densidad de corriente de probabilidad (o densidad de flujo)

j = i

2m

ψ

∂ψ∗

∂x − ψ∗∂ψ

∂x

. (V.26)

Escribiendo j = ρv = ψ∗ψv, donde por definición v es la velocidad (local) deflujo, queda

v = i

2m

1ψ∗

∂ψ∗

∂x − 1

ψ

∂ψ

∂x

. (V.27)

Usando la ecuación (V.25) sigue de aqúı

v =

m

∂S

∂x, (V.28)

cuya inversión da

S (x) = m

x0

v

x

dx. (V.29)

Este resultado muestra que la fase de la función de onda juega el papel de un

potencial de velocidad de flujo.

V.7 Un sistema f́ısico se encuentra inicialmente (para t = 0) en un estado que essuperposición de las eigenfuciones ϕ1 y ϕ2 del hamiltoniano, con enerǵıas propiasE 1 y E 2, respectivamente. El estado ϕ1 es tres veces más probable que el estadoϕ2. Escriba la función de onda inicial ψ0 (x) más general posible consistente con losdatos anteriores y determine ψ (x, t) para todot > 0. ¿Se encuentra el sistema enun estado estacionario? ¿Posee este estado algunas propiedades f́ısicas que no vaŕıancon el tiempo?

Denotemos a la función de onda inicial con ψ (x, t0) = ψ0 (x). En t0 = 0 lafunción de onda es una superposición de las eigenfunciones ϕ1 y ϕ2 y tiene la

formaψ0 (x) = a1ϕ1 + a2ϕ2, (V.30)

donde a1 y a2 son números complejos en general y representan la amplitud (deprobabilidad) de ϕ1 y ϕ2 contenida en el estado ψ0 (x). Puesto que el estado ϕ1es tres veces más probable que el estado ϕ2, estos coeficientes deben satisfacer

|a1|2 = 3 |a2|2 ,o bien, tomando por simplicidad a2 ≡ a como real,

a1 =√

3a2eiα,

76


13/36


14/36


Vemos que, en efecto, la parte estacionaria de esta densidad, 14 (3ρ1 + ρ2), seve modificada por los términos de interferencia que oscilan periódicamente conla frecuencia de transición ω21 = (E 2 − E 1) / (suponiendo que E 2 > E 1). Lapropia función de onda (V.37) puede escribirse en una forma similar, que poneen evidencia que no se trata de un estado estacionario si E 2 − E 1 = 0:

ψ (x, t) = 12 e−iE 2t/√ 3eiω21t+iαϕ1 + ϕ2 . (V.39)Pese a la dependencia temporal, existen algunas propiedades estad́ısticas

independientes del tiempo; por ejemplo la enerǵıa media es

E = 34 E 1 + 14 E 2

para todo t.

V.8 Calcule la constante de normalización de la función de onda dada por laecuación (3) del problema ilustrativo 5.2 del texto, donde se estudia la evoluciónde un paquete bajo la acción de un campo constante descrito por el potencial qx,

con amplitud inicial ψ0(x). Suponga que ψ0 está normalizada a la unidad.La función de onda en cuestión es

ψ (x, t) = A√

t

dxψ0

x

exp

im

2 t

x − x − qt

2

2m

2− iq

2t3

6m − iqx

t

, (V.40)

por lo que la condición de normalización es

A2

t

dxdxdxψ∗0

x

ψ0

x

× exp

im

2 t

x − x − qt2

2m2

−

x − x − qt2

2m2

− iqt (x − x)

= 1.

(V.41)

Desarrollando el argumento de la exponencial podemos escribir

1 = A2

t

dxdxψ∗0

x

ψ0

x

× exp

im

2 t

x +

qt2

2m

2−

x + qt2

2m

2

× exp −iqt x − x / dx exp im2 t

2x

x − x .Como ∞

−∞dx exp

im t

x

x − x = 2π tm

δ

x − x , (V.42)la integral se reduce a

1 = A2

t

2π t

m

dxψ∗0

x

ψ0

x

= A22π

m .

De aqúı sigue de inmediato, tomando A como real y positiva,

A = m

2π

1/2. (V.43)

78


15/36


V.9 Determine la función de onda ψ del problema anterior para el caso en que laspart́ıculas siguen inicialmente una distribución espacial uniforme y se mueven convelocidad de flujo v0. Calcule la densidad de corriente y el movimiento descrito poresta solución.

Usamos las ecuaciones (V.25) y (V.29) para escribir la función de onda inicial

en la formaψ0 (x) =

√ ρ0e

iS 0 , S 0 (x) = m

x0

v0

x

dx.

Como v0 no depende de x, tenemos que

S 0 (x) = m

v0 x (V.44)

y podemos escribirψ0 (x) =

√ ρ0e

imv0 x/. (V.45)

Al sustituir este resultado en la expresión V.40 del problema anterior queda

ψ (x, t) = A ρ0t ∞−∞

dx exp im2 t

x − x − qt22m

2 − iq 2t36m

− iqxt

+ i m

v0x .

(V.46)Factorizamos el argumento de la exponencial para realizar la integración, toman-do en cuenta que ∞

−∞e−y

2

dy =√

π. (V.47)

Resulta, insertando además el valor de A dado en (V.43):

ψ (x, t) =

iρ0 exp

− i

q 2t3

6m + qtx + 12 mv

20t − mv0x − 12 qt2v0

. (V.48)

Esta solución nos permite calcular la velocidad de flujo para todo tiempot > 0:

v =

m

∂S

∂x = v0 − q

mt, (V.49)

resultado que muestra que la fuerza externa constante desacelera el paquete,precisamente como sucedeŕıa con partı́culas clásicas. La densidad de corrienteasociada a esta velocidad es

j = ρv = ρ0

v0 − q

mt

, (V.50)

donde ρ0 debe estar apropiadamente normalizada.

V.10 Haga lo mismo que en el problema anterior, suponiendo ahora que la distri-bución espacial inicial de las part́ıculas es gaussiana y su velocidad de flujo inicial escero, o sea

ψ0 (x) =

2πa20−1/4

e−(x−x0)2/4a2

0.

Muestre que la anchura media del paquete crece con el tiempo seg ún la ley

a (t) = a0

1 +

2t2

4m2a40.

79


16/36


Tenemos que

ψ (x, t) = A2πa20

1/4 √ t

× dx exp

im

2

t x − x

−

qt2

2m2

−

iq 2t3

6m

(V.51)

− iqxt

− (x

− x0)24a20

.

Para efectuar la integración desarrollamos el exponente y factorizamos; la integralresultante puede realizarse fácilmente utilizando la fórmula (V.47). Se obtiene

ψ(x, t) = A2πa20

1/4 √ t

4a20 t

t + 2ia20m

2t2 + 4a40m

2

1/2

× exp−

x20

4a20+ i

m

2 t x − qt2

2m2

− q 2t3

6m + 1

4a20 tζ ,

(V.52)

donde

ζ =

t + 2ia20m

x0 t − iqa20t2 − 2ima20x

2 2t2 + 4a40m

2 . (V.53)

La densidad de partı́culas que corresponde a esta amplitud es

ρ (x, t) = 4A2a0 √

2π

1

2t2 + 4a40m

2exp

−

x −

x0 +

qt2

2m

22a20

1 + 2t2

4m2a40

. (V.54)

Esta densidad se normaliza a la unidad con A2 = m/2 . Aśı se obtiene finalmente

ρ (x, t) = 1√

2πatexp

−

x − x0 − qt2/2m2

2a2t

, (V.55)

que es una distribución gaussiana, cuyo centro se desplaza aceleradamente

x̄ = x0 + qt2/2m (V.56)

y cuya anchura crece con el tiempo,

at = a(t) = a0 1 + 2t24m2a40 . (V.57)Para determinar la velocidad de flujo se requiere conocer la parte de la función

S que depende de x. De (V.52) y (V.53) tenemos que

S (x) = m

2 t

x − qt

2

2m

2+

Im ζ (x)

4a20 t + · · · (V.58)

De aquı́ sigue que

v(x, t) =

mS

80


17/36


= x

t

1 − a

20

a2t

− q

2m

1 +

a20a2t

t −

2x0t

4a20m2a2t

. (V.59)

El paquete se inicia en reposo, como sigue de la condición inicial, pero para todot > 0 existe un flujo diferente de cero en cada punto del espacio. Para tiempospequeños la velocidad crece linealmente con el tiempo:

v = − q m

t + 2

4m2a40(x − x0) t. (V.60)

El primer término es el clásico, mientras que el segundo se debe a la anchura finitadel paquete, que empieza a ensancharse. Para tiempos muy grandes, t 2ma20/ ,la velocidad resulta

v = − q 2m

t +

x − x0 − 2mqa

40

2

1

t. (V.61)

En el caso lı́mite en que la anchura inicial del paquete gaussiano es infinita, laecuación (V.59) se reduce a v = − (q/m) t, que coincide con (V.49), con v0 = 0.

V.2. Problemas adicionales

V.11 Determine la función de onda ψ (x, t) y la densidad de probabilidad ρ (x, t)para el caso en que la función de onda inicial es una gaussiana que se desplaza conmomento p0 sobre el eje x,

ψ (x, 0) = ψ0 (x) = 1

a√

πexp

ipox

− x

2

2a2

.

Discuta el ĺımite clásico de ρ (x, t).

La función de onda inicial describe part́ıculas libres localizadas en torno alorigen, con una distribucíon gaussiana (normal) de ancho σx = a/

√ 2 y con

momento p0. La función de onda para un tiempo t ≥ 0 se puede obtener utilizandoel propagador de part́ıcula libre (T4.45). Se obtiene aśı

ψ(x, t) =

m

2πi t

∞−∞

ψ0

x

exp

im (x − x)2

2 t

dx

=

m

a2π√

πi t

∞−∞

exp

im (x − x)2

2 t +

ip0x

− x

2

2a2

dx.

(V.62)

El argumento de la exponencial puede ser reescrito en la forma

im (x − x)22 t

+ ip0x

− x

2

2a2 =

ima2 − t2 ta2

x2 + i p0t − mx

t x + i

ma2x2

2 ta2 ,

con lo que resulta

ψ(x, t) =

m

2π√

πi at exp

i

mx2

2 t

× ∞−∞

exp

− t − ima

2

2 ta2 x2 − i mx − p0t

t x

dx. (V.63)

81


18/36


Para α y β dos números complejos arbitrarios, se tiene que ∞−∞

e−αx2−βxdx =

π

αeβ

2/4α, (V.64)

con lo cual

ψ (x, t) =

am

i√

π ( t − ima2) exp

imx2

2 t − a

2 (mx − p0t)22 t ( t − ima2)

. (V.65)

Esta expresión puede escribirse en la forma alternativa

ψ (x, t) =

√ π

i t

ma + a

−12

exp

− x2

2a2 + i p0x

− i p20t2m

1 + itma2

. (V.66)

La densidad de probabilidad que corresponde a esta amplitud es

ρ (x, t) = π 2t2m2a2

+ a2−12 exp−x − p0tm 2a2 +

2t2

m2a2

. (V.67)Vemos que el paquete continúa siendo gaussiano todo el tiempo, pero su centrose desplaza con velocidad de grupo dada por p0/m, mientras que su anchura valeσx(t) = a (t) /

√ 2, con

a (t) = a

1 +

2t2

m2a4 (V.68)

(compárese con el resultado (V.57)). Como esta anchura crece con el tiempo, elpaquete se dispersa de manera ilimitada.

Al ĺımite clásico se puede pasar formalmente en este caso tomando → 0; ladensidad de probabilidad se reduce a

ρclás (x, t) = 1

a√

π exp

−

x − p0tm2

a2

, (V.69)

que corresponde al movimiento clásico de una part́ıcula libre cuyo momento(constante) es p0 y está distribuida en torno al origen con una anchura constantea/

√ 2. Ahora el paquete no se deforma, y describe una estructura estable. Si

pedimos además que la posición de la part́ıcula esté bien definida, deberemostomar el ĺımite a → 0, lo cual nos lleva a la representación de la delta de Dirac

ρclás (x, t) → δ

x − p0tm

, (V.70)

es decir, la probabilidad de encontrar a la partı́cula en cualquier punto del espacioes cero, excepto a lo largo de la trayectoria clásica x = p0t/m. Esto muestra quelas trayectorias de las part́ıculas cuánticas, descritas por la distribución (V.67),estarán distribuidas alrededor de tal trayectoria clásica, pero se separan de ellapara generar la distribución gaussiana de anchura a(t); por lo tanto, conforme eltiempo transcurre, se hacen mayores las diferencias entre las trayectorias reales,cuánticas, y las de la part́ıcula libre clásica.

82


19/36


V.12 Una función de onda que describe part́ıculas en el interior de un pozo rec-tangular infinito unidimensional de ancho a tiene para el tiempo t = 0 una formatriangular dada por

ψ (x, 0) =

bx, 0 ≤ x ≤ a2 ;b (a − x) , a2 ≤ x ≤ a.

(V.71)

Determine la función de onda para un tiempo t > 0 arbitrario.

En primer lugar determinamos la constante b a partir de la condición denormalización, lo que da

1 =

a0

ψ∗(x, 0)ψ(x, 0) dx

= b2 a/2

0x2 dx + b2

aa/2

(a − x)2 dx = b2a3

12 . (V.72)

De aquı́,

b = 2 3

a3. (V.73)

Para t = 0 la densidad de probabilidad es

ρ (x, 0) =

12x2/a3, 0 ≤ x ≤ a/2;12 (a − x)2 /a3, a/2 ≤ x ≤ a. (V.74)

Esta función tiene su máximo en x = a/2, de valor

ρmáx = ρa

2

=

3

a. (V.75)

La función de onda para un tiempo t arbitrario se puede escribir en la forma

ψ (x, t) =∞

n=1 cnϕn (x) e−iE nt/, (V.76)con ϕn (x) las eigenfunciones para el pozo infinito, dadas por la ecuación (T3.31),

ϕn (x) =

2

a sen

πnx

a , (V.77)

y E n los correspondientes eigenvalores de la enerǵıa,

E n = π2 2

2ma2n2.

Las constantes cn quedan determinadas por la condición inicial, es decir,

ψ (x, 0) =

∞n=1

cnϕn (x) .

Usando el hecho de que las eigenfunciones son ortonormales, se obtiene

cn =

a0

ϕn (x) ψ (x, 0) dx

=

2√

6

a2

a/20

x sen πnx

a dx +

aa/2

(a − x)sen πnxa

dx

= 2

√ 6

a22a2

π2n2 sen

πn

2 ,

83


20/36


es decir,

cn =

4√

6

π2n2

sen

πn

2 = (−1)(n−1)/2 4

√ 6

π2n2, n impar. (V.78)

Sustituyendo en (V.76) se obtiene para la función de onda en el interior del pozo

ψ (x, t) =∞

n impar

(−1)(n−1)/2 4√ 6

π2n2ϕn (x) e

−iE nt/. (V.79)

De manera análoga a los problemas III.4 o V.7, el estado ψ (x, 0) no es estacionariopor no corresponder a una de las funciones propias de la ecuación estacionaria deSchrödinger del problema.

V.13 Resuelva la ecuación de Schrödinger para la part́ıcula de masa M que rebotaelásticamente a lo largo del eje vertical en el campo gravitatorio cercano a la superficieterrestre, y determine los valores propios exactos de la enerǵıa. Compare con las

predicciones dadas por las reglas de Wilson-Sommerfeld, obtenidas en el problemaI.20.

Una forma conveniente de proceder consiste en definir el potencial del proble-ma como

V (z) =

M gz, z > 0;

∞, z ≤ 0. (V.80)

Esto significa que la función de onda es nula para z ≤ 0. La ecuación de Schrödin-ger (multiplicada por 2M/ 2 y con k2 = 2M E/ 2) es

−d2ϕ

dz2

+ 2M 2g

2 z

−k2ϕ = 0. (V.81)

Para proseguir conviene introducir una nueva variable ζ , dada por

cζ = Gz − k2, G = 2M 2g

2 , (V.82)

con c una constante. Se obtiene aśı

−G2

c3d2ϕ

dζ 2 + ζϕ = 0, (V.83)

lo que sugiere escoger c = G

2/3

, de manera que

d2ϕ

dζ 2 − ζϕ = 0. (V.84)

La solución general de esta ecuación se expresa en términos de las funcionesde Airy Ai(ζ ) y Bi(ζ ); la presencia de las funciones Bi(ζ ) impediŕıa que lassoluciones fueran de cuadrado integrable sobre el semieje real positivo, por loque las soluciones que se anulan en el infinito son de la forma

ϕ = C Ai(ζ ), (V.85)84


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pues el potencial debe ser el mismo en cada punto para los dos observadores, portratarse de una función escalar. Con estas observaciones estamos en condicionesde estudiar la relación que existe entre las ecuaciones de Schödinger para ambosobservadores.

En S la ecuación de Schrödinger es

− 22m

∂ 2ψ (x, t)∂x2

+ V x, tψ x, t = i ∂ψ (x, t)∂t

, (V.92)

con ψ (x, t) la función de onda en este sistema. Como el jacobiano de la trans-formación (V.90) es igual a uno, la densidad de probabilidad en un punto delespacio-tiempo debe ser la misma en ambos sistemas de referencia,

|ψ (x, t)|2 = ψ x, t2 . (V.93)De este requerimiento sigue que la regla de transformación para obtener la funciónde onda ψ (x, t) debe ser de la forma ψ (x, t) = eif ψ (x, t), con f una función realque puede depender tanto de x como de t. De las expresiones (V.90) se obtienen

las relaciones de transformación∂

∂x =

∂

∂x,

∂

∂t =

∂

∂t + v

∂

∂x, (V.94)

las cuales, al ser sustituidas junto con (V.91) y (V.93) en (V.92), conducen a laecuación

− 2

2m

∂ 2

∂x2

e−if ψ(x, t)

+ V (x, t)e−if ψ(x, t)

= i ∂

∂t

e−if ψ(x, t)

+ i v

∂

∂x

e−if ψ(x, t)

. (V.95)

Desarrollando se obtiene

− 2

2m

∂ 2ψ(x, t)

∂x2 + V (x)ψ(x, t) + i

m

∂f

∂x − v ∂ψ(x, t)

∂x

+

i 2

2m

∂ 2f

∂x2 +

2

2m

∂f

∂x

2− v ∂f

∂x − ∂f

∂t

ψ(x, t) = i

∂ψ(x, t)

∂t .

(V.96)

El requisito de que la ecuación de Schrödinger sea invariante ante las transfor-maciones de Galileo, o sea que las leyes cuánticas sean las mismas para todos losobservadores inerciales, implica que esta última expresión debe reducirse a

−

2

2m

∂ 2ψ (x, t)

∂x2 + V (x, t) ψ (x, t) = i ∂ψ (x, t)

∂t , (V.97)

lo cual se cumple sólo si f (que es real) satisface las condiciones

m

∂f

∂x − v = 0, (V.98)

∂ 2f

∂x2 = 0, (V.99)

2m

∂f

∂x

2− v ∂f

∂x − ∂f

∂t = 0. (V.100)

86


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De la condición (V.98) sigue

f = mvx

+ g(t), (V.101)

con g(t) una función que depende sólo del tiempo. Esta función puede determi-narse con ayuda de la condición (V.100):

2m

m2v2

2

− mv

2

− dg

dt = 0,

dg

dt = −mv

2

2 ,

o bien, integrando,

g (t) = −mv2t

2 . (V.102)

Colectando resultados, se concluye que la invariancia de la ecuación de Schrö-dinger ante transformaciones de Galileo demanda que la función de onda se

transforme con la regla

ψ (x, t) = eif ψ

x, t

, f = mvx

− mv

2t

2 . (V.103)

Nótese que para part́ıculas libres se tiene f = ( px − Et) / .5

V.15 En una discusión cŕıtica de los fundamentos de la mecánica cuántica, A.Land́e6 asegura que la relacíon de de Broglie p = h/λ es incompatible con larelatividad galileana, y por lo tanto no tiene un significado f́ısico consistente. Utiliceel resultado del problema anterior para mostrar que tal paradoja no existe.7

La paradoja en cuestíon es la siguiente: Consideremos una part́ıcula libre cuyocomportamiento está descrito en el sistema S por la función de onda

ψ

x, t

= ei(kx−ωt). (V.104)

Esta función describe part́ıculas con momento y enerǵıa dados por

p = k, E = ω =

2k2

2m , (V.105)

y con longitud de onda

λ = 2π/k. (V.106)

5Sin embargo es conveniente tener presente la siguiente observaci ón: La conclusión respectoa la invariancia galileana de la ecuación de Schrödinger es convencional en la literatura; enrealidad, si se tratara de una transformación galileana pura la fase f en la ecuación (V.103)debeŕıa ser nula. En otras palabras, aunque la ecuación de Schrödinger es invariante de Galileo,la correspondiente función de onda cambia por una fase, lo que rompe la invariancia galileanapura de la teorı́a. Este cambio de la fase de la función de onda no es estrictamente compatible conel comportamiento de ondas clásicas y puede dar lugar a efectos observables (como se discute,por ejemplo, en D. Dieks y G. Nienhuis, Am. J. Phys. 58 (1990) 650), pero es necesario paramanener la invariancia de la fórmula de de Broglie, como se muestra en el siguiente problema.

6A. Landé, Am. J. Phys. 43 (1975) 701.7Para mayores detalles, consúltese el artı́culo de J.M. Lévy-Lebond, Am. J. Phys. 44, (1976)

1130.

87


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Este problema es analizado parcialmente en la sección 7.1 del texto, y cons-tituye la base de la interpretaci´ on de Bohm de la mecánica cuántica; parececonveniente agregar aqúı un estudio preparatorio más detallado. Escribimos lafunción de onda en la forma de las ecuaciones (V.24), (V.25),

ψ =√

ρeiS , (V.113)

con ρ y S funciones reales de la posición y el tiempo, con lo que la ecuación deSchrödinger toma la forma

− 2

2m∇∇∇2 √ ρeiS + V √ ρeiS = i ∂

∂t

√ ρeiS

. (V.114)

Derivando,

− 2

2m

2 (∇∇∇√ ρ) · ∇∇∇eiS + √ ρ ∇∇∇2eiS + ∇∇∇2√ ρ eiS + V √ ρeiS

= i ∂ ∂t √ ρ eiS + i √ ρ ∂ ∂t eiS . (V.115)Como

∇∇∇eiS = i (∇∇∇S ) eiS ,∇∇∇2eiS =

i∇∇∇2S − (∇∇∇S )2

eiS ,

queda

− 2

2m

2i∇∇∇√ ρ · ∇∇∇S + i√ ρ∇∇∇2S − √ ρ (∇∇∇S )2 + ∇∇∇2√ ρ

+ V

√ ρ

= i ∂ ∂t √ ρ− √ ρ ∂S ∂t . (V.116)Separando las partes real e imaginaria se llega a la pareja de ecuaciones diferen-ciales

− 2

2m

∇∇∇2√ ρ√ ρ

+

2

2m (∇∇∇S )2 + V = − ∂S

∂t , (V.117)

− 2

2m

2 (∇∇∇√ ρ) · ∇∇∇S + √ ρ∇∇∇2S = ∂

∂t

√ ρ. (V.118)

Para reescribir de manera más apropiada estas expresiones, multiplicamos la

segunda por 2√ ρ y tomamos en cuenta que2√

ρ∇∇∇√ ρ = ∇∇∇ρ, 2√ ρ ∂ √

ρ

∂t =

∂ρ

∂t, (V.119)

con lo que se llega a

∂ρ

∂t +

m

∇∇∇ρ · ∇∇∇S + ρ∇∇∇2S = 0. (V.120)Con

∇· (ρ∇∇∇S ) = ∇∇∇ρ · ∇∇∇S + ρ∇∇∇2S,89


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es decir,

m∂ v

∂t + m (v · ∇)v = −∇ (V + V q) = F + Fq. (V.128)

Esta es la ecuación de movimiento que seguiŕıa una part́ıcula con densidad decorriente dada por la expresión (V.122), bajo la acción de la fuerza efectiva F+Fq.Si en el ĺımite clásico

→ 0 se cumple que V q = 0, las trayectorias obedecerán

las leyes de movimiento de Newton, tal como es de esperarse. Una discusiónmás precisa sobre la interpretación de S desde la perspectiva cuántica se puedeconsultar en la sección 7.1 del texto.

V.17 Demuestre que la ecuación de Klein y Gordon para partı́cula libre se reduce enla aproximación no relativista a la correspondiente ecuación de Schrödinger y comentelos resultados.

La ecuación de Klein y Gordon para part́ıcula libre, ecuación T5.11,

∇2 − 1

c2∂ 2

∂t2Ψ =

m2c2

2 Ψ, (V.129)

tiene como soluciones a las ondas planas

Ψ = const e±i(k·x−ωt), (V.130)

en donde se ha escrito k = p/ y ω = E/ , con el momento y la enerǵıa de lapartı́cula dadas por la relación relativista

E 2 = m2c4 + p2c2, (V.131)

tal y como se demuestra en el problema ilustrativo 5.4 del texto. Para pasara la aproximación no relativista es conveniente separar la enerǵıa propia de lapart́ıcula, lo que se puede hacer comodamente escribiendo la función de onda enla forma

Ψ = e∓imc2t/ψ(x, t), (V.132)

con ψ(x, t) la función de onda no relativista. Debido al signo − que afecta alt́ermino ωt en (V.130), el signo − (superior) en (V.132) se refiere a partı́culas cuyaenergı́a es mc2 + . . ., mientras que el signo + (inferior) corresponde a partı́culascon enerǵıa −mc2 + . . . En otras palabras, para que la teoŕıa no relativista serefiera exclusivamente a part́ıculas con enerǵıa total positiva, en vez de (V.132)debemos restringirnos a las soluciones de la forma

Ψ = e−imc2t/ψ(x, t). (V.133)

Dada la simplicidad del cálculo, usaremos sin embargo la forma más general(V.132), lo que agrega un elemento útil a la discusión.

Sustituyendo (V.132) en (V.129) y simplificando, se obtiene

±i ∂ψ∂t

− 2

2mc2∂ 2ψ

∂t2 = −

2

2m∇2ψ. (V.134)

Puesto que en el caso no relativista la enerǵıa E nr de la part́ıcula será pe-queña comparada con mc2, y la enerǵıa propia ya se ha extráıdo en la expre-sión (V.133), debe esperarse que ψ (x, t) vaŕıe lentamente con el tiempo, con fre-cuencia |E nr| / mc2/ . Por lo tanto, el cociente de las magnitudes de los dos

91


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términos que aparecen en el lado izquierdo de la última ecuación es

2

2mc2

∂ 2ψ∂t2 / ∂ψ∂t

≈ 2mc2 |E nr| = |E nr|2mc2 1.Esto conduce a despreciar la segunda derivada respecto a la primera en la ecuación(V.134), y se obtiene

±i ∂ψ∂t

= − 22m

∇2ψ. (V.135)Como vimos antes, para garantizar que se trata de part́ıculas con enerǵıa (total,incluyendo la propia) positiva, debemos tomar aquı́ el signo superior, lo que nosconduce a la ecuación de Schrödinger de partı́cula libre.

El resultado muestra que la teoŕıa de Schrödinger es la versión no relativistade la teoŕıa cuántica, limitada a la consideración exclusiva de soluciones quecorresponden a enerǵıas positivas. La corrección relativista a la enerǵıa de lapart́ıcula dada por (V.134) es aproximadamente

|δE

| |E nr|2mc2

∂ψ

∂t = E 2nr

2mc2 =

p2/2m

2

2mc2 =

p4

8m3c2. (V.136)

Este resultado no es sino la primera corrección que viene del desarrollo de E dadapor (V.131):

E = mc2

1 + p2

m2c2

1/2= mc2

1 +

p2

2m2c2 − 1

8

p2

m2c2

2+ · · ·

= mc2 + p2

2m − p

4

8m3c2 + · · · (V.137)

V.3. Ejercicios

V.18 Demuestre que la primera derivada de la funci ón de onda es continua enpuntos donde V (x) presenta una discontinuidad finita.

V.19 En la función de onda

ψ(x) = ϕ(x)eip0x/

con ϕ(x) real, ¿cuál es el significado de la constante p0?

V.20 Como la ecuación de Schrödinger es de primer orden respecto al tiempo, susolución ψ(t) está uńıvocamente determinada por ψ(0). Esta relación puede escribirseen la forma

ψ(t) = Ŝ (t)ψ(0),

en donde Ŝ (t) es un operador apropiado. Demuestre que

a) si la ecuacíon de Schrödinger se escribe en la forma i ∂ψ/∂t = Ĥψ, entonces

Ŝ (t) satisface la ecuación i ̇Sψ = Ĥψ, y es unitario, es decir, Ŝ † = Ŝ −1.b) si el operador Ĥ no depende del tiempo, entonces Ŝ (t) tiene la forma

Ŝ (t) = e−i Ĥt/.

(El operador exponencial se define a través de su serie de potencias.)92


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V.21 Demuestre que un estado que no es estacionario no puede tener una funci ónde onda separable de la forma ψ(x, t) = χ(t)ϕ(x).

V.22 El resultado (T5.15) para el flujo de probabilidad j (x, t) no está determinadode forma única por la ecuacíon de continuidad (T5.12), pues esta última tienecomo solución general j (x, t) + g (x, t), con g (x, t) una función vectorial tal que

∇ · g (x, t) = 0. Demuestre que si el movimiento se realiza en una sola dimensión, estafalta de unicidad formal no tiene efecto alguno y el resultado (T5.15) es pr ácticamenteúnico.

V.23 Considere la ecuación de Klein-Gordon∇∇∇2 − 1

c2∂ 2

∂t2

ψ (x, t) =

m2c2

2 ψ (x, t) .

Demuestre que se satisface una ley de conservación similar a la ecuación (T5.12),con

j (x, t) = i

2m (ψ

∇∇∇ψ∗

−ψ∗

∇∇∇ψ) .

¿Cuánto vale ahora ρ (x, t)? A partir de este resultado discuta por qué la ecuaciónde Klein-Gordon no es un buen candidato para sustituir a la ecuación de Schrödingeren el caso relativista.

V.24 Calcule la corriente de probabilidad para la función de onda

ψ (r) = eikr

r ,

donde r2 = x2 + y 2 + z 2, y examine su comportamiento para valores de r muygrandes. Interprete su resultado.

V.25 Determine la expresión para el potencial cuántico definido en el problemaV.16 para la función de onda (no normalizada)

ψ (x, t) =

∞−∞

exp

ikx − i tk

2

2m − 12 a (k − k0)2

dk

y demuestre que se anula en el ĺımite → 0.

V.26 Una part́ıcula se encuentra en su estado base en un pozo cuadrado infinitounidimensional de anchura L. Repentinamente, en t = 0, la pared derecha del pozose desplaza de x = L a x = 2L. ¿Se encuentra todav́ıa la part́ıcula en un estado

estacionario? Calcule la probabilidad del nuevo estado base.

93


30/36


A su vez, de las ecuaciones (VI.37) y (VI.38) se obtiene

A1 = 12 A2

1 +

q

k

eia(k−q)/2 + 12 B2

1 − q

k

eia(k+q)/2. (VI.43)

Sustituyendo aqúı las expresiones obtenidas para A2 y B2, queda

A1 = A3eika cos aq + i

2 q

k + k

q sen aq , (VI.44)

de donde es inmediato que

|A1|2 = |A3|2

cos2 aq + 14

q

k +

k

q

2sen2 aq

. (VI.45)

Por lo tanto, el coeficiente de transmisión resulta

T = |A3|2

|A1|2 =

1

1 + 14 q k + kq 2 − 1 sen2 aq , (VI.46)

que es lo que se deseaba demostrar. El coeficiente de reflexión se obtiene simple-mente de R = 1 − T , lo que da

R =

14

q

k − k

q

2sen2 aq

1 +

14

q

k +

k

q

2− 1

sen2 aq

. (VI.47)

Nótese una vez más la aparición de resonancias, las que pueden ser muy agudassi q y k difieren mucho en valor.

VI.6 Investigue y grafique esquemáticamente las funciones de onda para el estadobase y el primer estado excitado para un pozo doble como el mostrado en la figuraVI.5.

El pozo doble a estudiar se muestra en la figura VI.5, que reproduce la figura6.12 del texto. La función de onda del problema es (l = 2a + b)

ψ (x) =

A1 sen kx, 0 < x < a;A2e

qx + B2e−qx, a < x < a + b;

A3 sen k (l − x) , a + b < x


31/36

Barreras y pozos unidimensionales

I II III

E


32/36


El lado derecho de esta ecuación es una cantidad pequeña. La solución en laaproximación de orden más bajo,

k0a = nπ, (VI.61)

corresponde a las eigenenerǵıas del pozo infinito rectangular,

E (0)n = n2π2 2

2ma2 . (VI.62)

En la siguiente aproximación se tiene

ka = πn − k0q 0

1 ± 2e−q0b

, n = 1, 2, 3, . . . (VI.63)

y

E n = E (0)n −

2E (0)n

aq 0∓ 4 E

(0)n

aq 0e−q0b = E (1)n ∓ 4

E (0)n

aq 0e−q0b, (VI.64)

con

q 0 = 2mV 0 − E (0)n

. (VI.65)

La contribución πn − k0/q 0 es independiente de b y se refiere a cada partı́culaen su correspondiente pozo (aislado del otro); el término πn corresponde al pozoinfinito, mientras que −k0/q 0 es la corrección debida a la profundidad finita delpozo, calculada a primer orden. En esta aproximación los niveles son doblementedegenerados, pues cada partı́cula puede encontrarse en cualquiera de los pozos Io III de la figura VI.5. Al considerar b finita se toma en cuenta el efecto túnela trav́es de la barrera, lo que produce desdoblamiento de los niveles (generadopor el doble signo ± en (VI.63)). Sin embargo, este desdoblamiento es en generalpequeño, pues está afectado por el factor exponencial.

Con ayuda de (VI.61) y (VI.62) podemos reescribir las expresiones (VI.63) y(VI.64) en la forma

kn±a = πn

1 − 1q 0a

± 2πn

q 0a e−q0b, (VI.66)

E n± =

1 − 2q 0a

E (0)n ±

4e−q0b

q 0a E (0)n . (VI.67)

De aqúı sigue, en particular, que al estado base (n = 1) corresponden doseigenfunciones de la forma dada en la ecuación (T6.47). Para una de ellas setiene

k1+a = π 1 − 1q 0a

+ 2πq 0a

e−q0b, (VI.68)

E 1+ = π2 2

2ma2

1 − 2

q 0a +

4e−q0b

q 0a

. (VI.69)

Para la segunda solución se tiene

k1−a = π

1 − 1q 0a

− 2π

q 0ae−q0b, (VI.70)

E 1− = π2 2

2ma2

1 − 2

q 0a − 4e

−q0b

q 0a

, (VI.71)

104


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+

-

+ - -

+ +-

x

x

E -= E 0 - E

E += E 0+ E

E 0

E 0

(a) (b)

Figura VI.6 Funciones de onda para n = 1 para el pozo rectangular doble. En (a) se muestran las soluciones deslocalizadas simétrica y antisimétrica, mientras que en (b) se muestran las soluciones que corresponden a part́ıculas localizadas

en un pozo.

donde

q 0 =

2mV 0 − π2 2/a2

. (VI.72)

De manera análoga se puede proceder con el primer estado excitado, n = 2.Se obtiene:

k2+a = 2π1 − 1q 0a+ 4πq 0a e−q0b, (VI.73)E 2+ =

2π2 2

ma2

1 − 2

q 0a +

4e−q0b

q 0a

, (VI.74)

k2−a = 2π

1 − 1q 0a

− 4π

q 0ae−q0b, (VI.75)

E 2− = 2π2 2

ma2

1 − 2

q 0a − 4e

−q0b

q 0a

, (VI.76)

con

q 0 =

2mV 0 − 4π2 2/a2

. (VI.77)

Las funciones de onda correspondientes a n = 1 se muestran de manera es-quemática en la figura VI.6, la que corresponde a la figura 6.13 del texto.

La función de onda para el estado base correspondiente a la función par es

ψ1− (x) = A1 sen

π

a

1 − 1

aq 0− 2

aq 0e−q0b

x

(0 < x < a) , (VI.78)

= A2eq0x + B2e

−q0x (a < x < a + b) , (VI.79)

= A3 sen

π

a

1 − 1

aq 0− 2

aq 0e−q0b

(l − x)

(VI.80)

(a + b < x


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y la solución impar es

ψ1+ (x) = A1 sen

π

a

1 − 1

aq 0+

2

aq 0e−q0b

x

(0 < x < a) , (VI.81)

= A2eq0x + B2e

−q0x (a < x < a + b) , (VI.82)

= A3 sen πa 1 − 1aq 0 + 2aq 0 e−q0b (l − x) (VI.83)(a + b < x


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Para estar en condiciones de hacer una generalización formal de una a tresdimensiones del problema del pozo rectangular en el sistema de coordenadascartesianas, escribimos el potencial en la forma

V (x,y ,z) = V (x) + V (y) + V (z) =3

i=1V i, (VI.93)

donde

V (xi) =

−V 0, si 0 < xi < ai;0, fuera de estos intervalos.

(VI.94)

Debe quedar claro que (VI.93) no es un potencial cuadrado tridimensional consimetŕıa esférica (el cual se define como V (r) = V 0 para r ≤ a, V (r) = 0 parar > a), sino un potencial cuadrado en cada una de las tres direcciones ortogonalescartesianas. El potencial (VI.93) puede tomar los valores 0, −V 0, −2V 0, −3V 0.

Sustituyendo la función ψ (r) = ψ1 (x1) ψ2 (x2) ψ3 (x3) en la ecuación estacio-naria de Schrödinger y dividiendo entre ψ1 (x1) ψ2 (x2) ψ3 (x3) se obtiene

3i=1

1ψi

d2ψidx2i

− 2m 2

V i = −2m

2 E. (VI.95)

Debido a que cada paréntesis de la suma contiene variables independientes, laigualdad puede ser válida para toda terna (x1, x2, x3) sólo si cada término es unaconstante, es decir, si se cumple

1

ψi

d2ψidx2i

− 2m 2

V i = −2m 2

E i, i = 1, 2, 3, (VI.96)

donde las E i son constantes tales que E = E 1 + E 2 + E 3. De esta manera laecuación de Schrödinger se separa en tres ecuaciones unidimensionales, cuyas

soluciones son las del pozo unidimensional finito:

ψ1 (x) = A1xeκ1x, ψ2(y) = A1ye

κ2y, ψ3 (z) = A1zeκ3z, x, y, z


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En el ĺımite V 0 → ∞ las partı́culas son todas capturadas por el potencial y lafunción de onda se anula fuera del “pozo”, lo que la reduce a

ψn1n2n3(x,y ,z) = 8

abc sen

πn1

a x

sen

πn2

b y

sen

πn3

c z

. (VI.106)

La energı́a es entonces

E n1n2n3 = π2 2

2m

n21a2

+ n22b2

+ n23c2

, n1, n2, n3 = 1, 2, 3, . . . (VI.107)

Si la razón de cualquier pareja de lados es un número irracional, todos losniveles de enerǵıa son no degenerados. Para cocientes racionales el espectro deenerǵıa es, en general, degenerado. Por ejemplo, si a = b = c, el nivel para elcual n21 + n

22 + n

23 = 6 es triplemente degenerado, dado que tres eigenfunciones

linealmente independientes corresponden al mismo eigenvalor: E 121 = E 112 =

E 211 = 6π2 2/2ma2. El estado base E 111 es no degenerado.

VI.9 Muestre que la matriz S que describe la dispersión de part́ıculas por un po-tencial unidimensional es unitaria. Use el resultado para mostrar que deben cumplirselas siguientes relaciones:

|S 11|2 + |S 12|2 = 1|S 21|2 + |S 22|2 = 1

S 11S ∗12 + S 21S

∗22 = 0.

La matriz S se define mediante la expresión

ψsal = Sψent. (VI.108)

Consideremos la expresión

ψ†salψsal = ψ†salSψent. (VI.109)

Como de (VI.108) sigue que

ψ†sal = ψ†entS

†, (VI.110)

se tiene que

ψ†salψsal = ψ†entS †Sψent. (VI.111)

Ahora imponemos la condición de que el flujo se conserve, la que podemosescribir como

ψ†salψsal = ψ†entψent, (VI.112)

es decir, como condición de conservación de la normalización. Nótese que en vezde cantidades como ψ∗ψ = |ψ|2 estamos considerando el producto ψ†ψ, pues setrata de matrices y se desea que el resultado sea un escalar Como se explica en la

schrödinger-cuantica

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