ruteo de vehÍculos importancia: el costo de transportación constituye de 1 a 2 tercios del costo...

RUTEO DE VEHÍCULOS

• IMPORTANCIA: el costo de transportación constituye de 1 a 2 tercios del costo logístico total.

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TENDENCIA Variabilidad de la

Demanda Servicio al Cliente Mínimo Inventario

en Produción yDistribución

Alta Competencia

REQUIERE ENVÍOS Pequeños Más rápido Más frecuentes Más a tiempo

El tiempo que los bienes se encuentran en tránsito determina el número de envíos que un vehículo puede realizar en un período de tiempo y el costo de transportación total para todos los envíos

RUTEO DE VEHÍCULOS

BENEFICIOS

• Reducir el costo de transporte es de interés de la empresa (micro) y del país (macro)

• Mejor utilización de recursos y de personal

• Mejora el ambiente

• Menor gasto energético

• Reduce problemas de tránsito

OBJETIVO

EL OBJETIVO EN EL PROBLEMA DE RUTEO DE VEHÍCULOS ES LA MINIMIZACIÓN DE TIEMPO, DINERO Y DISTANCIA DADOS CIERTOS PARÁMETROS RELEVANTES

Minimizar la distancia recorrida en:• Entrega de órdenes semanales o diarias a clientes

dispersos en una zona geográfica• Entregas a partir de un Centro de Distribución• Uso de un solo vehículo

RESTRICCIONES

• CAPACIDAD DE LOS VEHÍCULOS

• LÍMITE DEL TIEMPO TOTAL QUE UN VEHÍCULO OCUPA EN LA RUTA

• ASIGNACIÓN DE UN CIERTO NÚMERO DE VEHÍCULOS A CIERTOS CLIENTES

• VENTANAS DE TIEMPO

CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS

• RUTEO DE UN ORIGEN A UN DESTINO

• RUTEO DE MÚLTIPLES ORÍGENES Y DESTINOS

• RUTEO CON VARIOS PUNTOS Y EL MISMO ORIGEN Y DESTINO (ROUND-TRIP)

• RUTEO Y PROGRAMACIÓN

UN ORIGEN A UN DESTINO

• PROBLEMA DEL CAMINO MÁS CORTO.

• El camino mas corto de un origen a diferentes destinos

• ALGORITMO: RUTA MÁS CORTA (DIJKSTRA’S)

• EJEMPLO: DE PLANTA A AGENCIA(s)

EJEMPLO

Un camión debe ser enviado de Guadalajara a Mérida. Se tienen diferentes trayectos posibles pasando por ciudades intermedias. El objetivo es minimizar la distancia recorrida. Se conoce:

• Las ciudades intermedias posibles

• La distancia entre cada ciudad posible

ORIGEN Y DESTINOS MÚLTIPLES

• PROBLEMA DE FLUJO EN REDES, DE TRANSPORTE, DE ASIGNACIÓN

• ALGORITMOS: FLUJO EN REDES, PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA Y/O BINARIA.

• EJEMPLO: ENTREGA DE PLANTAS A AGENCIAS

EJEMPLO

• Una empresa tiene tres plantas desde las cuales debe abastecer del mismo producto a tres clientes .Se conoce la demanda de cada cliente y la oferta de cada planta.

• Oferta: P1=400 ton, P2=700, P3=500

• Demanda: C1=600 ton, C2=500, C3=300

• Costo transportación:desde P1=4, 7, 6; desde P2=5, 5, 5; desde P3=9, 5, 8 resp.

EJEMPLO

• LOS COSTOS DE TRANSPORTACIÓN SON EN DÓLARES POR TONELADA

• SOLUCIÓN: 400 TON DE P1 A C1

200 TON DE P2 A C1

200 TON DE P2 A C2

300 TON DE P2 A C3

300 TON DE P3 A C2

COSTO=$6,600

ROUND-TRIP

• PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• UN CAMINO HAMILTONIANO

• PROBLEMA DIFÍCIL SI EL NÚMERO DE PUNTOS A TOCAR ES GRANDE

• SE APLICAN HEURÍSTICAS:– encontrar un camino inicial con el método del

vecino mas cercano– mejorar el camino eliminando cruces

EJEMPLO

W

A

B

CD31

26

34

34

17 3467

48

47

23

SOLUCIÓN: W ---D----C----B----A

RUTEO Y PROGRAMACIÓN

• RUTEO CON RESTRICCIONES– En cada parada hay un volumen a cargar y/o

descargar– Múltiples vehículos con capacidades distintas– Tiempo total permitido limitado a horas laborables– Ventanas de tiempo para entrega en cada punto– Carga en una ruta solo después de descarga– Tiempo de descanso limitado en tiempo y horario

ALGUNOS PRINCIPIOS

• Cargar vehículos con el volumen correspondiente a los sitios mas cercanos

• Separar los sitios en cluster independientes y programar cada cluster por separado

• Comenzar la ruta en el punto mas alejado del origen al cluster

• Evitar cruces en la ruta

• La ruta mas eficiente es la que realiza el vehículo de mayor carga

ALGUNOSPRINCIPIOS

• La carga y la descarga debe mezclarse en lugar de dejar la carga para el final

• Los puntos aislados de los cluster que requieren poco volumen deben alcanzarse con rutas alternativas en vehículos más pequeños

• Evitar ventanas de tiempo muy restringidas

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO

• Sea G=[N,A,C] una red donde N es el conjunto de nodos, A son los arcos y C=(cij) es la matriz de costos (o distancia) de mover un vehículo desde el nodo i al nodo j. El problema del Agente Viajero consiste en encontrar un ciclo Hamiltoniano en la red, esto es, un ciclo que pasa por todos los nodos exactamente una vez.

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO (PL entera)

(INEFICIENTE PARA PROBLEMAS GRANDES)

xij= { n= número de nodos

min cij xij

s.a Cada ciudad j debe ser visitada una sola vez xij=1 para j=1,…,n

Cada ciudad i debe dejarse una sola vez xij=1 para i=1,…,n

No debe haber ciclos en ningún subconjunto S de ciudades que incluya la ciudad origen

xij [S]-1

[.] indica la cardinalidad del conjunto

.

1 si el circuito pasa por el arco (i,j)

0 en caso contrario

ij

ji

i,jS

• Las restricciones sobre no formación de ciclos son del orden de 2n, pero pocas (n) son activas en el óptimo lo que facilita un proceso iterativo. Ejemplo: para 2000 ciudades se ha encontrado el óptimo con esta formulación (varias horas de computadora)

• Una forma alternativa: ujui+1-(1-xij)n, j=2,..,n; ji

requiere del orden de n-1 restricciones. Pero es poco eficiente para problemas grandes.

uj= el número secuencial de la ciudad j en el camino


Secuenciación de trabajos como PAV

• El problema de secuenciar n trabajos en una máquina puede plantearse como un problema de agente viajero con n+1 ciudades; las ciudades i=1,…,n corresponden a los trabajos i y la ciudad 0 es el inicio del trayecto. La distancia entre las ciudades j y k es el tiempo de arranque para j,k1. La distancia entre la ciudad 0 y k es el tiempo de preparación para el primer trabajo (k).

Secuenciación de trabajos como PAV

• Minimizar el tiempo total de completar todos los trabajos (makespan) es equivalente a encontrar el mínimo ciclo en la red

• Para estos problemas existen heurísticas llamadas reglas de despacho o de secuenciación, por ejemplo secuenciar primero el trabajo con menor tiempo de arranque. Esta regla es equivalente a la heurística del vecino más cercano


• En la práctica puede ser importante obtener una buena solución en lugar del óptimo (una solución en pocos segundos o minutos en lugar de una mejor solución en horas)

• Puede usarse Branch and Bound para resolver el problema. Se resuelve el problema relajado (sin la condición de que no haya ciclos) que es un problema de asignación.


• Una solución factible para el problema puede ser una solución óptima para el problema de asignación pero que contenga subciclos. Un subciclo es un ciclo que no contenga todos los nodos de la red. En la red :

la solución x15=x21=x34=x43=x52=1 tiene dos subciclos

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3

2

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• Si es posible eliminar todas las soluciones factibles del problema de asignación que contengan subciclos y se resuelve este problema de asignación, se obtendrá la solución óptima del problema del agente viajero. No es fácil hacerlo. Se puede hacer con B and B ramificando de manera de eliminar los subciclos. Por ejemplo en el caso anterior ramificar con x34=0 o c34=M


• Cuando no se puede encontrar la solución óptima en un tiempo razonable usamos una Heurística:

• Una Heurística es un método que mejora la solución obtenida pero no encuentra necesariamente el óptimo. En problemas prácticos (por ej. secuenciación de operaciones en máquinas controladas por computadoras) las heurísticas pueden encontrar soluciones con un costo no mayor al 2% del costo del óptimo.

• La eficiencia de una heurística se puede medir por:– desempeño garantizado

– análisis probabilístico

– análisis empírico


• Desempeño garantizado: es una cota del peor de los casos que garantiza que tan lejos de la solución óptima podemos encontrarnos

• Análisis probabilístico: se supone que la localización de las ciudades sigue una distribución de probabilidad conocida. Por ejemplo que las ciudades son v.a. uniformemente distribuídas en un cuadrado unitario; para cada heurística se calcula:

Longitud esperada del camino encontrado por la heurística

Cuanto más cerca de 1 esté el cociente mejor es la heurística

• Análisis empírico: la solución obtenida por la heurística se compara con la solución óptima de un número de problemas con solución conocida

Longitud esperada del camino óptimo


Un proceso de solución típico para este problema sigue los siguientes pasos: (hay varios algoritmos para cada paso)

• Crear un subciclo inicial

– Convex Hull

– Sweep (barrido)

– Vecino más cercano

• Insertar nodos restantes

– El más barato

– El más cercano

• Mejorar el circuito

– Algoritmos de intercambio: 2-opt, 3-opt, etc


Las heurísticas pueden consistir en:

• Construir un subciclo inicial y/o insertar puntos restantes si es necesario

• Mejorar un ciclo existente

• Una combinación de los dos anteriores. Procedimientos Compuestos

REGLAS MIOPES Y BUSQUEDA LOCAL

Las heurísticas pueden también clasificarse en:• REGLAS MIOPES: la solución se construye de manera

progresiva. En cada iteración se tiene una solución parcial y se extiende esta solución seleccionando una de las posibles opciones. Solo considera la mejor opción en el

paso siguiente sin tomar en cuenta lo ocurrido antes.Ejemplo: la heurística del vecino más cercano

• BUSQUEDA LOCAL: busca una mejor solución en un entorno de la solución actual. Ejemplo. 2-opt, 3-opt. Recocido Simulado (Simulated Annealing), Búsqueda Tabú (Tabu Search), Algoritmos Genéticos

Subciclo inicial: Convex Hull

• La envoltura convexa (Convex Hull) es el convexo más pequeño que contiene a todos los puntos

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1

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VECINO MÁS CERCANO

• Paso 1: Comenzar con cualquier nodo como nodo inicial

• Paso 2: Encontrar el nodo no visitado más cercano al último nodo visitado y agregarlo al camino.

• Paso 3: Repetir el Paso 2 hasta que todos los nodos de la red estén contenidos en el camino. Unir el primer nodo con el último visitado.

Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones

El método es de orden O(n2), es decir el número de iteraciones requeridas no es mayor a n2

2

1)(

2log

2

1

óptimo circuito del longitud

heurística lacon circuito del longitud n

MÉTODOS PARA INSERTAR PUNTOS LIBRES

Un método de inserción toma un subciclo en la iteración k y determina cuál de los restantes n-k nodos debe ser insertado

(paso de selección) en el circuito y entre que nodos (paso de inserción).

• El más cercano

• El más barato

EL MÁS CERCANO

• Paso 1: comenzar con un subgrafo consistiendo solo del nodo i

• Paso 2: encontrar el nodo r tal que cir es mínimo y formar el subciclo i-r-i.

• Paso 3: (Selección) a partir de un subciclo, encontrar el nodo r

que no está en el subciclo y que esté más cerca de cualquier nodo j del subciclo (min crj).

• Paso 4: (Inserción) encontrar el arco (i,j) que minimiza cir+crj-cij. Insertar r entre i y j

• Paso 5: Si todos los nodos han sido agregados parar, sino regresar al Paso 3.

Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones

2óptimo camino del longitud

heurística lacon camino del longitud

Número de iteraciones no mayor a n2.

EL MÁS BARATO

• Paso 1: comenzar con una subgráfica que contiene solo el nodo i

• Paso 2: encontrar el nodo r tal que cir es mínimo y formar el sub-ciclo i-r-i

• Paso 3: encontrar el arco(i,j) en el sub-ciclo que no contenga a r tal que cir+crj-cij sea mínimo. Insertar el nodo r entre i y j

• Tiene el mismo desempeño que el anterior y es del orden ))(log(

2

2 nnO

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