rugosidad

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Al abordar problemas hidráulicos en cauces en los que larugosidad varía a lo largo del perímetro, es usual el empleo de unúnico coeficiente de rugosidad de efectos hidráulicos equivalen-tes. Desde finales del primer tercio del siglo XX se han ido propo-niendo diversas expresiones para la determinación de un coefi-ciente de rugosidad equivalente, diferenciándose éstas en las hi-pótesis hidráulicas asumidas.

En el presente trabajo se han revisado ocho de estas ecuacio-nes, proponiéndose la modificación de una de ellas y, a la luz delas hipótesis propuestas en cada una, se recomienda su uso másadecuado en función de la heterogeneidad geométrica de la sec-ción estudiada. A efectos ilustrativos, se han contrastado numéri-camente las fórmulas recopiladas, aplicándolas a un hipotéticocauce natural con márgenes más rugosas que el lecho.

Asimismo, se han proporcionado una serie de pautas a fin decaracterizar adecuadamente la heterogeneidad de la rugosidaden el contorno y obtener así una división en subsecciones lo másfundamentada posible en criterios hidráulicos.

Por último, a partir de la revisión de las experiencias en campoy laboratorio realizadas en esta materia durante los últimos trein-ta años, se intentan extraer algunas conclusiones sobre la capaci-dad de predicción de las fórmulas recopiladas.

Raúl López AlonsoDpto. de Ingeniería Agroforestal. ETS de Ingeniería Agraria. Universidadde Lérida

R E S U M E N

Foto 1.- Caucecon márgenesmás rugosas queel lecho. Río Noguera deVallferrera enAlins (Lérida). Foto: J. Alcázar MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN

DEL COEFICIENTE DE RESISTENCIAAL FLUJO EN CAUCES DERUGOSIDAD HETEROGÉNEA

MONTESMONTESMONTESCIENCIA y TÉCNICACIENCIA y TÉCNICA

MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓNDEL COEFICIENTE DE RESISTENCIAAL FLUJO EN CAUCES DERUGOSIDAD HETEROGÉNEA

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1. INTRODUCCIÓN

Al intentar resolver problemas hi-dráulicos en cauces con lámina li-bre, muy frecuentemente en cana-les o conductos artificiales y en lamayoría de cauces naturales, nosencontramos con secciones trans-versales en las que la rugosidad va-ría a lo largo del perímetro. A fin deaplicar de forma simple las ecua-ciones de flujo permanente y uni-forme, o de integrar la ecuación di-ferencial del flujo gradualmente va-riado, se hace necesario determinarun único valor del coeficiente derugosidad que tenga un efecto hi-dráulico equivalente. El presenteartículo pretende ser una revisiónde los métodos de cálculo más di-fundidos a la hora de establecer uncoeficiente de rugosidad equivalen-te, exponiendo las hipótesis que seasumen en su desarrollo y reco-mendando sus aplicaciones máspertinentes.

2. CRITERIOS PARA LA DIVISIÓNDE LA SECCIÓN

La obtención de un coeficientede rugosidad equivalente requierepreviamente la identificación y ca-racterización de la heterogeneidaddel contorno en lo referente a larugosidad. Dada una sección en laque pueden distinguirse varios tra-mos de perímetro con rugosidaddiferente, se han propuesto diver-sos criterios a fin de obtener lassubsecciones correspondientes. Lasdivisorias de dichas subseccionescomprenden, además del contornosólido del cauce, líneas internasimaginarias que atraviesan el aguay que habitualmente no se consi-deran parte del perímetro mojadode las subsecciones. Esta últimaconsideración equivale a asumirque la tensión de corte en las divi-sorias internas del agua es nula,siendo las líneas que más cerca seencuentran de la anterior hipótesisaquellas que son ortogonales a lasisolíneas de velocidad o isotacas(véase la figura 1). No es frecuente,sin embargo, contar con la distri-bución de velocidades en la sec-ción o es necesaria experiencia ensu trazado a estima, por lo que enla práctica no es corriente la divi-sión en subsecciones mediante lí-

neas perpendiculares a las isota-cas.

Usualmente, el procedimientomás sencillo de delimitación desubsecciones es la recta vertical tra-zada a partir del punto de contacto,especialmente cuando la secciónpertenece a un cauce natural. Sinembargo, un tercer criterio, la rectabisectriz del ángulo que forman lossegmentos a dividir, se encuentramás próxima a la línea perpendicu-lar a la isotaca; consiguientemente,resultará más razonable hidráulica-mente que la divisoria vertical. Asi-mismo, en secciones rectangularesen las que la margen tenga una ru-gosidad diferente que el lecho, ob-viamente no es posible recurrir alas divisorias verticales entre sub-secciones cuando sea necesarioasignar un área mojada o radio hi-dráulico a cada subsección. Ade-más, FLINTHAM y CARLING(1992) encontraron que la divisiónen subsecciones tomando el crite-rio de la línea perpendicular a lasisotacas no mejora significativa-mente la precisión de los resultadosrespecto a la bisectriz, especial-mente para secciones con alta rela-ción ancho-calado, en las que am-bos criterios convergen sensible-mente. En suma, el criterio de labisectriz aparece como el más ade-cuado, ya que se encuentra muypróximo al más fundamentado hi-dráulicamente y es aplicable a sec-ciones rectangulares.

De todos modos merece ser nota-do que al adoptar el criterio de labisectriz en secciones estrechas, esdecir, con una baja relación ancho-calado, puede darse que las bisec-trices de márgenes opuestas inter-secten por debajo de la línea de su-perficie libre. En ese caso, serecomienda prolongar la divisoria

verticalmente entre el punto de in-tersección de las bisectrices y la su-perficie libre.

3. FORMULAS DESARROLLADAS

Debido a su amplio uso en hi-dráulica en lámina libre la fórmulade resistencia al flujo escogida eneste artículo es la de Gauckler-Manning, aunque es posible aplicarlos mismos conceptos a fórmulas ycoeficientes como los de Darcy-Weisbach o Chézy.

Cuando se trata de una secciónde rugosidad compuesta se divideésta en N subsecciones en las quese supone que el coeficiente de ru-gosidad es homogéneo. La estruc-tura general de las fórmulas del co-eficiente de rugosidad equivalentees:

donde wi es un factor de ponde-ración, que depende del área, perí-metro mojado y radio hidráulico.

En lo que sigue se presentan lasfórmulas más difundidas para laobtención del coeficiente n deGauckler-Manning equivalente ensecciones de rugosidad heterogé-nea, así como también las diferen-tes hipótesis que se han asumidoen su desarrollo. La notación em-pleada se halla recopilada al finaldel texto.1.- PAVLOVSKII (1931), MÜHL-

HOFER (1933) y EINSTEIN-BANKS (1950) adoptaron el con-cepto fundamental que considerala igualdad entre la fuerza totalque resiste el flujo y la suma delas fuerzas que resiste éste en ca-


Figura 1. Trazado de divisorias ortogonales a las isotacas.

da subsección. Las ecuaciones in-volucradas incluyendo la ya cita-da son:

de las que se obtiene finalmente laecuación:

2.- HORTON (1933) y EINSTEIN(1934) asumieron la hipótesis deque la velocidad media del flujoen la sección es la misma que lade cada subsección. El sistemacompleto de ecuaciones es:

del que resulta la ecuación:

3.- LOTTER (1933) asume como hi-pótesis central que el caudal totales la suma de los caudales queatraviesan cada subsección, utili-zando, consiguientemente, las dosecuaciones siguientes:

siendo la ecuación final:

4.- FELKEL (1960) propone una va-riante del caso anterior al añadiruna restricción geométrica queconsidera iguales los radios hi-dráulicos de la sección global ylos de cada subsección, con loque resulta el siguiente sistema deecuaciones:

La ecuación que obtiene es:

5.- KRISHNAMURTHY y CHRIS-TENSEN (1972) parten de la ob-tención de la velocidad mediamediante la integración de unaley logarítmica de distribución develocidades con la profundidad yconsiderando flujo turbulento ru-goso. Además, se imponen ciertashipótesis sobre la geometría moja-da de la subsecciones que limitasu empleo a secciones de alta re-lación ancho-calado. El sistemade ecuaciones es:

La ecuación que resulta es:

6.- YEN (1992) propone que lafuerza de arrastre, o de corte, enla sección sea igual a la suma delas fuerzas de arrastre de cadasubsección, adoptando el siguien-te sistema:

La ecuación final que obtiene es:

7.- YEN (1992) propone una va-riante del caso anterior, al asumirla igualdad entre la velocidad me-dia de las subsecciones y la de lasección total:

La ecuación que resulta es:

8.- El conocido como método deldistrito de Los Angeles del U.S.Army Corps of Engineers (COX,1973) supone la contribución li-neal de cada coeficiente de rugo-sidad proporcional al área de lasubsección, con lo que se tiene:

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(6)

(7)

(8)(5)(3)

Foto 2.- Encauzamiento de un torrente con lecho más rugoso que las márgenes y baja relación ancho-calado para lasección de máximo desagüe. Os de Civís (Lérida)

Foto 3.- Encauzamiento con lecho más rugoso que las márgenes. Setcases (Girona)


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9.- En el presente artículo se propo-ne una modificación de la ecua-ción 5 asumiendo la ecuación lo-garítmica de velocidad media pa-ra flujo turbulento rugoso deKEULEGAN (1938) y eliminandolas restricciones sobre la geome-tría mojada, lo que permite unempleo de la fórmula indepen-diente de la relación ancho-cala-do en la sección:

La ecuación que se obtiene es:

Nótese que en la ecuación 9 apa-rece el radio hidráulico en lugardel calado como en la ecuación 5,lo que permite una mejor aplica-ción de la primera a secciones norectangulares.

Por último, COLEBATCH (1941)bajo las premisas adoptadas para eldesarrollo de la ecuación 2 derivóerróneamente la siguiente ecua-ción:

A pesar de que no se recomiendael uso de la ecuación anterior se haconsiderado pertinente citarla aquí,ya que aparece frecuentemente enla bibliografía e incluso se ha utili-zado en algunos estudios experi-mentales para comparar la capaci-dad de predicción de las diferentesfórmulas propuestas.

En la aplicación de las nueve fór-mulas recopiladas debe atenderseno únicamente a la variación de la

rugosidad con el perímetro, sinotambién a la geometría. En efecto,cabe distinguir entre secciones“compactas”, es decir, con unaprofundidad no excesivamente he-terogénea a lo ancho del cauce, ysecciones que no sólo presentanuna distribución heterogénea de larugosidad, sino en las que tambiénse produce una acusada diferenciaen la profundidad del flujo.

Por lo que respecta a las prime-ras, la hipótesis que asume laigualdad entre la velocidad mediaen la sección y la de cada subsec-ción ha sido confirmada en cana-les de laboratorio con márgenesmenos rugosas que el lecho parasección rectangular (KNIGHT yMACDONALD, 1979) y trapecial(FLINTHAM y CARLING, 1992).Por contra, ejemplos del segundotipo serían secciones muy irregula-res o aquellas en las que, motivadopor un desbordamiento del flujodesde el cauce principal, se haocupado el cauce de avenidas. Enese caso son más aplicables aque-llas expresiones en las que aparez-can parámetros que involucren R o

A, evitando por el contrario las quehayan asumido hipótesis que seencuentran lejos del tipo de flujoque se da en estas secciones, comopor ejemplo considerar una distri-bución de velocidades homogé-nea, como las ecuaciones 2 y 7.Por el contrario, la ecuación 3, seconsidera como una de las másadecuadas para emplearla en sec-ciones de geometría heterogénea,ya que equivale a aplicar la ecua-ción de resistencia al flujo de for-ma independiente en cada subsec-ción con la única restricción deconservación del caudal en la sec-ción.

Como ilustración de la utiliza-ción de las fórmulas recopiladas seha incluido una comparación nu-mérica en su aplicación a una hi-potética sección trapecial (véase lafigura 2.a) y considerando el méto-do de división según línea verticaly bisectriz. La geometría mojadasegún ambos criterios se muestraen la figura 2.b y en el cuadro 1,mientras que los resultados de lacomparación se presentan en elcuadro 2.


Figura 2.a. Sección del cauce analizado.

Figura 2.b. División en subsecciones del cauce analizado.

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4. ELECCIÓN DE LA ECUACIÓNMÁS ADECUADA

De acuerdo con varios autores(FRENCH, 1985; YEN, 1992) el es-tado del conocimiento actual, a fal-ta de estudios de comparación queintegren todas las ecuaciones usan-do datos de laboratorio, canales yríos, no permite establecer una cla-sificación categórica de su preci-sión. No obstante, se cuenta conalgunas experiencias que, sin serrepresentativas de los diferentes ti-pos de cauce y sin involucrar a to-das las ecuaciones aquí recopila-das, pueden servir en cierta medidade guía. A continuación se expon-drán las conclusiones de dichas ex-periencias, indicando la clasifica-ción de las fórmulas analizadas enfunción del menor error de predic-ción cometido.

KRISHNAMUTHY y CHRISTEN-SEN (1972) contrastaron el error depredicción de cuatro expresionesde las aquí recopiladas con datosdel curso bajo del río Mississippi,obteniendo la siguiente clasifica-

ción: 5, 2, 1 y 3. Por otra parte,MOTAYED y KRISHNAMURTHY(1980) utilizando registros de 36secciones en ríos de EE.UU., en lasque el coeficiente n variaba entre0.02 y 0.07, evaluaron la capaci-dad de predicción de cuatro expre-siones de las aquí incluidas. La cla-sificación de las fórmulas analiza-das, de menor a mayor error depredicción fue: 3, 5, 2 y 1, siendoel error medio de la ecuación 3muy inferior al resto. Por último,FLINTHAM y CARLING (1992) enun estudio comparativo de la preci-sión de predicción de tres ecuacio-nes de las aquí presentadas, utili-zando datos de un canal trapecialde laboratorio con márgenes másrugosas que el lecho, obtuvieron lasiguiente clasificación: 1, 2 y 3.

La comparación de la clasifica-ción de las tres fórmulas que se in-cluyen en cada experiencia no per-mite una elección enteramenteconcluyente, ya que los resultadosson en gran medida contradicto-rios. De todos modos, debe tenersepresente que el número de datos

con los que se ha trabajado en ca-da experiencia no es el mismo,siendo mayor en el estudio de MO-TAYED y KRISHNAMURTHY. Porotra parte, la fórmula 5 se encuen-tra bien situada en los dos estudiosen los que aparece.

En definitiva, parece una medidarecomendable la utilización delmayor número de ecuaciones quepermita la geometría de la sección,máxime si tenemos presente el re-ducido esfuerzo de cálculo que su-pone la utilización de las actualesherramientas informáticas.

5. CONCLUSIONES

El criterio de la bisectriz comodivisoria entre subsecciones es elmás recomendable para caracteri-zar la heterogeneidad de la rugosi-dad en el cauce, ya que aúna fun-damentos hidráulicos y facilidad detrazado.

Para secciones en las que, ademásde la heterogeneidad en la rugosi-dad, se produzca una acusada varia-ción del calado a lo largo del perí-metro no se recomiendan aquellasexpresiones de cálculo del coefi-ciente de rugosidad equivalente quehayan sido desarrolladas asumiendouna distribución uniforme de veloci-dades, como son la ecuación 2 y 7.Por el contrario, en ese caso es ge-neralmente aceptado el uso de laecuación 3, que equivale a la apli-cación independiente de la ecua-ción de resistencia al flujo en cadasubsección, con la única restricciónde la conservación del caudal.

La falta de estudios que integrentodas las ecuaciones propuestasusando el mayor número de datosobtenidos en cauces de diferentenaturaleza, impide que el estadodel conocimiento en la materiapueda establecer qué ecuaciones

Subsección n P Divisoria vertical Divisoria bisectriz

A R T Y A R T y1 0.035 3.606 3.0 0.832 3.0 1.0 3.606 1.000 3.606 1.0002 0.027 7.000 14.0 2.000 7.0 2.0 12.922 1.846 5.922 2.1823 0.075 4.472 4.0 0.894 4.0 1.0 4.472 1.000 4.472 1.000

Cuadro 1-. Geometría del cauce

Fórmula Divisoria vertical Divisoria bisectrizn n

1 0.04796 0.047962 0.04554 0.045543 0.02761 0.029674 0.03574 0.035745 0.03289 0.032316 0.04038 0.041187 0.04487 0.044318 0.03729 0.038609 0.03213 0.03347

Cuadro 2.- Coeficiente n de Gauckler-Manning equivalente, según fórmula y criteriode división de subsecciones


son más precisas en función de lasección analizada. Asimismo, losresultados de las experiencias másrecientes no permiten tampoco al-canzar clasificaciones parciales, porlo que se recomienda el empleo delmayor número de ecuaciones com-patibles con la irregularidad geomé-trica de la sección estudiada.

NOTACIÓN

a Coeficienteg Aceleración gravitacionalk Rugosidad equivalentey Calado medio, y = A/Tn Coeficiente de

Gauckler-Manningv Velocidad media del flujoA Área mojadaF Fuerza de resistencia al flujoP Perímetro mojadoQ Caudal circulanteR Radio hidráulicoS Pendiente de la línea de

energíaT Ancho de la superficie libreγ Peso específico del agua. ■

BIBLIOGRAFÍA

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