rototraslacion

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA ROTOTRASLACIÓN

Profesoras 1 Lic. Norma del Puerto Lic. Adriana Bonamusa

FORMAS CUADRÁTICAS

Una ecuación de segundo grado en dos variables, completa y general es una ecuación de la forma

2 211 12 22 13 23 332 0+ + + + + =a x a xy a y a x a y a (1) si por lo menos uno de los coeficientes

11 12 22, ,a a a no es igual a cero.

La expresión 2 211 12 222a x a xy a y+ + se llama forma cuadrática asociada a la ecuación (1).

Las graficas de las ecuaciones cuadráticas reciben el nombre de cónicas o secciones cónicas. La ecuación (1) se puede expresar en forma matricial:

( ) ( )11 1213 23 33

12 22

. . 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

A

a a x xx y a a a

a a y y

La matriz 11 12

12 22

a aA

a a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

que representa a la forma cuadrática es simétrica, por lo tanto es

diagonalizable. Luego es posible encontrar una matriz D diagonal semejante a la matriz A.

A ∼ 2 2 1 inversible / . .xD P D P A P−⇔ ∃ ∈ =R donde P es una matriz cuyas columnas son los dos vectores propios linealmente independientes y = 1P La ecuación cuadrática (1), como la forma cuadrática, están referidas a la base canónica

{ }1 ,=B i j , y la matriz A representa a la forma a la forma cuadrática respecto de la base 1B .

La matriz D representa a la forma a la forma cuadrática respecto de la base

{ }2 ', '=B i j formada con los autovectores.

Reemplazando en la ecuación (1) ( ) ( )'

' ''. . tx x

P x y x y Py y

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Se obtiene

( ) ( )' '

' '12 13 33' '. . . . . . 0T

D

x xx y P A P a a P a

y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )' '

1' '12 13 33' '

2

0. . . . 0

0x x

x y a a P ay y

λλ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Luego, la ecuación de segundo grado respecto a la nueva base se convierte en:

( )'

2 21 2 13 23 33'' ' . . 0λ λ

⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

xx y a a P a

y

los términos lineales se pueden eliminar mediante una traslación conveniente. O sea: 2 2

1 2' ' 0x yλ λ γ+ + = si

1 2

. .

. 0Punto

Elipse

N L G

λ λ⎧⎪> ⇒ ⎨⎪⎩

1 2

Hipérbola

Dos rectas que se cortan. 0λ λ

⎧< ⇒ ⎨

⎩

1 2

Parábola

Dos rectas paralelas, coincidentes o imaginarias.

0λ λ

⎧∨ = ⇒ ⎨

⎩

Ejemplos:

1- Dada la ecuación 2 2 6 0x xy y+ + − = identificar el lugar geométrico, hallar ecuación canónica y graficar.

La forma matricial de la ecuación dada es:

( )12

12

1. . 6 0

1x

x yy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

hallamos los valores propios de 12

12

11

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

λλ λ λ λ

λ−

= − − = ⇒ = =−

122

1 212

1 1 1 3A- . = (1 ) 0 ,1 4 2 2

I .

Los vectores propios asociados a esta raíz doble satisfacen λ− =( ). 0iA X

Para λ =112

⎧ + =⎪⎛ ⎞ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧⎪= ⇒ ⇒⎨ ⎨⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩⎝ ⎠ ⎪ + =⎪⎩

1 12 21 12 2

1 1 00 2 20 1 1 0

2 2

x yx x xy y xx y



1

/x

S xxλ =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭R , λ λ=

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭1 1

1dim 1

1BaseS S

Para λ =232

⎧− + =⎪−⎛ ⎞ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧⎪= ⇒ ⇒⎨ ⎨⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩⎝ ⎠ ⎪ − =⎪⎩

1 12 2

1 12 2

1 1 00 2 20 1 1 0

2 2

x yx x xy y xx y

2

/x

S xxλ =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

R , λ λ=⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

2 2

1dim 1

1BaseS S

si normalizamos estos vectores propios , obtenemos la matriz ortogonal

−

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 12 2

1 12 2

y P 1P .Luego P es una matriz ortogonal propia.

Entonces − ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

11 2

32

0. .

0D P A P

La ecuación transformada

2 21 3' ' 62 2

+ = ⇒x y

2 2' ' 1

12 4+ =

x y Ecuación canónica de una elipse de eje mayor coincidente con el eje 'x .

Gráficamente:



2- Dada la ecuación 25 12 12 13 36x xy x+ − = identificar el lugar geométrico, hallar

ecuación canónica y graficar. La forma matricial de la ecuación dada es:

( ) ( )5 6. . 12 13 0 36 0

6 0x x

x yy y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

hallamos los valores propios de 5 66 0

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

λλ λ λ λ λ

λ−

= − − − = ⇒ = = −− 1 2

5 6A- . = (5 ).( ) 36 0 9, 4

6I .

Los vectores propios asociados a esta raíz doble satisfacen λ− =( ). 0iA X Para λ =1 9

=⎧− − + =⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧ ⎪= ⇒ ⇒⎨ ⎨⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − = =⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎪⎩

4 6 0 4 6 026 9 0 6 9 03

x xx x yy x y y x

1

/23

xS x

xλ =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

R , λ λ=⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭1 1

3dim 1

2BaseS S

Para λ = −2 4

=⎧+ =⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧ ⎪= ⇒ ⇒⎨ ⎨⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = = −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎪⎩

9 6 0 9 6 036 4 0 6 4 02

x xx x yy x y y x

2

/32

xS x

xλ =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

R , λ λ=⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

2 2

2dim 1

3BaseS S

si normalizamos estos vectores propios , obtenemos la matriz ortogonal

−

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

3213 13

3 213 13

y P 1P .Luego P es una matriz ortogonal propia.

Entonces − −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠1 4 0. .

0 9D P A P

La ecuación transformada

( ) ( )32'

13 13' '' 3 2

13 13

4 0 '. . 12 13 0 . . 36 0

0 9 'xx

x yyy −

⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠



( )2 2 '4 ' 9 ' 24 36 36

'x

x yy

⎛ ⎞− + + = ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 24 ' 9 ' 24 ' 36 ' 36x y x y− + + + = si completamos cuadrados

2 2( ' 3) ( ' 2) 1

9 4x y− +

− + =

si '' ' 3 y '' ' 2x x y y= − = +

la ecuación se convierte en 2 2'' '' 1

9 4x y

− + = ecuación canónica de una hipérbola eje transverso

coincidente con el eje ''y . Gráficamente:

rototraslacion

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