RED CRISTALINA UNIDIMENSIONAL

Rosa Mª MartínezEsmeralda Martínez

1ª parte

•Explicación teórica.

2ª parte

•Explicación de código

3ª parte

•Análisis de dos masas distintas

•Análisis de dos masas iguales

•Modos normales para N partículas

En una red cristalina el movimiento vibratorio entre los átomos adyacentes se comportan como un sistema de partículas conectados por muelles a lo largo de una línea recta.

• En un sistema con N partículas y N+1 muelles (todos con la misma k) el movimiento para la partícula p se rige por:

()= 0 (1) = k/m

(),

Se trata de una EDO lineal con coeficientes constantes, por lo

que podemos escribirla:

N

p

N

p

x

x

x

x

x

x

x

x

.

.

.

.

21000000

*.*00000

0*.*0000

00121000

000*.*00

0000*.*0

00000121

00000012

.

.

.

.2

1

2

1

N

p

N

p

tipp

tip

tip

tip

A

A

A

A

A

A

A

A

eAAeAeAeA

.

.

.

.

21000000

*.*00000

0*.*0000

00121000

000*.*00

0000*.*0

00000121

00000012

.

.

.

.

(2) )(2 x

2

1

20

2

1

2

1120

20

2p

¿Cómo lo resolvemos?

N

p

N

p

A

A

A

A

A

A

A

A

.

.

.

.

21000000

*.*00000

0*.*0000

00121000

000*.*00

0000*.*0

00000121

00000012

.

.

.

.2

1

20

2

1

2

M̂2

02

normales. sfrecuencia las e,equivalent es que lo o s,autovalore los

son soluciones cuyas N grado de polinomioun da nos tedeterminan Este

0)ˆ det(

trivialla seasolución la que parasingular ser de ha matriz Esta

0)ˆ ( ˆ

: esautovectory sautovalore losobtener que mas es no normales modos losHallar

(escalar) m

M̂ :cumplen que aquellos

son M cuadrada matriz una para )( esautovector losy )( sautovalore Los

220

220

20

2

2

20

2

2

IM

IMM

k

Relación autovectores y autovalores en los modos normales

)cos(2 )cos()sin(2

)( :solución la amplitud la para Suponemos

2 :obtiene se despejandoy

(2) )(2

resultado el retomando es),autovector ( A amplitudes las a cuanton

1111

20

20

211

1120

20

2

p

pppp

p

p

pp

pppp

p

A

AApCAA

psenCA

A

AA

AAAA

E

)1

(

)1

(

)1

2(

)1

1(

: autovectorun hay normasl frecuencia cada para que manera De

particula cada para Amplitud )1

( 1

:obtenemos , 0A ,0A fijos) (extremos contorno de conciones las Utilizando 1N0

N

nNsen

N

npsen

N

nsen

N

nsen

C

N

npsenCA

N

n

n

p

N1,2,..,np, ; )cos( )1

( )1

( )(

:n modo elen p particula la de movimiento El

)1

(

)1

(

)1

2(

)1

1(

:autovectorun habra ella de una cada Para

haya. particulas como tantashabra que es)(autovalor normales sfrecuencia las

obtienen se oresolviend 0)ˆ det( x:Propusimos

,

220p

tN

pnsenCe

N

pnsenCtx

N

nNsen

N

npsen

N

nsen

N

nsen

C

IMeA

nti

np

n

tip

Ecuación de los modos normales

Código en Matlab Consta de cuatro funciones:

• CrystalSimulation: Función principal del programa• Verlet: Función para la integración• Force: Función para calcular la fuerza: F = - k· x• Simulation: Función que crea la simulación

CrystalSimulation toma como valores input:

•Masa: vector columna•Distancia inter atómica: escalar•Posiciones iniciales: vector columna•Velocidades iniciales: vector columna•Intervalo integración: escalar•Tiempo máximo: escalar•Constante muelle elástica: escalar

DOS MASAS

2

2022

2021

2022

1

2012

2011

2011

,02

, 02

m

kxxx

m

kxxx

Análisis con dos masas distintasDos casos:• m1 < m2 m1 = 3, m2 = 4• m1 << m2 m1 = 2, m2 = 12

Para cada caso, varias posibilidades:• Velocidades iguales, desplazamientos iguales• Velocidades iguales, desplazamientos distintos• Velocidades distintas, sin desplazamientos

Caso 1: m1 < m2

Velocidades iguales: v1 = v2 = 0

Desplazamiento de las masas:Δε1 = Δε2 = 0.5

El movimiento de las masas es semejante. Oscilan con el mismo periodo.

• Desplazamiento de las masas:Δε1 = 0.5 y Δε2 = 1.5

m1 oscila según el efecto de m2.(grafica 1)

• Desplazamiento de las masas:Δε1 = 0.5 y Δε2 = 3.5

Cuanto mayor sea Δε2, mayor es el efecto del movimiento(grafica 2)

(grafica1)

(grafica2)

Velocidades distintas: v1 ≠ v2

En ningún caso hay desplazamientos:

Cuando v1 > v2:El período de las oscilaciones de m1 es más

pequeño que para m2.

Valores tomados: v1 = 10, v2 = 0

Cuando v2 > v1:Aparece un efecto parecido al de esta gráfica

Caso 1: m1 << m2

Velocidades iguales: v1 = v2 = 0

Desplazamiento de las masas:Δε1 = Δε2 = 0.5

La masa más grande tiene un movimiento prácticamente independiente de la pequeña.

Desplazamiento de las masas:Δε1 = 8 y Δε2 = 0Δε1 = 0 y Δε2 = 2

Ambos casos son muy parecidos.La Masa m1 tiene un movimiento muy

alterado

Velocidades distintas: v1 ≠ v2

No hay desplazamientos de las partículas

Cuando v1 > v2 es parecido a v2 > v1:Comportamiento semejante a Δε1 = Δε2

Valores tomados: v1 = 7, v2 = 0 v1 = 1, v2 = 3

Análisis con dos masas iguales

Valores masas: m1 = m2 = 3Valores velocidades: v1 = v2 = 0

Valores desplazamiento: Δε1 = 0, Δε2 = 5

Mismo movimiento para las dos partículas.Máxima amplitud para m2 → mínima

amplitud para m1