rodrigo alves dias · i os dois postulados da teoria especial da relatividade de einstein, e o...

Capıtulo 37 Relatividade

RODRIGO ALVES DIAS

Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo

Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a

Editora: Pearson - Addisson and Wesley

21 de outubro de 2014


Objetivos de Aprendizagem

O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o raciocıniopor tras desses postulados.

I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou naode dois eventos.

I Como a relatividade preve que os relogios se atrasarao, e evidenciasexperimentais que confirmam isso.

I Como a extensao de um objeto varia devido ao movimento do objeto.

I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referencia a partir doqual o objeto e observado.

I Como a teoria da relatividade modifica a relacao entre velocidade e momentolinear.

I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinetica para partıculasque se deslocam em velocidades relativısticas.

I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.


Introducao

Introducao

Criada por Albert Einstein:

I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .

I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .


Introducao

Introducao

Criada por Albert Einstein:

I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .

I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .

I (TRE) → Invariancia das leis fısica por uma mudanca de referenciais comvelocidades relativas uniformes.

I (TRG) → Generaliza TRE para referenciais acelerados e incorpora a gravitacao.


Referenciais Inerciais

I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.

I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).





1o Pressuposto: O tempo e:

I absoluto → Independente do observador.

I homogeneo → Flui uniformemente.

I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.









2o Pressuposto: O espaco e:

I absoluto → Permanece imovel.

I homogeneo → Continuo e uniforme.

I isotropico → todas as direcoes saoequivalentes.

I euclidiano → Metrica euclidiana(Reta:menor distancia entre dois pontos).














Newton constroi sua mecanica sobre suas 3 leis fundamentais:

1. Lei da Inercia: Partıcula mantem seu estado(~v = C te) se ~FR = 0.

2. Lei da Forca: ~FR = d~pdt

; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.

3. Lei da Acao e Reacao: ~Fij = −~Fji .

















; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.


Referencial Inercial:

I E o referencial na qual a Lei da Inercia de Newton e valido.















; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.


Referencial Inercial:

I E o referencial na qual a Lei da Inercia de Newton e valido.

Movimento dos Corpos:[Tempo ; Posicao instantanea]

I “Qualquer conjunto de corpos em repouso relativo pode ser usado comoreferencial”(Metrica Euclidiana).

I “Qualquer fenomeno periodico pode ser usado como relogio”.


Transformacao de Galileu(TG)




Transformacao de coordenadas.

x = x′

+ ut′

y = y′

z = z′

t = t′


x′

= x − ut

y′

= y

z′

= z

t′

= t




x = x′

+ ut′

y = y′

z = z′

t = t′

Transformacao de velocidades, ~v = d~rdt

.

vx = v′x + u

vy = v′y

vz = v′z


x′

= x − ut

y′

= y

z′

= z

t′

= t

Transformacao de velocidades, ~v′

= d~r′

dt′ .

v′x = vx − u

v′y = vy

v′z = vz




x = x′

+ ut′

y = y′

z = z′

t = t′


.

vx = v′x + u

vy = v′y

vz = v′z


x′

= x − ut

y′

= y

z′

= z

t′

= t


= d~r′

dt′ .

v′x = vx − u

v′y = vy

v′z = vz

Princıpio da relatividade de Galileo(PRG)

I “E impossıvel detectar por meio de uma experiencia mecanica o movimento deum referencial inercial”.

I “As leis da mecanica sao invariantes por uma transformacao de Galileu”.




x = x′

+ ut′

y = y′

z = z′

t = t′


.

vx = v′x + u

vy = v′y

vz = v′z


x′

= x − ut

y′

= y

z′

= z

t′

= t


= d~r′

dt′ .

v′x = vx − u

v′y = vy

v′z = vz

Princıpio da relatividade de Galileo(PRG)

I “E impossıvel detectar por meio de uma experiencia mecanica o movimento deum referencial inercial”.

I “As leis da mecanica sao invariantes por uma transformacao de Galileu”.

Mostre que a 2a Lei de Newton, escrita abaixo, e invariante por uma TG.

~F′R = m

d~v′

dt′= −∇

′i

∑j

V (|~r′j −~r

′i |) ⇒ ~FR = m

d~v

dt= −∇i

∑j

V (|~rj −~ri |)



Duas partıculas carregadas

Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,

∑, em repouso.




∑, em repouso.

Em t = 0 e do referencial,∑

, cada uma sofre

uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .




∑, em repouso.


, cada uma sofre


As mesmas partıcula vista por um

referencial,∑′

, com velocidade constante~u, em t = 0 sofre cada uma a forcaresultante,~F

′R = ~F

′e + ~F

′m = q~E

′+ q~u × ~B′

.




∑, em repouso.


, cada uma sofre



referencial,∑′


′R = ~F

′e + ~F

′m = q~E

′+ q~u × ~B′

.

I Existe alguma inconsistencia, ~FR 6= ~F′R . A dinamica e afetada por uma TG.

I Os fenomenos eletromagneticos sao descritos pelas Equacoes de Maxwell.

I Estas levam a uma equacao de onda para os campos eletrico e magnetico.

I Essas equacoes levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√µ0ε0

.




∑, em repouso.


, cada uma sofre



referencial,∑′


′R = ~F

′e + ~F

′m = q~E

′+ q~u × ~B′

.





.

Mostre que a Eq. Onda nao e invariante por TG.

∇′2ψ =

1

v2

∂2ψ

∂t′2⇒ ∇2ψ =

1

v2

∂2ψ

∂t2+

2

c2(~u · ∇)

∂ψ

∂t+

2

c2(~u · ∇)(~u · ∇)ψ




∑, em repouso.


, cada uma sofre



referencial,∑′


′R = ~F

′e + ~F

′m = q~E

′+ q~u × ~B′

.





.


∇′2ψ =

1

v2

∂2ψ

∂t′2⇒ ∇2ψ =

1

v2

∂2ψ

∂t2+

2

c2(~u · ∇)

∂ψ

∂t+

2

c2(~u · ∇)(~u · ∇)ψ

Ondas Mecanicas: ok!

I A velocidade da onda depende da velocidade do meio de propagacao.

I Existe um referencial privilegiado.

I E aquele que esta em repouso em relacao ao movimento do meio na qual a ondase propaga.




∑, em repouso.


, cada uma sofre



referencial,∑′


′R = ~F

′e + ~F

′m = q~E

′+ q~u × ~B′

.


I Os fenomenos eletromagneticos sao descritos pelas Equacoes de Maxwell.I Estas levam a uma equacao de onda para os campos eletrico e magnetico.I Essas equacoes levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√

µ0ε0.


∇′2ψ =

1

v2

∂2ψ

∂t′2⇒ ∇2ψ =

1

v2

∂2ψ

∂t2+

2

c2(~u · ∇)

∂ψ

∂t+

2

c2(~u · ∇)(~u · ∇)ψ

Ondas Mecanicas: ok!

I A velocidade da onda depende da velocidade do meio de propagacao.

I Existe um referencial privilegiado.

I E aquele que esta em repouso em relacao ao movimento do meio na qual a ondase propaga.

Qual e o meio de propagacao das ondas Eletromagneticas?Qual e o referencial privilegiado? O ETER !



O Eter!

Propriedades Estranhas:

I Nao deveria possuir massa!(Onda EM no vacuo!)

I Elevada elasticidade! v =√

Bρ

= c = 3× 108m/s.

I E o referencial privilegiado das Ondas Eletromagneticas.

I No entanto, nao existia nenhuma comprovacao experimental para a existenciado Eter.






Bρ

= c = 3× 108m/s.








Bρ

= c = 3× 108m/s.



Possıveis solucoes ao problema:

1. As equacoes de Maxwell nao sao apropriadas para explicar os fenomenoseletromagneticos.

2. Existe um referencial privilegiado, O Eter, e que em outros referenciais asequacoes de Maxwell precisao de modificacoes.

3. As equacoes de Maxwell sao invariantes por uma troca de referenciais e a TGnao e apropriada para descrever essa troca.







A resposta correta e a 3)! No entanto, os fısicos foram a procura do Eter.








Tres evidencias experimentais:

1. A experiencia de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferencia

nao observado). A Terra deve arrastar o Eter.

2. Aberracao da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Eternao seria observado esse efeito.

3. Experiencia de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Eter nao e arrastado.








Tres evidencias experimentais:

1. A experiencia de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferencia

nao observado). A Terra deve arrastar o Eter.

2. Aberracao da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Eternao seria observado esse efeito.

3. Experiencia de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Eter nao e arrastado.

Essas 3 experiencias impossibilitam a existencia do Eter.


Invariancia das Leis Fısicas

Postulados da Relatividade Especial

1. As Leis da natureza, incluindo todos os fenomenos mecanicos eeletromagneticos, sao os mesmos em todos os referenciais que se movem commovimento uniforme relativo um ao outro.

2. A velocidade de luz no espaco vazio e a mesma em todos os sistemas dereferencia e e independente do corpo emissor.






Princıpio da Correspondencia

I Qualquer teoria nova proposta deve concordar com uma teoria antiga naprevisao dos fenomenos para os quais a teoria antiga fornece a previsao correta.






Princıpio da Correspondencia

I Qualquer teoria nova proposta deve concordar com uma teoria antiga naprevisao dos fenomenos para os quais a teoria antiga fornece a previsao correta.

Com essas hipoteses qual e a transformacao apropriada entre referenciais?



Transformacao de Lorentz(TL)

A TL nao pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.

x = γ(x′

+ ut′)

x′

= γ(x − ut)





x = γ(x′

+ ut′)

x′

= γ(x − ut)

Dos postulados de Einstein: x = ct e x′

= ct′.

ct = γ(ct′

+ ut′) = γ(c + u)t

′

ct′

= γ(ct − ut) = γ(c − u)t





x = γ(x′

+ ut′)

x′

= γ(x − ut)


= ct′.

ct = γ(ct′

+ ut′) = γ(c + u)t

′

ct′

= γ(ct − ut) = γ(c − u)t

Eliminando t ou t′, obtemos:

γ =1√

1− u2/c2





x = γ(x′

+ ut′)

x′

= γ(x − ut)


= ct′.

ct = γ(ct′

+ ut′) = γ(c + u)t

′

ct′

= γ(ct − ut) = γ(c − u)t


γ =1√

1− u2/c2

Para obter t ou t′,

x = γ[γ(x − ut) + ut′]

x′

= γ[γ(x′

+ ut′)− ut]





x = γ(x′

+ ut′)

x′

= γ(x − ut)


= ct′.

ct = γ(ct′

+ ut′) = γ(c + u)t

′

ct′

= γ(ct − ut) = γ(c − u)t


γ =1√

1− u2/c2


t = γ[t′

+ x′u/c2]

t′

= γ[t − xu/c2]





x = γ(x′

+ ut′)

x′

= γ(x − ut)


= ct′.

ct = γ(ct′

+ ut′) = γ(c + u)t

′

ct′

= γ(ct − ut) = γ(c − u)t


γ =1√

1− u2/c2


t = γ[t′

+ x′u/c2]

t′

= γ[t − xu/c2]

Transformacao de coordenadas de Lorentz.

t = γ(t′

+ x′u/c2)

x = γ(x′

+ ut′)

y = y′

z = z′

t′

= γ(t − xu/c2)

x′

= γ(x − ut)

y′

= y

z′

= z





x = γ(x′

+ ut′)

x′

= γ(x − ut)


= ct′.

ct = γ(ct′

+ ut′) = γ(c + u)t

′

ct′

= γ(ct − ut) = γ(c − u)t


γ =1√

1− u2/c2


t = γ[t′

+ x′u/c2]

t′

= γ[t − xu/c2]

Mostre que a Eq. Onda e invariante por TL.


t = γ(t′

+ x′u/c2)

x = γ(x′

+ ut′)

y = y′

z = z′

t′

= γ(t − xu/c2)

x′

= γ(x − ut)

y′

= y

z′

= z




Consequencias importantes da TL

1. Modificacao do conceito de simultaneidade.

2. Contracao do espaco.

3. Dilatacao do tempo.

Mostre que a Eq. Onda e invariante por TL.


t = γ(t′

+ x′u/c2)

x = γ(x′

+ ut′)

y = y′

z = z′

t′

= γ(t − xu/c2)

x′

= γ(x − ut)

y′

= y

z′

= z


Relatividade da Simultaneidade


I Dois eventos simultaneos em∑⇒ {x1 6= x2 e t1 = t2} .

I Em∑′

pela TL temos que:





I Em∑′

pela TL temos que:

t′1 − t

′2 = γ(t1 − t2)−

γu

c2(x1 − x2)

t′1 − t

′2 =

γu

c2(x2 − x1)





I Em∑′

pela TL temos que:

t′1 − t

′2 = γ(t1 − t2)−

γu

c2(x1 − x2)

t′1 − t

′2 =

γu

c2(x2 − x1)

Dois eventos simultaneos em∑

podem nao ser em∑′

.


Relatividade dos Intervalos de Tempo


I Devemos medir um intervalo, T′

= t′1 − t

′2, em

∑′na mesma posicao, x

′1 = x

′2 ,

logo,

I Em∑

pela TL temos que:





= t′1 − t

′2, em


′1 = x

′2 ,

logo,

I Em∑

pela TL temos que:

t1 − t2 = γ(t′1 − t

′2)−

γu

c2(x

′1 − x

′2)

t1 − t2 = γ(t′1 − t

′2)

T = γT′





= t′1 − t

′2, em


′1 = x

′2 ,

logo,

I Em∑

pela TL temos que:

t1 − t2 = γ(t′1 − t

′2)−

γu

c2(x

′1 − x

′2)

t1 − t2 = γ(t′1 − t

′2)

T = γT′

Como γ ≥ 1 temos que T ≥ T′.

O tempo proprio,T′

, e aquele medido no referencial que esta parado em relacao ao

relogio.





= t′1 − t

′2, em


′1 = x

′2 ,

logo,

I Em∑

pela TL temos que:

t1 − t2 = γ(t′1 − t

′2)−

γu

c2(x

′1 − x

′2)

t1 − t2 = γ(t′1 − t

′2)

T = γT′

Como γ ≥ 1 temos que T ≥ T′.

O tempo proprio,T′

, e aquele medido no referencial que esta parado em relacao ao

relogio. Paradoxo dos Gemeos.

http://www2.uol.com.br/sciam/artigos/o_paradoxo_dos_gemeos.html


Relatividade do Comprimento


I Devemos medir o comprimento, L = x1 − x2, em∑

no mesmo instante, t1 = t2,logo,

I Em∑′

pela TL temos que:






I Em∑′

pela TL temos que:

x′1 − x

′2 = γ(x1 − x2)− u(t1 − t2)

x′1 − x

′2 = γ(x1 − x2)

L′

= γL⇒ L = L′/γ






I Em∑′

pela TL temos que:

x′1 − x

′2 = γ(x1 − x2)− u(t1 − t2)

x′1 − x

′2 = γ(x1 − x2)

L′

= γL⇒ L = L′/γ

Como γ ≥ 1 temos que L ≤ L′.

O comprimento proprio, L′, do objeto e aquele medido no referencial que esta parado

em relacao ao objeto.



I Uma onda plana linearmente polarizada em y

se propagando na direcao x , em um

referencial∑

,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j

~B = B0 cos(kx − ωt)k





referencial∑



I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E

′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′





referencial∑




′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′

I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:

φ = kx − ωt = C te = φ′

= k′x′− ω

′t′





referencial∑




′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′


φ = kx − ωt = C te = φ′

= k′x′− ω

′t′

dφ

dt= 0→ v = c =

ω

k

dφ′

dt′= 0→ v = c =

ω′

k′





referencial∑




′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′


φ = kx − ωt = C te = φ′

= k′x′− ω

′t′





referencial∑




′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′


φ = kx − ωt = C te = φ′

= k′x′− ω

′t′

x = γ(x′

+ ut′) ; t = γ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= kγ(x′

+ ut′)− ωγ(t

′+ ux

′/c2)





referencial∑




′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′


φ = kx − ωt = C te = φ′

= k′x′− ω

′t′

x = γ(x′

+ ut′) ; t = γ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= kγ(x′

+ ut′)− ωγ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t

′





referencial∑




′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′


φ = kx − ωt = C te = φ′

= k′x′− ω

′t′

x = γ(x′

+ ut′) ; t = γ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= kγ(x′

+ ut′)− ωγ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t

′

k′

= γ(k − ωu/c2)

ω′

= γ(ω − ku)





referencial∑




′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′


φ = kx − ωt = C te = φ′

= k′x′− ω

′t′

x = γ(x′

+ ut′) ; t = γ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= kγ(x′

+ ut′)− ωγ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t

′

k′

= γ(k − ωu/c2)

ω′

= γ(ω − ku)

k′

= kγ(1− ωu/c)

ω′

= ωγ(1− u/c)





referencial∑




′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′


φ = kx − ωt = C te = φ′

= k′x′− ω

′t′

x = γ(x′

+ ut′) ; t = γ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= kγ(x′

+ ut′)− ωγ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t

′

k′

= γ(k − ωu/c2)

ω′

= γ(ω − ku)

k′

= kγ(1− ωu/c)

ω′

= ωγ(1− u/c)

λ = λ′√

c − u

c + u

ω′

= ω

√c − u

c + u





referencial∑




′= E

′0 cos(k

′x′− ω

′t′)j

′

~B′

= B′0 cos(k

′x′− ω

′t′)k

′


φ = kx − ωt = C te = φ′

= k′x′− ω

′t′

x = γ(x′

+ ut′) ; t = γ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= kγ(x′

+ ut′)− ωγ(t

′+ ux

′/c2)

k′x′− ω

′t′

= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t

′

k′

= γ(k − ωu/c2)

ω′

= γ(ω − ku)

k′

= kγ(1− ωu/c)

ω′

= ωγ(1− u/c)

λ = λ′√

c − u

c + u

T = T′√

c − u

c + u


Transformacao de Velocidades


Das transformacao de Lorentz obtemos,

dt = γ(dt′

+ dx′u/c2)

dx = γ(dx′

+ udt′)

dy = dy′

dz = dz′

dt′

= γ(dt − dxu/c2)

dx′

= γ(dx − udt)

dy′

= dy

dz′

= dz





dt = γ(dt′

+ dx′u/c2)

dx = γ(dx′

+ udt′)

dy = dy′

dz = dz′


.

dt′

= γ(dt − dxu/c2)

dx′

= γ(dx − udt)

dy′

= dy

dz′

= dz


= d~r′

dt′ .





dt = γ(dt′

+ dx′u/c2)

dx = γ(dx′

+ udt′)

dy = dy′

dz = dz′


.

vx =dx

dt=

v′x + u

1 + v ′xu/c

2

vy =dy

dt=

v′y

γ(1 + v ′xu/c

2)

vz =dz

dt=

v′z

γ(1 + v ′xu/c

2)

dt′

= γ(dt − dxu/c2)

dx′

= γ(dx − udt)

dy′

= dy

dz′

= dz


= d~r′

dt′ .

v′x =

dx′

dt′=

vx − u

1− vxu/c2

v′y =

dy′

dt′=

vy

γ(1− vxu/c2)

v′z =

dz′

dt′=

vz

γ(1− vxu/c2)


Momento Linear Relativıstico


I A definicao nao relativıstica do momento

linear e,

~p = m~v





linear e,

~p = m~v

I Para preservarmos a conservacao domomento relativıstico temos que definir quem = m(v) = γm0.

I Onde m0 e a massa propria, medida noreferencial que esta em repouso. Logo,





linear e,

~p = m~v

I Para preservarmos a conservacao domomento relativıstico temos que definir quem = m(v) = γm0.

I Onde m0 e a massa propria, medida noreferencial que esta em repouso. Logo,

~p = γm0~v

~p =m0~v√

1− v2/c2


Trabalho e Energia na Relatividade


I Da definicao de trabalho, e considerando a

forca resultante temos que,

Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt






Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p






Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p

d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ






Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ





Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]

Wab = γm0c2∣∣∣v0

= γm0c2 −m0c

2



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)

Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:

K(v) = γm0c2 −m0c

2



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)



2

A variacao da energia total e igual a somadas variacoes da energia cinetica epotencial,

dE = dK + dU



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)



2


dE = dK + dU

Em uma regiao que a energia potencialnao varie,

dE = dK



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)



2


dE = dK + dU


dE = dK

dE = d(γm0c2)



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)



2


dE = dK + dU


dE = dK

dE = d(γm0c2)

E(v) = γm0c2



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)



2


dE = dK + dU


dE = dK

dE = d(γm0c2)

E(v) = γm0c2

E(v) = K + m0c2



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)



2


dE = dK + dU


dE = dK

dE = d(γm0c2)

E(v) = γm0c2

E(v) = K + m0c2

A energia de repouso de uma partıculasera,

E(v = 0) = E0 = m0c2



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)



2


dE = dK + dU


dE = dK

dE = d(γm0c2)

E(v) = γm0c2

E(v) = K + m0c2


E(v = 0) = E0 = m0c2

E = mc2



Wab =

∫ b

a

~FR · d~r =

∫ b

a

d~p

dt· ~vdt

Wab =

∫ b

a~v · d~p


Wab =

∫ b

am0γ~v · d~v +

∫ b

am0~v · ~vdγ

Wab = m0

∫ b

a

vdv√1− v2/c2

+ m0

∫ b

av2d [(1− v2/c2)−1/2]


= γm0c2 −m0c

2

Wab = ∆K = K(v)− K(0)



2


dE = dK + dU


dE = dK

dE = d(γm0c2)

E(v) = γm0c2

E(v) = K + m0c2


E(v = 0) = E0 = m0c2

E = mc2

m = γm0



Energia e momento.

Das definicoes de energia e momento,E = γm0c

2

~p = γm0~v



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2

p2 =v2E2

c4



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2

p2 =v2E2

c4

E2 =m2

0c4

1− v2/c2



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2

p2 =v2E2

c4

E2 =m2

0c4

1− v2/c2

E2 = (m0c2)2 +

E2v2

c2



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2

p2 =v2E2

c4

E2 =m2

0c4

1− v2/c2

E2 = (m0c2)2 +

E2v2

c2

E2 = (m0c2)2 + (pc)2

E =√

(m0c2)2 + (pc)2



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2

p2 =v2E2

c4

E2 =m2

0c4

1− v2/c2

E2 = (m0c2)2 +

E2v2

c2

E2 = (m0c2)2 + (pc)2

E =√

(m0c2)2 + (pc)2

I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma

partıcula com massa de repouso

nula,E = pc



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2

p2 =v2E2

c4

E2 =m2

0c4

1− v2/c2

E2 = (m0c2)2 +

E2v2

c2

E2 = (m0c2)2 + (pc)2

E =√

(m0c2)2 + (pc)2



nula,E = pc

I Vimos para ondas eletromagneticas,E = cB

u =1

2ε0E

2 +1

2µ0B2 = ε0E

2



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2

p2 =v2E2

c4

E2 =m2

0c4

1− v2/c2

E2 = (m0c2)2 +

E2v2

c2

E2 = (m0c2)2 + (pc)2

E =√

(m0c2)2 + (pc)2



nula,E = pc


u =1

2ε0E

2 +1

2µ0B2 = ε0E

2

~S =1

µ0

~E × ~B = uc~k

k



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2

p2 =v2E2

c4

E2 =m2

0c4

1− v2/c2

E2 = (m0c2)2 +

E2v2

c2

E2 = (m0c2)2 + (pc)2

E =√

(m0c2)2 + (pc)2



nula,E = pc


u =1

2ε0E

2 +1

2µ0B2 = ε0E

2

~S =1

µ0

~E × ~B = uc~k

k

~Pem =

∫(ε0µ0

~S)dV

~Pem =c

c2(

∫udV )~k/k



Energia e momento.


2

~p = γm0~v

~p = E~v

c2

p2 =v2E2

c4

E2 =m2

0c4

1− v2/c2

E2 = (m0c2)2 +

E2v2

c2

E2 = (m0c2)2 + (pc)2

E =√

(m0c2)2 + (pc)2



nula,E = pc


u =1

2ε0E

2 +1

2µ0B2 = ε0E

2

~S =1

µ0

~E × ~B = uc~k

k

~Pem =

∫(ε0µ0

~S)dV

~Pem =c

c2(

∫udV )~k/k

~Pem =1

cUk → Pem =

U

c


Mecanica Newtoniana e Relatividade


I Da definicao de forca resultante temos que,

~FR =d~p

dt=

d(γm0~v)

dt





~FR =d~p

dt=

d(γm0~v)

dt

~FR = m0~vdγ

dt+ γm0

d~v

dt

~FR = m0~vdγ

dt+ γm0~a

rodrigo alves dias · i os dois postulados da teoria especial da relatividade de einstein, e o...

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