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05/12/2013
Volumen 1, nº 1
Revista semestral de calculo
Coordenadas polares.
Autor: Gabriel José González Marín
El propósito de la presente pu-
blicación, es el de servir de
marco referencial introductorio
al conocimiento de lo que son
las coordenadas polares. Para
todos aquellos interesados en
el manejo y dominio de las
coordenadas polares.
Cuando se desea ubicar un
punto en el plano cartesiano,
normalmente se recurre al uso
de las coordenadas (x,y). Otra
manera de hacer referencia a
dicha coordenada lo constituye
el uso de las coordenadas pola-
res, donde se tendrán como
valores respectivos, el radio
( R ) “Distancia de el origen
hasta el punto”, y el ángulo (θ)
radial de ubicación del punto en
cuestión. Tal como se indica en
la figura 1.
Como se puede apreciar clara-
mente cualquier punto en el
plano cartesiano, puede ser
representado mediante su re-
presentación en coordenadas
polares (R,θ).
En este caso se tiene que R no
es mas que la hipotenusa de un
rectángulo. Cuya coordenada
en el eje de las abscisas es x y
en eje de las ordenadas es y.
En consecuencia, desde el pun-
to de vista matemático hacien-
do uso del teorema de Pitágo-
ras se tiene:
Y adicionalmente , se tiene que:
Sistema de coordenadas polares
Grafica de una ecuación polar
Ciertamente, en principio la
representación de un punto
P(x,y) haciendo uso de las coor-
denadas polares, nos resulta
un tanto poco familiar. Pero una
vez que se comprende se hace
de habito natural su utilización.
Cuando se tiene una sucesión
de puntos obtenidos de ecua-
ciones polares, su representa-
ción resulta ser bastante ele-
mental.
Mediante el uso, del Excel en
esta revista, se mostrara de
manera sencilla, las diversas
formas que se obtienen, al gra-
ficar una ecuación polar. Dichas
graficas nos resultan bastante
familiares, ya que constante-
mente nos las encontramos en
la naturaleza que nos rodea. Se
ilustrara de manera didáctica la
metodología que se sigue en la
obtención de las graficas co-
rrespondientes.
Coordenadas polares.
05/12/2013
Volumen 1, nº 1
Revista semestral de calculo
Puntos de interés especial:
Sistema de coordenadas polares
Grafica de una ecuación polar.
Intersección de graficas en coor-
denadas polares.
Calculo del área en coordenadas
polares.
Contenido:
Como elaborar una grafica de una
ecuación polar.
3
Ecuación polar de rosa de n péta-
los definida por el seno.
3
Ecuación polar de rosa de n péta-
los definida por el coseno.
3
Ecuación de cardiodes que se
obtienen con la función seno.
4
Ecuación de cardiodes que se
obtienen con la función coseno.
4
Ecuación de la espiral de Arquíme-
des.
4
Ecuación de la espiral logarítmica. 5
Intersección de graficas en coorde-
nadas polares , mediante superpo-
sición de graficas
5
Intersección de graficas en coorde-
nadas polares mediante la iguala-
ción de expresiones
5
Calculo de áreas en coordenadas
polares
6
Pasa tiempo 7
Libros de referenciales 8
Tablas y formulas trigonométricas 10
Figura 1. coordenada Polar
θ R
0
P (x,y)
Autor: Gabriel José González Marín
Para definir las coordenadas polares, lo primero que arreglemos un O origen (llamado
el polo) y una radiografía inicial de O (Figura 1). Luego, cada punto P se puede locali-
zar mediante el nombramiento de una coordenada polar pareja en la que R da la dis-
tancia dirigida de O a P y da la dirigida ángulo del rayo inicial para OP .
Página 3 Revista semestral de calculo
Cuando se tiene que construir
la grafica de una ecuación po-
lar, se hace uso de una hoja
para graficar en coordenadas
polares. Similar a la que se
ilustra en la figura 2.
Como podemos observar clara-
mente, dicha hoja esta consti-
tuida por la división angular de
los cuatro cuadrantes del plano
cartesiano; con una serie de
círculos concéntricos de color
rojo (en estos se hará corres-
ponder el radio de la ecuación
polar dada) .
Cuando el valor, del radio fuese
negativo, su magnitud se ubica-
ra en un ángulo que será 180°
mas al correspondiente dado θ.
Si por ejemplo: tuviésemos que
para θ =30°, el valor de R cal-
culado nos da –5; con una mag-
nitud de 5 y un ángulo de 210°,
colocaremos el punto que co-
rresponde a la coordenada
polar de (-5, 30°), cuya repre-
sentación efectiva será el punto
de coordenada polar ( 5, 210°).
definirá el máximo radio que se
obtendrá para el pétalo.
Para la construcción de dicha
grafica se elabora una tabla
cuyos valores angulares serán
desde 0° hasta los 360°, al
cual le corresponderá su res-
pectivo valor del radio.
Como puede evidenciarse clara-
mente, ambas se diferencian
Las ecuaciones polares de la
forma R=a cos(nθ) correspon-
de a una rosa de n pétalos si n
es impar. Pero cuando n es par
corresponde a una rosa de 2n
pétalos. Tal como se puede
apreciar claramente, en la figu-
ra 3 se obtiene una rosa de 3
pétalos, ya que para este caso
el valor de n definido fue de
3; en este caso el valor de a,
en el echo de que uno de los
lóbulos se asienta claramente
sobre el eje correspondiente, a
la función que lo ha generado
tal como se observa en las figu-
ras 3 y 4 respectivamente.
Como elaborar una grafica de una ecuación polar.
Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el coseno.
Para la construcción de dicha
grafica se elabora una tabla
cuyos valores angulares serán
desde 0° hasta los 360°, al
cual le corresponderá su res-
pectivo valor del radio.
Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el seno.
Las ecuaciones polares de la
forma R=a sen(nθ) correspon-
de a una rosa de n pétalos si n
es impar. Pero cuando n es par
corresponde a una rosa de 2n
pétalos. Tal como se puede
apreciar claramente, en la figu-
ra 3 se obtiene una rosa de 3
pétalos, ya que para este caso
el valor de n definido fue de 3;
en este caso el valor de a, defi-
nirá el máximo radio que se
obtendrá para el pétalo.
Figura 2.– Hoja para graficar en
coordenadas polares
Figura 3.– Gráfica de la rosa de 3
pétalos generada con la función
seno
Figura 4.– Gráfica de la rosa de 3
pétalos generada con la función
coseno
Tal como se puede apreciar en
la figura 6.
Consideremos las ecuaciones
de la forma R= a+b cos(θ). Don-
de a y be son coeficientes cua-
lesquiera. Que pertenezcan al
conjunto de los números reales.
A las graficas correspondientes
se les llama limacons, con los
casos particulares cuando en
modulo a=b se les lama cardioi-
des. Debido a que asemejan a
un corazón.
Ecuación de cardiodes que se obtienen con la función coseno.
la figura 5.
Ecuación de cardiodes que se obtienen con la función seno.
Consideremos las ecuaciones
de la forma R= a+b sen(θ). Don-
de a y be son coeficientes cua-
lesquiera. Que pertenezcan al
conjunto de los números reales.
A las graficas correspondientes
se les llama limacons, con los
casos particulares cuando en
modulo a=b se les lama cardioi-
des. Debido a que asemejan a
un corazón.
Tal como se puede apreciar en
“el arte de graficar
es innato del ser
humano , y por
muy torcidas que
las líneas queden,
darán siempre una
idea de un buen
concepto escondido”
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Figura 5.– Gráfica de cardioide
generada con la función seno
Figura 6.– Gráfica de cardioide
generada con la función coseno
relojes de cuerda, y aun hoy en
día se les encuentra también
en los muelles de los tempori-
zadores de cuerda de sistemas
semi automáticos.
La grafica de R=a θ, es una
espiral de Arquímedes.
Tal como se puede apreciar en
la figura 7.
Circunstancialmente, esta figu-
ra se encuentra ampliamente
documentada en diversos escri-
tos de las culturas antiguas, y
también se le encontraba en el
interior de los sistemas de Figura 7.– Gráfica de espiral
de Arquímedes
Ecuación de la espiral de Arquímedes.
La espiral logarítmica viene
dada por la expresión: R= a e bθ.
Tal como se observa en la Figu-
ra 8.
Si se observa detenidamente y
se compara con la espiral de
Arquímedes, la espiral logarítmi-
ca crece de manera exponen-
cial, de manera bastante acele-
rada. Este tipo de espiral suele
encontrarse presente en algu-
nas especies de caracoles
terrestres y marinos.
Dadas las siguientes expresio-
nes, determine la intersección.:
R= cos(θ) ; R=1-cos(θ)
Al igualar se tiene:
Cos(θ)=1-Cos(θ)
2Cos(θ)=1
Cos(θ)=1/2 → θ =cos-1(1/2)
Θ=1/3π ; Θ=5/6π
Ecuación de la espiral logarítmica.
Intersección de graficas en coordenadas polares mediante la igualación de expresiones
bas graficas sobre una misma
hoja de graficas polares.
Tal como se ilustra en la Figura
9.
Intersección de graficas en coordenadas polares , mediante superposición de graficas
Cuando se requiere intersectar
dos graficas las cuales se han
desarrollado en coordenadas
polares, basta con reemplazar
la expresión del radio de una de
ellas, en la otra y determinar el
valor angular θi, que hace posi-
ble que ambas expresiones
sean iguales.
Desde el punto de vista grafico
esta puedes ser realizada, me-
diante la superposición de am-
Página 5 Revista semestral de calculo
Figura 8. Gráfica espiral logarítmica
Figura 9. Gráfica intersección de
rosa de cinco pétalos con cardioide
Figura 10. Gráfica intersección de
circunferencia con cardioide.
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40 -20 0 20 40 60
La expresión dada para el
calculo del área para el lóbulo
interior en su parte inferior del
limacon, viene dada por la ex-
presión
En consecuencia:
Resolviendo se tiene:
Calculo de áreas en coordenadas polares
Página 6 Volumen 1, nº 1
Nota en caso de dudas de las operaciones de transforma-
ción, refiérase a la pagina N° 10 de la presente revista.
Busque y numere en una lista las palabras claves mencionadas en la revistas presentes en esta sopa de letras.
Pasa tiempos
Identifique por su nombre a las siguientes graficas polares y especifique su potencial
ecuación
Página 7 Volumen 1, nº 1
V V S B E A O E S P I R A L O O D F Y H N G G U
C C F E G L V T P T L P O S I T I V O E Y G X U
F X V D A O C A R D I O I D R A S P D T U H X Y
C S S R S R O L T I M P A R E S S R T R X E U I
C Z C F V G R O K O A N G U L O O O R H E U J P
C F G G T E A S L K C O S E N O A P F E Q E U O
G H H S V G Z U U R O S A T C T Y O A A U U J M
V H H I Y F O T G A N E R T T T Y S H J E N L Ñ
D F S S F C N F T D F N Q T T H Y I N J J N O O
Y T V T F F F F T I F O U R T Y T T H U N U I N
A Y Y E T N Y Y O O T F I G U R A O Y S Ñ I O T
D D D M T G T R R F O R M A Ñ R Ñ D Y Ñ L M O G
V B F A U N O I C A U C E N E Ñ G F J Ñ L N U O
Ñ U V F R E E F N E W W D A N P N V N N O P U O
O Y Ñ E E S D E F T Q N E G A T I V O V I L A P
G O E B U E D Ñ V R E V S V V C M D F S O L P
F W B V V J G M D F D G R A F I C A K L L M L R
Q H A H R D H H J O J O R L O K L L L P K M Z W
E R W V G U W T G S E M L A Q L R W Ñ Q P P M B
-15
-10
-5
0
5
10
15
-5 0 5 10 15 20 25
En la siguiente dirección tendrán a disposición, una amplia biblioteca de libros para ser descargados de diversas materias y temas.
En este recuadro se escribe el nombre
del libro que re requiere
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Tablas y formulas trigonométricas
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Copyright Gabriel José González
Marín
Adjunta a la presente revista, el autor obsequiara a la persona
interesada una pequeña aplicación desarrollada en Excel , con
comunicarse al email del autor del presente articulo de la revis-
ta, para que visualice las graficas de coordenadas polares carac-
terísticas con tan solo suministrarle los datos solicitados.
Coordenadas polares.