Elaboró JGMO Página 1

Geometría analítica: resumen de PARÁBOLA. Empecemos por identificar elementos importantes de la parábola mostrada en la gráfica.

Puntos: vértice , foco Líneas:

Directriz , lado recto y eje focal o eje de simetría .

La distancia del foco al vértice es igual a la distancia (más corta) del vértice a la directriz. A esa distancia se le conoce con el nombre de distancia focal (p).

El lado recto, es un segmento de recta perpendicular al eje focal, o paralelo a la directriz y está delimitado por dos puntos de la parábola. La longitud del lado recto siempre es igual a cuatro veces el valor de la distancia focal.

Elaboró JGMO Página 2

La forma ordinaria o reducida de la ecuación de la parábola tiene cuatro presentaciones, las que asociaremos a sus gráficas correspondientes.

Tipo de parábola

Ecuación Gráfica

Vertical “Abriendo” hacia arriba Vértice V(h, k)

( ) ( )

Vertical “Abriendo” hacia abajo Vértice V(h, k)

( ) ( )

Horizontal “Abriendo” hacia la derecha Vértice V(h, k)

( ) ( )

Horizontal “Abriendo” hacia la izquierda Vértice V(h, k)

( ) ( )

Elaboró JGMO Página 3

Ahora toca el turno a la forma general, se explicará de manera detallada, principalmente cuando se requiere completar cuadrados, recordemos que el objetivo es cambiar la forma general a forma ordinaria porque desde esa forma podemos obtener los elementos necesarios para graficar.

Cambio de forma general a ordinaria

Descripción

Para la ecuación de la parábola

Obtener: Las coordenadas del vértice Las coordenadas del foco La ecuación de la directriz La longitud del lado recto Las coordenadas de los extremos del lado recto La gráfica correspondiente

Se conserva la variable con el término cuadrático y el término lineal de la misma variable en el primer miembro de la ecuación. Los demás términos se “pasan” (*) al segundo miembro de la ecuación.

Se complementa el trinomio cuadrado del primer miembro, con la “mitad” del coeficiente del término lineal elevado al cuadrado. ¿?, ¡la mitad del 6 al cuadrado, pues!, obteniendo 9. Ese valor también se suma al segundo miembro de la ecuación para que se conserve la igualdad.

( ) ( )

Factorizamos el trinomio cuadrado del primer término con un binomio al cuadrado y también factorizamos el segundo término, recordemos que ( )

El factor común es –

Vértice ( ) Distancia focal

Foco ( ) Directriz Lado recto Extremos ( ) y ( )

Comparando el tipo de ecuación ordinaria obtenida, nos damos cuenta que corresponde a una parábola vertical abriendo hacia abajo. El signo negativo del lado recto nos sirve para identificar hacia dónde “abre la parábola” Ahora ya se obtienen las coordenadas de vértice y foco y demás elementos solicitados.

La magnitud del lado recto (LR) es 4, recordemos que las

distancias no tienen signo, por lo que 4p=4 y despejando;

Gráfica

Elaboró JGMO Página 4

Para una ecuación cuyo término cuadrático sea en la variable y, el proceso es semejante.

Cambio de forma general a ordinaria

Descripción

Para la ecuación de la parábola

Obtener: Las coordenadas del vértice Las coordenadas del foco La ecuación de la directriz La longitud del lado recto Las coordenadas de los extremos del lado recto La gráfica correspondiente

Se conserva la variable con el término cuadrático y el término lineal de la misma variable en el primer miembro de la ecuación. Los demás términos se “pasan” (*) al segundo miembro de la ecuación.

Se complementa el trinomio cuadrado del primer miembro, con la “mitad” del coeficiente del término lineal elevado al cuadrado. ¿?, ¡la

mitad de – al cuadrado, pues!, obteniendo 1.

Ese valor también se suma al segundo miembro de la ecuación para que se conserve la igualdad.

( ) ( )

Factorizamos el trinomio cuadrado del primer término con un binomio al cuadrado y también factorizamos el segundo término,

recordemos que ( ) El factor común es 8

Vértice ( ) ¡¡!! Primero h después k

Distancia focal

Foco ( ) Directriz Lado recto Extremos ( ) y ( )

Comparando el tipo de ecuación ordinaria obtenida, nos damos cuenta que corresponde a una parábola horizontal abriendo hacia la derecha. El signo positivo del lado recto nos sirve para identificar hacia dónde “abre la parábola” Ahora ya se obtienen las coordenadas de vértice y foco y demás elementos solicitados.

La magnitud del lado recto (LR) es 8, recordemos que las distancias no tienen signo, por lo que 4p=8 y despejando;

Gráfica