resumen fórmulas y ejemplos del curso tercero

7/25/2019 Resumen Frmulas y Ejemplos Del Curso TERCERO

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RESUMEN CURSO

ORDEN DE OPERACIN

Para operar correctamente no te olvides que existeun orden(prioridad) que se debe respetar y es elsiguiente:

1 Parntesis2 Potencias3 Multiplicacin y Divisin4 Suma y Resta

Nmeros en potencia de 10

Todo nmero puede ser expresado en potencia dediez. Veamos el siguiente ejemplo:739 = 7100 + 310 + 91 = 7102+ 3 101+ 9100= 7 centenas + 3 decenas + 9 unidades.

Debes tener presente al operar con 0 que ladivisin por 0 no est definida.

Un nmero de dos cifras se representa por 10+y.Un nmero de tres cifras se representa por100x+10y+z

Orden en Q

Esto se refiere a establecer cundo un elemento deQ es mayor, menor o igual que otro elementoUn mtodo es el de los productos cruzados Cul

fraccin es menor9

7o

7

11?

Se efecta el producto 77 = 49 y 911 = 99, como

49 es menor que 99, se concluye que9

7 x, x+1,x+2, x+3, x+4, .....

Nmeros pares consecutivos -----> 2x, 2x+2, 2x+4,2x+6, 2x+8 .....

Nmeros impares consecutivos -----> 2x+1, 2x+3,2x+5, 2x+7, 2x+9 .....

Mltiplos de 5 consecutivos -----> 5x, 5x+5, 5x+10,5x+15, 5x+20, ......

Antecesor de un nmero cualquiera -----> x - 1

Sucesor de un nmero cualquiera -----> x + 1

Semi-suma de dos nmeros ----->2

yx

Semi-diferencia de dos nmeros ----->2

yx

Proporcionalidad Directa:

Dos cantidades a y b son directamenteproporcionales si su cuociente es constante.

kb

a

Proporcionalidad Inversa:

Dos cantidades a y b son inversamenteproporcionales si su producto es constante.

a b = kpara ambos casos, k recibe el nombre de constante

de proporcionalidad.

Cuadrado del BinomioCorresponde al producto de un binomio por smismo.

(a + b)2= (a + b)(a + b) = a2+ ab + ab + b2= a2+ 2ab + b2

(a - b)2= (a - b)(a - b) = a2- ab - ab + b2= a2-2ab + b2

Suma por DiferenciaCorresponde al producto de la suma de dos trminospor su diferencia.

Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia,o sea (a b)

(a + b)(a b) = a2ab + ab b2= a2b2

FACTORIZACIN

Factorizar una expresin algebraica es hallar dos oms factores cuyo producto es igual a la expresinpropuesta.

Factorizar un polinomio cuyos trminos tienenun factor comn. Sabemos que m( x - y + z ) =mx - my + mz. Luego, factorizar este ltimopolinomio es simplemente proceder a la inversa,

buscando el factor comn. O sea mx - my + mz =m( x - y + z ).

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto.Sabemos que (a b)2= a2 2ab + b2. Luego, se

tendr inversamente que a2 2ab + b2=(a b)2.

Factorizacin de la diferencia de doscuadrados. Sabemos que (a + b)(a - b) = a2- b2.


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Luego, se tendr inversamente que: a2- b2= (a +b)(a - b).

Factorizar un trinomio de la forma x2+ mx +n. Sabemos que (x + a)(x + b) = x2+ (a + b)x +ab. Luego, se tendr inversamente que: x2+ (a +b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos: Factorizara) x2+ 7x + 12 = x2+ (4 + 3)x + 43 = (x +

4)(x + 3)b) x2+ 5x 14 = x2+ (7 2)x - 7-2 = (x + 7)(x

2)

Embaldosado o Teselaciones

Embaldosar o teselar, significa recubrir el plano con figurasque se repiten de modo que al unir las figuras se recubrecompletamente el plano y la interseccin de dos figuras esvaca (sin huecos).

Teselacin Regular

La Teselacin regular es el cubrimiento del plano conpolgonos regulares y congruentes. Son slo tres lospolgonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano: eltringulo equiltero, el cuadrado y el hexgono regular.

TRASLACIN

Isometra determinada por un vector. O sea, el movimientode traslacin tiene:Direccin: horizontal, vertical y oblicua.

Sentido: Derecha, izquierda, arriba, abajo.Magnitud: Distancia entre la posicin inicial y la posicinfinal de cualquier punto de la figura.

ROTACIN

Isometra en quetodos los puntosgiran un nguloconstante conrespecto a unpunto fijo. Elpunto fijo sedenominacentrode rotaciny lacantidad de girose denominangulo derotacin.O sea todos los puntos de la figura son rotadas atravs de crculos concntricos en Oy ellos describen losmismos arcos (en medida angular) de estos crculos.

REFLEXIN

Una reflexin osimetra axial esuna simetra queestdeterminada poruna rectallamada eje de

simetra.

En la figura se ve que la parte que est a la derecha del ejey, es exactamente igual a la parte que est a la izquierdade este mismo eje. Entonces hablamos de figurassimtricas y el eje de simetracorresponde al eje de lasordenadas.La distancia desde A al eje y es la misma que de A a este

eje. Lo mismo ocurre con los restantes puntos homlogosdel tringulo.

Criterio LAL (Lado-ngulo -Lado)Dos tringulos son congruentes si tienen dos ladoscongruentes y el ngulo comprendido por ellos tambincongruente.

ABC DEF porque, AB DE; ABC DEF y BC EF.

Criterio ALA (ngulo-Lado-ngulo)Dos tringulos son congruentes si tienen dos nguloscongruentes y el lado comn a ellos, tambin congruente.

GHI JKL porque, GHI JKL; HI KL y HIG

KLJ

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)Dos tringulos son congruentes si tiene sus tres ladosrespectivamente congruentes.

MNO PQR porque, MN PQ; NO QR y OM RP

Criterio LLA (Lado-Lado-ngulo)Dos tringulos son congruentes si tienen dos ladoscongruentes y el ngulo opuesto al lado de mayor medida,tambin congruente.

ACE BDF porque, AC BD; CE DF y CEA DFB,siendo AC y BD los lados de mayor medida.

ECUACION DE LA RECTA

La ecuacin de la recta puede ser representada en dosformas:

Forma General: ax + by + c = 0

Forma Principal: y = mx + n

En la ecuacin principal de la recta y = mx + n, el valor de mcorresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficientede posicin.

La pendiente permite obtener el grado de inclinacin quetiene una recta, mientras que el coeficiente de posicinseala el punto en que la recta interceptar al eje de lasordenadas.


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Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2),la pendiente queda determinada por el cuociente entre ladiferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y ladiferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

12

12

xx

yym

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta, laecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

Ecuacin de la recta dado punto-pendiente

La ecuacin de la recta que pasa por un punto P(x1,y1) ytiene pendiente m es:

y - y1= m(x - x1)

Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes soniguales y sus coeficientes de posicin distintos, o sea

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces L1// L2s y slo si m1= m2; n1distinto a n2

Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes soniguales y sus coeficientes de posicin iguales, o sea

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces L1coincidente con L2s y slo si m1= m2y n1= n2

Dos rectas son perpendicularescuando el producto de suspendientes es -1, o sea

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces L1 L2s y slo si m1 m2= -1

Semejanza de tringulos

Dos tringulos son semejantes si sus ngulos son igualesuno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichosngulos son proporcionales

Primer Criterio: ngulo ngulo (AA)Dos tringulos son semejantes si tienen dos de sus ngulosrespectivamente iguales.

Segundo Criterio: Lado - ngul o- Lado ( LAL)Dos tringulos son semejantes si dos de sus lados sonproporcionales respectivamente y congruente el ngulo queforman.

Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)Dos tringulos son semejantes si sus tres lados sonrespectivamente proporcionales.

Teorema de Thales

BD

PB

AC

PA

CD

PC

AB

PA

Teoremas de la ci rcunferencia

Recordemos las relaciones fundamentales que se cumplenen las circunferencias.1. El ngulo del centro mide el doble que todos aquellos

ngulos inscritos que subtienden el mismo arco.


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PB PA = PD PC.

3. Si a una circunferencia se trazan una secante y unatangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igualal producto de la medida de la secante por la medida de suexterior.

PC2= PB PA

Clculo de probabilidades

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 que en tanto porciento significa entre 0% y 100%.

Regla de Laplace: La probabilidad de que se cumpla unsuceso est determinado por el cociente entre los casosfavorables y los casos posibles.

PosiblesCasos

FavorablesCasos)A(P

Suceso Imposible: Corresponde al valor cero.

Suceso Seguro: Corresponde al valor uno.

Sucesos Independientes: Si el suceso B esindependientes de la ocurrencia del suceso A, laprobabilidad total se dar por el producto de ambasprobabilidades.

PROBABILIDAD TOTAL

Se define la Probabilidad Total como la probabilidad de queocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos. Lapodemos determinar a travs de la siguiente frmula:

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

Si los eventos son excluyentes (A B = ), la probabilidadde que se produzca A o B es:

)B(P)A(P)BA(P

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Las probabilidades condicionadas se calculan una vez quese ha incorporado informacin adicional a la situacininicial.

La probabilidad de que se den simultneamente dossucesos es igual a la probabilidad a priori del suceso A

multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionadaal cumplimiento del suceso A. O sea:

)A/B(P)A(P)BA(P

Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del sucesoA, se dice que son eventos ind ependientes. En este casose da que:

)B(P)A(P)BA(P

PROPIEDADES DE LAS RACES

1. Suma y resta de races:

Solo se pueden sumar y restar races semejantes, o seadel mismo ndice y mismo radicando

2. Producto y divis in de races:Del mismo ndice:

6216278278 3333

De distinto ndice:

12 1112 812 33 24 aaaaa =

3. Raz de una raz:

Para calcular la raz de una raz, se multiplican los ndices.

63 aa

FUNCIN CUADRTICA

La grfica de una funcin cuadrtica es una parbolay sudominio es el conjunto de los nmeros reales.

Si a>0, se dice que la parbola es positiva y, en este caso,abre hacia arriba. Si a0 y b>0, entonces la parbola se encuentra hacia laizquierda del eje y.

Si a>0 y b


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1. La suma de las dos soluciones o races deuna ecuacin de segundo grado es:

a

bxx 21

2. El producto de las dos soluciones de unaecuacin de segundo grado es:

acxx 21

TEOREMAS DE EUCLIDES

BDADCD2

ADABAC2

BDABBC2

AB

BCACCD

TRIGONOMETRA

c

a

hipotenusa

opuestocatetosen

c

b

hipotenusa

adyacentecatetocos

b

a

adyacentecateto

opuestocatetotg

a

b

opuestocateto

adyacentecatetoc tg

b

c

adyacentecateto

hipotenusa

sec

a

c

opuestocateto

hipotenusaec cos

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

1.

cos

1sec

2.

sen

1cos ec

3.

cos

sentg

4.

sen

costg c

5. 1cossen 22

6. 22 tg1sec

7. 22 ctg1eccos

30 45 60

sen2

1

2

2

2

3

cos2

3

2

2

2

1

tg3

3 1 3

LOGARITMOS Y SUS PROPIEDADES

Definicin:Logaritmo de base a de un nmero n , es el exponente

al que debemos elevar el nmero a,positivo y distinto de 1, para obtener el nmero n:

naXnlog xa

1 ) El logaritmo del producto de dos nmeros:

log(ab) = loga + logb

2 ) El logaritmo del cociente de dos nmeros:

bab

alogloglog

3 ) El logaritmo de una potencia:

anan loglog

4 ) El logaritmo de una raz.

an

an log1

log

5 ) El logaritmo de 1.

01log a

6 ) El logaritmo de un nmero a, en base a.

1log aa

7) Se cumple que:b

xx

a

ab

log

loglog siendo la ms

utilizada aquella en que debemos trasformar logaritmos a

base 10, o seab

xxb

log

loglog

Ojo: En algunas ecuaciones logartmicas podemos obtenersoluciones numricas que no son vlidas, lo que nos obligaa comprobar las soluciones obtenidas en la ecuacin inicial

para decidir sobre su validez

ESTADSTICA

Poblacin : Se le llama poblacin o universo, al conjuntototal de individuos u objetos que se desean investigar.

Muestra: Es un grupo de una poblacin. Se utiliza cuandola poblacin es muy numerosa, infinita o muy difcil deexaminar.

Distribucin de Frecuencias: Las distribuciones defrecuencias, son series estadsticas ordenadas porintervalos de clases, y por lo tanto, corresponden a laclasificacin de grupo de datos, de acuerdo a unacaracterstica cuantitativa.

Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados):

Para ello debemos considerar cada intervalo con lmitescerrado y abierto.

Frecuencias absolutas, estas frecuencias son las que seobtienen directamente del conteo.

Las frecuencias relativasque corresponden a losporcentajes de cada frecuencia absoluta.

C

D BA


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Frecuencia absoluta acumuladaque corresponde a lafrecuencia absoluta del intervalo ms la suma de lasfrecuencias absolutas de todos los valores anteriores y lafrecuencia relativa acumuladaque corresponde alporcentaje de la frecuencia relativa del intervalo ms lasuma de las frecuencias relativas de todos los valoresanteriores.

La marca de clasecorresponde al valor medio de cadaintervalo.

Grfico de Barras: Se usa fundamentalmente pararepresentar distribuciones de frecuencias de unavariable cualitativa o cuantitativa discreta y,ocasionalmente, en la representacin de seriescronolgicas o histricas. Uno de los ejes sirve parainscribir las frecuencias, ya sean absolutas o relativas(%), y el otro para la escala de clasificacin utilizada.

Grfico circular: Se usa, fundamentalmente, pararepresentar distribuciones de frecuencias relativas(%) de una variable cualitativa o cuantitativa discreta.En este grfico se hace corresponder la medida delngulo de cada sector con la frecuenciacorrespondiente a la clase en cuestin. Si los 360

del crculo representan el 100 % de los datosclasificados, a cada 1% le correspondern 3,6.Luego, para obtener el tamao del ngulo para unsector dado bastara con multiplicar el por cientocorrespondiente por 3,6 (por simple regla de tres).

Histograma: Este grfico se usa para representar unadistribucin de frecuencias de una variable cuantitativacontinua. Habitualmente se representa la frecuenciaobservada en el eje Y, y en el eje X la variable

Polgono de frecuencias: Se utiliza, al igual que elhistograma, para representar distribuciones defrecuencias de variables cuantitativas continuas, perocomo no se utilizan barras en su confeccin sinosegmentos de recta, de ah el nombre de polgono.Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en elmismo grfico ms de una distribucin.

Ojiva:Su objetivo, al igual que el histograma y el polgonode frecuencias es representar distribuciones de frecuenciasde variables cuantitativas continuas, pero slo parafrecuencias acumuladas

Pictograma: Se utiliza un dibujo relacionado con eltema, para representar cierta cantidad defrecuencias. Este tipo de grfica atrae la atencin porlos dibujos, pero la desventaja es que se lee en formaaproximada.

Medidas de Tendencia Central

La media aritmtica: comnmente conocida como media o

promedio. Se representa por medio de una letra M en otros

casos por X .

La mediana: la cual es el puntaje que es ubica en el centrode una distribucin. Se representa como Md.

La moda: que es el puntaje que se presenta con mayorfrecuencia en una distribucin. Se representa Mo.

Para determinar la mediana, se ordenan los valoresde mayor a menor o lo contrario. Se divide el total decasos entre dos, una vez el valor resultantecorresponde al nmero del caso que representa lamediana de la distribucin.

Para calcular la media aritmticade un conjunto de datos,

se suma cada uno de los valores y se divide entre el totalde casos.

La modase identifica al observar el valor que sepresenta con ms frecuencia en la distribucin.

Figura Geomtrica Permetro y reaTringulo Cualquiera

p = a + b + c

2

hc

2

alturabase

Tringulo Rectngulo

p = a + b + c

2

ba

2

catetocateto

Tringulo Equilterop = 3a

2

3ah

43a

2

Cuadradop = 4a = a2

2

d

2

Rectngulo

p = 2a + 2b

= lado lado = ab

Rombop = 4a

= base altura = b h

2

fe

2

diagonaldiagonal

Romboide

p = 2a + 2b

= a h

Trapecio

p = a + b + c + d

2

h)ca(

2

altura)2base1base(

= Mediana altura = M h

Circunferencia y Crculo

p = 2r

= r2

Sector Circular

360

r2r2ABr2p

360

r

2


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Nombre Figura rea Volumen

Cubo o Hexaedro:Ortoedro donde lastres dimensiones son

iguales.

26aA 3aV

Paraleleppedo uortoedro: Prismacuyas bases son dosrectngulos.

A = 2(ab+ac+bc) V = abc

Cilindro: Es elCuerpo geomtricoengendrado por larevolucin de unrectngulo alrededorde uno de sus lados

)(2 rHrA HrV 2

Pirmide: Cuerpogeomtrico cuya basees un polgonocualquiera y sus caras

laterales tringulos

lateralbase AAA HBV 3

1

Cono: Es el Cuerpogeomtricoengendrado por larevolucin de untringulo rectnguloalrededor de uno

lateralbase AAA HrV 2

3

1

Esfera: Cuerpogeomtricoengendrado por larevolucin completade un semicrculoalrededor de sudimetro.

24 RA 3

3

4RV

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