UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS

GEOMETRIA DESCRIPITIVA Y PERSPECTIVA

INTERSECCION DE PLANOS Y RECTAS

CATEDRATICO:

ARQ. RICARDO A. MONCADA

ALUMNA:

KATY FLORIBETH URBINA

NUM. DE CUENTA:

20082002882

SECCION:

0801

TEGUCIGALPA, FCO. MORAZAN HONDURAS C.A

9-NOV-2010

INTRODUCCION

La información que en el siguiente informe se detalla se refiere a los diferentes casos de intersección de planos que podemos utilizar. Algunos de los que se explica son:

1. Intersección de dos planos cualesquiera: Los dos planos dados por rectas cualesquiera, Los dos planos dados por sus trazas, Uno de los planos esta dado por rectas cualesquiera y el otro por sus trazas.

2. Intersección de tres planos cualesquiera: Los tres planos dados por rectas cualesquiera Los tres planos dados por trazas Dos planos dados por rectas cualesquiera y el tercero por trazas Dos planos dados por trazas y el tercero por rectas cualesquiera.

3. Intersección de recta cualquiera con plano cualquiera.

Estos son términos que ayudan en la comprensión del resumen:

Un dibujo de proyecciones es una imagen plana que imita algo tridimensional. Proyectar es pasar una recta por un punto, en una dirección dada, y marcar su llegada a la superficie de un plano. Los elementos fundamentales de una proyección son la figura, el plano de proyección, el rayo proyectante y la proyección.

Proyección horizontal es la Representación gráfica bidimensional de un proyecto, ubicación y dimensiones, o partes del mismo sobre un plano horizontal visto desde arriba. También llamada planta, vista en planta.

Los puntos de intersección de una recta con los planos vertical y horizontal se llaman trazas. Las trazas se denominan verticales u horizontales, según el plano que las recibe.

La visibilidad es la cualidad perceptible, que permite ver objetos a una determinada distancia. A menor visibilidad peor se verán objetos a la lejanía, mientras que a mayor visibilidad se verán mejor objetos lejanos.

1. INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS CUALESQUIERA

La intersección entre dos planos es una recta, el procedimiento para obtener dicha recta aunque resulte paradójico, consiste en utilizar otros dos planos auxiliares cualesquiera que cortarán a los dos primeros en sendas rectas que se cortarán en puntos pertenecientes a la recta intersección de los dos primeros de manera que uniendo dichos puntos obtendremos la recta intersección buscada inicialmente.

Los planos pueden estar determinados por rectas cualesquiera o por sus trazas, resultando tres combinaciones posibles:

a) Los dos planos dados por rectas cualesquiera,b) Los dos planos dados por sus trazas,c) Uno de los planos está dado por rectas cualesquiera y el otro por sus trazas.

El procedimiento general para resolver estos problemas, (figura 1) consiste en cortar los planos propuestos A y B por terceros auxiliares C y D. El plano C determina como intersecciones con aquellos, dos rectas 1,2 y 2,3 que, o se cortan o son paralelas. Si se cortan (figura 1), el punto 2 de intersección de estas dos rectas, es un punto de intersección entre los dos plano, y basta repetir el procedimiento con otro auxiliar D, paralelo al primero, para obtener otras dos rectas 4,5 y 5,6 cuya intersección en el punto 5 determina con el punto 2 la recta 2,5 de intersección entre los dos planos del problema.

Si son paralelas (figura 2), se supone que los planos del problema también lo son, pues puede darse el caso de que planos A y B no paralelos, tengan por intersecciones con un auxiliar C, rectas paralelas. En este caso se repite la operación con otro plano D no paralelo al primero, si las nuevas intersecciones obtenidas se cortan, caemos en el caso descrito en la figura 1 y debemos hacer otro corte para determinar la intersección.

Si nuevamente resultaran paralelas (figura 3), estaríamos seguros de que los planos del problema son paralelos y entre ellos no hay intersección.

a) Los dos planos dados por rectas cualesquiera

Datos: tenemos los planos cualesquiera ABC y DEF por sus proyecciones.

Cortamos los planos dados por el auxiliar Q´, éste produce como intersecciones: 1´2´ en a´b´c´ que proyectamos 1,2 en abc y 3,4 en def que proyectamos 3, 4 en def.Las rectas 1,2 y 3,4 se cortan en i en proyección horizontal, punto cuya proyección vertical i” se encontrará sobre el mismo plano Q´ al cual lo proyectamos.

Repetimos el proceso con otro auxiliar L´ encontrando las rectas 5,6 y 7,8 que se cortan en el punto j, con proyección vertical j´ en el plano L´.

Los puntos i´i j´j determinan la recta i´j´, i j que es la intersección buscada.

Ejemplo.

I. Plano: ABC II. Plano: DEF

Plano Anch. Alej. Alt.

A 11.0 5.0 3.0

B 5.5 9.5 12.0

C 1.0 3.5 6.0

III. Rectas

Recta Alt. 1 Alt. 2

Q` 11.0 8.0

L` 8.5 5.0

Procedimiento Abreviado

Plano Anch

.

Alej. Alt.

D 12.5 11.0 10.

0

E 7.5 2.0 4.5

F 0.5 11.0 12.

0

La solución general puede abreviarse si usamos para los cortes, planos auxiliares cuyas proyecciones íntegras se encuentran en algunas de las rectas que determinan los planos del problema, así usando el mismo procedimiento, eliminando las trazas podemos encontrar una solución más rápida.

Aplicaremos este procedimiento a la intersección de dos figuras planas limitadas y para comparación usaremos el mismo problema del caso general, asumiendo que están limitados dentro de los triángulos determinados por los puntos ABC y DEF.

Por una de las proyecciones de rectas conocidas, en este caso a´b´ hagamos pasar un auxiliar Q´1 y determinemos sus intersecciones con los dos planos del problema. La intersección de Q´1 con ABC, será la misma recta a´b , ab mientras que al DEF lo corta en d´e´ d´f´ en puntos 1´ y 2´ con proyecciones horizontales 1 2 en de, df respectivamente. Las rectas ab y 1 2, se cortan en m, cuya proyección vertical m´ se encuentra necesariamente sobre la íntegra Q´1 del auxiliar.

Repetimos el procedimiento, cortando por otro auxiliar Q´2 apoyado en la proyección vertical e´f´, éste nos determina dos rectas en proyección horizontal, ef y 3 4 que se cortan en n con proyección vertical n´ en Q´2.

Los puntos m´m y n´n determinan la recta m´n´ mn que es la intersección entre los dos planos.

Intersección Material

Cuando los planos dados estén limitados a una figura cualquiera, en este caso los triángulos ABC DEF, la línea de intersección quedará limitada dentro del espacio común a las dos figuras planas. Esta porción se llama intersección material y en montea se define come el segmento de la recta de intersección, que en las proyecciones se sobrepone a las de los dos planos.

En la figura es el segmento m´n´ mn, pues hacia la derecha de n´´n la recta sale primero de la figura DEF y después de la ABC, en tanto a la izquierda del punto m´m la recta sale de ABC y después de DEF. Es evidente que al salir de una de las figuras, deja de haber intersección entre ellas.

Visibilidad

Limitada la figura podemos determinar la visibilidad de la montea, para lo cual aplicamos el procedimiento anteriormente, a pares de rectas del problema, que se cruzan.

Visibilidad de la proyección vertical:

Tomando el punto v´, lugar en que se cruzan a´b´ d´e´, si referimos el punto a la proyección horizontal, encontramos mayor alejamiento para la recta ab, por lo que la proyección a´b´ es la visible en ese punto y lo sería de no encontrar la intersección material en el punto m´. Así la recta a´b´ al llegar a m´ deja de verse pues pasa detrás del otro plano, pero es visible desde el punto 2´ hasta el b.´

Visibilidad de la proyección horizontal:

Repitiendo el proceso, tomemos el punto t que cruza las rectas bc y ef que referido a la proyección vertical, nos señala la mayor altura para la recta bc, ésta es visible en sus dos extremos b y c ya que no toca en ningún punto la intersección material: toda ella está sobre el plano def. Una proyección isométrica nos presenta en el espacio, el aspecto de la intersección de los dos planos.

Ejemplo.

I. Plano ABC II. Plano DEF

b) Dos planos que están dados por sus trazas

Datos: P` αP, Q` ßQ dos planos cualesquiera dados por sus trazas.

Plan

o

Anch. Alej. Alt.

A 11.0 5.0 3.0

B 5.5 9.5 12.0

C 1.0 3.5 6.0

Plano Anch

.

Alej. Alt.

D 12.5 11.0 10.

0

E 7.5 2.0 4.0

F 0.5 11.0 12.

0

Este caso se simplifica si consideramos como cortes auxiliares, las intersecciones de los planos dados con el horizontal y vertical de proyección, es decir sus mismas trazas, que son precisamente los datos del problema.

Al efecto, las trazas verticales de los dos planos P`α, Q` ß que obviamente están en el mismo plano (el vertical de proyección), se cortan en el punto 1` cuya proyección horizontal 1 será en LT. En tanto las horizontales, αP y ßQ` que también están en un mismo plano (el horizontal de proyección), se cortan en 2, cuya proyección vertical será necesariamente 2` en la línea de tierra.

Las proyecciones 1` 2` y 1, 2 definen las de la recta de intersección entre los dos planos.

La visibilidad, es inmediata pues serán visibles los dos planos en sus proyecciones, desde la intersección material hacia las partes opuestas a α y ß respectivamente, el croquis isométrico ilustra la solución.

Ejemplo.

I. Plano: P` αP II. Plano: Q` ßQ

Plan

o

Anch

.

Alej

.

Alt.

P´ 3.0 0.0 7.0

α 11.0 0.0 0.0

P 4.0 11.0 0.0

c) Uno de los planos está dado por rectas cualesquiera y el otro por trazas

Plan

o

Anc

h.

Alej

.

Alt

.

Q´ 7.5 0.0 10.

0

β 1.5 0.0 0.0

Q 9.0 9.0 0.0

Datos: Planos cualesquiera a´e´b´, aeb, P´αP.

Este caso se resuelve más fácilmente, cortando por planos horizontales o frontales. Si cortamos por un auxiliar H´1 obtendremos como intersecciones las rectas 1´2, 1 2 en el plano a´e´b´, aeb y 3´3 paralela a αP en proyección horizontal, en el P´αP. Estas dos rectas se cortan en i proyección horizontal, con proyección vertical i´ en el plano H´1, el punto i´i es un punto de la intersección de los dos planos. Cortamos luego por un segundo auxiliar H´2 que determinará las rectas 4´5´, 4 5 en a´e´b´, aeb y 6´, 6 paralela a αP en el P´αP, éstas se cortan en j proyección horizontal, con proyección vertical j´ en H´2 ; otro punto que con el anterior determina la recta de intersección i´j´, i j.

Ejemplo.

I. Plano: AEB II. Plano: P` α P

Plan

o

Anch

.

Alej

.

Alt.

A 9.5 4.0 4.0

E 6.0 0.5 0.5

B 3.0 8.0 7.0

Auxiliares

2. INTERSECCION DE TRES PLANOS CUALESQUIERA

Plan

o

Anc

h.

Alej

.

Alt

.

P´ 1.0 0.0 9.0

α 10.5 0.0 0.0

P 4.0 9.0 0.0

Auxil

.

Alt. 1 Alt. 2

H1 3.5 3.0

H2 2.0 2.0

Tres o más planos pueden cortarse siguiendo una misma recta, pero el caso característico de intersección de tres planos, es aquel en que sólo existe un punto V común a todos ellos, el de intersección, a la vez el vértice del triedro que forman entre sí los tres planos.

Cuando más de tres planos se cortan entre sí, en un punto común a todos ellos, se forma un poliedro que tiene como vértice ese punto.

En el estudio de intersección de tres planos, se presentan varios casos, según la forma en que aquellos estén determinados:

a) Los tres planos dados por rectas cualesquiera.b) Los tres planos dados por trazas.c) Dos planos dados por rectas cualesquiera y el tercero por trazas.d) Dos planos dados por trazas y el tercero por rectas cualesquiera.

a) Los tres planos dados por rectas cualesquiera.

La solución al problema es semejante a la descrita en la intersección de dos planos, consiste en cortar por terceros auxiliares.

Datos: Tres planos cualesquiera ABC, DEF, GHI, por sus proyecciones.

Cortamos por un auxiliar Q´1 que nos determina las líneas: 1´2´, por intersección con a´b´c´; 3´4´ con d´e´f´ y 5´6´ con g´h´i´, encontrándose sus correspondientes proyecciones horizontales, 1 2, 3 4, 5 6, en abc, def, ghi, respectivamente. Esas tres rectas se cortan de dos a dos: 1 2 con 3 4 el l; 1 2, con 5 6 en m y 3 4 con 5 6 en n, puntos que tienen sus proyecciones verticales l´m´n´ en la proyección del plano auxiliar Q´1 queda así resuelto el primer punto que necesitamos encontrar.

Un segundo corte por un auxiliar Q´2, paralelo al primero, da como intersecciones en el mismo orden de las rectas: 7´8´, 7 8 en a´b´c´ abc; 9´10´, 9 10 en d´e´f´, def, y 11´12´ 11 12 en g´h´i´, ghi, encontrándose ahora los puntos: o de la intersección de 7 8 con 9 10; p de 7 8 con 11 12 y r de 9 10 con 11 12. Estos tres puntos tienen sus proyecciones verticales o´, p´, r´, en el plano Q´2. Uniendo los puntos en el orden correspondiente, obtendremos las rectas l´o´, lo intersección de ABC con DEF; m´p´, mp, de ABC con GHI y n´r´ nr, de DEF con GHI. Estas tres líneas concurren en el punto v´v que es el de intersección de los tres planos dados.

Es desde luego posible aplicar el procedimiento abreviado descrito en la intersección de dos planos.

Visibilidad.

Proyección vertical:

Tomemos como ejemplo el punto x´ donde se cruzan d´e´ con a´b´, la proyectante llevada hasta la proyección horizontal, nos indica que la línea d´e´ por su mayor alejamiento es visible hasta su intersección material en j´, donde deja de verse para reaparecer en proximidad de e´, lugar en que no la cubre nada. El punto y´ cruce de a´b´ con g´i´, señala según se observa en proyección horizontal, que la línea a´b´ tiene mayor alejamiento por lo que resulta visible.

Proyección horizontal:

El punto u, cruce de hi con ac señala con ayuda de la proyección vertical, mayor altura para ac que resulta visible hasta su intersección material en t.

Del mismo modo se pueden analizar sucesivamente todos los puntos necesarios para concluir la figura. La isométrica presenta el aspecto de los planos en el espacio.

Ejemplo.

I. Plano: ABC II. Plano: DEF

Plan

o

Anch

.

Alej

.

Alt.

A 11.0 2.0 1.5

B 6.0 8.0 10.0

C 2.0 5.0 4.0

III. Plano: GHI Auxiliares

Plan

o

Anc

h.

Alej

.

Alt

.

D 10.0 8.5 7.0

E 7.5 1.0 1.5

F 1.5 7.0 8.0

Plan

o

Anch

.

Alej

.

Alt.

G 10.0 1.5 5.0

H 8.5 9.0 10.0

I 2.0 3.5 1.0

Auxil

.

Alt. 1 Alt. 2

Q1 7.0 6.0

Q2 5.0 4.0

b) Los tres planos dados por trazas.

Datos: P´ α P, R´ δ R y Q´ β Q tres planos dados por trazas.

Necesitamos 2 intersecciones:

Intersección entre el plano Q´ β Q y P´ α P:Las trazas verticales de los planos Q´ β y P´ α que están en el PV, se cortan en el punto 1´ cuya proyección horizontal será 1 en LT. En tanto las horizontales, β Q y α P que también estarán en el mismo plano (PH) se cortan en 2, cuya proyección vertical en LT será necesariamente 2´ en LT. Las proyecciones 1´2´ y 1,2 definen las de la recta de intersección entre los dos planos.

Para cerrar los planos (Q´ β Q y P´ α P) al punto Q´ se le saca su proyección horizontal, la cual (de LT) se unirá con Q en PH, de igual manera al punto Q se le saca la proyección vertical la cual (de LT) se unirá con Q´ en PV para cerrar el plano Q´ β Q. El mismo procedimiento se repetirá para cerrar el plano P´ α P.

Intersección entre el plano R´ δ R y P´ α P:Las trazas verticales de los planos R´ δ y P´ α (que están en PV) se cortan en el punto 3´ cuya proyección horizontal será 3 en LT. En tanto las horizontales, δ R y α P que también están en el mismo plano (PH) se cortan en 4, cuya proyección vertical será 4´ en LT.Las proyecciones 3´4´ y 3,4 definen las de la recta de intersección entre los dos planos.

Para cerrar los planos (R´ δ R y P´ α P) al punto R´ se le saca su proyección horizontal, la cual (de LT) se unirá con R en PH, de igual manera al punto R se le saca la proyección vertical la cual (de LT) se unirá con R´ en PV para cerrar el plano R´ δ R. El mismo procedimiento se repetirá para cerrar el plano P´ α P (que si se fijan bien ya eta cerrado desde la intersección entre el plano R´ δ R y P´ α P.

La visibilidad, es inmediata, pues serán visibles los planos Q´ β Q y P´ α P de sus intersecciones hacia la izquierda y derecha respectivamente hasta donde se cierran los planos; del plano Q´ β Q se verá también el espacio que queda descubierto detrás del plano P´ α P; y del plano P´ α P se verá también el pedazo que quede descubierto detrás del plano R´ δ R después de haberlo cerrado.Luego del plano R´ δ R quedara visible solamente de su intersección con el plano P´ α P hacia la izquierda hasta donde se cierra el plano (R´ δ R).

Ejemplo:

I. Plano: PQR II. Plano:

Plano Anch. Alej. Alt.

P 2.0 0.0 9.0

Q 6.0 0.0 9.0

R 9.0 0.0 7.5

β 0.5 0.0 0.0

Plano Anch. Alej. Alt.

P` 2.5 10.0 0.0

Q` 7.0 6.0 0.0

R` 9.5 7.0 0.0

α 11.0 0.0 0.0

c) Dos planos dados por rectas cualesquiera y el tercero por trazas

Datos: planos dados por rectas cualesquiera: plano ABC y plano DEF

Plano cualquiera dado por trazas: P´ α P

Aquí necesitamos 3 intersecciones:

Para resolver este caso de forma simple nos auxiliaremos de dos planos horizontales auxiliares que llamaremos H´1 y H´2 (en PV). La auxiliar H´1 corta el plano a´b´c´ en 1´y 2´; el plano d´e´f´ en 3´y 4´; y el plano P´ α en 5´. Y la auxiliar H´2 corta el plano d´e´f´ en 6´y 7´; el plano P´ α en el punto 8´; y el plano a´b´c´ en 9´y 10´.

Intersección entre plano dado por rectas ABC y el plano dado por trazas P´ α P:Si cortamos con la auxiliar H´1 obtendremos, el plano a´b´c´ los puntos 1´y 2´ y en el plano P´ α el punto 5´. Los puntos 1´y 2´se proyectan hasta el PH para encontrar 1 y 2, luego se unen esos dos puntos con una recta. Después el punto 5´ se proyecta de forma vertical hasta la LT y después en forma inclinada paralela con αP (en PH) hasta donde cruce con la recta que pasa por los puntos 1 y 2 para encontrar “i1”. Luego, al cortar los planos a´b´c´ y P´ α con la auxiliar H´2 obtenemos los puntos 9´y 10´ y 8´ respectivamente. Los puntos 9´y 10´se proyectan hasta el PH para encontrar 9 y 10, luego se unen esos dos puntos con una recta. Después el punto 5´ se proyecta hasta la LT en forma vertical y después en forma inclinada paralela con αP (en PH) hasta donde cruce con la recta que pasa por los puntos 9 y 10 para encontrar “i2”.Solo faltaría unir los puntos “i1” e “i2” con una recta para encontrar la intersección del plano abc con αP, que sería la parte de la recta que contenga el plano abc la cual llamaremos m n. La intersección m,n se debe proyectar después al PV para tener la intersección en ambos planos de proyección (PH y PV).

Intersección entre plano dado por rectas DEF y el plano dado por trazas P´ α P:La auxiliar H´1 (en PV) corta nuestros planos en los puntos 3´y 4´ (en el plano d´e´f´) y en 5´ (en el plano P´ α). Los puntos 3´y 4´se deben proyectar hasta el PH para encontrar 3 y 4, los cuales se deben unir una recta. Después el punto 5´ se proyecta de forma vertical hasta la LT y después en forma inclinada paralela con αP (en PH) hasta donde cruce con la recta que pasa por los puntos 3 y 4 para encontrar “j1”.Luego la auxiliar H´2 corta el plano d´e´f´ en 6´y 7´ y corta a P´ α en 8´. Los puntos 6´y 7´se proyectan hasta el PH para encontrar 6 y 7, luego se unen esos dos puntos con una recta. Después el punto 8´ se proyecta de forma vertical hasta la LT en forma vertical y después en forma inclinada paralela con αP (en PH) hasta donde cruce con la recta que pasa por 6 y 7 para encontrar “j2”.

Solo faltaría unir los puntos “j1” y “j2” con una recta para encontrar la intersección del plano def con αP, que sería la parte de la recta que contenga el plano def la cual llamaremos v,w. La intersección v,w se debe proyectar después al PV para tener la intersección en ambos planos de proyección (PH y PV).

Intersección entre los dos planos dados por rectas (ABC con DEF):Primero hay que ver en qué puntos la auxiliar H´1 corta los planos a´b´c´ y d´e´f´.Vemos que ésta, corta al plano a´b´c´ en 1´y 2´ y al plano d´e´f´ en 3´y 4´. Los puntos 1´y 2´ (en PV) hay que proyectarlos al PH para encontrar 1 y 2 (en PH); igual hay que proyectar 3´y 4´ (en PV) para encontrar 3 y 4 (en PH). Después hay que unir con una recta 1 y 2 y hay que unir también con una recta 3 y 4 hasta que se cruce con la recta que pasa por 1 y 2 y el punto en que se cruzan será nuestro punto “r1”. Luego, con la auxiliar H´2 (en PV) hay que ver también en qué puntos corta los planos (a´b´c´ y d´e´f´). Vemos que corta a a´b´c´en 9´y 10´ y corta a d´e´f´ en 6´y 7´. Después hay que proyectar estos cuatro puntos al PH para encontrar 9, 10 6 y 7 respectivamente. Luego unir con una recta los puntos 9 y 10 y unir con una recta también los puntos 6 y 7 y en donde se crucen dichas rectas será nuestro punto “r2”.Ahora solo faltaría unir “r1” y “r2” con una recta para encontrar la intersección del plano abc y el plano def que será la parte de dicha recta que cruce ambos planos, a esta intersección la llamaremos kq. Dicha intersección hay que proyectarla hasta el PV para tener la intersección en ambos planos de proyección (PH y PV).Finalizado el paso anterior solo hay que cerrar el plano dado por trazas (P´ α P) para tener los 3 planos con sus respectivas intersecciones; para esto proyectamos P´ (en PV) hasta la LT y el punto que resulta, lo unimos con P (en PH) y después proyectamos P hasta LT y el punto que resulta lo unimos con P´ (en PV).

Para la visibilidad hay que fijarse en el plano con mayor altura (en el plano vertical de proyección –en este caso a´b´c´-) porque éste estará sobre los otros dos planos atravesándolos de arriba hacia abajo dejando ver solo una intersección (la que hay entre éste plano y el otro plano dado por rectas –en éste caso d´e´f´-) quedando la intersección, entre éste plano y el plano dado por trazas (P´ α P) oculta bajo el plano d´e´f´).

El plano dado por trazas siempre estará atrás de los planos dados por rectas. Lo que deja claro que el plano dado por rectas con menores alturas será el que atraviese los otros dos planos de enfrente hacia atrás (todo esto en el plano vertical de proyección, para visibilidad en el PH hay que fijarse en el PV)

3. INTERSECCIÓN DE RECTA CUALQUIERA CON PLANO

CUALQUIERA

De todos es conocido el hecho de que la intersección entre una recta y un plano es un punto, lo que puede no parecer tan claro es que para hallar dicha intersección es necesario contener dicha recta en un plano, para así intersecando ambos planos, obtener otra recta que intersecará con la primera en la intersección buscada, es decir, el punto de intersección entre el plano y la recta iníciales.

El procedimiento general es buscar un plano que contenga a la recta, y se determina la intersección de éste con el dado, el lugar en el cual se corten la recta cualquiera dada y la recta de intersección de los dos planos, es la intersección de la recta con el plano cualquiera. En la práctica se usan planos proyectantes de recta, ya sea de canto o vertical, para simplificar el problema.

Datos: Una recta cualquiera R´R y un plano a´b´c´, abc.

Hacemos pasar por la proyección vertical de la recta un plano de canto, Q´ el proyectante (o bien por la horizontal el proyectante vertical) y determinamos la intersección de éste con el ABC en los puntos 1´2´, 1 2.

Determinamos la intersección con la recta R con la 1 2 en el punto i´i, ésta es la intersección buscada.

Visibilidad.

Proyección horizontal:

Tomemos en proyección horizontal el punto y donde se cruzan bc y R, si lo proyectamos a la vertical, encontramos mayor altura para la recta R, que será visible de ese lado hasta el punto i, en que el plano abc, dejando de verse, para volver a aparecer en x donde ya no lo cubre el plano.

Proyección vertical:

El punto 1´ cruce de a´b´ con R´, referido a la proyección horizontal señala que esta última tiene mayor alejamiento, siendo visible es ese lado hasta el punto i´, intersección material donde deja de verse para volver a hacerlo del punto 2´ hacia la derecha.

Ejemplo.

I. Plano: ABC II. Rectas

Plano Anch. Alej. Alt.

A 10.0 5.0 3.0

B 4.5 9.0 10.0

C 1.0 2.0 6.0

Recta Alt. 1 Alt. 2

R 2.5 10.0

R` 8.0 4.0

CONCLUSIONES

1. La intersección es un punto común a dos líneas que se cortan

2. La intersección entre dos planos (a y b) es una recta (i). Para determinarla:

Se elige, cualquier recta (a) en el plano (a), y se determina su intersección (I) con el plano (b).

Se repite el paso anterior eligiendo una segunda recta, (b) en el plano (a), y determinando su intersección (J) con el plano (b).

Los puntos de intersección (I y J) definen la recta de intersección (i) entre los planos (a y b).

Las rectas (a y b) también pueden ser elegidas en el plano (b) y ser interceptadas con el plano (a).

3. La intersección de tres planos (a, b, y g) es un punto (I). El cual se define interceptando, con el plano (g), la recta de intersección (i) entre los planos (a y b).