Resumen de derivadas

Antes de comenzar a definir derivadas, debes repasar algunos conceptos previos.Binomio de suma al cuadradoUnbinomio al cuadrado(suma) es igual es igual al cuadrado del primer trmino,msel doble producto del primero por el segundomsel cuadrado segundo.(a + b)2= a2+ 2 a b + b2(x + 3)2= x2+ 2 x 3 + 32= x2+ 6 x + 9Binomio de resta al cuadradoUnbinomio al cuadrado(resta) es igual es igual al cuadrado del primer trmino,menosel doble producto del primero por el segundo,msel cuadrado segundo.(a b)2= a2 2 a b + b2(2x 3)2= (2x)2 2 2x 3 + 32= 4x2 12 x + 9Binomio de suma al cuboUnbinomio al cubo(suma) es igual al cubo del primero,msel triple del cuadrado del primero por el segundo,msel triple del primero por el cuadrado del segundo,msel cubo del segundo.(a + b)3= a3+ 3 a2 b + 3 a b2+ b3(x + 3)3= x3+ 3 x2 3 + 3 x 32+ 33== x3+ 9x2+ 27x + 27Binomio de resta al cuboUnbinomio al cubo(resta) es igual al cubo del primero,menosel triple del cuadrado del primero por el segundo,msel triple del primero por el cuadrado del segundo,menosel cubo del segundo.(a b)3= a3 3 a2 b + 3 a b2 b3(2x 3)3= (2x)3 3 (2x)23 + 3 2x 32 33== 8x3 36 x2+ 54 x 27

Para comenzar a definir la derivada vas a comprender el significado de la variacin que se produce en las siguientes grficas.

Si la distancia entre los dos puntos h (x) se va haciendo cada vez ms pequea (h tiende a 0 ) obtendramos una recta tangente (corta a la funcin en un solo punto)

La expresin simblica = representa la derivada de la funcin.A este valor se le llama la derivada de la funcin f en un punto y se designa por f(x), por lo tanto, la derivada de una funcin en un punto es el lmite cuando (h tiende a o) de f de (x ms h), menos (f de x), sobre hSi f tiene derivada en el punto x se dice que f es derivable en x

OBTENER LA DERIVADA DE f(x)= 4x2 -6x -8Aplicando la definicin de la derivada:

Dx f(x)= Resulta:

= Elevando el binomio (x + h) al cuadrado y realizando los productos indicados, se tiene:

=

= Simplificando:

= Sacando factor comn h tenemos

Simplificando queda:

=

Finalmente, calculando el lmite cuando h0 se obtiene la derivada de la funcin:

Dx f(x)=8x 6Derivabilidad y continuidadSi una funcin es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

Por ejemplo

1Calcular las derivadas en los puntos que se indica:1en x = -5.2en x = 1.3en x = 2.4en x = 3.

1.en x =5.

2.en x = 1.

Hallar la derivada de la funcin f(x) = 3x2en el punto x = 2.

Calcular la derivada de la funcin f(x) = x2+ 4x 5 en x = 1.

Calcularderivada de f(x) = x2 x + 1 enx = 1,x = 0yx = 1.

f'(1), f'(0) y f'(1).f'(1)= 2(1) 1 =3f'(0)= 2(0) 1 =1f'(1)= 2(1) 1 =1

Ejemplos de derivadas1.

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